7A 自伴算子和正规算子

本节概览

本节是第7章”内积空间上的算子”的开篇，在6A 内积和范数和6B 规范正交基的基础上，引入了伴随（adjoint）这一核心概念，并由此定义自伴算子和正规算子两类最重要的算子。逻辑链条如下：

1. 定义7.1：伴随 $\to$ 由里斯表示定理保证存在唯一性，$⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$
2. 定理7.4 + 命题7.5：伴随的基本性质 $\to$ 线性性、6条代数运算规则
3. 命题7.6：零空间与值域 $\to$ $\text{null}{T}^{\ast }=(\text{range}T{)}^{\perp }$ 等4条对偶关系
4. 定义7.7 + 定理7.9：共轭转置 $\to$ 规范正交基下 $M(T^{\ast })=M(T{)}^{\ast }$
5. 定义7.10：自伴算子 $\to$ $T=T^{\ast }$，类比于”实数”
6. 定理7.12~7.16：自伴算子的性质 $\to$ 特征值为实、$⟨Tv,v⟩$ 的刻画
7. 定义7.18：正规算子 $\to$ $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$，自伴 $\Rightarrow$ 正规但反之不然
8. 定理7.20~7.23：正规算子的刻画 $\to$ 范数等价、正交特征向量、实部虚部分解

核心主线：伴随的定义与性质 $\to$ 自伴算子（实数类比、特征值为实）$\to$ 正规算子（更一般的类、正交特征向量、谱定理的基石）。

前置依赖：6A 内积和范数（内积、范数、柯西-施瓦兹不等式）、6B 规范正交基（规范正交基、里斯表示定理）、6C 正交补和正交投影（正交补、正交投影）、3F 对偶（对偶空间、对偶映射）、5D 可对角化算子（特征值、特征向量）。

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一、伴随的定义与基本性质

伴随的动机

在6B 规范正交基中，我们学习了里斯表示定理：对于有限维内积空间 $V$ 上的每一个线性泛函 $\phi$，都存在唯一的向量 $u\in V$ 使得 $\phi (v)=⟨v,u⟩$ 对所有 $v\in V$ 成立。现在，给定一个线性映射 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 和一个固定的 $w\in W$，考虑 $V$ 上的线性泛函

$v\mapsto ⟨Tv,w⟩$

这个线性泛函依赖于 $T$ 和 $w$。根据里斯表示定理，$V$ 中存在唯一的向量使得该线性泛函由与它的内积给出。我们称这唯一的向量为 $T^{\ast }w$。

定义与基本计算

定义7.1：伴随（adjoint）、 $T^{\ast }$

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$。$T$ 的伴随是使得对任一 $v\in V$ 和任一 $w\in W$ 都有 $⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$ 的函数 $T^{\ast }:W\to V$。

注意：上式中左侧的内积是在 $W$ 上的，右侧的内积是在 $V$ 上的。不过，我们对这两种内积用相同的记号 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$。

计算伴随的常用方法

从 $⟨Tv,w⟩$ 的表达式开始，然后处理一番，使得 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 的前一个位置里只有 $v$，那么后一个位置里就是 $T^{\ast }w$ 了。

例7.2：从 ${\mathbb{R}}^3$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的一线性映射之伴随

定义 $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ 为 $T(x_1,x_2,x_3)=(x_1+3x_3,2x_2)$ 为了计算 $T^{\ast }$，设 $(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}^3$ 和 $(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$。从而有 $⟨T(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2)⟩=⟨(x_1+3x_3,2x_2),(y_1,y_2)⟩$ $=x_2{y}_1+3x_3{y}_1+2x_1{y}_2$ $=⟨(x_1,x_2,x_3),(2y_2,y_1,3y_1)⟩$ 根据上式以及伴随的定义可得 $T^{\ast }(y_1,y_2)=(2y_2,y_1,3y_1)$

例7.3：值域维数至多为 1 的一线性映射之伴随

取定 $u\in V$ 和 $x\in W$。定义 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 为：对任一 $v\in V$ 都有 $Tv=⟨v,u⟩x$。

为了计算 $T^{\ast }$，设 $v\in V$ 和 $w\in W$。从而有 $⟨Tv,w⟩=⟨⟨v,u⟩x,w⟩=⟨v,u⟩⟨x,w⟩=⟨v,⟨w,x⟩u⟩$ 因此， $T^{\ast }w=⟨w,x⟩u$

伴随是线性映射

定理7.4：线性映射的伴随是线性映射

如果 $T\in \mathcal{L}(V,W)$，那么 $T^{\ast }\in \mathcal{L}(W,V)$。

证明思路

[可加性]：设 $v\in V$ 且 $w_1,w_2\in W$，那么 $⟨Tv,w_1+w_2⟩=⟨Tv,w_1⟩+⟨Tv,w_2⟩=⟨v,T^{\ast }{w}_1⟩+⟨v,T^{\ast }{w}_2⟩=⟨v,T^{\ast }{w}_1+T^{\ast }{w}_2⟩$ 上式表明 $T^{\ast }(w_1+w_2)=T^{\ast }{w}_1+T^{\ast }{w}_2$。

[齐次性]：如果 $v\in V$、$\lambda \in \mathbb{F}$ 且 $w\in W$，那么 $⟨Tv,\lambda w⟩=\bar{\lambda }⟨Tv,w⟩=\bar{\lambda }⟨v,T^{\ast }w⟩=⟨v,\lambda T^{\ast }w⟩$ 上式表明 $T^{\ast }(\lambda w)=\lambda T^{\ast }w$。

因此，$T^{\ast }$ 是线性映射。$■$

伴随的代数性质

命题7.5：伴随的性质

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$，那么有：

• (a) $(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$ 对所有 $S\in \mathcal{L}(V,W)$ 成立；
• (b) $(\lambda T{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{T}^{\ast }$ 对所有 $\lambda \in \mathbb{F}$ 成立；
• (c) $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$；
• (d) $(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$ 对所有 $S\in \mathcal{L}(W,U)$ 成立（这里 $U$ 是 $\mathbb{F}$ 上的有限维内积空间）；
• (e) $I^{\ast }=I$，其中 $I$ 是 $V$ 上的恒等算子；
• (f) 如果 $T$ 可逆，那么 $T^{\ast }$ 可逆且 $(T^{\ast }{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{\ast }$。

证明思路

设 $v\in V$ 且 $w\in W$。

[(a) 和的伴随]：如果 $S\in \mathcal{L}(V,W)$，那么 $⟨(S+T)v,w⟩=⟨Sv,w⟩+⟨Tv,w⟩=⟨v,S^{\ast }w⟩+⟨v,T^{\ast }w⟩=⟨v,S^{\ast }w+T^{\ast }w⟩$ 因此 $(S+T{)}^{\ast }w=S^{\ast }w+T^{\ast }w$。

[(b) 标量乘法的伴随]：如果 $\lambda \in \mathbb{F}$，那么 $⟨(\lambda T)v,w⟩=\lambda ⟨Tv,w⟩=\lambda ⟨v,T^{\ast }w⟩=⟨v,\bar{\lambda }{T}^{\ast }w⟩$ 因此 $(\lambda T{)}^{\ast }w=\bar{\lambda }{T}^{\ast }w$。

[(c) 双重伴随]：因为 $⟨T^{\ast }w,v⟩=\overline{⟨v,T^{\ast }w⟩}=\overline{⟨Tv,w⟩}=⟨w,Tv⟩$ 所以 $(T^{\ast }{)}^{\ast }v=Tv$。

[(d) 复合的伴随]：设 $S\in \mathcal{L}(W,U)$ 和 $u\in U$，从而有 $⟨(ST)v,u⟩=⟨S(Tv),u⟩=⟨Tv,S^{\ast }u⟩=⟨v,T^{\ast }(S^{\ast }u)⟩$ 因此 $(ST{)}^{\ast }u=T^{\ast }(S^{\ast }u)$。

[(e) 恒等算子的伴随]：设 $u\in V$。从而有 $⟨Iu,v⟩=⟨u,v⟩$。因此 $I^{\ast }v=v$。

[(f) 逆的伴随]：设 $T$ 可逆。对等式 $T^{-1}T=I$ 两边取伴随，然后用 (d) 和 (e) 证得 $T^{\ast }(T^{-1}{)}^{\ast }=I$。类似地，由 $T{T}^{-1}=I$ 可得 $(T^{-1}{)}^{\ast }{T}^{\ast }=I$。因此，$(T^{-1}{)}^{\ast }$ 是 $T^{\ast }$ 的逆。$■$

实数域与复数域的差异

如果 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$，那么根据 (a) 和 (b)，$T\mapsto T^{\ast }$ 这一映射是从 $\mathcal{L}(V,W)$ 到 $\mathcal{L}(W,V)$ 的线性映射。然而，如果 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，那么该映射不是线性的，这是由于 (b) 中出现的复共轭。

伴随的零空间与值域

命题7.6： $T^{\ast }$ 的零空间和值域

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$，那么有：

• (a) $\text{null}{T}^{\ast }=(\text{range}T{)}^{\perp }$；
• (b) $\text{range}{T}^{\ast }=(\text{null}T{)}^{\perp }$；
• (c) $\text{null}T=(\text{range}{T}^{\ast }{)}^{\perp }$；
• (d) $\text{range}T=(\text{null}{T}^{\ast }{)}^{\perp }$。

证明思路

[(a) 的证明]：令 $w\in W$，从而有 $w\in \text{null}{T}^{\ast }⟺T^{\ast }w=0⟺⟨v,T^{\ast }w⟩=0\text{对所有}v\in V\text{成立}$ $⟺⟨Tv,w⟩=0\text{对所有}v\in V\text{成立}⟺w\in (\text{range}T{)}^{\perp }$

[(b)(c)(d) 的推导]：

• 对 (a) 的两侧求正交补，利用 6C 正交补和正交投影 的正交补性质，就得到了 (d)。
• 在 (a) 中将 $T$ 替换成 $T^{\ast }$，利用 7.5(c) $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$，就得到了 (c)。
• 在 (d) 中将 $T$ 替换成 $T^{\ast }$，就得到了 (b)。$■$

共轭转置

定义7.7：共轭转置（conjugate transpose）、 $A^{\ast }$

$m\times n$ 矩阵 $A$ 的共轭转置是将其行列互换再对每个元素取复共轭得到的 $n\times m$ 矩阵 $A^{\ast }$。换句话说，如果 $j\in \{1,\dots ,n\}$ 且 $k\in \{1,\dots ,m\}$，那么有 $(A^{\ast }{)}_{j,k}=\overline{A_{k,j}}$

实矩阵的共轭转置

若矩阵 $A$ 只含有实元素，则 $A^{\ast }=A^t$，其中 $A^t$ 表示 $A$ 的转置（行列互换得到的矩阵）。

例7.8：一个 $2\times 3$ 矩阵的共轭转置

$2\times 3$ 矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}2& 3+4i& 7\\ 6& 5& 8i\end{array}\right)$ 的共轭转置是 $3\times 2$ 矩阵 $\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 3-4i& 5\\ 7& -8i\end{array}\right)$。

伴随的矩阵

定理7.9： $M(T^{\ast })=M(T{)}^{\ast }$

令 $T\in \mathcal{L}(V,W)$。设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基。那么 $M(T^{\ast },(f_1,\dots ,f_m),(e_1,\dots ,e_n))$ 是 $M(T,(e_1,\dots ,e_n),(f_1,\dots ,f_m))$ 的共轭转置。换句话说， $M(T^{\ast })=M(T{)}^{\ast }$

证明思路

[规范正交基下矩阵元素等于内积]： 回顾 $M(T)$ 的第 $k$ 列，是通过把 $T{e}_k$ 写成各 $f_j$ 的线性组合得到的。因为 $f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基，所以 $T{e}_k=⟨T{e}_k,f_1⟩f_1+\cdots +⟨T{e}_k,f_m⟩f_m$ 因此 $M(T)$ 的 $j$ 行 $k$ 列元素是 $⟨T{e}_k,f_j⟩$。

[计算 $M(T^{\ast })$ 的元素]：将上式中 $T$ 替换成 $T^{\ast }$，并互换 $e_1,\dots ,e_n$ 和 $f_1,\dots ,f_m$，就证得 $M(T^{\ast })$ 的 $j$ 行 $k$ 列元素为 $⟨T^{\ast }{f}_k,e_j⟩$。这等于 $⟨f_k,T{e}_j⟩$，进而等于 $\overline{⟨T{e}_j,f_k⟩}$，而这就等于 $M(T)$ 的 $k$ 行 $j$ 列元素的复共轭。因此 $M(T^{\ast })=M(T{)}^{\ast }$。$■$

伴随不依赖于基的选取

线性映射的伴随不依赖于基的选取。因此我们经常强调的是线性映射的伴随，而不是矩阵的转置或共轭转置。==关于非规范正交基，$T^{\ast }$ 的矩阵不一定等于 $T$ 的矩阵的共轭转置==（见习题14）。

伴随与对偶映射的关系

里斯表示定理（6.58）指出了 $V$ 和其对偶空间 $V^{\prime }$（在3.110中定义）的等同关系。在这一等同关系下，伴随映射 $T^{\ast }:W\to V$ 对应于3F 对偶中的对偶映射 $T^{\prime }:W^{\prime }\to V^{\prime }$。在这一等同关系下，$\text{null}{T}^{\ast }$ 和 $\text{range}{T}^{\ast }$ 的公式（7.6(a) 和 (b)）就跟 $\text{null}{T}^{\prime }$ 和 $\text{range}{T}^{\prime }$ 的公式（3.128(a) 和 3.130(b)）完全一致。

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二、自伴算子

自伴的定义

现在我们把注意力转向内积空间上的算子（从 $V$ 到 $V$ 的线性映射）。

定义7.10：自伴（self-adjoint）

算子 $T\in \mathcal{L}(V)$ 称为自伴的，如果 $T=T^{\ast }$。

矩阵判别法

若 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，则 $T$ 是自伴的当且仅当 $M(T)=M(T{)}^{\ast }$。这是由定理7.9推得的。

自伴算子 = 实数的类比

$\mathcal{L}(V)$ 上的伴随扮演了类似于 $\mathbb{C}$ 上的复共轭的角色。复数 $z$ 是实的当且仅当 $z=\bar{z}$；==自伴算子（$T=T^{\ast }$）就类似于实数==。

自伴的等价刻画

算子 $T\in \mathcal{L}(V)$ 自伴，当且仅当 $⟨Tv,w⟩=⟨v,Tw⟩$ 对所有 $v,w\in V$ 成立。

例7.11：根据 $T$ 的矩阵确定其是否自伴

设 $c\in \mathbb{F}$ 且 $T$ 是 ${\mathbb{F}}^2$ 上的算子，其关于标准基的矩阵是 $M(T)=\left(\begin{array}{cc}2& c\\ 3& 7\end{array}\right)$ $T^{\ast }$ 关于标准基的矩阵是 $M(T^{\ast })=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ \bar{c}& 7\end{array}\right)$ 因此 $M(T)=M(T^{\ast })$ 当且仅当 $c=3$。于是，算子 $T$ 自伴当且仅当 $c=3$。

特征值为实

定理7.12：自伴算子的特征值

自伴算子的每个特征值都是实的。

证明思路

[利用自伴性推导特征值的共轭等于自身]： 设 $T$ 是 $V$ 上的自伴算子。令 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，再令 $v$ 是 $V$ 中使得 $Tv=\lambda v$ 的非零向量。那么有 $\lambda \Vert v{\Vert }^2=⟨\lambda v,v⟩=⟨Tv,v⟩=⟨v,Tv⟩=⟨v,\lambda v⟩=\bar{\lambda }\Vert v{\Vert }^2$ 因此 $\lambda =\bar{\lambda }$，意即 $\lambda$ 是实的。$■$

实数域情形

如果 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$，那么根据定义每个特征值都是实的。所以定理7.12只在 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 的情形下引人兴趣。

复空间中 $⟨Tv,v⟩=0⟹T=0$

定理7.13： $⟨Tv,v⟩=0\forall v⟹T=0$（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）

设 $V$ 是复内积空间以及 $T\in \mathcal{L}(V)$，那么 $⟨Tv,v⟩=0\text{对任一}v\in V\text{都成立}⟺T=0$

证明思路

[极化恒等式]：如果 $u,w\in V$，那么有 $⟨Tu,w⟩=\frac{⟨T(u+w),u+w⟩-⟨T(u-w),u-w⟩}{4}+\frac{i⟨T(u+iw),u+iw⟩-i⟨T(u-iw),u-iw⟩}{4}$ 这可以通过直接展开右侧来验证。注意到，右侧的每一项都具有 $⟨Tv,v⟩$（$v\in V$）的形式。

[推导 $T=0$]：现在设 $⟨Tv,v⟩=0$ 对任一 $v\in V$ 都成立，那么上式意味着 $⟨Tu,w⟩=0$ 对所有 $u,w\in V$ 成立。这意味着 $Tu=0$ 对任一 $u\in V$ 都成立（取 $w=Tu$）。于是 $T=0$。$■$

定理7.13在实空间中不成立

考虑”绕原点逆时针旋转 $90^{\circ }$“这一算子 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^2)$，那么 $T(x,y)=(-y,x)$。注意到，$Tv$ 正交于 $v$ 对任一 $v\in {\mathbb{R}}^2$ 都成立（即 $⟨Tv,v⟩=0$），尽管 $T\ne 0$。

$⟨Tv,v⟩\in \mathbb{R}$ 刻画自伴性

定理7.14： $⟨Tv,v⟩\in \mathbb{R}\forall v⟺T$ 自伴（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）

设 $V$ 是复内积空间以及 $T\in \mathcal{L}(V)$，那么 $T\text{是自伴的}⟺⟨Tv,v⟩\in \mathbb{R}\text{对任一}v\in V\text{都成立}$

证明思路

[关键等式]：如果 $v\in V$，那么 \langle T^*v, v\rangle = \overline{\langle v, T^*v\rangle} = \overline{\langle Tv, v\rangle} \tag{7.15}

[等价链推导]： $T\text{是自伴的}⟺T-T^{\ast }=0$ $⟺⟨(T-T^{\ast })v,v⟩=0\text{对任一}v\in V\text{都成立}$ $⟺⟨Tv,v⟩-\overline{⟨Tv,v⟩}=0\text{对任一}v\in V\text{都成立}$ $⟺⟨Tv,v⟩\in \mathbb{R}\text{对任一}v\in V\text{都成立}$

其中第二个等价关系通过对 $T-T^{\ast }$ 应用定理7.13得到（注意 $T-T^{\ast }$ 是自伴的），第三个等价关系由式 (7.15) 得到。$■$

定理7.14在实空间中不成立

考虑实内积空间上任何一个非自伴的算子，都能说明这点——因为实空间中 $⟨Tv,v⟩$ 总是实数（内积的值域就是 $\mathbb{R}$），但 $T$ 未必自伴。

实空间中自伴算子的 $⟨Tv,v⟩$ 刻画

定理7.16： $T$ 自伴且 $⟨Tv,v⟩=0\forall v⟹T=0$

设 $T$ 是 $V$ 上的自伴算子，那么 $⟨Tv,v⟩=0\text{对任一}v\in V\text{都成立}⟺T=0$

证明思路

[实空间极化恒等式]：在 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 的条件下，我们已经证明过这一定理（定理7.13），且无需假设 $T$ 自伴。因此我们可以假设 $V$ 是实内积空间。如果 $u,w\in V$，那么有 \langle Tu, w\rangle = \frac{\langle T(u+w),\, u+w\rangle - \langle T(u-w),\, u-w\rangle}{4} \tag{7.17} 这可以通过直接展开右侧来证明。计算过程需用到下式： $⟨Tw,u⟩=⟨w,Tu⟩=⟨Tu,w⟩$ 其中第一个等号成立是因为 $T$ 自伴，第二个等号成立是因为我们在实内积空间里操作（实内积对称）。

[推导 $T=0$]：设 $⟨Tv,v⟩=0$ 对任一 $v\in V$ 都成立。因为式 (7.17) 的右侧每一项都具有 $⟨Tv,v⟩$（$v\in V$）的形式，所以这意味着 $⟨Tu,w⟩=0$ 对所有 $u,w\in V$ 成立。取 $w=Tu$ 得 $Tu=0$ 对任一 $u\in V$ 都成立。于是 $T=0$。$■$

对比三个版本的 $⟨Tv,v⟩$ 刻画

定理	条件	结论
7.13	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，$T$ 任意	$⟨Tv,v⟩=0\forall v⟺T=0$
7.14	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，$T$ 任意	$⟨Tv,v⟩\in \mathbb{R}\forall v⟺T$ 自伴
7.16	$\mathbb{F}$ 任意，$T$ 自伴	$⟨Tv,v⟩=0\forall v⟺T=0$

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三、正规算子

正规的定义

定义7.18：正规（normal）

内积空间上的算子被称为正规的，如果它与它的伴随可交换。换句话说，$T\in \mathcal{L}(V)$ 是正规的，如果 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$

自伴蕴含正规

每个自伴算子都是正规的，这是因为，如果 $T$ 自伴，那么 $T^{\ast }=T$，于是 $T$ 和 $T^{\ast }$ 可交换。但正规算子不一定是自伴的。

例7.19：正规但不自伴的算子

令 $T$ 是 ${\mathbb{F}}^2$ 上的算子，其关于标准基的矩阵是 $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 2\end{array}\right)$ 因此 $T(w,z)=(2w-3z,3w+2z)$。

该算子 $T$ 并不是自伴的，因为其矩阵第 2 行第 1 列的元素（等于 3）不等于第 1 行第 2 列的元素（等于 $-3$）的复共轭。

$T{T}^{\ast }$ 的矩阵等于 $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}13& 0\\ 0& 13\end{array}\right)$ 类似地，$T^{\ast }T$ 的矩阵等于 $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}13& 0\\ 0& 13\end{array}\right)$ 因为 $T{T}^{\ast }$ 和 $T^{\ast }T$ 的矩阵相同，我们得知 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$。因此 $T$ 是正规的。

范数等价刻画

定理7.20： $T$ 是正规的 $⟺$ $\Vert Tv\Vert =\Vert T^{\ast }v\Vert \forall v$

设 $T\in \mathcal{L}(V)$，那么有 $T\text{是正规的}⟺\Vert Tv\Vert =\Vert T^{\ast }v\Vert \text{对任一}v\in V\text{都成立}$

证明思路

[利用定理7.16建立关键等价关系]：我们有 $T\text{是正规的}⟺T^{\ast }T-T{T}^{\ast }=0$ $⟺⟨(T^{\ast }T-T{T}^{\ast })v,v⟩=0\text{对任一}v\in V\text{都成立}$ $⟺⟨T^{\ast }Tv,v⟩=⟨T{T}^{\ast }v,v⟩\text{对任一}v\in V\text{都成立}$ $⟺⟨Tv,Tv⟩=⟨T^{\ast }v,T^{\ast }v⟩\text{对任一}v\in V\text{都成立}$ $⟺\Vert Tv{\Vert }^2=\Vert T^{\ast }v{\Vert }^2\text{对任一}v\in V\text{都成立}$ $⟺\Vert Tv\Vert =\Vert T^{\ast }v\Vert \text{对任一}v\in V\text{都成立}$

其中，我们用到了定理7.16来建立第二个等价关系（注意到算子 $T^{\ast }T-T{T}^{\ast }$ 是自伴的，因为 $(T^{\ast }T-T{T}^{\ast }{)}^{\ast }=T^{\ast }T-T{T}^{\ast }$）。$■$

值域、零空间和特征向量

定理7.21：正规算子的值域、零空间和特征向量

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正规的，那么有：

• (a) $\text{null}T=\text{null}{T}^{\ast }$；
• (b) $\text{range}T=\text{range}{T}^{\ast }$；
• (c) $V=\text{null}T\oplus \text{range}T$；
• (d) 对任一 $\lambda \in \mathbb{F}$，$T-\lambda I$ 都是正规的；
• (e) 如果 $v\in V$ 且 $\lambda \in \mathbb{F}$，那么 $Tv=\lambda v$ 当且仅当 $T^{\ast }v=\bar{\lambda }v$。

证明思路

[(a) 零空间相等]：设 $v\in V$，那么有 $v\in \text{null}T⟺\Vert Tv\Vert =0⟺\Vert T^{\ast }v\Vert =0⟺v\in \text{null}{T}^{\ast }$ 以上等价关系的中间那个由定理7.20得到。因此，$\text{null}T=\text{null}{T}^{\ast }$。

[(b) 值域相等]：我们有 $\text{range}T=(\text{null}{T}^{\ast }{)}^{\perp }=(\text{null}T{)}^{\perp }=\text{range}{T}^{\ast }$ 其中，第一个相等关系来自 7.6(d)，第二个来自本结果的 (a)，第三个来自 7.6(b)。

[(c) 正交直和分解]：我们有 $V=\text{null}T\oplus (\text{null}T{)}^{\perp }=\text{null}T\oplus \text{range}{T}^{\ast }=\text{null}T\oplus \text{range}T$ 其中，第一个相等关系来自 6C 正交补和正交投影 的正交分解定理，第二个来自 7.6(b)，第三个来自本结果的 (b)。

[(d) 平移保持正规性]：设 $\lambda \in \mathbb{F}$，那么有 $(T-\lambda I)(T-\lambda I{)}^{\ast }=(T-\lambda I)(T^{\ast }-\bar{\lambda }I)=T{T}^{\ast }-\lambda T^{\ast }-\bar{\lambda }T+|\lambda {|}^{2}I$ $=T^{\ast }T-\bar{\lambda }T-\lambda T^{\ast }+|\lambda {|}^{2}I=(T^{\ast }-\bar{\lambda }I)(T-\lambda I)=(T-\lambda I{)}^{\ast }(T-\lambda I)$ 因此，$T-\lambda I$ 和它的伴随可交换。于是 $T-\lambda I$ 是正规的。

[(e) 特征向量相同，特征值共轭]：设 $v\in V$ 且 $\lambda \in \mathbb{F}$。那么 (d) 和定理7.20蕴涵 $\Vert (T-\lambda I)v\Vert =\Vert (T-\lambda I{)}^{\ast }v\Vert =\Vert (T^{\ast }-\bar{\lambda }I)v\Vert$ 因此，$\Vert (T-\lambda I)v\Vert =0$ 当且仅当 $\Vert (T^{\ast }-\bar{\lambda }I)v\Vert =0$。于是 $Tv=\lambda v$ 当且仅当 $T^{\ast }v=\bar{\lambda }v$。$■$

定理7.21(e) 的意义

习题3指出每个算子的伴随的特征值（作为集合）都等于该算子特征值的复共轭，但没有提及特征向量，因为算子同它的伴随可以有不同的特征向量。然而，定理7.21(e)表明，正规算子和它的伴随特征向量完全相同。

正交特征向量

定理7.22：正规算子的正交特征向量

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正规的。那么 $T$ 的对应于不同特征值的特征向量正交。

证明思路

[利用定理7.21(e)建立正交性]： 设 $\alpha ,\beta$ 是 $T$ 的不同特征值，对应的特征向量是 $u,v$。因此 $Tu=\alpha u$ 且 $Tv=\beta v$。根据定理7.21(e)，有 $T^{\ast }v=\bar{\beta }v$。因此 $(\alpha -\beta )⟨u,v⟩=⟨\alpha u,v⟩-⟨u,\bar{\beta }v⟩=⟨Tu,v⟩-⟨u,T^{\ast }v⟩=⟨Tu,v⟩-⟨Tu,v⟩=0$ 因为 $\alpha \ne \beta$，所以上式表明 $⟨u,v⟩=0$。因此 $u$ 和 $v$ 正交。$■$

推广到自伴算子

因为每个自伴算子都是正规的，所以定理7.22也适用于自伴算子。

实部与虚部分解

定理7.23： $T$ 是正规的 $⟺$ $T$ 的实部和虚部可交换（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）

设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么，$T$ 是正规的当且仅当存在可交换的自伴算子 $A$ 和 $B$ 使得 $T=A+iB$。

证明思路

[$\Rightarrow$ 方向：正规推出可交换]： 设 $T$ 是正规的。令 A = \frac{T + T^*}{2} \quad \text{且} \quad B = \frac{T - T^*}{2i} \tag{7.24} 那么 $A$ 和 $B$ 是自伴的（可由 7.5 验证）且 $T=A+iB$。可以很快计算得 AB - BA = \frac{T^*T - TT^*}{2i} \tag{7.25} 因为 $T$ 是正规的（$T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$），所以上式右侧等于 $0$。因此，算子 $A$ 和 $B$ 可交换。

[$\Leftarrow$ 方向：可交换推出正规]： 假设存在可交换的自伴算子 $A$ 和 $B$ 使得 $T=A+iB$，那么 $T^{\ast }=A-iB$。将前面这两个式子相加再除以 2，得到式 (7.24) 中 $A$ 的式子；相减再除以 $2i$，得到式 (7.24) 中 $B$ 的式子。再由式 (7.24) 可得式 (7.25)。因为 $B$ 和 $A$ 可交换（$AB=BA$），所以式 (7.25) 蕴涵 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$，即 $T$ 是正规的。$■$

实部虚部的类比

将 $\mathcal{L}(V)$ 类比为 $\mathbb{C}$，$\mathcal{L}(V)$ 上的伴随就如同 $\mathbb{C}$ 上的复共轭，那么由式 (7.24) 定义的算子 $A$ 和 $B$ 也就相当于 $T$ 的”实部”和”虚部”。复数 $z$ 的实部和虚部总是可交换的（因为它们是实数），但算子的”实部”和”虚部”不一定可交换——可交换性恰好等价于正规性。

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四、知识结构总览

graph TD
    A[定义7.1 伴随] --> B[定理7.4 伴随是线性映射]
    B --> C[命题7.5 伴随的6条性质]
    B --> D[命题7.6 零空间与值域]
    A --> E[定义7.7 共轭转置]
    E --> F[定理7.9 伴随的矩阵]
    C --> G[定义7.10 自伴算子]
    G --> H[定理7.12 特征值为实]
    G --> I[定理7.13 复空间极化恒等式]
    G --> J[定理7.14 实值刻画自伴性]
    G --> K[定理7.16 实空间版本]
    G --> L[定义7.18 正规算子]
    L --> M[定理7.20 范数等价刻画]
    L --> N[定理7.21 五条性质]
    N --> O[定理7.22 正交特征向量]
    L --> P[定理7.23 实部虚部可交换]

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五、核心思想与证明技巧

伴随：内积空间的"万能转置"

伴随的核心思想是：给定 $T\in \mathcal{L}(V,W)$，对每个 $w\in W$，利用里斯表示定理，将线性泛函 $v\mapsto ⟨Tv,w⟩$ 表示为与某个向量的内积，这个向量就是 $T^{\ast }w$。伴随的存在性和唯一性完全依赖于里斯表示定理（6B 规范正交基），这是整个理论的地基。

伴随与3F 对偶中的对偶映射 $T^{\prime }$ 本质上是同一个对象在不同框架下的表现：对偶映射作用于对偶空间（没有内积结构），而伴随作用于原空间本身（利用内积”识别”对偶空间）。在内积空间的框架下，正交补和伴随比零化子和对偶映射更容易处理。

自伴算子 = 实数，正规算子 = 复数

这种类比贯穿全节：

• 复共轭 $\leftrightarrow$ 伴随 $T^{\ast }$
• 实数 $z=\bar{z}$ $\leftrightarrow$ 自伴 $T=T^{\ast }$（特征值为实，类比实数）
• 复数 $z\bar{z}=\bar{z}z$ $\leftrightarrow$ 正规 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$（所有复数都满足，类比所有正规算子）
• 实部虚部 $\text{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$，$\text{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ $\leftrightarrow$ 定理7.23的分解

证明技巧清单

1. 计算伴随的标准流程：从 $⟨Tv,w⟩$ 出发，通过内积的线性性/共轭线性性进行变形，将 $v$ 单独提取到内积的第一个位置，第二个位置就是 $T^{\ast }w$。
2. 极化恒等式：将一般的 $⟨Tu,w⟩$ 表示为形如 $⟨Tv,v⟩$ 的项的线性组合。复空间版本有 4 项（含 $i$），实空间版本只有 2 项。这是连接”二次型信息”和”双线性型信息”的桥梁。
3. 利用自伴性推导 $T=0$：先证 $⟨Tu,w⟩=0$ 对所有 $u,w$ 成立，再取 $w=Tu$ 得 $\Vert Tu{\Vert }^2=0$，从而 $Tu=0$。这是定理7.13和7.16的共同证明模板。
4. 正规算子的平移技巧：$T$ 正规 $\Rightarrow$ $T-\lambda I$ 正规（定理7.21(d)），从而可以对 $T-\lambda I$ 应用正规算子的所有性质。
5. 利用定理7.16证明定理7.20：$T^{\ast }T-T{T}^{\ast }$ 是自伴的，所以 $⟨(T^{\ast }T-T{T}^{\ast })v,v⟩=0$ 对所有 $v$ 成立等价于 $T^{\ast }T-T{T}^{\ast }=0$。

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六、补充理解与易混淆点

伴随的物理意义与量子力学

在量子力学中，自伴算子（又称厄米算子，Hermitian operator）扮演着核心角色。量子力学的数学框架建立在复希尔伯特空间之上，其中：

• 可观察量（observables）——如位置、动量、角动量、能量——都由自伴算子表示。这是因为自伴算子的特征值是实数（定理7.12），而物理测量结果必须是实数。
• 期望值（expectation value）：对于状态 $|\psi ⟩$ 和可观察量对应的算子 $\hat{Q}$，期望值为 $⟨\psi |\hat{Q}|\psi ⟩$。由于 $\hat{Q}$ 自伴，$⟨\psi |\hat{Q}|\psi ⟩\in \mathbb{R}$（定理7.14），这与”测量结果是实数”的物理事实一致。
• 狄拉克符号（bra-ket notation）中的伴随关系非常自然：$⟨\varphi |T|\psi ⟩=⟨\varphi |(T|\psi ⟩)=(T|\psi ⟩,|\varphi ⟩)$，而 $⟨T^{†}\varphi |\psi ⟩=⟨\varphi |T|\psi ⟩$，其中 $T^{†}$ 就是伴随 $T^{\ast }$。

例如，动量算子 $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ 在适当的函数空间上是自伴的（需要合适的边界条件），其特征值（动量的可能测量值）是实数。位置算子 $\hat{x}$（乘以 $x$）也是自伴的。而升降算子（ladder operators）$a_{+}$ 和 $a_{-}$ 互为对方的厄米共轭（即 $a_{+}^{\ast }=a_{-}$），但它们本身不是自伴的。

来源：Princeton CHM 502 量子力学公设讲义（Marissa Weichman）、University of Washington 物理系量子力学附录（bra-ket 符号）、University of Rochester PHYS 237 讲义（Hermitian operators and observables）、MIT 8.04 量子力学I讲义。

自伴算子与谱定理预告

本节建立的自伴算子和正规算子的基本性质，是下一节7B 谱定理的基石。谱定理（Spectral Theorem）是有限维线性代数中最深刻的定理之一，它断言：

• 复谱定理：复内积空间上的算子 $T$ 是正规的，当且仅当 $V$ 存在由 $T$ 的特征向量构成的规范正交基。等价地说，$T$ 关于某个规范正交基的矩阵是对角矩阵。
• 实谱定理：实内积空间上的算子 $T$ 是自伴的，当且仅当 $V$ 存在由 $T$ 的特征向量构成的规范正交基。

谱定理的证明直接依赖于本节的几个关键结果：

1. 定理7.22（正规算子的不同特征值对应的特征向量正交）保证了特征向量之间的正交性。
2. 定理7.12（自伴算子的特征值为实）保证了实空间中特征值不会”跑出”实数域。
3. 定理7.21(c)（$V=\text{null}T\oplus \text{range}T$）提供了正交直和分解的工具。

在矩阵语言下，谱定理说的是：

• 复正规矩阵 $A$ 可以被酉矩阵对角化：$A=UD{U}^{\ast }$，其中 $U$ 是酉矩阵（$U^{\ast }=U^{-1}$），$D$ 是对角矩阵。
• 实对称矩阵 $A$ 可以被正交矩阵对角化：$A=QD{Q}^t$，其中 $Q$ 是正交矩阵（$Q^t=Q^{-1}$），$D$ 是实对角矩阵。

来源：UC Davis 数学系谱定理讲义（Lankham, Nachtergaele, Schilling）、MIT RES.18-011 讲义28（The Spectral Theorem）、Harvard Math 22b 讲义17（Spectral theorem）、TAMU MATH 423 讲义（正规矩阵的对角化）。

正规算子与矩阵分解

正规算子之所以重要，不仅因为谱定理提供了完美的对角化理论，还因为它与多种重要的矩阵分解密切相关：

• 酉对角化：复正规矩阵 $A$ 满足 $A=UD{U}^{\ast }$，其中 $U$ 是酉矩阵，$D$ 是对角矩阵。这是正规矩阵的”身份标识”——正规性等价于可酉对角化。自伴矩阵（$A=A^{\ast }$）是 $D$ 为实对角矩阵的特殊情形；酉矩阵（$A^{\ast }=A^{-1}$）是 $D$ 的对角元素模为 1 的特殊情形；斜自伴矩阵（$A^{\ast }=-A$）是 $D$ 为纯虚对角矩阵的特殊情形。
• 与奇异值分解（SVD）的关系：7E 奇异值分解与推论中的 SVD 分解 $A=U\Sigma V^{\ast }$ 适用于任意矩阵，而酉对角化 $A=UD{U}^{\ast }$ 是 SVD 在正规矩阵上的特殊简化——当 $A$ 正规时，可以取 $V=U$，且 $\Sigma$ 的非零对角元素恰好是 $|D_{ii}|$。
• 正规矩阵的谱分解：$A={\sum }_{j=1}^n{\lambda }_j{u}_j{u}_j^{\ast }$，其中 ${\lambda }_j$ 是特征值，$u_j$ 是对应的规范正交特征向量。这种分解在数值线性代数、量子力学和信号处理中有广泛应用。

来源：Stanford CME 302 讲义（Normal matrices）、Purdue University 数学讲义（Hermitian, unitary and normal matrices）、Harvard Math 22b 讲义17（Spectral theorem and applications）。

常见误区

误区1："伴随就是转置"

❌ $T^{\ast }$ 的矩阵就是 $T$ 的矩阵的转置 $A^t$。 ✅ 根据定理7.9，在规范正交基下，$M(T^{\ast })=M(T{)}^{\ast }$，即共轭转置（行列互换 + 每个元素取复共轭）。仅当矩阵元素全为实数时，共轭转置才等于转置。在复数域上，混淆转置和共轭转置会导致严重错误。

误区2："自伴算子的矩阵是对称的"

❌ 自伴算子关于任何基的矩阵都是对称的。 ✅ 根据定理7.9，自伴算子 $T$ 关于规范正交基的矩阵满足 $M(T)=M(T{)}^{\ast }$，即矩阵等于其共轭转置（称为厄米矩阵，Hermitian matrix）。关于非规范正交基，$M(T)$ 不一定满足这个性质——习题14给出了一个具体反例：算子 $T$ 关于基 $1,x,x^2$ 的矩阵等于其共轭转置，但 $T$ 不是自伴的，因为该基不是规范正交基。

误区3：" $⟨Tv,v⟩=0⟹T=0$ 总成立"

❌ 在所有内积空间上，$⟨Tv,v⟩=0\forall v$ 都能推出 $T=0$。 ✅ 这取决于底域：

• 复数域（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）：成立（定理7.13），无需额外条件。
• 实数域（$\mathbb{F}=\mathbb{R}$）：不成立（旋转 $90^{\circ }$ 就是反例）。需要==额外假设 $T$ 自伴==才能成立（定理7.16）。 极化恒等式在复空间中有 4 项（含 $i$），足以恢复全部信息；在实空间中只有 2 项，信息不足，必须借助自伴性来补充对称性。

误区4："正规算子就是自伴算子"

❌ 正规算子和自伴算子是同一回事。 ✅ 自伴 $\Rightarrow$ 正规，但正规 $\nRightarrow$ 自伴。正规算子是更一般的类。例7.19中的矩阵 $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 2\end{array}\right)$ 是正规的但不是自伴的。类比：实数都是复数，但复数不一定是实数。正规算子类包含自伴算子、酉算子、斜自伴算子等子类。

误区5：" $T$ 和 $T^{\ast }$ 有相同的特征向量"

❌ 任何算子 $T$ 都和它的伴随 $T^{\ast }$ 有相同的特征向量。 ✅ 仅当 $T$ 是正规算子时，$T$ 和 $T^{\ast }$ 才有相同的特征向量（定理7.21(e)）。对于非正规算子，$T$ 和 $T^{\ast }$ 可以有完全不同的特征向量。习题3只保证了特征值（作为多重集）互为复共轭，但特征向量可以完全不同。

误区6：" $T$ 正规 $⟺$ $T-T^{\ast }$ 正规"

❌ $T$ 正规当且仅当 $T-T^{\ast }$ 正规。 ✅ $T$ 正规 $\Rightarrow$ $T-T^{\ast }$ 正规（因为 $T-T^{\ast }$ 是斜自伴的，而斜自伴算子是正规的），但反之不成立。$T-T^{\ast }$ 正规是一个比 $T$ 正规弱得多的条件，它只告诉我们 $T-T^{\ast }$ 属于正规算子类（具体地，属于斜自伴子类），但并不约束 $T+T^{\ast }$ 的行为。

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七、习题精选

本节习题

习题号	标题	核心考点	难度
习题2	$T=0⟺T^{\ast }=0⟺T^{\ast }T=0⟺T{T}^{\ast }=0$	伴随的基本性质、零空间	中
习题4	不变子空间与伴随	$U$ 不变 $⟺$ $U^{\perp }$ 在 $T^{\ast }$ 下不变	高
习题9	自伴算子的乘积	乘积自伴 $⟺$ 可交换	高
习题15	可逆自伴/正规算子	$T$ 自伴 $⟺$ $T^{-1}$ 自伴	中
习题20	正交投影的自伴/正规性	$P^2=P⟺P$ 自伴 $⟺P$ 正规 $⟺P=P_U$	高
习题24	$T^{\ast }$ 的最小多项式	共轭系数	中
习题31	微分算子的自伴/正规性	$D^{\ast }=-D$，$D^2$ 自伴	高

习题2：$T=0⟺T^{\ast }=0⟺T^{\ast }T=0⟺T{T}^{\ast }=0$

习题2

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$。证明： $T=0⟺T^{\ast }=0⟺T^{\ast }T=0⟺T{T}^{\ast }=0$

查看解答

证明：

（$T=0\Rightarrow T^{\ast }=0$）：如果 $T=0$，那么对任意 $v\in V$ 和 $w\in W$，$⟨Tv,w⟩=⟨0,w⟩=0=⟨v,0⟩$。因此 $T^{\ast }w=0$ 对所有 $w$ 成立，即 $T^{\ast }=0$。

（$T^{\ast }=0\Rightarrow T^{\ast }T=0$）：显然，零映射与任何映射的复合都是零映射。

（$T^{\ast }T=0\Rightarrow T=0$）：设 $T^{\ast }T=0$。对任意 $v\in V$，$\Vert Tv{\Vert }^2=⟨Tv,Tv⟩=⟨T^{\ast }Tv,v⟩=⟨0,v⟩=0$。因此 $Tv=0$ 对所有 $v$ 成立，即 $T=0$。

（$T=0\Rightarrow T{T}^{\ast }=0$）：由 $T=0$ 推出 $T^{\ast }=0$（已证），从而 $T{T}^{\ast }=0$。

综上，四个条件等价。$■$

习题4：不变子空间与伴随

习题4

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $U$ 是 $V$ 的子空间。证明： $U\text{在}T\text{下不变}⟺U^{\perp }\text{在}{T}^{\ast }\text{下不变}$

查看解答

证明：

（$\Rightarrow$）：设 $U$ 在 $T$ 下不变。要证 $U^{\perp }$ 在 $T^{\ast }$ 下不变，即 $T^{\ast }(U^{\perp })\subseteq U^{\perp }$。取 $w\in U^{\perp }$ 和 $u\in U$，需要证 $⟨T^{\ast }w,u⟩=0$。由于 $U$ 在 $T$ 下不变，$Tu\in U$，所以 $⟨T^{\ast }w,u⟩=⟨w,Tu⟩=0$ 因为 $w\in U^{\perp }$ 且 $Tu\in U$。因此 $T^{\ast }w\in U^{\perp }$。

（$\Leftarrow$）：设 $U^{\perp }$ 在 $T^{\ast }$ 下不变。在上述证明中将 $T$ 替换为 $T^{\ast }$，利用 $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$（命题7.5(c)），就得到 $U$ 在 $T$ 下不变。$■$

习题9：自伴算子的乘积

习题9

证明：$V$ 上的两自伴算子的乘积是自伴的，当且仅当这两个算子可交换。

查看解答

证明：

设 $S,T\in \mathcal{L}(V)$ 都是自伴的。

（$\Leftarrow$）：如果 $ST=TS$，那么 $(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }=TS=ST$，所以 $ST$ 是自伴的。

（$\Rightarrow$）：如果 $ST$ 是自伴的，那么 $(ST{)}^{\ast }=ST$。但 $(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }=TS$（因为 $S,T$ 自伴）。因此 $ST=TS$。$■$

习题15：可逆自伴/正规算子

习题15

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 可逆。证明：

• (a) $T$ 自伴 $⟺$ $T^{-1}$ 自伴；
• (b) $T$ 正规 $⟺$ $T^{-1}$ 正规。

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证明：

(a) （$\Rightarrow$）：设 $T$ 自伴。由命题7.5(f)，$(T^{\ast }{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{\ast }$。因为 $T^{\ast }=T$，所以 $(T^{-1}{)}^{\ast }=(T^{\ast }{)}^{-1}=T^{-1}$，即 $T^{-1}$ 自伴。

（$\Leftarrow$）：设 $T^{-1}$ 自伴。由已证的方向，$(T^{-1}{)}^{-1}=T$ 也是自伴的。

(b) （$\Rightarrow$）：设 $T$ 正规。那么 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$。两边同时左乘和右乘 $(T^{\ast }{)}^{-1}$（由7.5(f)，$T^{\ast }$ 也可逆），得 $T(T^{\ast }{)}^{-1}=(T^{\ast }{)}^{-1}T$ 即 $T^{-1}$ 与 $(T^{\ast }{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{\ast }$ 可交换，所以 $T^{-1}$ 正规。

（$\Leftarrow$）：与 (a) 类似，由 $T^{-1}$ 正规推出 $T=(T^{-1}{)}^{-1}$ 正规。$■$

习题20：正交投影的自伴/正规性

习题20

设 $P\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $P^2=P$。证明下列等价：

• (a) $P$ 是自伴的。
• (b) $P$ 是正规的。
• (c) 存在 $V$ 的子空间 $U$ 使得 $P=P_U$。

查看解答

证明：

(a) $\Rightarrow$ (b)：自伴蕴含正规，显然。

(b) $\Rightarrow$ (a)：设 $P$ 正规且 $P^2=P$。由命题7.5(c)，$(P^{\ast }{)}^2=(P^2{)}^{\ast }=P^{\ast }=P^{\ast }{P}^{\ast }$。我们需要证 $P=P^{\ast }$。

利用正规性（定理7.20），$\Vert Pv\Vert =\Vert P^{\ast }v\Vert$ 对所有 $v$ 成立。因此 $\text{null}P=\text{null}{P}^{\ast }$ 由命题7.6(b)，$\text{range}{P}^{\ast }=(\text{null}P{)}^{\perp }=(\text{null}{P}^{\ast }{)}^{\perp }=\text{range}P$。

另一方面，$P^2=P$ 意味着 $\text{range}P\subseteq \text{null}P$（不对，应该是 $\text{range}P\subseteq \text{range}P$ 恒成立，且 $P$ 在 $\text{range}P$ 上是恒等映射）。

更直接的证法：$P$ 正规且 $P^2=P$，则 $\Vert Pv-P^{\ast }v{\Vert }^2=\Vert Pv{\Vert }^2-⟨Pv,P^{\ast }v⟩-⟨P^{\ast }v,Pv⟩+\Vert P^{\ast }v{\Vert }^2$ $=2\Vert Pv{\Vert }^2-⟨P^{2}v,v⟩-⟨v,P^{2}v⟩=2\Vert Pv{\Vert }^2-2\Vert Pv{\Vert }^2=0$ 因此 $P=P^{\ast }$。

(a) $\Rightarrow$ (c)：设 $P$ 自伴且 $P^2=P$。令 $U=\text{range}P$。由 6C 正交补和正交投影，正交投影 $P_U$ 满足 $P_U^2=P_U$ 且 $P_U$ 自伴。我们需要证 $P=P_U$。

对任意 $v\in V$，$v=u+w$，其中 $u\in U=\text{range}P$，$w\in U^{\perp }=\text{null}P$（由命题7.6(a)，$\text{null}P=(\text{range}{P}^{\ast }{)}^{\perp }=(\text{range}P{)}^{\perp }=U^{\perp }$）。则 $Pv=Pu+Pw=u+0=u=P_{U}v$。

(c) $\Rightarrow$ (a)：如果 $P=P_U$，由 6C 正交补和正交投影，正交投影是自伴的。$■$

习题24：$T^{\ast }$ 的最小多项式

习题24

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_{m-1}{z}^{m-1}+z^m$ 是 $T$ 的最小多项式。证明：$T^{\ast }$ 的最小多项式是 ${\bar{a}}_0+{\bar{a}}_{1}z+{\bar{a}}_2{z}^2+\cdots +{\bar{a}}_{m-1}{z}^{m-1}+z^m$

查看解答

证明：

设 $p(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_{m-1}{z}^{m-1}+z^m$ 是 $T$ 的最小多项式，即 $p(T)=0$。

令 $\bar{p}(z)={\bar{a}}_0+{\bar{a}}_{1}z+\cdots +{\bar{a}}_{m-1}{z}^{m-1}+z^m$。我们需要证 $\bar{p}(T^{\ast })=0$。

由命题7.5，$(T^{\ast }{)}^k=(T^k{)}^{\ast }$，且 $(\lambda T^{\ast }{)}^{\ast }=\bar{\lambda }T$。因此 $\bar{p}(T^{\ast })={\bar{a}}_{0}I+{\bar{a}}_1{T}^{\ast }+\cdots +{\bar{a}}_{m-1}(T^{\ast }{)}^{m-1}+(T^{\ast }{)}^m$ 取伴随： $(\bar{p}(T^{\ast }){)}^{\ast }=a_{0}I+a_{1}T+\cdots +a_{m-1}{T}^{m-1}+T^m=p(T)=0$ 因此 $\bar{p}(T^{\ast })=0$。

还需证 $\bar{p}$ 是 $T^{\ast }$ 的最小多项式。如果存在更低次的非零多项式 $q$ 使得 $q(T^{\ast })=0$，那么对 $q$ 的系数取复共轭得到的多项式 $\bar{q}$ 满足 $\bar{q}(T)=0$（与上面类似可证），且 $\mathrm{deg}\bar{q}=\mathrm{deg}q<\mathrm{deg}p$，这与 $p$ 是 $T$ 的最小多项式矛盾。$■$

习题31：微分算子的自伴/正规性

习题31

给定一正整数 $n$。在由 $[-\pi ,\pi ]$ 上全体连续实值函数构成的、具有内积 $⟨f,g⟩={\int }_{-\pi }^{\pi }fg$ 的内积空间中，令 $V=\text{span}(1,\cos x,\cos 2x,\dots ,\cos nx,\sin x,\sin 2x,\dots ,\sin nx)$

• (a) 定义 $D\in \mathcal{L}(V)$ 为 $Df=f^{\prime }$。证明 $D^{\ast }=-D$，并得出结论：$D$ 正规但不自伴。
• (b) 定义 $T\in \mathcal{L}(V)$ 为 $Tf=f^{\prime \prime }$。证明：$T$ 是自伴的。

查看解答

证明：

(a) 注意 $V$ 由 $2n+1$ 个函数张成，它们构成 $V$ 的规范正交基（乘以适当常数后）。关键性质是：对 $f,g\in V$，分部积分给出 $⟨Df,g⟩={\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^{\prime }g=[fg{]}_{-\pi }^{\pi }-{\int }_{-\pi }^{\pi }f{g}^{\prime }=-{\int }_{-\pi }^{\pi }f{g}^{\prime }=-⟨f,Dg⟩=⟨f,(-D)g⟩$ 其中 $[fg{]}_{-\pi }^{\pi }=0$ 是因为 $V$ 中的函数都是周期为 $2\pi$ 的周期函数（$\cos$ 和 $\sin$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 端点取值相同）。

因此 $D^{\ast }=-D$。

$D$ 不是自伴的（因为 $D^{\ast }=-D\ne D$，除非 $D=0$）。

$D$ 是正规的：$D{D}^{\ast }=D(-D)=-D^2=(-D)D=D^{\ast }D$。

(b) $T=D^2$。由 (a)，$T^{\ast }=(D^2{)}^{\ast }=(D^{\ast }{)}^2=(-D{)}^2=D^2=T$。因此 $T$ 是自伴的。$■$

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八、视频学习指南

视频资源

暂无对应视频。

视频精要

暂无对应视频。建议结合 7B 谱定理 的视频资源一起学习，因为谱定理是本节概念的直接应用。

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九、教材原文

自伴算子与正规算子