9A 双线性和二次型

本节概览

本节是第9章”多重线性代数和行列式”的开篇，引入了双线性型（bilinear form）和二次型（quadratic form）两个核心概念。逻辑链条如下：

1. 定义9.1：双线性型 $\to$ $V\times V\to \mathbb{F}$ 上两个位置分别线性的函数
2. 定义9.3/9.4：$V^{(2)}$ 与矩阵表示 $\to$ 双线性型构成向量空间，每个双线性型对应一个矩阵
3. 定理9.5/9.6/9.7：基本性质 $\to$ 维数公式、与算子复合的矩阵关系、换基公式 $A=C^{t}BC$
4. 对称双线性型 $\to$ 定义9.9、定理9.12（可对角化的4个等价条件）、定理9.13（规范正交基对角化）
5. 交错双线性型 $\to$ 定义9.14、定理9.16（刻画）、定理9.17（直和分解 $V^{(2)}=V_{\text{sym}}^{(2)}\oplus V_{\text{alt}}^{(2)}$）
6. 二次型 $\to$ 定义9.18、定理9.20（${\mathbb{F}}^n$上的二次型）、定理9.21（4个等价刻画）、定理9.23（对角化）

核心主线：双线性型的一般理论 $\to$ 对称双线性型（可对角化）$\to$ 交错双线性型（反对称）$\to$ 直和分解 $\to$ 二次型（对称双线性型的对角线）。

前置依赖：6A 内积和范数（内积的定义与性质）、7A 自伴算子和正规算子（自伴算子、伴随）、7B 谱定理（实谱定理7.29）、7C 正算子（正算子）、3C 矩阵（矩阵的运算、换基公式3.84）、3F 对偶（对偶空间 $V^{\prime }$、线性泛函）、8D 联系矩阵与算子的桥梁——迹（迹的性质）。

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一、双线性型的定义与基本性质

1.1 双线性型的定义

定义9.1：双线性型（bilinear form）

$V$ 上的一个双线性型是一个函数 $\beta :V\times V\to \mathbb{F}$，该函数满足：对于所有 $u\in V$， $v\mapsto \beta (v,u)\text{与}v\mapsto \beta (u,v)$ 都是 $V$ 上的线性泛函。

直观理解：双线性型是”两个变量同时线性”的函数——固定任意一个位置的向量，在另一个位置上就是线性的。但要注意，双线性型本身不是线性映射（见下方补充理解7.1）。

与内积的关系：

• 若 $V$ 是实内积空间，内积 $⟨u,v⟩$ 是一个双线性型（但还额外满足对称性和正定性）
• 若 $V$ 是复内积空间，内积不是双线性型，因为第二个位置上是共轭线性的（复数被提出时变为复共轭）

1.2 双线性型的具体例子

例9.2：双线性型

例1：${\mathbb{F}}^3$ 上的双线性型 $\beta ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1{y}_2-5x_2{y}_3+2x_3{y}_1$

例2：矩阵定义的双线性型。设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，第 $j$ 行第 $k$ 列元素为 $A_{j,k}\in \mathbb{F}$。定义 ${\mathbb{F}}^n$ 上的双线性型 ${\beta }_A$ 为 ${\beta }_A((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=1}^n{A}_{j,k}{x}_j{y}_k$ 例1就是本例取 $n=3$ 和 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& -5\\ 2& 0& 0\end{array}\right)$ 时的特殊情况。

例3：设 $V$ 是实内积空间且 $T\in \mathcal{L}(V)$。定义为 $\beta (u,v)=⟨u,Tv⟩$ 的函数 $\beta :V\times V\to \mathbb{R}$ 是 $V$ 上的双线性型。

例4：定义为 $\beta (p,q)=p(2)\cdot q^{\prime }(3)$ 的函数 $\beta :P_n(\mathbb{R})\times P_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ 是 $P_n(\mathbb{R})$ 上的双线性型。

例5：设 $\phi ,\tau \in V^{\prime }$，则 $\beta (u,v)=\phi (u)\cdot \tau (v)$ 是 $V$ 上的双线性型。

例6（一般形式）：设 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n,{\tau }_1,\dots ,{\tau }_n\in V^{\prime }$，则 $\beta (u,v)={\phi }_1(u){\tau }_1(v)+\cdots +{\phi }_n(u){\tau }_n(v)$ 是 $V$ 上的双线性型。

双线性型不是线性映射

习题3表明：$V$ 上的双线性型 $\beta$ 是 $V\times V$ 上的线性映射，当且仅当 $\beta =0$。这是因为 $\beta (au,aw)=a^2\beta (u,w)\ne a\cdot \beta (u,w)$（除非 $a=0$ 或 $a=1$），不满足齐次性。

1.3 双线性型构成的向量空间 $V^{(2)}$

定义9.3： $V^{(2)}$

$V$ 上的双线性型构成的集合记为 $V^{(2)}$。在通常的函数加法与标量乘法运算下，$V^{(2)}$ 是向量空间。

1.4 双线性型的矩阵

定义9.4：双线性型的矩阵 $M(\beta )$

设 $\beta$ 是 $V$ 上的双线性型，$e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的基。$\beta$ 关于该基的矩阵是 $n\times n$ 矩阵 $M(\beta )$，其中第 $j$ 行第 $k$ 列元素由下式给出： $M(\beta {)}_{j,k}=\beta (e_j,e_k)$ 如果从上下文不能明确基的选取，就用 $M_{\beta ,(e_1,\dots ,e_n)}$ 这个记号。

直觉：与算子的矩阵类似——算子用矩阵记录”基向量被映射到哪里”，双线性型用矩阵记录”基向量两两配对的结果”。

1.5 维数公式

定理9.5： $\dim V^{(2)}=(\dim V{)}^2$

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的基。那么映射 $\beta \mapsto M(\beta )$ 是将 $V^{(2)}$ 映成 ${\mathbb{F}}^{n,n}$ 的同构。此外，$\dim V^{(2)}=(\dim V{)}^2$。

证明思路

[关键步骤]：

1. 映射 $\beta \mapsto M(\beta )$ 显然是从 $V^{(2)}$ 到 ${\mathbb{F}}^{n,n}$ 的线性映射。
2. 构造逆映射：对 $A\in {\mathbb{F}}^{n,n}$，定义双线性型 ${\beta }_A$ 为 ${\beta }_A(x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n,y_1{e}_1+\cdots +y_n{e}_n)={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=1}^n{A}_{j,k}{x}_j{y}_k$
3. 验证这两个映射互逆：${\beta }_{M(\beta )}=\beta$ 且 $M({\beta }_A)=A$。
4. 因此两个映射都是同构，$\dim V^{(2)}=\dim {\mathbb{F}}^{n,n}=n^2=(\dim V{)}^2$。

1.6 双线性型与算子的复合

定理9.6：双线性型与算子的复合

设 $\beta$ 是 $V$ 上的双线性型，$T\in \mathcal{L}(V)$。定义 $V$ 上的双线性型 $\alpha$ 和 $\rho$ 为 $\alpha (u,v)=\beta (u,Tv)\text{与}\rho (u,v)=\beta (Tu,v)$ 令 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的基。那么 $M(\alpha )=M(\beta )M(T)\text{且}M(\rho )=M(T{)}^{t}M(\beta )$

证明思路

[关键步骤]：对 $\alpha$ 的情形，直接计算矩阵元素： $M(\alpha {)}_{j,k}=\alpha (e_j,e_k)=\beta (e_j,T{e}_k)=\beta (e_j,{\sum }_{m=1}^{n}M(T{)}_{m,k}{e}_m)={\sum }_{m=1}^n\beta (e_j,e_m)M(T{)}_{m,k}=[M(\beta )M(T){]}_{j,k}$ 对 $\rho$ 的情形类似可证。

直觉：$\alpha (u,v)=\beta (u,Tv)$ 意味着第二个输入先经过 $T$ 变换，所以矩阵在右侧乘 $M(T)$；$\rho (u,v)=\beta (Tu,v)$ 意味着第一个输入先经过 $T$ 变换，所以矩阵在左侧乘 $M(T{)}^t$（转置是因为第一个输入对应矩阵的行）。

1.7 换基公式

定理9.7：换基公式（change-of-basis formula）

设 $\beta \in V^{(2)}$。设 $e_1,\dots ,e_n$ 和 $f_1,\dots ,f_n$ 是 $V$ 的基。令 $A=M_{\beta ,(e_1,\dots ,e_n)},B=M_{\beta ,(f_1,\dots ,f_n)},C=M_{I,(e_1,\dots ,e_n),(f_1,\dots ,f_n)}$ 那么 $A=C^{t}BC$

证明思路

[关键步骤]：

1. 由线性映射引理（3.4），存在算子 $T\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $T{f}_k=e_k$（对每个 $k$），且 $M_{T,(f_1,\dots ,f_n)}=C$。
2. 定义 $\alpha (u,v)=\beta (u,Tv)$ 和 $\rho (u,v)=\alpha (Tu,v)=\beta (Tu,Tv)$。
3. 则 $\beta (e_j,e_k)=\beta (T{f}_j,T{f}_k)=\rho (f_j,f_k)$，所以 $A=M_{\rho ,(f_1,\dots ,f_n)}$。
4. 由定理9.6：$M_{\rho ,(f_1,\dots ,f_n)}=C^t{M}_{\alpha ,(f_1,\dots ,f_n)}=C^{t}BC$。

换基公式对比

	双线性型	算子
换基公式	$A=C^{t}BC$	$A=C^{-1}BC$
变换类型	合同变换（congruence）	相似变换（similarity）
关键区别	用转置 $C^t$	用逆 $C^{-1}$

为什么双线性型用 $C^t$？因为双线性型涉及两个输入向量，换基时两个都要变换（见补充理解7.3）。

1.8 例题：$P_2(\mathbb{R})$ 上双线性型的矩阵

例9.8： $P_2(\mathbb{R})$ 上的一个双线性型的矩阵

定义 $P_2(\mathbb{R})$ 上的双线性型 $\beta$ 为 $\beta (p,q)=p(2)\cdot q^{\prime }(3)$。令 $A=M_{\beta ,(1,x-2,(x-3{)}^2)},B=M_{\beta ,(1,x,x^2)},C=M_{I,(1,x-2,(x-3{)}^2),(1,x,x^2)}$ 那么 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 6\\ 0& 2& 12\\ 0& 4& 24\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 9\\ 0& 1& -6\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ 由换基公式 9.7 可断言 $A=C^{t}BC$，可通过矩阵乘法验证。

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二、对称双线性型

2.1 对称双线性型的定义

定义9.9：对称双线性型（symmetric bilinear form）、 $V_{\text{sym}}^{(2)}$

称双线性型 $\rho \in V^{(2)}$ 是对称的，若 $\rho (u,w)=\rho (w,u)$ 对所有 $u,w\in V$ 都成立。$V$ 上对称双线性型构成的集合记作 $V_{\text{sym}}^{(2)}$。

2.2 对称矩阵

定义9.11：对称矩阵（symmetric matrix）

若方阵 $A$ 与其转置相等（$A=A^t$），则称 $A$ 是对称的。

对称矩阵与基的关系

$V$ 上的算子可能关于 $V$ 的某些基（但不是所有基）具有对称矩阵。相比之下，定理9.12表明：$V$ 上的双线性型要么关于所有基都有对称矩阵，要么关于所有基都没有对称矩阵。这是一个重要的区别。

2.3 对称双线性型的例子

例9.10：对称双线性型

例1：若 $V$ 是实内积空间且 $\rho (u,w)=⟨u,w⟩$，则 $\rho$ 是对称双线性型。

例2：设 $V$ 是实内积空间且 $T\in \mathcal{L}(V)$，定义 $\rho (u,w)=⟨u,Tw⟩$。那么==当且仅当 $T$ 是自伴算子时==，$\rho$ 是对称双线性型。

例3：定义 $\rho :\mathcal{L}(V)\times \mathcal{L}(V)\to \mathbb{F}$ 为 $\rho (S,T)=\mathrm{tr}(ST)$。那么 $\rho$ 是 $\mathcal{L}(V)$ 上的对称双线性型，因为 $\mathrm{tr}(ST)=\mathrm{tr}(TS)$（参见定理8.56）。

2.4 对称双线性型的可对角化性

定理9.12：对称双线性型是可对角化的

设 $\rho \in V^{(2)}$。那么下面各命题等价：

(a) $\rho$ 是 $V$ 上的对称双线性型。

(b) $M_{\rho ,(e_1,\dots ,e_n)}$ 对 $V$ 的每个基 $e_1,\dots ,e_n$ 都是对称矩阵。

(c) $M_{\rho ,(e_1,\dots ,e_n)}$ 对 $V$ 的某个基 $e_1,\dots ,e_n$ 是对称矩阵。

(d) $M_{\rho ,(e_1,\dots ,e_n)}$ 对 $V$ 的某个基 $e_1,\dots ,e_n$ 是对角矩阵。

证明思路

[关键步骤]：

(a) $\Rightarrow$ (b)：若 $\rho$ 对称，则 $\rho (e_j,e_k)=\rho (e_k,e_j)$，即 $M(\rho {)}_{j,k}=M(\rho {)}_{k,j}$，矩阵对称。

(b) $\Rightarrow$ (c)：显然。

(c) $\Rightarrow$ (a)：设 $M(\rho )$ 关于基 $e_1,\dots ,e_n$ 对称。对任意 $u=\sum a_j{e}_j$，$w=\sum b_k{e}_k$： $\rho (u,w)={\sum }_{j,k}{a}_j{b}_k\rho (e_j,e_k)={\sum }_{j,k}{a}_j{b}_k\rho (e_k,e_j)=\rho (w,u)$ 其中第三步利用了矩阵的对称性。

(d) $\Rightarrow$ (c)：对角矩阵都是对称的。

(a) $\Rightarrow$ (d)（归纳法）：$n=1$ 时显然。设 $n>1$ 且 $\rho \ne 0$。关键观察： $2\rho (u,w)=\rho (u+w,u+w)-\rho (u,u)-\rho (w,w)$ 因为 $\rho \ne 0$，存在 $v\in V$ 使得 $\rho (v,v)\ne 0$。令 $U=\{u\in V:\rho (u,v)=0\}$，则 $\dim U=n-1$。由归纳假设，$U$ 有基 $e_1,\dots ,e_{n-1}$ 使 $\rho {|}_{U\times U}$ 的矩阵为对角矩阵。因为 $\rho (e_k,v)=0$（由 $U$ 的定义）且 $\rho (v,e_k)=0$（由对称性），所以 $e_1,\dots ,e_{n-1},v$ 就是所需的基。

归纳法中的关键技巧

证明 (a) $\Rightarrow$ (d) 的核心是找到一个 $v$ 使得 $\rho (v,v)\ne 0$。恒等式 $2\rho (u,w)=\rho (u+w,u+w)-\rho (u,u)-\rho (w,w)$ 保证了这样的 $v$ 一定存在（如果 $\rho \ne 0$）。然后利用 $v$ 的正交补 $U$ 进行归纳。

2.5 用规范正交基将对称双线性型对角化

定理9.13：用规范正交基将对称双线性型对角化

设 $V$ 是实内积空间且 $\rho$ 是 $V$ 上的对称双线性型。那么 $\rho$ 关于 $V$ 的某个规范正交基有对角矩阵。

证明思路

[关键步骤]：

1. 取 $V$ 的规范正交基 $f_1,\dots ,f_n$，令 $B=M_{\rho ,(f_1,\dots ,f_n)}$。由定理9.12，$B$ 是对称矩阵。
2. 令 $T\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $M_{T,(f_1,\dots ,f_n)}=B$，则 $T$ 是自伴的。
3. 由实谱定理（7.29），$T$ 关于某个规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$ 有对角矩阵。
4. 令 $C=M_{I,(e_1,\dots ,e_n),(f_1,\dots ,f_n)}$，则 $C^{-1}BC$ 是对角矩阵。
5. 因为 $C$ 是实幺正矩阵，$C^{-1}=C^t$，所以 $M_{\rho ,(e_1,\dots ,e_n)}=C^{t}BC=C^{-1}BC$ 也是对角矩阵。

注意

此处内积与双线性型无关——内积只是用来提供规范正交基的概念。双线性型 $\rho$ 本身不需要与内积有任何关系。

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三、交错双线性型

3.1 交错双线性型的定义

定义9.14：交错双线性型（alternating bilinear form）、 $V_{\text{alt}}^{(2)}$

称双线性型 $\alpha \in V^{(2)}$ 是交错的，若对于所有 $v\in V$ 有 $\alpha (v,v)=0$ $V$ 上交错双线性型所构成的集合记为 $V_{\text{alt}}^{(2)}$。

3.2 交错双线性型的例子

例9.15：交错双线性型

例1：设 $n\ge 3$，$\alpha :{\mathbb{F}}^n\times {\mathbb{F}}^n\to \mathbb{F}$ 定义为 $\alpha ((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_1{y}_3-x_3{y}_1$ 那么 $\alpha$ 是交错双线性型。验证：$\alpha ((x_1,\dots ,x_n),(x_1,\dots ,x_n))=x_1{x}_2-x_2{x}_1+x_1{x}_3-x_3{x}_1=0$。

例2：设 $\phi ,\tau \in V^{\prime }$，定义为 $\alpha (u,w)=\phi (u)\tau (w)-\phi (w)\tau (u)$ 的双线性型是交错的。

3.3 交错双线性型的刻画

定理9.16：交错双线性型的刻画

$V$ 上的双线性型 $\alpha$ 是交错的，当且仅当 $\alpha (u,w)=-\alpha (w,u)$ 对所有 $u,w\in V$ 都成立。

证明思路

[关键步骤]：

交错 $\Rightarrow$ 反对称：若 $\alpha$ 交错，则 $0=\alpha (u+w,u+w)=\alpha (u,u)+\alpha (u,w)+\alpha (w,u)+\alpha (w,w)=\alpha (u,w)+\alpha (w,u)$ 所以 $\alpha (u,w)=-\alpha (w,u)$。

反对称 $\Rightarrow$ 交错：若 $\alpha (u,w)=-\alpha (w,u)$ 对所有 $u,w$ 成立，则 $\alpha (v,v)=-\alpha (v,v)$，即 $2\alpha (v,v)=0$。在 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 中，$2\ne 0$，所以 $\alpha (v,v)=0$。

3.4 直和分解

定理9.17： $V^{(2)}=V_{\text{sym}}^{(2)}\oplus V_{\text{alt}}^{(2)}$

集合 $V_{\text{sym}}^{(2)}$ 和 $V_{\text{alt}}^{(2)}$ 都是 $V^{(2)}$ 的子空间，且有 $V^{(2)}=V_{\text{sym}}^{(2)}\oplus V_{\text{alt}}^{(2)}$

证明思路

[关键步骤]：

子空间验证：对称双线性型的和与标量倍仍是对称的，所以 $V_{\text{sym}}^{(2)}$ 是子空间。类似地，$V_{\text{alt}}^{(2)}$ 也是子空间。

和等于全空间：对任意 $\beta \in V^{(2)}$，定义 $\rho (u,w)=\frac{\beta (u,w)+\beta (w,u)}{2},\alpha (u,w)=\frac{\beta (u,w)-\beta (w,u)}{2}$ 则 $\rho \in V_{\text{sym}}^{(2)}$，$\alpha \in V_{\text{alt}}^{(2)}$，且 $\beta =\rho +\alpha$。

交集为零：若 $\beta \in V_{\text{sym}}^{(2)}\cap V_{\text{alt}}^{(2)}$，则由定理9.16， $\beta (u,w)=-\beta (w,u)=-\beta (u,w)$ 对所有 $u,w$ 成立，所以 $\beta =0$。

由直和判别法（1.46），$V^{(2)}=V_{\text{sym}}^{(2)}\oplus V_{\text{alt}}^{(2)}$。

对称化与反对称化

分解 $\beta =\rho +\alpha$ 就是对称化和反对称化：

• $\rho (u,w)=\frac{\beta (u,w)+\beta (w,u)}{2}$（对称部分）
• $\alpha (u,w)=\frac{\beta (u,w)-\beta (w,u)}{2}$（交错部分）

这与”任何函数 = 偶函数 + 奇函数”的分解完全类似（见补充理解7.4）。

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四、二次型

4.1 二次型的定义

定义9.18：关联于双线性型的二次型（quadratic form）、 $q_{\beta }$

对于 $V$ 上的双线性型 $\beta$，定义函数 $q_{\beta }:V\to \mathbb{F}$ 为 $q_{\beta }(v)=\beta (v,v)$ 称函数 $q:V\to \mathbb{F}$ 是 $V$ 上的二次型，如果存在 $V$ 上的双线性型 $\beta$ 使得 $q=q_{\beta }$。

注意

如果 $\beta$ 是交错双线性型，那么 $q_{\beta }=0$（因为 $\beta (v,v)=0$ 对所有 $v$ 成立）。反之亦然。

4.2 二次型的例子

例9.19：二次型

设 $\beta$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的双线性型，定义为 $\beta ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1{y}_1-4x_1{y}_2+8x_1{y}_3-3x_3{y}_3$ 那么 ${\mathbb{R}}^3$ 上的二次型 $q_{\beta }$ 由下式给出： $q_{\beta }(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-4x_1{x}_2+8x_1{x}_3-3x_3^2$

4.3 ${\mathbb{F}}^n$ 上的二次型

定理9.20： ${\mathbb{F}}^n$ 上的二次型

设 $n$ 是正整数，$q$ 是 ${\mathbb{F}}^n$ 到 $\mathbb{F}$ 的函数。那么 $q$ 是 ${\mathbb{F}}^n$ 上的二次型，当且仅当存在数 $A_{j,k}\in \mathbb{F}$（$j,k\in \{1,\dots ,n\}$）使得 $q(x_1,\dots ,x_n)={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=1}^n{A}_{j,k}{x}_j{x}_k$ 对所有 $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{F}}^n$ 成立。

证明思路

[关键步骤]：

$\Rightarrow$：设 $q$ 是二次型，则存在双线性型 $\beta$ 使得 $q=q_{\beta }$。令 $A$ 是 $\beta$ 关于 ${\mathbb{F}}^n$ 标准基的矩阵，则 $q(x_1,\dots ,x_n)=\beta ((x_1,\dots ,x_n),(x_1,\dots ,x_n))={\sum }_{k,j}{A}_{j,k}{x}_j{x}_k$

$\Leftarrow$：定义双线性型 $\beta ((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))={\sum }_{k,j}{A}_{j,k}{x}_j{y}_k$，则 $q=q_{\beta }$。

4.4 二次型的刻画

定理9.21：二次型的刻画

设 $q:V\to \mathbb{F}$ 是一个函数。下面各命题等价：

(a) $q$ 是一个二次型。

(b) $V$ 上存在唯一的对称双线性型 $\rho$ 使得 $q=q_{\rho }$ 成立。

(c) $q(\lambda v)={\lambda }^{2}q(v)$ 对所有 $\lambda \in \mathbb{F}$ 和 $v\in V$ 成立，并且函数 $(u,w)\mapsto q(u+w)-q(u)-q(w)$ 是 $V$ 上的对称双线性型。

(d) $q(2v)=4q(v)$ 对所有 $v\in V$ 成立，并且函数 $(u,w)\mapsto q(u+w)-q(u)-q(w)$ 是 $V$ 上的对称双线性型。

证明思路

[关键步骤]：

(a) $\Rightarrow$ (b)：由定理9.17，$\beta =\rho +\alpha$（对称 + 交错），则 $q=q_{\beta }=q_{\rho }+q_{\alpha }=q_{\rho }$（因为 $q_{\alpha }=0$）。唯一性：若 $q_{{\rho }^{\prime }}=q$，则 $q_{{\rho }^{\prime }-\rho }=0$，所以 ${\rho }^{\prime }-\rho \in V_{\text{sym}}^{(2)}\cap V_{\text{alt}}^{(2)}=\{0\}$。

(b) $\Rightarrow$ (c)：$q(\lambda v)=\rho (\lambda v,\lambda v)={\lambda }^2\rho (v,v)={\lambda }^{2}q(v)$。且 $q(u+w)-q(u)-q(w)=\rho (u+w,u+w)-\rho (u,u)-\rho (w,w)=2\rho (u,w)$ 是对称双线性型。

(c) $\Rightarrow$ (d)：取 $\lambda =2$ 即可。

(d) $\Rightarrow$ (a)：令 $\rho (u,w)=\frac{q(u+w)-q(u)-q(w)}{2}$，则 $\rho (v,v)=\frac{q(2v)-2q(v)}{2}=\frac{4q(v)-2q(v)}{2}=q(v)$ 所以 $q=q_{\rho }$。

核心结论

每个二次型对应唯一的对称双线性型。这是定理9.21最重要的推论——尽管二次型的定义中用的是任意双线性型，但交错部分对 $q_{\beta }$ 没有贡献，所以二次型本质上只与对称双线性型相关。

4.5 与二次型相关联的对称双线性型

例9.22：与二次型相关联的对称双线性型

设 $q$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的二次型： $q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-4x_1{x}_2+8x_1{x}_3-3x_3^2$ 例9.19给出了一个满足 $q=q_{\beta }$ 的双线性型 $\beta$，但 $\beta$ 不是对称的。然而，定义为 $\rho ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1{y}_1-2x_1{y}_2-2x_2{y}_1+4x_1{y}_3+4x_3{y}_1-3x_3{y}_3$ 的双线性型 $\rho$ 是对称的，且满足 $q=q_{\rho }$，这与定理9.21(b) 相吻合。

如何从二次型恢复对称双线性型

由定理9.21的证明，对称双线性型 $\rho$ 的恢复公式为： $\rho (u,w)=\frac{q(u+w)-q(u)-q(w)}{2}$ 在例9.22中，交叉项 $-4x_1{x}_2$ 被拆分为 $-2x_1{y}_2-2x_2{y}_1$，交叉项 $8x_1{x}_3$ 被拆分为 $4x_1{y}_3+4x_3{y}_1$。

4.6 二次型的对角化

定理9.23：二次型的对角化

设 $q$ 是 $V$ 上的二次型。

(a) 存在 $V$ 的基 $e_1,\dots ,e_n$ 和 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{F}$，使得 $q(x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n)={\lambda }_1{x}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2$ 对所有 $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{F}$ 成立。

(b) 若 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 且 $V$ 是内积空间，那么 (a) 中的基可取为 $V$ 的规范正交基。

证明思路

[关键步骤]：

(a)：由定理9.21，存在对称双线性型 $\rho$ 使得 $q=q_{\rho }$。由定理9.12，存在基 $e_1,\dots ,e_n$ 使 $M(\rho )$ 为对角矩阵，对角元素为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$。则 $q(x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n)=\rho (\sum x_j{e}_j,\sum x_k{e}_k)={\sum }_{j,k}{x}_j{x}_k\rho (e_j,e_k)={\lambda }_1{x}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2$

(b)：由定理9.13，基可取为规范正交基。

二次型对角化的意义

二次型对角化消除了所有交叉项 $x_j{x}_k$（$j\ne k$），使二次型变为各坐标平方的加权和。对角元素 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 的符号决定了二次型的几何性质（见补充理解7.2）。

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五、知识结构总览

graph TD
    A[双线性型 beta: V乘V到F] --> B[V的2次方 - 双线性型向量空间]
    A --> C[矩阵表示 M of beta]
    A --> D[对称双线性型]
    A --> E[交错双线性型]
    D --> F[V的2次方 sym]
    E --> G[V的2次方 alt]
    F --> H[直和分解]
    G --> H
    H --> I[每个双线性型拆为对称部分加交错部分]
    D --> J[可对角化 - 定理9.12]
    J --> K[规范正交基对角化 - 定理9.13]
    A --> L[二次型 q of beta]
    L --> M[唯一对应对称双线性型 - 定理9.21]
    M --> N[二次型对角化 - 定理9.23]
    C --> O[换基公式 AtBC - 定理9.7]
    C --> P[与算子复合 - 定理9.6]

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六、核心思想与证明技巧

6.1 双线性型的矩阵表示与同构

定理9.5建立了 $V^{(2)}\cong {\mathbb{F}}^{n,n}$ 的同构关系。这意味着：

• 双线性型的所有信息都编码在矩阵中
• 双线性型的线性运算对应矩阵的线性运算
• $\dim V^{(2)}=n^2$ 是后续维数计算的基础

6.2 换基公式 $A=C^{t}BC$ 的推导策略

定理9.7的证明展示了一个精巧的策略：

1. 利用线性映射引理构造一个算子 $T$，将一组基映射到另一组
2. 定义复合双线性型 $\alpha (u,v)=\beta (u,Tv)$ 和 $\rho (u,v)=\beta (Tu,Tv)$
3. 利用定理9.6的矩阵乘法关系，将换基问题转化为矩阵运算

6.3 对称双线性型可对角化的归纳法

定理9.12中 (a) $\Rightarrow$ (d) 的归纳法是本节最精巧的证明：

• 关键恒等式：$2\rho (u,w)=\rho (u+w,u+w)-\rho (u,u)-\rho (w,w)$
• 核心思想：找到非零对角元素 $\rho (v,v)\ne 0$，然后在其正交补上进行归纳
• 与谱定理的联系：定理9.13进一步利用实谱定理，将基提升为规范正交基

6.4 直和分解的证明模式

定理9.17的证明遵循标准的直和证明三步法：

1. 验证子空间
2. 证明和等于全空间（构造分解 $\beta =\rho +\alpha$）
3. 证明交集为零（利用 $\beta (u,w)=-\beta (w,u)=-\beta (u,w)\Rightarrow \beta =0$）

6.5 二次型与对称双线性型的对应

定理9.21建立了二次型与对称双线性型的一一对应：

• 交错部分对 $q_{\beta }$ 没有贡献（因为 $\alpha (v,v)=0$）
• 恢复公式：$\rho (u,w)=\frac{q(u+w)-q(u)-q(w)}{2}$
• 条件 (c) 和 (d) 提供了不依赖双线性型的二次型刻画

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七、补充理解与易混淆点

7.1 双线性型的直觉——“两个变量同时线性”

双线性型 $\beta :V\times V\to \mathbb{F}$，固定任一位置后另一位置为线性泛函。与线性映射的关键区别：

	线性映射 $f:V\to \mathbb{F}$	双线性型 $\beta :V\times V\to \mathbb{F}$
变量个数	一元	二元
齐次性	$f(av)=a\cdot f(v)$	$\beta (au,aw)=a^2\cdot \beta (u,w)$
可加性	$f(u+w)=f(u)+f(w)$	$\beta (u_1+u_2,v)=\beta (u_1,v)+\beta (u_2,v)$

关键：双线性型不是线性的！$\beta (au,aw)=a^2\cdot \beta (u,w)\ne a\cdot \beta (u,w)$（除非 $a=0$ 或 $a=1$）。这正是习题3的结论：双线性型作为 $V\times V$ 上的线性映射，仅当 $\beta =0$ 时成立。

来源：Dummit讲义 “linear in more than one variable”。

7.2 对称双线性型与二次型的几何意义

二次型 $q(v)=\beta (v,v)$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上定义了一个二次曲面。对角化后 $q(x)={\lambda }_1{x}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2$，对角元素 ${\lambda }_i$ 的符号决定了几何形状：

特征值符号	名称	几何形状	直觉
全部 $>0$	正定	椭圆面/椭圆抛物面	严格凸，所有方向弯曲向上
全部 $\ge 0$	半正定	可能退化为柱面	某些方向平坦
有正有负	不定型	双曲抛物面/马鞍面	马鞍形状
全部 $<0$	负定	反向椭圆面	严格凹

直觉：特征向量给方向，特征值给弯曲——“用几何语言把曲率写在纸面上”。

来源：CSDN博客、机器学习数学教程。

7.3 双线性型矩阵的换基公式 $A=C^{t}BC$

与算子换基公式 $C^{-1}AC$ 的本质区别：

	算子	双线性型
换基公式	$A^{\prime }=C^{-1}AC$	$A^{\prime }=C^{t}AC$
变换类型	相似变换	合同变换
保持的性质	特征值、迹、行列式、秩	对称性、秩、正/负惯性指数
不保持的性质	—	特征值

为什么是 $C^t$ 而不是 $C^{-1}$？ 因为双线性型涉及两个输入向量。设 $v=C\hat{v}$（坐标变换），则 $\beta (v,w)={\hat{v}}^t(C^{t}BC)\hat{w}$ 两个输入向量都需要用 $C$ 变换，所以矩阵两侧分别出现 $C^t$ 和 $C$。

重要性质：

• 合同变换保持对称性：若 $B$ 对称，则 $C^{t}BC$ 也对称（因为 $(C^{t}BC{)}^t=C^t{B}^{t}C=C^{t}BC$）
• 合同变换不保持特征值：但保持正惯性指数和负惯性指数（Sylvester惯性定律）

7.4 对称化与反对称化分解

任意双线性型 $\beta$ 可唯一分解为对称部分 + 交错部分： $\rho (u,w)=\frac{\beta (u,w)+\beta (w,u)}{2}\text{（对称化）}$ $\alpha (u,w)=\frac{\beta (u,w)-\beta (w,u)}{2}\text{（反对称化）}$

类比：这与”偶函数 + 奇函数”分解完全类似： $f_{\text{even}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},f_{\text{odd}}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

维数公式：

• $\dim V_{\text{sym}}^{(2)}=\frac{n(n+1)}{2}$（对称矩阵的自由度：对角线 $n$ 个 + 上三角 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个）
• $\dim V_{\text{alt}}^{(2)}=\frac{n(n-1)}{2}$（交错矩阵：对角线全为0 + 上三角 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个）
• 验证：$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}=n^2=\dim V^{(2)}$ ✓

7.5 常见误区

误区1：双线性型就是线性映射

❌ “双线性型就是线性映射” ✅ 双线性型是两个变量的函数，不满足齐次性 $\beta (au,aw)=a\cdot \beta (u,w)$。实际上 $\beta (au,aw)=a^2\cdot \beta (u,w)$。习题3证明了：双线性型作为 $V\times V$ 上的线性映射，仅当 $\beta =0$ 时成立。

误区2：二次型只对应一个双线性型

❌ “二次型只对应一个双线性型” ✅ 二次型对应唯一的对称双线性型（定理9.21）。不同的双线性型可以产生相同的二次型——只要它们的差是交错双线性型（因为交错部分对 $q_{\beta }$ 没有贡献）。例9.19和例9.22展示了这一点。

误区3：对称双线性型的零集是子空间

❌ “对称双线性型的零集 $\{v\in V:\rho (v,v)=0\}$ 是 $V$ 的子空间” ✅ 习题6给出反例。一般来说，$\rho (v,v)=0$ 的集合不一定是子空间。例如，${\mathbb{R}}^2$ 上的 $\rho (x,y)=x^2-y^2$，零集是两条直线 $y=\pm x$，不是子空间。

误区4：交错双线性型要求 $\text{char}\mathbb{F}\ne 2$

❌ “交错双线性型要求 $\text{char}\mathbb{F}\ne 2$” ✅ 第四版在 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上定义（$\text{char}\mathbb{F}=0$），所以不存在这个问题。但在一般域上，当 $\text{char}\mathbb{F}=2$ 时，“交错”和”反对称”不等价，且对称和交错不互补。

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八、习题精选

习题1：一维空间上的双线性型

习题1

证明：如果 $\beta$ 是 $\mathbb{F}$ 上的双线性型，那么存在 $c\in \mathbb{F}$ 使得 $\beta (x,y)=cxy$ 对所有 $x,y\in \mathbb{F}$ 成立。

查看解答

$\mathbb{F}$ 是一维向量空间，取基 $\{1\}$。$\beta$ 关于该基的矩阵是 $1\times 1$ 矩阵 $(c)$，其中 $c=\beta (1,1)$。对任意 $x,y\in \mathbb{F}$： $\beta (x,y)=\beta (x\cdot 1,y\cdot 1)=xy\cdot \beta (1,1)=cxy$

习题3：双线性型不是线性映射

习题3

设 $\beta :V\times V\to \mathbb{F}$ 既是 $V$ 上的双线性型也是 $V\times V$ 上的线性泛函。证明：$\beta =0$。

查看解答

因为 $\beta$ 是 $V\times V$ 上的线性映射，所以对任意 $a\in \mathbb{F}$ 和 $u,v\in V$： $\beta (au,av)=a\cdot \beta (u,v)$ 但因为 $\beta$ 是双线性型： $\beta (au,av)=a^2\cdot \beta (u,v)$ 因此 $a\cdot \beta (u,v)=a^2\cdot \beta (u,v)$，即 $(a-a^2)\beta (u,v)=0$。取 $a=2$，得 $-2\beta (u,v)=0$，所以 $\beta (u,v)=0$。

习题4：实内积空间上双线性型的表示

习题4

设 $V$ 是实内积空间，$\beta$ 是 $V$ 上的双线性型。证明：存在唯一的算子 $T\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $\beta (u,v)=⟨u,Tv⟩$ 对所有 $u,v\in V$ 成立。

查看解答

存在性：固定 $v\in V$，则 $u\mapsto \beta (u,v)$ 是 $V$ 上的线性泛函。由里斯表示定理，存在唯一的 $Tv\in V$ 使得 $\beta (u,v)=⟨u,Tv⟩$。这样定义的映射 $v\mapsto Tv$ 是线性的（因为 $\beta$ 在第二个位置上线性），所以 $T\in \mathcal{L}(V)$。

唯一性：若 $T_1,T_2$ 都满足条件，则 $⟨u,T_{1}v⟩=⟨u,T_{2}v⟩$ 对所有 $u,v$ 成立，所以 $T_{1}v=T_{2}v$ 对所有 $v$ 成立，即 $T_1=T_2$。

习题6：对称双线性型的零集

习题6

证明或给出一反例：如果 $\rho$ 是 $V$ 上的对称双线性型，那么 $\{v\in V:\rho (v,v)=0\}$ 是 $V$ 的子空间。

查看解答

反例：在 ${\mathbb{R}}^2$ 上定义对称双线性型 $\rho ((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1{y}_1-x_2{y}_2$。则 $\rho ((x_1,x_2),(x_1,x_2))=x_1^2-x_2^2$ 零集为 $\{(x_1,x_2):x_1^2=x_2^2\}=\{(x,x):x\in \mathbb{R}\}\cup \{(x,-x):x\in \mathbb{R}\}$，这是两条直线的并集，不是子空间（例如 $(1,1)+(1,-1)=(2,0)$ 不在零集中）。

习题8：$V_{\text{sym}}^{(2)}$ 和 $V_{\text{alt}}^{(2)}$ 的维数

习题8

求 $\dim V_{\text{sym}}^{(2)}$ 和 $\dim V_{\text{alt}}^{(2)}$ 的表达式（用 $\dim V$ 表示）。

查看解答

设 $n=\dim V$。

方法一（利用直和分解）：由定理9.17，$V^{(2)}=V_{\text{sym}}^{(2)}\oplus V_{\text{alt}}^{(2)}$，所以 $\dim V_{\text{sym}}^{(2)}+\dim V_{\text{alt}}^{(2)}=\dim V^{(2)}=n^2$。

对称矩阵的自由度：对角线 $n$ 个元素 + 上三角 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素 = $\frac{n(n+1)}{2}$。

交错矩阵的自由度：对角线全为0 + 上三角 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素 = $\frac{n(n-1)}{2}$。

验证：$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}=n^2$ ✓

方法二（利用同构）：映射 $\beta \mapsto M(\beta )$ 将 $V_{\text{sym}}^{(2)}$ 同构地映为对称矩阵空间，将 $V_{\text{alt}}^{(2)}$ 同构地映为交错矩阵空间（对角线为0且 $A_{j,k}=-A_{k,j}$ 的矩阵空间）。

$\dim V_{\text{sym}}^{(2)}=\frac{n(n+1)}{2},\dim V_{\text{alt}}^{(2)}=\frac{n(n-1)}{2}$

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九、视频学习指南

暂无对应视频，建议通过阅读教材原文和本笔记学习。

建议学习路径：

1. 先通读本笔记的”概览”和”知识结构总览”，建立整体框架
2. 按章节顺序学习，每学完一个定义/定理后做对应的习题
3. 重点理解换基公式 $A=C^{t}BC$ 与算子换基公式 $A=C^{-1}BC$ 的区别
4. 通过补充理解模块加深对双线性型几何意义的认识

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十、教材原文

双线性型