5C 上三角矩阵

本节概览

本节引入算子的矩阵 M(T) 的正式定义，建立上三角矩阵与不变子空间之间的深刻联系，证明复向量空间上每个算子都有上三角矩阵（Schur 分解的抽象形式），并给出由上三角矩阵直接读出特征值的简便方法。

逻辑链条：算子的矩阵 M(T) → 上三角矩阵定义 → 等价条件（不变子空间链）→ (T-λ₁I)…(T-λₙI)=0 → 特征值=对角线元素 → 充要条件（最小多项式可分解）→ F=C 时总存在

前置依赖：5A 不变子空间、特征值和特征向量（算子、不变子空间、特征值、p(T) 的不变性）、5B 最小多项式（最小多项式、q(T)=0 条件）、第4章 多项式（代数基本定理、因式分解）、3C 矩阵（矩阵的定义）、2B 基（基与线性无关）

核心主线：上三角矩阵是线性代数中”最简矩阵表示”的第一步——通过选取合适的基，使算子的矩阵尽可能多的位置为 0。在复数域上，每个算子都可以上三角化（5.47），对角线元素恰好给出全部特征值。

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一、算子的矩阵与上三角矩阵

算子的矩阵定义

定义 5.35：算子的矩阵 M(T)

设 $T\in \mathcal{L}(V)$，$v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基。$T$ 关于该基的算子的矩阵 $M(T)$ 是 $n\times n$ 矩阵，其第 $k$ 列由 $T{v}_k$ 在基 $v_1,\dots ,v_n$ 下的坐标构成： $T{v}_k=A_{1,k}{v}_1+A_{2,k}{v}_2+\cdots +A_{n,k}{v}_n$ 其中 $A_{j,k}$ 是 $M(T)$ 第 $k$ 列第 $j$ 行的元素。

与 3C 矩阵的联系

算子的矩阵一定是方阵（行数 = 列数 = $\dim V$），这与一般线性映射的长方形矩阵不同。当 $T$ 是 ${\mathbb{F}}^n$ 上的算子且未明确基的选取时，默认使用标准基。

例 5.36：算子关于标准基的矩阵

$T(x,y,z)=(2x+y,5y+3z,8z)$ 关于标准基的矩阵为：

M(T) = ⎡2 1 0⎤
       ⎢0 5 3⎥
       ⎣0 0 8⎦

这是一个上三角矩阵——对角线以下所有元素为零。

对角线与上三角矩阵

定义 5.37：矩阵的对角线

方阵的对角线由从左上角到右下角的直线上的元素所构成。对于 $n\times n$ 矩阵 $A$，对角线元素为 $A_{1,1},A_{2,2},\dots ,A_{n,n}$。

定义 5.38：上三角矩阵

称一个方阵为上三角矩阵，若其中所有在对角线之下的元素都是 $0$。即对一切 $j>k$，$A_{j,k}=0$。

上三角矩阵的一般形式

$\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$ 其中 $\ast$ 表示任意元素。$n\times n$ 上三角矩阵中至少有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个零。

上三角矩阵的等价条件

定理 5.39：上三角矩阵的等价条件

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基。以下三条等价：

• (a) $T$ 关于 $v_1,\dots ,v_n$ 的矩阵是上三角矩阵。
• (b) 对每个 $k=1,\dots ,n$，$\text{span}(v_1,\dots ,v_k)$ 在 $T$ 下不变。
• (c) 对每个 $k=1,\dots ,n$，$T{v}_k\in \text{span}(v_1,\dots ,v_k)$。

证明思路

(a) ⇒ (b)：$M(T)$ 上三角意味着 $T{v}_j\in \text{span}(v_1,\dots ,v_j)$。当 $j\le k$ 时，$\text{span}(v_1,\dots ,v_j)\subseteq \text{span}(v_1,\dots ,v_k)$，故 $T{v}_j\in \text{span}(v_1,\dots ,v_k)$，即 $\text{span}(v_1,\dots ,v_k)$ 在 $T$ 下不变。

(b) ⇒ (c)：取 $j=k$ 即可。

(c) ⇒ (a)：$T{v}_k$ 只用到 $v_1,\dots ,v_k$，故 $M(T)$ 第 $k$ 列中第 $k$ 行以下的元素全为零，即对角线以下全为零。$■$

核心洞察

上三角矩阵对应着一组不变子空间链： $\{0\}\subseteq \text{span}(v_1)\subseteq \text{span}(v_1,v_2)\subseteq \cdots \subseteq \text{span}(v_1,\dots ,v_n)=V$ 每一层都在 $T$ 下不变。这就是5A 不变子空间、特征值和特征向量中不变子空间概念的”嵌套版本”。

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二、上三角矩阵的性质

上三角算子满足的等式

定理 5.40：上三角算子满足的等式

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵，对角线元素为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$。则 $(T-{\lambda }_{1}I)(T-{\lambda }_{2}I)\cdots (T-{\lambda }_{n}I)=0$

证明思路

设基为 $v_1,\dots ,v_n$，利用上三角矩阵的嵌套不变子空间结构，逐个验证乘积将每个基向量映为零。

基向量 $v_1$：$T{v}_1={\lambda }_1{v}_1$，故 $(T-{\lambda }_{1}I)v_1=0$，从而整个乘积作用 $v_1=0$。

基向量 $v_2$：$(T-{\lambda }_{2}I)v_2\in \text{span}(v_1)$（上三角性），故 $(T-{\lambda }_{1}I)(T-{\lambda }_{2}I)v_2=0$，从而乘积作用 $v_2=0$。

归纳推广到 $v_k$：$(T-{\lambda }_{k}I)v_k\in \text{span}(v_1,\dots ,v_{k-1})$，由前 $k-1$ 步的归纳结果，$(T-{\lambda }_{1}I)\cdots (T-{\lambda }_{k}I)v_k=0$，从而整个乘积作用 $v_k=0$。

结论：乘积把基中所有向量映为零，故为零算子。$■$

证明的关键

利用 $(T-{\lambda }_{j}I)$ 和 $(T-{\lambda }_{k}I)$ 的可交换性（5A 不变子空间、特征值和特征向量 5.17(b)），保证消去顺序无关紧要。

由上三角矩阵确定特征值

定理 5.41：由上三角矩阵确定特征值

$T$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵 ⟹ $T$ 的特征值恰为对角线上各元素。

证明思路

对角线元素是特征值：$T{v}_1={\lambda }_1{v}_1$ ⇒ ${\lambda }_1$ 是特征值。对 $k\ge 2$，$(T-{\lambda }_{k}I)$ 将 $\text{span}(v_1,\dots ,v_k)$ 映入 $\text{span}(v_1,\dots ,v_{k-1})$。由维数公式（从 $k$ 维映到至多 $k-1$ 维），$T-{\lambda }_{k}I$ 不是单射 ⇒ 存在非零 $v$ 使 $(T-{\lambda }_{k}I)v=0$ ⇒ ${\lambda }_k$ 是特征值。

无其他特征值：令 $q(z)=(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_n)$，由 5.40 得 $q(T)=0$。由5B 最小多项式 5.29，$q$ 是最小多项式的倍数。由 5.27，$T$ 的特征值都是 $q$ 的零点 ⊆ $\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\}$。$■$

例 5.42：由上三角矩阵直接读特征值

$M(T)$ 的对角线为 $2,5,8$ ⇒ $T$ 的特征值为 $2,5,8$。无需计算特征多项式，直接”读”对角线即可。

核心结论

==(T-λ₁I)…(T-λₙI) = 0 是连接上三角矩阵与特征值的关键桥梁。一旦找到上三角矩阵，特征值=对角线元素==，这是上三角矩阵最大的实用价值。

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三、上三角矩阵的存在性

存在性取决于域的选择

例 5.43：上三角矩阵的存在性可能取决于 $\mathbb{F}$

$T\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^4)$，最小多项式 $p(z)=9-6z+10z^2-6z^3+z^4$。

• $\mathbb{F}=\mathbb{R}$：$p(z)=(z^2+1)(z-3{)}^2$，$z^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可分解为一次因式之积 ⇒ 无上三角矩阵。
• $\mathbb{F}=\mathbb{C}$：$p(z)=(z-i)(z+i)(z-3{)}^2$，全为一次因式 ⇒ 有上三角矩阵。

存在上三角矩阵的充要条件

定理 5.44：存在上三角矩阵的充要条件

$T$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵 ⟺ 最小多项式 $=(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_m)$，其中 ${\lambda }_j\in \mathbb{F}$。

证明思路

必要性（⇒）：由 5.40，$q(T)=0$，其中 $q(z)=(z-{\alpha }_1)\cdots (z-{\alpha }_n)$。由5B 最小多项式 5.29，最小多项式整除 $q$，故最小多项式为一次因式之积。

充分性（⇐），对 $m$ 归纳：

$m=1$：$T={\lambda }_{1}I$，关于任何基的矩阵都是上三角的。

$m>1$：令 $U=\text{range}(T-{\lambda }_{m}I)$。由5A 不变子空间、特征值和特征向量 5.18，$U$ 在 $T$ 下不变。$T{|}_U$ 的最小多项式是至多 $m-1$ 个一次因式之积。由归纳假设，$T{|}_U$ 关于 $U$ 的某个基 $u_1,\dots ,u_M$ 有上三角矩阵。将 $u_1,\dots ,u_M$ 扩充为 $V$ 的基 $u_1,\dots ,u_M,v_1,\dots ,v_N$。验证 $T{v}_k\in \text{span}(u_1,\dots ,u_M,v_1,\dots ,v_k)$（利用 $(T-{\lambda }_{m}I)v_k\in U$）。由 5.39 得证。$■$

定理 5.44 的意义

最小多项式能否分解为一次因式之积，完全取决于域 $\mathbb{F}$。这解释了为什么例 5.43 中 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 的结果不同。

复向量空间上的上三角化

定理 5.47： $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时每个算子都有上三角矩阵

$V$ 是有限维复向量空间，$T\in \mathcal{L}(V)$ ⇒ $T$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵。

证明思路

由 5.44 和第4章 多项式代数基本定理版本二（4.13：$\mathbb{C}$ 上多项式可分解为一次因式之积）直接得出。$■$

核心结论

==F=C 时每个算子都可上三角化。这是本章最重要的结论之一，本质上是Schur 分解==的抽象形式。它保证了复向量空间上每个算子都可以上三角化，从而特征值可以直接从对角线读出。

注意

上三角矩阵中，$v_1$ 一定是 $T$ 的特征向量（$T{v}_1={\lambda }_1{v}_1$），但 $v_2,\dots ,v_n$ 不一定是。$v_k$ 是特征向量 ⟺ 第 $k$ 列除第 $k$ 个元素外全为零（即矩阵为对角矩阵时）。

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四、知识结构总览

graph TD
    A["算子的矩阵 M of T<br/>Def 5.35"] --> B["上三角矩阵<br/>Def 5.38"]
    B --> C["等价条件<br/>Thm 5.39"]
    C --> D["乘积等式<br/>Thm 5.40"]
    D --> E["特征值等于对角线<br/>Thm 5.41"]
    B --> F["充要条件<br/>Thm 5.44"]
    F --> G["C上总存在<br/>Thm 5.47"]
    A --> H["取决于F的选择<br/>Ex 5.43"]

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五、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 上三角矩阵是”最简矩阵表示”的第一步——通过换基使矩阵尽可能多的位置为 0
2. 上三角矩阵与不变子空间链等价——$\text{span}(v_1,\dots ,v_k)$ 在 $T$ 下不变 ⟺ $M(T)$ 上三角
3. 上三角矩阵直接给出特征值——对角线元素就是全部特征值（含重数）
4. 上三角化的存在性取决于域——$\mathbb{C}$ 上总成立（FTA），$\mathbb{R}$ 上不一定

证明技巧清单

1. 利用不变子空间链证明等价条件（定理 5.39）：上三角 ⟺ 嵌套不变子空间 ⟺ $T{v}_k\in \text{span}(v_1,\dots ,v_k)$，三轮循环论证
2. 逐个基向量验证乘积为零（定理 5.40——核心归纳技巧）：从 $v_1$ 开始，利用 $(T-{\lambda }_{k}I)v_k\in \text{span}(v_1,\dots ,v_{k-1})$ 逐层消去
3. 维数公式证明”不是单射”（定理 5.41）：$T-{\lambda }_{k}I$ 将 $k$ 维空间映入 $k-1$ 维空间 ⇒ 有非零核 ⇒ ${\lambda }_k$ 是特征值
4. 利用 $\text{range}(T-{\lambda }_{m}I)$ 归纳构造基（定理 5.44——最深刻的证明）：在不变子空间上应用归纳假设，再扩充为全空间基

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六、补充理解与易混淆点

上三角矩阵与行阶梯形的区别

Note

行阶梯形通过行变换得到，不保持特征值信息，与基无关。算子的上三角矩阵通过换基得到，对角线就是特征值。行阶梯形是计算工具（高斯消元），上三角矩阵是理论工具（算子表示）。两者之间没有本质联系。

来源：UC Berkeley EE16B “Note 15: Upper Triangulation, Schur Decomposition”、MIT 18.700 “Upper Triangular Matrices and Diagonalization”

Schur 分解与定理 5.47 的关系

Note

定理 5.47 本质上是 Schur 分解的抽象形式。

• Schur 分解（矩阵版本）：对任意 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，存在幺正矩阵 $U$ 和上三角矩阵 $T$ 使得 $A=UT{U}^{\ast }$
• 抽象版本（5.47）：对任意 $T\in \mathcal{L}(V)$（$V$ 为复向量空间），存在基使 $M(T)$ 上三角

Schur 分解在数值线性代数中有重要应用（如 QR 算法），是计算特征值的核心工具。

来源：UCLA “The Schur Decomposition”、UC Berkeley EE16B “Note 15”、UCSB “Lecture 5: The Schur Decomposition”

为什么上三角矩阵如此重要

Note

• 上三角矩阵是 Jordan 标准形（第8章）和谱定理（第7章）的”前奏”——从上三角出发，添加不同条件可得到更精细的矩阵表示
• 从上三角到对角化只需一个额外条件：最小多项式无重根（5B 最小多项式）
• 上三角矩阵使算子的幂、多项式计算变得简单——上三角矩阵的幂仍为上三角，对角线元素取幂即可

来源：UPenn Math 314 “Triangular and Diagonal Forms”、UC Davis “Eigenvalues and Eigenvectors”

常见误区

误区1："上三角矩阵就是行阶梯形"

❌ 行阶梯形和算子的上三角矩阵是一回事 ✅ 行阶梯形通过行变换得到，不保持特征值；算子的上三角矩阵通过换基得到，对角线就是特征值。两者之间没有联系。

误区2："每个算子都有上三角矩阵"

❌ 无论在什么域上，算子都有上三角矩阵 ✅ 仅当最小多项式可分解为一次因式之积时成立（定理 5.44）。$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 总成立（代数基本定理），$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 不一定。例如 ${\mathbb{R}}^2$ 上的旋转算子可能没有实上三角矩阵。

误区3："对角线上每个元素都是不同的特征值"

❌ 对角线元素就是不同的特征值 ✅ 对角线元素恰好是全部特征值（可能有重复）。重复次数是代数重数，不一定等于几何重数（特征空间的维数）。

误区4："上三角矩阵的每个基向量都是特征向量"

❌ 上三角矩阵的每个基向量都是特征向量 ✅ 只有 $v_1$ 一定是特征向量（$T{v}_1={\lambda }_1{v}_1$）。$v_2,\dots ,v_n$ 不一定是——只有当矩阵是对角矩阵时，所有基向量才是特征向量。

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七、习题精选

推荐习题

编号	标题	核心考点	难度
1	T² 有上三角矩阵 ⟹ T 有？	上三角矩阵的充分条件	低
2	上三角矩阵的和与积	对角线元素运算	低
3	可逆算子的上三角逆矩阵	T⁻¹ 的对角线	中
4	C 上任意 k 维不变子空间	5.47 的推论	中
5	T²v+2Tv=-2v 的上三角矩阵	最小多项式与上三角	中
6	不变子空间的受限与商算子	受限/商算子的上三角	高
7	对偶算子的上三角矩阵	T’ 与 T 的关系	高

习题1：T² 有上三角矩阵 ⟹ T 有？

习题1

证明或给出一反例：如果 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $T^2$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵，那么 $T$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵。

查看解答

反例。设 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$，$T\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^2)$ 定义为 $T(x,y)=(-y,x)$（旋转 90°）。

$T^2=-I$，关于任何基的矩阵都是 $-I$（对角矩阵，上三角）。但 $T$ 没有实特征值，故 $T$ 关于 ${\mathbb{R}}^2$ 的任何基都没有上三角矩阵（由 5.41，上三角矩阵的对角线元素是特征值，但 $T$ 没有实特征值）。

习题2：上三角矩阵的和与积

习题2

设 $A$ 和 $B$ 是大小相同的上三角矩阵，$A$ 的对角线上是 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$，$B$ 的对角线上是 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$。 (a) 证明 $A+B$ 是上三角矩阵，对角线上是 ${\alpha }_1+{\beta }_1,\dots ,{\alpha }_n+{\beta }_n$。 (b) 证明 $AB$ 是上三角矩阵，对角线上是 ${\alpha }_1{\beta }_1,\dots ,{\alpha }_n{\beta }_n$。

查看解答

(a) $(A+B{)}_{j,k}=A_{j,k}+B_{j,k}$。若 $j>k$，则 $A_{j,k}=0$ 且 $B_{j,k}=0$，故 $(A+B{)}_{j,k}=0$。对角线：$(A+B{)}_{k,k}=A_{k,k}+B_{k,k}={\alpha }_k+{\beta }_k$。

(b) $(AB{)}_{j,k}={\sum }_i{A}_{j,i}{B}_{i,k}$。若 $j>k$，则对每个 $i$：当 $j\le i$ 时 $B_{i,k}=0$（因为 $i\ge j>k$）；当 $j>i$ 时 $A_{j,i}=0$。故每项为 0。对角线：$(AB{)}_{k,k}={\sum }_i{A}_{k,i}{B}_{i,k}$，仅 $i=k$ 时 $A_{k,i}$ 和 $B_{i,k}$ 可能都非零，故 $=A_{k,k}{B}_{k,k}={\alpha }_k{\beta }_k$。

习题3：可逆算子的上三角逆矩阵

习题3

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 可逆，且 $V$ 的基 $v_1,\dots ,v_n$ 使得 $T$ 关于这个基的矩阵是上三角的，对角线上是 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$。证明 $T^{-1}$ 关于这个基的矩阵也是上三角的，对角线上是 $1/{\lambda }_1,\dots ,1/{\lambda }_n$。

查看解答

$T$ 可逆 ⇒ 每个 ${\lambda }_k\ne 0$（否则由 5.41，${\lambda }_k$ 是特征值，$T$ 可逆 ⇒ $0$ 不是特征值）。

设 $M(T)=A$（上三角），则 $M(T^{-1})=A^{-1}$。因为 $A$ 是上三角且可逆，$A^{-1}$ 也是上三角（可用前代法验证），且对角线元素为 $1/{\lambda }_1,\dots ,1/{\lambda }_n$。

习题6：C 上任意 k 维不变子空间

习题6

设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，$V$ 是有限维的，且 $T\in \mathcal{L}(V)$。证明：如果 $k\in \{1,\dots ,\dim V\}$，那么 $V$ 有在 $T$ 下不变的 $k$ 维子空间。

查看解答

由定理 5.47，存在 $V$ 的基 $v_1,\dots ,v_n$ 使得 $M(T)$ 是上三角矩阵。由定理 5.39，对每个 $k$，$\text{span}(v_1,\dots ,v_k)$ 在 $T$ 下不变。取 $U=\text{span}(v_1,\dots ,v_k)$，则 $\dim U=k$ 且 $U$ 在 $T$ 下不变。

习题8：T²v+2Tv=-2v 的上三角矩阵

习题8

设 $V$ 是有限维的，$T\in \mathcal{L}(V)$，且存在非零向量 $v\in V$ 使得 $T^{2}v+2Tv=-2v$。 (a) 证明如果 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$，那么 $V$ 中不存在能使 $T$ 有上三角矩阵的基。 (b) 证明如果 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 且 $A$ 是 $T$ 关于 $V$ 的某个基得到的上三角矩阵，那么 $A$ 的对角线上会出现 $-1+i$ 或 $-1-i$。

查看解答

(a) $T^{2}v+2Tv+2v=0$，即 $(T^2+2T+2I)v=0$。$v\ne 0$ 说明 $T^2+2T+2I$ 不是单射。若 $T$ 关于某基有上三角矩阵，则由 5.40，$(T-{\lambda }_{1}I)\cdots (T-{\lambda }_{n}I)=0$，最小多项式为一次因式之积。但 $z^2+2z+2=(z+1{)}^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可分解为一次因式之积（判别式 $4-8=-4<0$），矛盾于 5.44。

(b) $z^2+2z+2=(z-(-1+i))(z-(-1-i))$。由 5.27，$T$ 的特征值包含 $-1+i$ 或 $-1-i$（因为 $z^2+2z+2$ 整除最小多项式，最小多项式的零点包含 $z^2+2z+2$ 的零点）。由 5.41，上三角矩阵的对角线包含所有特征值。

习题12：不变子空间的受限与商算子

习题12

设 $V$ 是有限维的，$T\in \mathcal{L}(V)$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵，且 $U$ 是 $V$ 的在 $T$ 下不变的子空间。 (a) 证明 $T{|}_U$ 关于 $U$ 的某个基有上三角矩阵。 (b) 证明商算子 $T/U$ 关于 $V/U$ 的某个基有上三角矩阵。

查看解答

(a) 由 5.44，$T$ 的最小多项式可分解为一次因式之积。由5B 最小多项式 5.31，$T{|}_U$ 的最小多项式整除 $T$ 的最小多项式，故也可分解为一次因式之积。由 5.44，$T{|}_U$ 关于 $U$ 的某个基有上三角矩阵。

(b) 类似地，$T/U$ 的最小多项式也整除 $T$ 的最小多项式（习题 5B.25(a)），故可分解为一次因式之积。由 5.44，$T/U$ 关于 $V/U$ 的某个基有上三角矩阵。

习题14：对偶算子的上三角矩阵

习题14

设 $V$ 是有限维的，且 $T\in \mathcal{L}(V)$。证明：$T$ 关于 $V$ 的某个基有上三角矩阵，当且仅当对偶算子 $T^{\prime }$ 关于对偶空间 $V^{\prime }$ 的某个基有上三角矩阵。

查看解答

(⇒) 设 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基使 $M(T)$ 上三角。令 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$ 是 $V^{\prime }$ 的对偶基（${\phi }_j(v_k)={\delta }_{j,k}$）。计算 $(T^{\prime }{\phi }_k)(v_j)={\phi }_k(T{v}_j)$。当 $j<k$ 时，$T{v}_j\in \text{span}(v_1,\dots ,v_j)$，${\phi }_k$ 在 $\text{span}(v_1,\dots ,v_j)$ 上为零（因为 $k>j$），故 $(T^{\prime }{\phi }_k)(v_j)=0$。因此 $T^{\prime }{\phi }_k\in \text{span}({\phi }_k,\dots ,{\phi }_n)$，由 5.39(c) 的对偶版本，$T^{\prime }$ 关于 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$ 有上三角矩阵。

(⇐) 由对称性（$(T^{\prime }{)}^{\prime }$ 与 $T$ 自然同构）。

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八、视频学习指南

视频资源

资源	主题	链接
3Blue1Brown	特征值与特征向量（直觉理解）	Essence of Linear Algebra
Dr. Peyam	Upper Triangular Matrices	YouTube
Michael Penn	Triangularization Theorem	YouTube
Zach Star	线性代数核心概念	YouTube
李沐	动手学深度学习 - 线性代数	Bilibili

视频精要

• 3Blue1Brown 的特征值视频提供了极佳的几何直觉，适合作为本节的入门
• Dr. Peyam 和 Michael Penn 的视频更贴近教材风格，适合深入学习证明细节
• 建议先看 3Blue1Brown 建立直觉，再结合教材和本笔记学习严格证明

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九、教材原文

上三角矩阵