9C 行列式

本节概览

本节是第9章”多重线性代数和行列式”的第三小节，也是行列式理论的完整展开。基于9B节建立的理论基础（$\dim V_{\text{alt}}^{(n)}=1$），本节定义行列式并推导其全部核心性质。逻辑链条如下：

1. 定义9.40/9.41：算子的行列式 $\to$ ${\alpha }^T$：算子作用于交错型；$\det T$：唯一标量使得 ${\alpha }^T=(\det T)\alpha$
2. 定义9.43：矩阵的行列式 $\to$ $\det A$：算子行列式在特定基下的表示
3. 定理9.45-9.48：基本公式 $\to$ 行列式是交错多重线性型；莱布尼茨公式；上三角矩阵行列式
4. 定理9.49-9.57：核心性质 $\to$ 可乘性；可逆判据；特征值与行列式；相似不变量；计算技巧
5. 定理9.55-9.61：算子理论 $\to$ 特征值之积；幺正算子；正算子；奇异值；体积缩放
6. 定理9.62-9.65：特征多项式 $\to$ $\det (zI-T)$；凯莱-哈密尔顿定理；迹与行列式
7. 定理9.66-9.67：经典结果 $\to$ 阿达马不等式；范德蒙矩阵的行列式

核心主线：交错型一维性 $\to$ 算子行列式定义 $\to$ 矩阵行列式 $\to$ 基本公式 $\to$ 核心性质 $\to$ 算子理论联系 $\to$ 特征多项式 $\to$ 经典结果。

前置依赖：9B 交错多重线性型（交错型、排列符号、一维性）、9A 双线性和二次型（双线性型）、5A 不变子空间、特征值和特征向量（特征值、特征向量）、5C 上三角矩阵（上三角矩阵）、8D 联系矩阵与算子的桥梁——迹（迹）、7A 自伴算子和正规算子（自伴算子）、7D 等距映射、幺正算子和矩阵分解（幺正算子）、7E 奇异值分解与推论（奇异值分解）。

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一、行列式的定义

1.1 算子作用于交错型

定义9.40： ${\alpha }^T$（算子作用于交错型）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $\alpha$ 是 $V$ 上的交错 $n$ 重线性型，其中 $n=\dim V$。定义 $V$ 上的交错 $n$ 重线性型 ${\alpha }^T$ 为 ${\alpha }^T(v_1,\dots ,v_n)=\alpha (T{v}_1,\dots ,T{v}_n)$ 其中 $v_1,\dots ,v_n\in V$。

验证：

• ${\alpha }^T$ 是 $n$ 重线性型：因为 $\alpha$ 是 $n$ 重线性型，且 $T$ 是线性的，所以 $v_k\mapsto \alpha (T{v}_1,\dots ,T{v}_n)$ 在每个位置上都是线性的。
• ${\alpha }^T$ 是交错的：若 $v_j=v_k$（$j\ne k$），则 $T{v}_j=T{v}_k$，由 $\alpha$ 的交错性得 ${\alpha }^T(v_1,\dots ,v_n)=0$。

直觉：${\alpha }^T$ 就是”先用 $T$ 变换所有输入向量，再测量有向体积”。$T$ 改变了向量的位置和方向，从而改变了由这些向量张成的平行多面体的体积。

1.2 算子的行列式

定义9.41：算子的行列式 $\det T$

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $\alpha$ 是 $V$ 上的非零交错 $n$ 重线性型，其中 $n=\dim V$。$T$ 的行列式（determinant），记作 $\det T$，定义为满足 ${\alpha }^T=(\det T)\alpha$ 的标量。即对所有 $v_1,\dots ,v_n\in V$， $\alpha (T{v}_1,\dots ,T{v}_n)=(\det T)\alpha (v_1,\dots ,v_n)$

良定义性：这个定义不依赖于 $\alpha$ 的选择。设 ${\alpha }^{\prime }$ 是另一个非零交错 $n$ 重线性型，由定理9.37（$\dim V_{\text{alt}}^{(n)}=1$），存在 $c\ne 0$ 使得 ${\alpha }^{\prime }=c\alpha$。则 $({\alpha }^{\prime }{)}^T=c{\alpha }^T=c(\det T)\alpha =(\det T)(c\alpha )=(\det T){\alpha }^{\prime }$ 所以同一个 $\det T$ 对 ${\alpha }^{\prime }$ 也成立。

行列式的本质含义

==行列式 $\det T$ 就是线性算子 $T$ 对有向体积的缩放因子==。如果 $\alpha$ 测量”单位体积”，那么 ${\alpha }^T$ 测量”$T$ 变换后的体积”，两者的比值就是 $\det T$。

• $\det T>0$：$T$ 保持定向（右手系仍为右手系）
• $\det T<0$：$T$ 翻转定向（右手系变为左手系）
• $\det T=0$：$T$ 将空间”压扁”（不可逆）

1.3 矩阵的行列式

定义9.43：矩阵的行列式 $\det A$

设 $A$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n\times n$ 方阵。$A$ 的行列式（determinant），记作 $\det A$，定义为 $\mathcal{L}({\mathbb{F}}^n)$ 中关于标准基的矩阵为 $A$ 的算子的行列式。

与算子行列式的关系：设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 关于某个基 $e_1,\dots ,e_n$ 的矩阵为 $A$，则 $\det T=\det A$（由定理9.53，稍后证明）。

1.4 算子行列式的例子

例9.42：算子的行列式

例1：$\det I=1$。因为 ${\alpha }^I(v_1,\dots ,v_n)=\alpha (I{v}_1,\dots ,I{v}_n)=\alpha (v_1,\dots ,v_n)$，所以 ${\alpha }^I=1\cdot \alpha$。

例2：$\det (\lambda I)={\lambda }^n$，其中 $n=\dim V$。因为 ${\alpha }^{\lambda I}(v_1,\dots ,v_n)=\alpha (\lambda v_1,\dots ,\lambda v_n)={\lambda }^n\alpha (v_1,\dots ,v_n)$（$\alpha$ 在每个位置上线性，提取 $n$ 个 $\lambda$）。

例3：$\det (\lambda T)={\lambda }^n\det T$。理由同上。

例4：若 $T$ 关于某个基的矩阵是对角矩阵 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$，则 $\det T={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$。这是因为 $T$ 在各个基向量方向上分别缩放 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 倍，体积缩放因子就是各方向缩放因子的乘积。

1.5 矩阵行列式的简单例子

例9.44：矩阵的行列式

例1：$\det I=1$（$n\times n$ 单位矩阵），因为单位算子的行列式为 $1$。

例2：$\det \mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$，因为对角矩阵对应的算子在各坐标方向上分别缩放 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 倍。

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二、行列式的基本公式与性质

2.1 行列式是交错多重线性型

定理9.45：行列式是交错多重线性型

设 $n=\dim V$。将 $\det$ 视为 $\mathcal{L}(V)$ 上的函数，则 $\det$ 是 $\mathcal{L}(V)$ 上的交错 $n$ 重线性型。

证明思路

[利用定义9.41和交错型的性质]：

1. 固定 $T_2,\dots ,T_n\in \mathcal{L}(V)$，定义 $\beta (T)=\det (T,T_2,\dots ,T_n)$（这里将 $\det$ 视为 $n$ 个算子的函数）。
2. 需要验证 $\beta$ 是 $\mathcal{L}(V)$ 上的线性泛函，以及 $\det$ 关于任意两个算子交换时变号。
3. 关键步骤：利用 ${\alpha }^T$ 的定义和 $\alpha$ 的交错多重线性性，将 $\det$ 的性质归结为 $\alpha$ 的已知性质。$■$

定理9.45的精确含义

定理9.45说的是：如果将 $\det$ 看作从 $\mathcal{L}(V)\times \cdots \times \mathcal{L}(V)$（$n$ 个 $\mathcal{L}(V)$）到 $\mathbb{F}$ 的函数，即 $\det (T_1,\dots ,T_n)=\alpha (T_1{e}_1,T_2{e}_2,\dots ,T_n{e}_n)$ （在某种规范化的基下），那么这个函数是交错 $n$ 重线性型。这为莱布尼茨公式提供了理论基础。

2.2 矩阵的行列式公式（莱布尼茨公式）

定理9.46：矩阵的行列式公式（莱布尼茨公式）

设 $A$ 是元素为 $A_{j,k}$ 的 $n\times n$ 方阵。那么 $\det A={\sum }_{(j_1,\dots ,j_n)\in {\text{perm}}_n}\mathrm{sign}(j_1,\dots ,j_n)A_{j_1,1}{A}_{j_2,2}\cdots A_{j_n,n}$

证明思路

[将定义9.43与定理9.36结合]：

1. 设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^n)$ 关于标准基 $e_1,\dots ,e_n$ 的矩阵为 $A$，则 $T{e}_k={\sum }_{j=1}^n{A}_{j,k}{e}_j$。
2. 由定义9.41，$\det T$ 满足 $\alpha (T{e}_1,\dots ,T{e}_n)=(\det T)\alpha (e_1,\dots ,e_n)$。
3. 将 $T{e}_k$ 的表达式代入，由定理9.36的展开公式： $\alpha (T{e}_1,\dots ,T{e}_n)=\alpha (e_1,\dots ,e_n){\sum }_{(j_1,\dots ,j_n)\in {\text{perm}}_n}\mathrm{sign}(j_1,\dots ,j_n)A_{j_1,1}\cdots A_{j_n,n}$
4. 因此 $\det T={\sum }_{(j_1,\dots ,j_n)\in {\text{perm}}_n}\mathrm{sign}(j_1,\dots ,j_n)A_{j_1,1}\cdots A_{j_n,n}$。$■$

莱布尼茨公式的结构

• 求和遍历所有 $n!$ 个排列
• 每一项是从矩阵中每行每列各取一个元素的乘积（排列 $(j_1,\dots ,j_n)$ 表示第 $k$ 列取第 $j_k$ 行的元素）
• 排列的符号决定该项的正负号
• $2\times 2$ 情形：$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$（$2!=2$ 项）
• $3\times 3$ 情形：$3!=6$ 项

2.3 行列式公式的具体示例

例9.47：行列式公式的具体示例

$2\times 2$ 矩阵：设 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$。

• 排列 $(1,2)$：符号 $=1$，贡献 $A_{1,1}{A}_{2,2}=ad$
• 排列 $(2,1)$：符号 $=-1$，贡献 $-A_{2,1}{A}_{1,2}=-bc$
• 因此 $\det A=ad-bc$。

$3\times 3$ 矩阵：设 $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$。

六个排列及其贡献：

排列	符号	项
$(1,2,3)$	$+1$	$a_{11}{a}_{22}{a}_{33}$
$(1,3,2)$	$-1$	$-a_{11}{a}_{32}{a}_{23}$
$(2,1,3)$	$-1$	$-a_{21}{a}_{12}{a}_{33}$
$(2,3,1)$	$+1$	$a_{21}{a}_{32}{a}_{13}$
$(3,1,2)$	$+1$	$a_{31}{a}_{12}{a}_{23}$
$(3,2,1)$	$-1$	$-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}$

因此 $\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{21}{a}_{32}{a}_{13}+a_{31}{a}_{12}{a}_{23}-a_{11}{a}_{32}{a}_{23}-a_{21}{a}_{12}{a}_{33}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}$

记忆技巧

$3\times 3$ 行列式可以用”Sarrus 法则”记忆：将前两列复制到矩阵右侧，然后沿六条对角线求和，主对角线方向取正，副对角线方向取负。但注意 Sarrus 法则只适用于 $3\times 3$，不适用于更高维度。

2.4 上三角矩阵的行列式

定理9.48：上三角矩阵的行列式

上三角矩阵的行列式等于其对角线元素之积。即若 $A$ 是上三角矩阵，则 $\det A=A_{1,1}{A}_{2,2}\cdots A_{n,n}$

证明思路

[分析莱布尼茨公式中的非零项]：

1. 在莱布尼茨公式中，一般项为 $\mathrm{sign}(j_1,\dots ,j_n)A_{j_1,1}{A}_{j_2,2}\cdots A_{j_n,n}$。
2. 因为 $A$ 是上三角矩阵，当 $j_k>k$ 时 $A_{j_k,k}=0$。
3. 关键步骤：若排列 $(j_1,\dots ,j_n)\ne (1,\dots ,n)$，则存在某个 $k$ 使得 $j_k>k$（否则排列就是恒等排列）。因此除恒等排列外的所有项都为零。
4. 恒等排列 $(1,\dots ,n)$ 的符号为 $1$，贡献 $A_{1,1}{A}_{2,2}\cdots A_{n,n}$。$■$

推论

• 下三角矩阵的行列式也等于对角线元素之积（因为 $\det A^T=\det A$，由定理9.56）
• 对角矩阵的行列式等于对角线元素之积（与例9.44一致）

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三、行列式的核心性质

3.1 行列式是可乘的

定理9.49：行列式是可乘的

设 $S,T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $\det (ST)=(\det S)(\det T)$

证明思路

[利用 ${\alpha }^T$ 的定义]：

1. 设 $\alpha$ 是非零交错 $n$ 重线性型。
2. ${\alpha }^{ST}(v_1,\dots ,v_n)=\alpha (ST{v}_1,\dots ,ST{v}_n)={\alpha }^S(T{v}_1,\dots ,T{v}_n)=(\det S)\alpha (T{v}_1,\dots ,T{v}_n)=(\det S)(\det T)\alpha (v_1,\dots ,v_n)$。
3. 关键步骤：${\alpha }^{ST}=(\det S)(\det T)\alpha$，但由定义 ${\alpha }^{ST}=(\det (ST))\alpha$。
4. 因为 $\alpha \ne 0$，所以 $\det (ST)=(\det S)(\det T)$。$■$

乘法性的直觉

$S$ 将体积缩放 $\det S$ 倍，$T$ 再将体积缩放 $\det T$ 倍，合起来 $ST$ 将体积缩放 $(\det S)(\det T)$ 倍。这是行列式作为”体积缩放因子”的最自然性质。

3.2 可逆当且仅当行列式非零

定理9.50：可逆 $\iff$ 行列式非零

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $T$ 是可逆的当且仅当 $\det T\ne 0$。

证明思路

[双向蕴涵]：

$\Rightarrow$：若 $T$ 可逆，则存在 $T^{-1}$ 使得 $T{T}^{-1}=I$。由定理9.49： $1=\det I=\det (T{T}^{-1})=(\det T)(\det T^{-1})$ 因此 $\det T\ne 0$，且 $\det T^{-1}=(\det T{)}^{-1}$。

$\Leftarrow$：若 $\det T\ne 0$，设 $\alpha$ 是非零交错 $n$ 重线性型。由 ${\alpha }^T=(\det T)\alpha \ne 0$，存在 $v_1,\dots ,v_n$ 使 $\alpha (T{v}_1,\dots ,T{v}_n)\ne 0$。由定理9.39，$T{v}_1,\dots ,T{v}_n$ 线性无关，因此 $T$ 是满射，从而可逆。$■$

推论

• $\det T^{-1}=\frac{1}{\det T}$
• 矩阵 $A$ 可逆 $\iff$ $\det A\ne 0$

注意

$\det (S+T)\ne \det S+\det T$（行列式不保持加法）。行列式是乘性的，但不是加性的。反例见习题1。

3.3 特征值和行列式

定理9.51：特征值和行列式

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $\det T$ 等于 $T$ 的特征值之积（按代数重数计算）。

证明思路

[利用上三角化和乘法性]：

1. 由定理5.27，$V$ 上存在一组基使得 $T$ 关于该基的矩阵是上三角矩阵，对角线元素恰好是 $T$ 的特征值（按代数重数）。
2. 由定理9.53（稍后证明），$\det T$ 等于该上三角矩阵的行列式。
3. 由定理9.48，上三角矩阵的行列式等于对角线元素之积，即特征值之积。$■$

定理9.51的直觉

在特征方向上，$T$ 将该方向缩放 ${\lambda }_i$ 倍。各个特征方向上的缩放因子之积就是整体的体积缩放因子。这正是例9.42中”对角化算子的行列式等于对角元素之积”的一般化。

3.4 行列式是相似不变量

定理9.52：行列式是相似不变量

相似矩阵有相同的行列式。即若 $A$ 和 $B$ 是相似矩阵（$B=S^{-1}AS$），则 $\det A=\det B$

证明思路

[利用乘法性和逆的行列式]：

1. $\det B=\det (S^{-1}AS)=\det (S^{-1})\det (A)\det (S)=(\det S{)}^{-1}(\det A)(\det S)=\det A$。$■$

与迹的类比

迹也是相似不变量（定理8.20）。迹和行列式是两个最基本的相似不变量——迹是特征值之和，行列式是特征值之积。

3.5 算子的行列式等于其矩阵的行列式

定理9.53：算子的行列式等于其矩阵的行列式

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 关于某个基的矩阵为 $A$。那么 $\det T=\det A$

证明思路

[利用相似和上三角化]：

1. 由定理5.27，$T$ 关于某组基的矩阵是上三角矩阵 $B$，对角线元素为特征值。
2. $\det T$ 等于特征值之积（定理9.51），$\det B$ 也等于对角线元素之积（定理9.48），所以 $\det T=\det B$。
3. $A$ 和 $B$ 相似（表示同一个算子），由定理9.52，$\det A=\det B=\det T$。$■$

3.6 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时行列式等于特征值之积

定理9.55： $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时行列式等于特征值之积

设 $V$ 是复向量空间且 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $\det T$ 等于 $T$ 的特征值之积（按代数重数计算）。

与定理9.51的关系

定理9.51对一般域成立（利用上三角化），而定理9.55是其在 $\mathbb{C}$ 上的特化。在 $\mathbb{C}$ 上，每个算子都有足够的特征值（代数基本定理保证），所以表述更简洁。

3.7 转置、对偶或伴随的行列式

定理9.56：转置、对偶或伴随的行列式

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $\det T^{\prime }=\det T$ 其中 $T^{\prime }$ 是 $T$ 的对偶映射。等价地，对矩阵而言， $\det A^T=\det A$

证明思路

[利用莱布尼茨公式的对称性]：

1. 对矩阵 $A$，$\det A^T$ 的莱布尼茨公式中，一般项为 $\mathrm{sign}(j_1,\dots ,j_n)(A^T{)}_{j_1,1}\cdots (A^T{)}_{j_n,n}=\mathrm{sign}(j_1,\dots ,j_n)A_{1,j_1}\cdots A_{n,j_n}$。
2. 通过重新标记排列，可以证明 $\det A^T=\det A$。
3. 关键步骤：利用排列逆元的符号等于原排列的符号这一事实。$■$

3.8 有助于计算行列式的若干结论

定理9.57：有助于计算行列式的若干结论

以下结论对计算行列式有帮助：

（a） 交换矩阵的两行（或两列），行列式变号。

（b） 矩阵的某一行（或列）乘以标量 $c$，行列式变为原来的 $c$ 倍。

（c） 将矩阵的一行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变。

（d） 若矩阵有两行（或两列）相同，则行列式为零。

（e） 若矩阵有两行（或两列）成比例，则行列式为零。

证明思路

[利用行列式的交错多重线性性（定理9.45）]：

（a） 交换两行对应于交换两个算子的输入位置，由交错性变号。

（b） 某行乘以 $c$ 对应于某个算子乘以 $c$，由多重线性性，行列式变为 $c$ 倍。

（c） 设将第 $j$ 行的 $c$ 倍加到第 $k$ 行。由多重线性性： $\det (\dots ,r_k+c{r}_j,\dots )=\det (\dots ,r_k,\dots )+c\det (\dots ,r_j,\dots ,r_j,\dots )$ 第二项中第 $j$ 行和第 $k$ 行相同（因为 $r_j$ 出现两次），由（d）为零。

（d） 两行相同 $\to$ 交错型在两个相同输入上为零。

（e） 两行成比例 $\to$ 提取比例因子后两行相同，由（d）和（b）得零。$■$

定理9.57的实践意义

结论（c）是最重要的计算工具——它告诉我们高斯消元中的"行变换"不改变行列式（除了行交换变号、行缩放乘以系数）。因此，将矩阵化为上三角（或阶梯形）后，行列式就是对角线元素之积（乘以行交换带来的符号变化和行缩放带来的系数）。

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四、行列式与算子理论

4.1 幺正算子的行列式

定理9.58：幺正算子行列式绝对值为1

设 $V$ 是内积空间且 $T$ 是 $V$ 上的幺正算子。那么 $|\det T|=1$

证明思路

[利用乘法性和 $T^{\ast }T=I$]：

1. $T$ 是幺正算子，所以 $T^{\ast }T=I$。
2. $\det (T^{\ast }T)=\det I=1$。
3. 由乘法性（定理9.49）和 $\det T^{\ast }=\overline{\det T}$（共轭转置的行列式等于行列式的共轭）： $1=\det (T^{\ast }T)=(\det T^{\ast })(\det T)=\overline{\det T}\cdot \det T=|\det T{|}^2$
4. 因此 $|\det T|=1$。$■$

几何直觉

幺正算子是”旋转”或”反射”——它保持长度和角度，因此保持体积不变。但可能翻转定向（反射的行列式为 $-1$），所以绝对值为 $1$。

4.2 正算子的行列式

定理9.59：正算子行列式非负

设 $V$ 是内积空间且 $T$ 是 $V$ 上的正算子。那么 $\det T\ge 0$

证明思路

[利用谱定理]：

1. 由谱定理，$T$ 关于某组规范正交基的矩阵是对角矩阵 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$，其中 ${\lambda }_k\ge 0$（正算子的特征值非负）。
2. $\det T={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n\ge 0$。$■$

4.3 奇异值与行列式

定理9.60： $|\det T|$ = 奇异值之积

设 $T\in \mathcal{L}(V)$，其中 $V$ 是内积空间。那么 $|\det T|=s_1{s}_2\cdots s_n$ 其中 $s_1,\dots ,s_n$ 是 $T$ 的奇异值。

证明思路

[利用奇异值分解]：

1. 由奇异值分解定理，存在 $V$ 的规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$ 和 $T$ 的奇异值 $s_1,\dots ,s_n$ 使得 $T{e}_k=s_k{f}_k$，其中 $f_1,\dots ,f_n$ 也是规范正交基。
2. $\det T=s_1{s}_2\cdots s_n$（因为 $T$ 在各奇异值方向上分别缩放 $s_k$ 倍）。
3. 等等，需要更仔细：利用 $T=U\Sigma$（SVD），$\det T=\det U\cdot \det \Sigma =(\pm 1)\cdot s_1\cdots s_n$。
4. 关键步骤：$|\det T|=|\det U|\cdot s_1\cdots s_n=1\cdot s_1\cdots s_n=s_1\cdots s_n$（因为 $U$ 是幺正算子，$|\det U|=1$）。$■$

几何直觉

奇异值 $s_k$ 表示 $T$ 在各个正交方向上的”拉伸因子”。行列式的绝对值就是所有方向上拉伸因子的乘积——这正是体积缩放的完整描述。

4.4 行列式与体积

定理9.61： $T$ 将体积变为 $|\det T|$ 倍

设 $V$ 是内积空间且 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $T$ 将体积变为原来的 $|\det T|$ 倍。

证明思路

[利用奇异值分解]：

1. 由 SVD，$T=U\Sigma$，其中 $U$ 是幺正算子（保持体积），$\Sigma$ 是对角矩阵（在各正交方向上缩放 $s_1,\dots ,s_n$ 倍）。
2. $\Sigma$ 将单位立方体的体积变为 $s_1{s}_2\cdots s_n$。
3. 由定理9.60，$s_1{s}_2\cdots s_n=|\det T|$。
4. $U$ 保持体积不变（幺正算子），所以 $T=U\Sigma$ 将体积变为 $|\det T|$ 倍。$■$

行列式的几何意义——最终确认

定理9.61正式确认了我们从一开始就强调的直觉：行列式的绝对值就是线性变换的体积缩放因子。这是行列式最深刻、最直观的几何意义。

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五、特征多项式与凯莱-哈密尔顿

5.1 特征多项式的定义

定义9.63：特征多项式

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。$T$ 的特征多项式（characteristic polynomial）定义为 $p_T(z)=\det (zI-T)$

基本性质：

• $p_T$ 是 $n$ 次多项式（$n=\dim V$），因为 $\det (zI-T)$ 是关于 $z$ 的 $n$ 次多项式
• $p_T$ 的根恰好是 $T$ 的特征值（因为 $p_T(\lambda )=\det (\lambda I-T)=0$ 当且仅当 $\lambda I-T$ 不可逆，当且仅当 $\lambda$ 是特征值）

5.2 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时特征多项式的表达式

定理9.62： $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时特征多项式 $=\det (zI-T)$

设 $V$ 是复向量空间且 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $T$ 的特征多项式为 $p_T(z)=(z-{\lambda }_1)(z-{\lambda }_2)\cdots (z-{\lambda }_n)$ 其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $T$ 的特征值（按代数重数列出）。

证明思路

[上三角化 + 行列式等于特征值之积]：

1. 由定理5.27，$T$ 关于某组基的矩阵是上三角矩阵，对角线元素为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$。
2. $zI-T$ 关于同一基的矩阵也是上三角矩阵，对角线元素为 $z-{\lambda }_1,\dots ,z-{\lambda }_n$。
3. 由定理9.48，$\det (zI-T)=(z-{\lambda }_1)(z-{\lambda }_2)\cdots (z-{\lambda }_n)$。$■$

5.3 凯莱-哈密尔顿定理

定理9.64：凯莱-哈密尔顿定理（Cayley-Hamilton Theorem）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $T$ 满足其特征多项式，即 $p_T(T)=0$ 其中 $p_T$ 是 $T$ 的特征多项式。

证明思路

[利用上三角化和零化多项式]：

1. 在 $\mathbb{C}$ 上：$p_T(z)=(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_n)$。由5.34，$(T-{\lambda }_{1}I)\cdots (T-{\lambda }_{n}I)=0$（广义特征空间分解）。
2. 在一般域上：利用代数闭包扩展，或直接利用定理8.21（$T$ 被其特征多项式零化）。
3. 关键步骤：特征多项式是最小多项式的倍数，而最小多项式零化 $T$，所以特征多项式也零化 $T$。$■$

凯莱-哈密尔顿定理的意义

每个线性算子都满足一个多项式方程——这个方程就是它的特征多项式。这意味着：

• $T^n$ 可以表示为 $I,T,T^2,\dots ,T^{n-1}$ 的线性组合
• 提供了一种系统计算算子多项式的方法
• 是最小多项式理论的基础

5.4 特征多项式、迹和行列式

定理9.65：特征多项式、迹和行列式

设 $T\in \mathcal{L}(V)$，其中 $V$ 是复向量空间。那么 $T$ 的特征多项式 $p_T(z)=z^n-(\mathrm{tr}T)z^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n\det T$ 特别地：

• $z^{n-1}$ 的系数是 $-\mathrm{tr}T$（迹的负值）
• 常数项是 $(-1{)}^n\det T$

证明思路

[展开特征多项式并比较系数]：

1. $p_T(z)=(z-{\lambda }_1)(z-{\lambda }_2)\cdots (z-{\lambda }_n)$。
2. 展开这个乘积：
   • $z^n$ 的系数为 $1$
   • $z^{n-1}$ 的系数为 $-({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)=-\mathrm{tr}T$（由定理8.29）
   • 常数项为 $(-1{)}^n{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=(-1{)}^n\det T$（由定理9.55）。$■$

迹和行列式——特征值的基本对称函数

• 迹 = 特征值之和 = 第一基本对称函数
• 行列式 = 特征值之积 = 第 $n$ 基本对称函数
• 特征多项式的系数编码了特征值的所有基本对称函数

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六、经典结果

6.1 阿达马不等式

定理9.66：阿达马不等式（Hadamard's Inequality）

设 $A$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n\times n$ 矩阵，其行向量为 $r_1,\dots ,r_n$。那么 $|\det A|\le \Vert r_1\Vert \Vert r_2\Vert \cdots \Vert r_n\Vert$ 等号成立当且仅当行向量两两正交或某行向量为零向量。

证明思路

[利用QR分解/奇异值分解]：

1. QR分解方法：设 $A=QR$，其中 $Q$ 的列是规范正交的（$|\det Q|=1$），$R$ 是上三角矩阵。则 $|\det A|=|\det R|=|R_{1,1}{R}_{2,2}\cdots R_{n,n}|$。
2. 第 $k$ 行的范数 $\Vert r_k{\Vert }^2={\sum }_{j=1}^k|R_{j,k}{|}^2\ge |R_{k,k}{|}^2$（因为 $R$ 是上三角矩阵）。
3. 关键步骤：$|\det A|={\prod }_{k=1}^n|R_{k,k}|\le {\prod }_{k=1}^n\Vert r_k\Vert$。
4. 等号成立条件：$\Vert r_k{\Vert }^2=|R_{k,k}{|}^2$ 对所有 $k$，即 $R_{j,k}=0$ 对所有 $j<k$，意味着各行正交。$■$

阿达马不等式的直觉

阿达马不等式说的是：由行向量张成的平行多面体的体积，不超过各行向量长度之积。等号成立当且仅当各行正交（此时平行多面体是”长方体”，体积等于各边之积）。如果行向量之间有”重叠”（不正交），体积就会缩小。

6.2 范德蒙矩阵的行列式

定理9.67：范德蒙矩阵的行列式（Vandermonde Determinant）

设 $c_1,\dots ,c_n\in \mathbb{F}$。范德蒙矩阵 $V=\left(\begin{array}{ccccc}1& c_1& c_1^2& \cdots & c_1^{n-1}\\ 1& c_2& c_2^2& \cdots & c_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& c_n& c_n^2& \cdots & c_n^{n-1}\end{array}\right)$ 的行列式为 $\det V={\prod }_{1\le j<k\le n}(c_k-c_j)$

证明思路

[利用行列式的性质和多项式的根]：

1. 将 $\det V$ 视为关于 $c_n$ 的多项式 $f(c_n)$。
2. 当 $c_n=c_j$（$j<n$）时，矩阵的第 $n$ 行与第 $j$ 行相同，行列式为零。因此 $c_1,c_2,\dots ,c_{n-1}$ 都是 $f$ 的根。
3. 关键步骤：$f$ 的次数为 $n-1$（最高次项来自 $c_n^{n-1}$），且有 $n-1$ 个不同的根，所以 $f(c_n)=C{\prod }_{j=1}^{n-1}(c_n-c_j)$。
4. 比较最高次项系数得 $C={\prod }_{1\le j<k\le n-1}(c_k-c_j)$（对 $n-1$ 阶范德蒙行列式的归纳假设）。
5. 因此 $\det V={\prod }_{1\le j<k\le n}(c_k-c_j)$。$■$

范德蒙行列式的意义

• $\det V\ne 0$ 当且仅当 $c_1,\dots ,c_n$ 两两不同——这正是多项式插值问题有唯一解的条件
• 范德蒙行列式在插值理论、编码理论、组合数学中有广泛应用
• 公式 ${\prod }_{j<k}(c_k-c_j)$ 与 Vandermonde 多项式 ${\prod }_{j<k}(x_k-x_j)$ 直接对应

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七、知识结构总览

graph TD
    A[9B节 - 交错型一维性] --> B[定义9.40 - 算子作用于交错型]
    B --> C[定义9.41 - 算子的行列式 det T]
    C --> D[定义9.43 - 矩阵的行列式 det A]
    C --> E[例9.42 - 算子行列式计算]
    D --> F[例9.44 - 矩阵行列式计算]
    C --> G[定理9.45 - 交错多重线性型]
    G --> H[定理9.46 - 莱布尼茨公式]
    H --> I[例9.47 - 具体计算示例]
    H --> J[定理9.48 - 上三角矩阵行列式]
    J --> K[定理9.49 - 可乘性]
    K --> L[定理9.50 - 可逆判据]
    L --> M[定理9.51 - 特征值之积]
    M --> N[定理9.52 - 相似不变量]
    N --> O[定理9.53 - 算子等于矩阵行列式]
    O --> P[定理9.55 - C上特征值之积]
    P --> Q[定理9.56 - 转置行列式不变]
    Q --> R[定理9.57 - 行列式计算技巧]
    R --> S[定理9.58 - 幺正算子]
    S --> T[定理9.59 - 正算子]
    T --> U[定理9.60 - 奇异值之积]
    U --> V[定理9.61 - 体积缩放]
    M --> W[定义9.63 - 特征多项式]
    W --> X[定理9.62 - C上特征多项式表达式]
    X --> Y[定理9.64 - 凯莱哈密尔顿定理]
    Y --> Z[定理9.65 - 迹和行列式]
    R --> AA[定理9.66 - 阿达马不等式]
    R --> AB[定理9.67 - 范德蒙行列式]

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八、核心思想与证明技巧

6.1 Axler 行列式定义的独特性

传统教材通常从矩阵的行列式出发（莱布尼茨公式或展开公式），然后定义算子的行列式。Axler 的方法恰好相反：

传统路径：矩阵行列式 → 算子行列式 → 性质推导
Axler路径：交错型一维性 → 算子行列式 → 矩阵行列式 → 莱布尼茨公式

Axler 方法的优势：

1. 无基定义：$\det T$ 的定义不依赖于基的选择，更本质
2. 核心性质几乎是”免费的”：乘法性、可逆判据等直接从定义推出
3. 几何意义清晰：行列式就是”体积缩放因子”，定义本身就体现了这一点
4. 理论统一：行列式、迹、特征值等概念通过特征多项式自然联系

6.2 乘法性证明的优雅性

定理9.49的证明只有几行，但极其优雅： ${\alpha }^{ST}=(\det S){\alpha }^T=(\det S)(\det T)\alpha$ 这利用了 ${\alpha }^T$ 定义的”链式”性质——先应用 $T$ 再应用 $S$，体积缩放因子自然相乘。

6.3 行列式计算的三种方法

方法	适用场景	复杂度
莱布尼茨公式	理论推导、小矩阵	$O(n!)$
上三角化（高斯消元）	实际计算	$O(n^3)$
特征值之积	已知特征值时	$O(n)$

实际计算建议：利用定理9.57的结论（c），通过初等行变换将矩阵化为上三角，然后对角线元素之积就是行列式（注意行交换变号、行缩放乘系数）。

6.4 特征多项式的中心地位

特征多项式 $p_T(z)=\det (zI-T)$ 是连接行列式理论与算子理论的桥梁：

• 它的根是特征值
• 它的系数编码了迹和行列式
• 它零化 $T$（凯莱-哈密尔顿定理）
• 它是最小多项式的倍数

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九、补充理解与易混淆点

7.1 行列式的无基定义——为什么Axler的方法更本质

行列式最本质的定义不需要矩阵。

传统教材的方法（以行列式的展开公式为定义）：

1. 定义方阵的行列式（通过余子式展开或莱布尼茨公式）
2. 证明行列式的各种性质（乘法性、行变换等）
3. 定义算子的行列式（取任意基下的矩阵行列式）
4. 证明良定义性（相似矩阵行列式相同）

Axler 的方法（本节采用）：

1. 交错 $n$ 重线性型空间是一维的（定理9.37）
2. 算子 $T$ 作用在交错型上产生新的交错型 ${\alpha }^T$
3. 因为空间是一维的，${\alpha }^T$ 必须是 $\alpha$ 的标量倍，这个标量就是 $\det T$
4. 矩阵的行列式只是算子行列式在特定基下的表示

为什么 Axler 的方法更本质？

• 不需要选择基——行列式是算子的内蕴性质
• 核心性质（乘法性、可逆判据）几乎是定义的直接推论
• 几何意义（体积缩放因子）从定义中自然浮现
• 与外代数的联系更直接：$\det T$ 就是 ${\Lambda }^{n}T$ 在一维空间 ${\Lambda }^{n}V$ 上的作用

外积视角：$T:V\to V$ 诱导 ${\Lambda }^{n}T:{\Lambda }^{n}V\to {\Lambda }^{n}V$。因为 $\dim {\Lambda }^{n}V=1$，${\Lambda }^{n}T$ 只能是”乘以标量”。这个标量就是 $\det T$。完全不需要矩阵。

来源：Sheel Ganatra (UC Berkeley) wedge products 讲义、Deane Yang (NYU Courant) Linear Algebra II 讲义。

7.2 行列式的几何意义——体积缩放因子

==行列式的绝对值 $|\det T|$ 就是线性变换 $T$ 的体积缩放因子==。这是行列式最深刻的几何意义。

二维情况：设 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$，$T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$。单位正方形的像是由 $(a,c)$ 和 $(b,d)$ 张成的平行四边形，其面积为 $|ad-bc|=|\det T|$。

三维情况：设 $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$。单位立方体的像是由 $T$ 的三个列向量张成的平行六面体，其体积为 $|\det T|$。

一般情况：设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$。单位 $n$ 维立方体的像是由 $T$ 的 $n$ 个列向量张成的 $n$ 维平行多面体，其 $n$ 维体积为 $|\det T|$。

行列式的符号：$\det T$ 的符号表示定向是否被翻转：

• $\det T>0$：保持定向（右手系 $\to$ 右手系）
• $\det T<0$：翻转定向（右手系 $\to$ 左手系）
• $\det T=0$：退化（体积变为零，不可逆）

雅可比行列式：在多元微积分中，变量替换公式中的雅可比行列式 $J=\det (Df)$ 正是线性近似的体积缩放因子。积分变量替换 ${\int }_{U}f={\int }_{V}f\circ \varphi \cdot |\det D\varphi |$ 中的 $|\det D\varphi |$ 就是体积元的缩放。

来源：NYU Courant Deane Yang 讲义、Aaron Trowbridge 物理博客。

7.3 行列式的计算方法——从莱布尼茨公式到高斯消元

方法一：莱布尼茨公式（定理9.46） $\det A={\sum }_{\sigma \in S_n}\mathrm{sign}(\sigma )A_{\sigma (1),1}{A}_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n}$

• 理论价值：揭示了行列式的对称性结构
• 实际价值：几乎为零（$n!$ 项求和，计算量爆炸）
• 适用：$n\le 3$ 的手工计算

方法二：余子式展开（Laplace展开） 沿第 $i$ 行展开： $\det A={\sum }_{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{A}_{i,j}{M}_{i,j}$ 其中 $M_{i,j}$ 是余子式（去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的行列式）。

• 递归地将 $n\times n$ 行列式化为 $(n-1)\times (n-1)$ 行列式
• 复杂度仍为 $O(n!)$，但常数因子优于莱布尼茨公式
• 选择含零最多的行/列展开可以大幅减少计算量

方法三：高斯消元（推荐） 利用定理9.57的结论：

1. 用初等行变换将矩阵化为上三角
2. 行交换 $\to$ 行列式变号
3. 行缩放（乘以 $c$）$\to$ 行列式乘以 $c$
4. 行的倍数加到另一行 $\to$ 行列式不变
5. 上三角矩阵的行列式 $=$ 对角线元素之积

• 复杂度 $O(n^3)$，是实际计算中最优的方法
• 也是计算机代数系统中计算行列式的标准方法

方法四：特征值分解 若已知 $T$ 的特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，则 $\det T={\lambda }_1\cdots {\lambda }_n$。

• 当特征值已知时最简单
• 适用于理论推导而非数值计算

来源：UW-Madison Math 341 讲义、Wikipedia 行列式条目。

7.4 特征多项式与凯莱-哈密尔顿的直觉

特征多项式的直觉：$p_T(z)=\det (zI-T)$ 回答的问题是：”$zI-T$ 何时不可逆？“答案是”当 $z$ 是 $T$ 的特征值时”。因此 $p_T$ 的根就是特征值。

凯莱-哈密尔顿定理的直觉：$p_T(T)=0$ 说的是”算子代入自身的特征多项式后得到零算子”。为什么？

从特征值角度理解：设 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，$v$ 是对应的特征向量。则 $p_T(T)v=p_T(\lambda )v=0\cdot v=0$ 因为 $p_T(\lambda )=0$（$\lambda$ 是 $p_T$ 的根）。所以 $p_T(T)$ 在每个特征向量上的作用都为零。

但这不够——还需要 $p_T(T)$ 在广义特征向量上也为零。完整的证明需要利用广义特征空间分解：$V=G({\lambda }_1,T)\oplus \cdots \oplus G({\lambda }_m,T)$，在每个广义特征空间上 $(T-{\lambda }_{k}I{)}^{\dim G}$ 零化该空间，而 $p_T$ 包含因子 $(z-{\lambda }_k{)}^{\dim G}$。

凯莱-哈密尔顿定理的应用：

1. 计算矩阵的高次幂：$A^n$ 可以用 $A^{n-1},\dots ,A,I$ 表示
2. 求矩阵的逆：若 $\det A\ne 0$，则 $A^{-1}$ 可以表示为 $A$ 的多项式
3. 最小多项式：$m_T$ 整除 $p_T$，且 $\mathrm{deg}{m}_T\le n$

来源：Dmitry Givental (UC Berkeley) 行列式讲义、Michigan 大学线性代数讲义。

7.5 阿达马不等式与范德蒙行列式的应用

阿达马不等式的应用：

1. 最大行列式问题：给定行向量长度的约束，行列式的最大值在行向量两两正交时取得
2. D-optimal 设计：在实验设计中，阿达马不等式用于优化信息矩阵
3. 数值分析：行列式接近上界意味着矩阵”条件好”

推广：对列向量也有 $|\det A|\le {\prod }_{j=1}^n\Vert c_j\Vert$，其中 $c_j$ 是 $A$ 的列向量。

范德蒙行列式的应用：

1. 多项式插值：给定 $n$ 个不同的点 $(c_j,y_j)$，存在唯一的次数 $\le n-1$ 的多项式通过这些点。范德蒙矩阵的行列式非零保证了线性方程组有唯一解。
2. 拉格朗日插值公式：利用范德蒙行列式的结构，可以推导拉格朗日基函数。
3. 编码理论：Reed-Solomon 码的生成矩阵是范德蒙矩阵的变体。
4. 组合数学：${\prod }_{j<k}(c_k-c_j)$ 出现在许多计数问题中。

来源：Wikipedia Hadamard 不等式条目、Fergus Baker 数学参考。

7.6 常见误区

误区1：行列式只对矩阵有定义

❌ “行列式是方阵的一个函数” ✅ 在 Axler 的框架中，行列式首先是线性算子的性质（定义9.41），矩阵的行列式只是算子行列式在特定基下的表示（定义9.43）。算子的行列式是无基的（basis-free），不依赖于基的选择。

误区2：行列式等于对角线元素之积

❌ "$\det A=A_{1,1}{A}_{2,2}\cdots A_{n,n}$" ✅ 这只对上三角矩阵（或下三角矩阵）成立（定理9.48）。对一般矩阵，行列式的计算远比这复杂。例如 $\det \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=-1\ne 0\cdot 0=0$。

误区3： $\det (A+B)=\det A+\det B$

❌ “行列式对矩阵加法是线性的” ✅ 行列式不是线性函数。反例：$\det (I+I)=\det (2I)=2^n$，但 $\det I+\det I=1+1=2$（$n>1$ 时不相等）。行列式是可乘的（$\det (AB)=\det A\cdot \det B$），但不是可加的。

误区4：行列式为零意味着所有元素为零

❌ ”$\det A=0$ 意味着 $A$ 是零矩阵” ✅ $\det A=0$ 意味着 $A$ 不可逆（定理9.50），即 $A$ 的列向量线性相关。例如 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ 的行列式为 $4-4=0$，但矩阵不是零矩阵。

误区5：特征多项式只在复数域上有定义

❌ “特征多项式 $p_T(z)=\det (zI-T)$ 只在 $\mathbb{C}$ 上有意义” ✅ 特征多项式在任何域上都有定义——$\det (zI-T)$ 是关于 $z$ 的多项式，系数在 $\mathbb{F}$ 中。只是在 $\mathbb{C}$ 上，特征多项式一定可以分解为线性因子（代数基本定理），而在一般域上可能不可分解。

误区6：凯莱-哈密尔顿定理说 $T$ 等于零矩阵

❌ ”$p_T(T)=0$ 意味着 $T=0$” ✅ $p_T(T)=0$ 说的是算子 $T$ 满足多项式方程 $p_T(T)=0$（零算子），不是说 $T$ 本身是零算子。例如 $T=I$ 的特征多项式 $p_T(z)=(z-1{)}^n$，$p_T(T)=(I-I{)}^n=0^n=0$，但 $T=I\ne 0$。

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十、习题精选

习题1：$2\times 2$ 矩阵的行列式

习题1（LADR 9C.1）

设 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$。利用莱布尼茨公式计算 $\det A$，并验证 $\det A=ad-bc$。

查看解答

排列 $(1,2)$：符号 $=1$，贡献 $A_{1,1}{A}_{2,2}=ad$。 排列 $(2,1)$：符号 $=-1$，贡献 $-A_{2,1}{A}_{1,2}=-bc$。 因此 $\det A=ad-bc$。

习题3：行列式与可逆性

习题3（LADR 9C.3）

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵。证明：$A$ 可逆当且仅当 $\det A\ne 0$。

查看解答

由定理9.50，$T$ 可逆 $\iff$ $\det T\ne 0$。$A$ 是 $T$ 关于某组基的矩阵，$A$ 可逆 $\iff$ $T$ 可逆。由定理9.53，$\det T=\det A$。因此 $A$ 可逆 $\iff$ $\det A\ne 0$。

习题6：特征值与行列式

习题6（LADR 9C.6）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $T$ 的特征值（按代数重数列出）。证明 $\det T={\lambda }_1\cdots {\lambda }_n$。

查看解答

这是定理9.51。证明概要：

1. 由定理5.27，$T$ 关于某组基的矩阵是上三角矩阵，对角线元素为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$。
2. 由定理9.53，$\det T$ 等于该上三角矩阵的行列式。
3. 由定理9.48，上三角矩阵的行列式等于对角线元素之积 ${\lambda }_1\cdots {\lambda }_n$。

习题9：凯莱-哈密尔顿定理的验证

习题9（LADR 9C.9）

设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^2)$ 关于标准基的矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 5\end{array}\right)$。计算 $T$ 的特征多项式，并验证凯莱-哈密尔顿定理 $p_T(T)=0$。

查看解答

计算特征多项式： $p_T(z)=\det (zI-T)=\det \left(\begin{array}{cc}z-3& -1\\ 1& z-5\end{array}\right)=(z-3)(z-5)+1=z^2-8z+16=(z-4{)}^2$

验证 $p_T(T)=0$： $p_T(T)=T^2-8T+16I$ $T^2={\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 5\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ -8& 24\end{array}\right)$ $T^2-8T+16I=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ -8& 24\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}24& 8\\ -8& 40\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 0& 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 验证完毕。

习题15：阿达马不等式的应用

习题15（LADR 9C.15）

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 6\end{array}\right)$。利用阿达马不等式估计 $|\det A|$ 的上界，并计算实际值。

查看解答

行向量：$r_1=(1,1,1)$，$\Vert r_1\Vert =\sqrt{3}$；$r_2=(1,2,3)$，$\Vert r_2\Vert =\sqrt{14}$；$r_3=(1,3,6)$，$\Vert r_3\Vert =\sqrt{46}$。

阿达马上界：$|\det A|\le \sqrt{3}\cdot \sqrt{14}\cdot \sqrt{46}=\sqrt{3\times 14\times 46}=\sqrt{1932}\approx 43.95$。

实际值： $\det A=1\cdot (12-9)-1\cdot (6-3)+1\cdot (3-2)=3-3+1=1$

注意 $|\det A|=1$ 远小于阿达马上界 $\approx 43.95$，因为行向量之间有较大的”重叠”（不正交）。

习题19：范德蒙行列式

习题19（LADR 9C.19）

计算范德蒙矩阵 $V=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 1& 3& 9\\ 1& 5& 25\end{array}\right)$ 的行列式，并用范德蒙公式验证。

查看解答

这里 $c_1=2,c_2=3,c_3=5$。

范德蒙公式： $\det V=(c_2-c_1)(c_3-c_1)(c_3-c_2)=(3-2)(5-2)(5-3)=1\times 3\times 2=6$

直接计算验证： $\det V=1\cdot (75-45)-2\cdot (25-9)+4\cdot (5-3)=30-32+8=6$ 两者一致。

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十一、视频学习指南

暂无对应视频，建议通过阅读教材原文和本笔记学习。

建议学习路径：

1. 先通读本笔记的”概览”和”知识结构总览”，建立整体框架
2. 按模块顺序学习，重点理解行列式的定义（为什么这样定义）和乘法性
3. 特别关注定理9.49（乘法性）和定理9.50（可逆判据）的证明——它们展示了 Axler 方法的优雅
4. 通过补充理解模块建立”体积缩放因子”的几何直觉
5. 特征多项式和凯莱-哈密尔顿定理是本节的高潮，需要反复理解
6. 做习题巩固：习题1（莱布尼茨公式）、习题6（特征值之积）、习题9（凯莱-哈密尔顿验证）、习题19（范德蒙行列式）

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十二、教材原文

行列式