3C 矩阵

本节概览

本节建立了线性映射与矩阵之间的桥梁，将抽象的线性映射转化为具体的矩阵运算。核心成果包括：矩阵运算（加法、标量乘法、乘法）由线性映射运算驱动定义，${\mathbb{F}}^{m,n}$ 构成 $mn$ 维向量空间，以及列秩等于行秩这一令人惊讶的事实。

逻辑链条：线性映射的矩阵 $M(T)$ → 矩阵加法/标量乘法 → ${\mathbb{F}}^{m,n}$ 是向量空间 → 矩阵乘法的定义动机 → $M(ST)=M(S)M(T)$ → 列/行线性组合视角 → 行列分解 → 列秩 = 行秩

前置依赖：3A 线性映射所成的向量空间（线性映射的定义与运算）、3B 零空间和值域（值域与基本定理）、2B 基（基的选取与坐标表示）、2C 维数（维数的计算）、1C 子空间（张成空间）

核心主线：矩阵是线性映射的”坐标化身”——选定基之后，抽象的映射行为被编码为具体的数字阵列

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一、矩阵表示线性映射

1.1 矩阵的定义

定义 3.29 矩阵（matrix）、 $A_{j,k}$

假设 $m$ 和 $n$ 是非负整数。$m\times n$ 矩阵 $A$ 是由 $\mathbb{F}$ 中元素构成的 $m$ 行 $n$ 列的矩形阵列： $A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{1,1}& \cdots & A_{1,n}\\ ⋮& & ⋮\\ A_{m,1}& \cdots & A_{m,n}\end{array}\right)$ 记号 $A_{j,k}$ 表示 $A$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列中的元素。

学习注解

第一个下标代表行，第二个下标代表列——这是固定约定，务必牢记。

1.2 线性映射的矩阵

定义 3.31 线性映射的矩阵（matrix of a linear map）、 $M(T)$

假设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$，$v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基，$w_1,\dots ,w_m$ 是 $W$ 的基。$T$ 关于这些基的矩阵是 $m\times n$ 矩阵 $M(T)$，其中各元素 $A_{j,k}$ 由下式定义： $T{v}_k={\sum }_{j=1}^m{A}_{j,k}{w}_j$ 如果基不明确，用记号 $M(T,(v_1,\dots ,v_n),(w_1,\dots ,w_m))$。

核心直觉

这是本节最关键的定义！

$M(T)$ 的第 $k$ 列就是 $T{v}_k$ 在基 $w_1,\dots ,w_m$ 下的坐标。要记住 $M(T)$ 是如何构造的，可以在矩阵上方横着标上 $v_1,\dots ,v_n$，左侧竖着列出 $w_1,\dots ,w_m$： $M(T)=\left(\begin{array}{cccccc}& v_1& \cdots & v_k& \cdots & v_n\\ w_1& & & A_{1,k}& & \\ ⋮& & & ⋮& & \\ w_m& & & A_{m,k}& & \end{array}\right)$

维度关系：$M(T)$ 是 $m\times n$ 矩阵，其中 $m=\dim W$（行数 = 目标空间维数），$n=\dim V$（列数 = 定义域维数）。

特殊约定：如果 $T$ 是从 ${\mathbb{F}}^n$ 到 ${\mathbb{F}}^m$ 的线性映射，除非另有说明，总假定基是标准基。

例 3.32 从 ${\mathbb{F}}^2$ 到 ${\mathbb{F}}^3$ 的线性映射的矩阵

$T(x,y)=(x+3y,2x+5y,7x+9y)$。使用标准基：

• $T(1,0)=(1,2,7)$ → 第一列
• $T(0,1)=(3,5,9)$ → 第二列 $M(T)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\\ 7& 9\end{array}\right)$

例 3.33 微分映射的矩阵

$D\in \mathcal{L}({\mathcal{P}}_3(\mathbb{R}),{\mathcal{P}}_2(\mathbb{R}))$，$Dp=p^{\prime }$。关于标准基 $1,x,x^2,x^3$ 和 $1,x,x^2$：

• $D(1)=0$ → $(0,0,0{)}^T$
• $D(x)=1$ → $(1,0,0{)}^T$
• $D(x^2)=2x$ → $(0,2,0{)}^T$
• $D(x^3)=3x^2$ → $(0,0,3{)}^T$ $M(D)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$

学习注解

微分映射的矩阵有一个漂亮的模式：第 $k$ 列只有一个非零元素 $k-1$，位于第 $k-1$ 行。这正是 $(x^{k-1}{)}^{\prime }=(k-1)x^{k-2}$ 的体现。矩阵将微积分运算变成了纯代数运算。

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二、矩阵运算：加法、标量乘法与乘法

2.1 矩阵加法与标量乘法

定义 3.34 矩阵加法

两个相同大小的矩阵之和，是将两矩阵对应位置上的元素相加所得的矩阵。

定义 3.36 矩阵的标量乘法

一个标量和一个矩阵的乘积，是将该矩阵的各元素都乘以该标量所得的矩阵。

例 3.37 矩阵的加法和标量乘法

$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 0& 11\end{array}\right),2\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ -2& 10\end{array}\right)$

定理 3.35 $M(S+T)=M(S)+M(T)$

假设 $S,T\in \mathcal{L}(V,W)$。那么 $M(S+T)=M(S)+M(T)$。

定理 3.38 $M(\lambda T)=\lambda M(T)$

假设 $\lambda \in \mathbb{F}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$。那么 $M(\lambda T)=\lambda M(T)$。

学习注解

这两个定理的验证由定义即可完成。它们表明矩阵的加法和标量乘法是”被线性映射的对应运算所驱动”的——我们不是随意定义矩阵运算，而是为了让 $M$ 成为一个”保持结构”的映射。

2.2 ${\mathbb{F}}^{m,n}$ 是向量空间

记号 3.39 ${\mathbb{F}}^{m,n}$

对于正整数 $m$ 和 $n$，各元素均属于 $\mathbb{F}$ 的所有 $m\times n$ 矩阵构成的集合记作 ${\mathbb{F}}^{m,n}$。

定理 3.40 $\dim {\mathbb{F}}^{m,n}=mn$

按上面定义的加法和标量乘法，${\mathbb{F}}^{m,n}$ 是维数为 $mn$ 的向量空间。

证明思路

[构造标准基]：${\mathbb{F}}^{m,n}$ 的基由 $mn$ 个矩阵 $E_{j,k}$ 构成，其中 $E_{j,k}$ 在位置 $(j,k)$ 处的元素为 $1$，其余位置为 $0$。

[验证线性无关]：若 ${\sum }_{j,k}{c}_{j,k}{E}_{j,k}=0$，则每个 $c_{j,k}=0$。

[验证张成]：对任意 $A\in {\mathbb{F}}^{m,n}$，$A={\sum }_{j,k}{A}_{j,k}{E}_{j,k}$。$■$

学习注解

==与 3A 线性映射所成的向量空间 的联系==：后面将证明 $\mathcal{L}(V,W)\cong {\mathbb{F}}^{m,n}$（当 $\dim V=n$，$\dim W=m$ 时），且 $\dim \mathcal{L}(V,W)=mn$。

2.3 矩阵乘法

学习注解

这一段是本节最精彩的部分！

Axler 没有直接给出矩阵乘法的定义，而是从”我们希望 $M(ST)=M(S)M(T)$ 成立”这个目标反推出矩阵乘法应该怎么定义。这种”动机驱动”的叙述方式远比直接给出定义更深刻。

推导过程：设 $M(S)=A$（$m\times n$），$M(T)=B$（$n\times p$），$S$ 关于基 $v_1,\dots ,v_n$ 和 $w_1,\dots ,w_m$，$T$ 关于基 $u_1,\dots ,u_p$ 和 $v_1,\dots ,v_n$。对 $1\le k\le p$： $(ST)u_k=S\left({\sum }_{r=1}^n{B}_{r,k}{v}_r\right)={\sum }_{r=1}^n{B}_{r,k}S{v}_r={\sum }_{r=1}^n{B}_{r,k}{\sum }_{j=1}^m{A}_{j,r}{w}_j={\sum }_{j=1}^m\left({\sum }_{r=1}^n{A}_{j,r}{B}_{r,k}\right)w_j$ 所以 $M(ST)$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列元素应该等于 ${\sum }_{r=1}^n{A}_{j,r}{B}_{r,k}$——这就是矩阵乘法的定义！

定义 3.41 矩阵乘法（matrix multiplication）

假设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且 $B$ 是 $n\times p$ 矩阵。那么 $AB$ 定义为 $m\times p$ 矩阵，其中 $(AB{)}_{j,k}={\sum }_{r=1}^n{A}_{j,r}{B}_{r,k}$ 取 $A$ 的第 $j$ 行和 $B$ 的第 $k$ 列，对应位置元素相乘再相加。

学习注解

• 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，乘积才有定义。
• 矩阵乘法不满足交换律：$AB\ne BA$（即使两个乘积都有定义）。
• 矩阵乘法满足分配律和结合律。

例 3.42 矩阵乘积

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}6& 5& 4& 3\\ 2& 1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}10& 7& 4& 1\\ 26& 19& 12& 5\\ 42& 31& 20& 9\end{array}\right)$ $3\times 2$ 矩阵乘以 $2\times 4$ 矩阵，得到 $3\times 4$ 矩阵。

定理 3.43 $M(ST)=M(S)M(T)$

如果 $T\in \mathcal{L}(U,V)$ 且 $S\in \mathcal{L}(V,W)$，那么 $M(ST)=M(S)M(T)$。

学习注解

这个定理是矩阵乘法存在的根本理由！ 我们定义矩阵乘法，就是为了让这个等式成立。它将线性映射的复合变成了矩阵的乘法——这是”抽象”与”具体”之间的完美对应。

注意基的选取必须一致：$T$ 和 $ST$ 在 $U$ 中取同一个基，$S$ 和 $ST$ 在 $W$ 中取同一个基，$T$ 和 $S$ 在 $V$ 中取同一个基。

2.4 矩阵乘法的多种视角

记号 3.44 $A_{j,\cdot }$、$A_{\cdot ,k}$

• $A_{j,\cdot }$：$A$ 的第 $j$ 行，视为 $1\times n$ 矩阵
• $A_{\cdot ,k}$：$A$ 的第 $k$ 列，视为 $m\times 1$ 矩阵

例 3.45 $A_{2,\cdot }$ 和 $A_{\cdot ,2}$

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$，则 $A_{2,\cdot }=\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 6\end{array}\right),A_{\cdot ,2}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)$

定理 3.46 行乘以列

$(AB{)}_{j,k}=A_{j,\cdot }{B}_{\cdot ,k}$ $AB$ 中第 $j$ 行第 $k$ 列的元素 = $A$ 的第 $j$ 行 $\times$ $B$ 的第 $k$ 列。

定理 3.48 矩阵之积的列等于矩阵与列之积

$(AB{)}_{\cdot ,k}=A(B_{\cdot ,k})$ $AB$ 的第 $k$ 列 = $A$ 乘以 $B$ 的第 $k$ 列。

定理 3.50 列的线性组合

$Ab=b_1{A}_{\cdot ,1}+\cdots +b_n{A}_{\cdot ,n}$ $Ab$ 是 $A$ 中各列的线性组合，系数来自 $b$。

例 3.49 列的线性组合

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$，$b=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$，则 $Ab=3\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)+(-1)\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 9\end{array}\right)$

定理 3.51 将矩阵乘法视为列或行的线性组合

假设 $C$ 是 $m\times c$ 矩阵且 $R$ 是 $c\times n$ 矩阵。

(a) $CR$ 的第 $k$ 列是 $C$ 的各列的线性组合，系数来自 $R$ 的第 $k$ 列。

(b) $CR$ 的第 $j$ 行是 $R$ 的各行的线性组合，系数来自 $C$ 的第 $j$ 行。

矩阵乘法三种视角对比

视角	核心公式	直觉	用途
元素视角	$(AB{)}_{j,k}=A_{j,\cdot }{B}_{\cdot ,k}$	行 $\times$ 列 = 标量	逐元素计算
列视角	$(AB{)}_{\cdot ,k}=A(B_{\cdot ,k})$	$A$ 的列的线性组合	理解值域、行列分解
行视角	$(AB{)}_{j,\cdot }=(A_{j,\cdot })B$	$B$ 的行的线性组合	理解行空间

学习注解

其中列视角最为重要——它直接引出行列分解（定理 3.56），是证明列秩等于行秩的关键工具。

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三、矩阵的秩与转置

3.1 列秩与行秩

定义 3.52 列秩（column rank）、行秩（row rank）

• $A$ 的列秩是 $A$ 的各列在 ${\mathbb{F}}^{m,1}$ 中的张成空间的维数。
• $A$ 的行秩是 $A$ 的各行在 ${\mathbb{F}}^{1,n}$ 中的张成空间的维数。

例 3.53 一个 $2\times 4$ 矩阵的列秩和行秩

$A=\left(\begin{array}{cccc}4& 7& 1& 8\\ 3& 5& 2& 9\end{array}\right)$

• 列秩 = 2（前两列 $(4,3{)}^T$ 和 $(7,5{)}^T$ 不成标量倍数，张成整个 ${\mathbb{F}}^{2,1}$）
• 行秩 = 2（两行 $(4,7,1,8)$ 和 $(3,5,2,9)$ 不成标量倍数，张成 ${\mathbb{F}}^{1,4}$ 的一个二维子空间）

3.2 转置

定义 3.54 转置（transpose）、 $A^t$

矩阵 $A$ 的转置记为 $A^t$，是互换 $A$ 的行和列所得的矩阵。如果 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，那么 $A^t$ 是 $n\times m$ 矩阵，其中 $(A^t{)}_{k,j}=A_{j,k}$。

例 3.55 矩阵的转置

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)⟹A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$ $3\times 2$ 矩阵变为 $2\times 3$ 矩阵。

转置的代数性质

• $(A+B{)}^t=A^t+B^t$
• $(\lambda A{)}^t=\lambda A^t$
• $(AC{)}^t=C^t{A}^t$（顺序反转！）

3.3 行列分解

定理 3.56 行列分解（column-row factorization）

假设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且列秩 $c\ge 1$。那么存在 $m\times c$ 矩阵 $C$ 和 $c\times n$ 矩阵 $R$，使得 $A=CR$。

证明思路

[取列空间的基]：将 $A$ 的各列 $A_{\cdot ,1},\dots ,A_{\cdot ,n}$ 削减为列张成空间的基（由 定理 2.30），基的长度 = 列秩 $c$。

[构造 C]：将这 $c$ 个基向量合为 $m\times c$ 矩阵 $C$。

[构造 R]：$A$ 的每一列都是 $C$ 的各列的线性组合，将系数组成 $c\times n$ 矩阵 $R$。

[验证 A = CR]：由定理 3.51(a)，$A$ 的第 $k$ 列 = $C$ 的各列以 $R$ 的第 $k$ 列为系数的线性组合 = $(CR{)}_{\cdot ,k}$。$■$

学习注解

直觉：行列分解是说，任何秩为 $c$ 的矩阵都可以”压缩”为一个”瘦高”矩阵 $C$（$m\times c$）和一个”矮胖”矩阵 $R$（$c\times n$）的乘积。$C$ 包含列空间的基（“骨架”），$R$ 记录每列如何由骨架组装（“配方”）。

秩 1 的特殊情况：若 $\text{rank}A=1$，则 $A=CR$ 中 $C$ 是 $m\times 1$（列向量 $c$），$R$ 是 $1\times n$（行向量 $d^t$），即 $A=c{d}^t$（外积）。

3.4 列秩等于行秩

定理 3.57 列秩等于行秩

假设 $A\in {\mathbb{F}}^{m,n}$。那么 $A$ 的列秩等于 $A$ 的行秩。

证明思路

[行列分解给出第一个不等式]：令 $c$ 为 $A$ 的列秩。由行列分解（定理 3.56），$A=CR$（$C$ 是 $m\times c$，$R$ 是 $c\times n$）。

由定理 3.51(b)，$A$ 的每一行都是 $R$ 的各行的线性组合。因为 $R$ 只有 $c$ 行，所以 $A$ 的行秩 $\le c$（即 $\le$ 列秩）。

[转置给出反向不等式]：对 $A^t$ 应用同样的论证：$A^t$ 的行秩 $\le A^t$ 的列秩。但 $A^t$ 的行秩 = $A$ 的列秩，$A^t$ 的列秩 = $A$ 的行秩。所以 $A$ 的列秩 $\le A$ 的行秩。

[夹逼]：两个不等式合起来，得 $A$ 的列秩 = $A$ 的行秩。$■$

学习注解

这个证明非常优雅！ 它利用行列分解将”行”的问题转化为”列”的问题，再用转置将方向反过来，两个不等式夹逼出等式。

定义 3.58 秩（rank）

矩阵 $A\in {\mathbb{F}}^{m,n}$ 的秩是 $A$ 的列秩（= 行秩）。

学习注解

由于列秩 = 行秩，我们不再需要区分两者，统一使用”秩”这个术语。

==与 基本定理 的联系==：后面将证明 $\dim \text{range}T$ 等于 $M(T)$ 的秩。这意味着基本定理可以重新表述为： $\dim V=\dim \text{null}T+\text{rank}M(T)$ 这就是著名的秩-零化度定理的矩阵版本。

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四、知识结构总览

graph TD
    A[3C 矩阵] --> B[定义3.31 M_T 线性映射的矩阵]
    A --> C[例3.32 例3.33 具体计算]
    A --> D[定义3.34 3.36 矩阵加法与标量乘法]
    A --> E[定理3.35 3.38 运算对应]
    A --> F[定理3.40 F_mn是向量空间]
    A --> G[矩阵乘法动机推导]
    A --> H[定义3.41 矩阵乘法]
    A --> I[定理3.43 M_ST等于M_S乘M_T]
    A --> J[定理3.46 3.48 3.50 多种视角]
    A --> K[定理3.51 列行线性组合]
    A --> L[定义3.52 列秩与行秩]
    A --> M[定义3.54 转置]
    A --> N[定理3.56 行列分解]
    A --> O[定理3.57 列秩等于行秩]
    A --> P[定义3.58 秩]
    B --> C
    D --> E
    E --> F
    G --> H
    H --> I
    H --> J
    J --> K
    K --> N
    L --> O
    N --> O
    O --> P
    A -.-> Q[3A 线性映射所成的向量空间]
    A -.-> R[3B 零空间和值域]

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五、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 矩阵是线性映射的”坐标表示”——选定了基之后，抽象的线性映射就变成了具体的矩阵。$M(T)$ 的第 $k$ 列就是 $T{v}_k$ 的坐标——矩阵的每一列都承载着基向量的”命运”。
2. 矩阵运算由线性映射运算驱动——我们不是随意定义矩阵加法、标量乘法和乘法，而是为了让 $M$ 成为线性映射与矩阵之间的”同构”——保持加法、标量乘法和乘法（复合）。
3. 矩阵乘法的三种互补视角——元素视角（行 $\times$ 列）、列视角（列的线性组合）、行视角（行的线性组合）。其中列视角最为重要，它直接引出行列分解。
4. 列秩 = 行秩的优雅证明——行列分解 + 转置对称性，两个不等式夹逼出等式，是”对称性论证”的典范。

证明技巧清单

1. 动机驱动定义：从期望的性质（$M(ST)=M(S)M(T)$）反推出运算的定义——这是数学中”好的定义”的典范
2. 行列分解（3.56）：取列空间的基 → 每列用基表示 → 系数矩阵即为 $R$
3. 对称性论证（3.57）：对 $A$ 得到”行秩 $\le$ 列秩”，对 $A^t$ 得到反向不等式，夹逼出等式
4. 列的线性组合视角（3.50）：$Ab=b_1{A}_{\cdot ,1}+\cdots +b_n{A}_{\cdot ,n}$——理解矩阵-向量乘法的关键

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六、补充理解与易混淆点

6.1 矩阵乘法的本质：线性映射的复合

矩阵乘法 $AB$ 对应的是线性映射的复合：先应用 $B$ 对应的映射，再应用 $A$ 对应的映射（Georgia Tech Interactive Linear Algebra, Margalit & Rabinoff）。复合映射 $T\circ U$ 的矩阵等于 $T$ 的矩阵乘以 $U$ 的矩阵——这不是巧合，而是矩阵乘法被”设计”成这样的结果。

矩阵乘法不可交换（$AB\ne BA$），正是因为函数的复合不可交换：先旋转再平移，与先平移再旋转，结果通常不同（JHU Lecture 6, Lindblad）。“行乘列”的点积结构不是人为规定，而是坐标表示下复合映射的自然涌现——当我们把 $T{v}_k$ 的坐标写入矩阵的第 $k$ 列，再将 $S(T{v}_k)$ 展开，行与列的点积就自动出现了（BU CS132, Snyder）。

来源：Georgia Tech Interactive Linear Algebra (Margalit & Rabinoff)、JHU Lecture 6 (Lindblad)、BU CS132 (Snyder)。

6.2 行列分解的几何直觉

行列分解 $A=CR$ 可以这样理解：$C$ 捕捉了列空间的”骨架”——它的列是列空间的一组基向量。$R$ 记录了每列如何由骨架组装而成——$R$ 的第 $k$ 列就是 $A$ 的第 $k$ 列在基 $C$ 下的坐标（MIT OCW, Strang “Five Factorizations of a Matrix”）。

在秩 1 的特殊情况下，$A=c{d}^t$（列向量 $c$ 乘以行向量 $d^t$），这就是外积。秩 1 矩阵的几何意义是：所有列都是同一方向的标量倍数，所有行也都是同一方向的标量倍数（OSU Gerlach Lecture Notes）。

来源：MIT OCW (Strang, “Five Factorizations of a Matrix”)、OSU (Gerlach Lecture Notes)。

6.3 列秩等于行秩——为什么这个事实令人惊讶

列空间”住在” ${\mathbb{F}}^m$ 中，行空间”住在” ${\mathbb{F}}^n$ 中——它们是完全不同的空间。然而，这两个空间的维数永远相等，这确实令人惊讶（arXiv 2112.06638, “On the Column and Row Ranks of a Matrix”）。

文献中至少有三种不同的证明路径：

1. Axler 的行列分解法（本节方法）：$A=CR$ → 行秩 $\le$ 列秩，再对 $A^t$ 重复论证
2. 正交性论证：列空间的正交补等于零空间，行空间的正交补等于左零空间，利用正交补的维数公式推导
3. 秩-零化度 + $A^{t}A$ 方法：$\text{null}A=\text{null}{A}^{t}A$，从而 $\text{rank}A=\text{rank}{A}^{t}A=\text{rank}{A}^t$（arXiv 2112.06638）

来源：arXiv 2112.06638 (On the Column and Row Ranks of a Matrix)、MIT 18.701 Algebra I (Row Rank = Column Rank)、CSDN 线性代数问答。

6.4 常见误区

误区1：矩阵乘法满足交换律

❌ 错误认知：认为 $AB=BA$ 对所有矩阵成立 ✅ 正确理解：矩阵乘法一般不可交换。即使 $AB$ 和 $BA$ 都有定义，结果也可能不同。例如 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，则 $AB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 但 $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$。交换律仅在极特殊条件下成立（如 $A$ 和 $B$ 可交换）。

来源：Khan Academy (Properties of Matrix Multiplication)、Georgia Tech ILA (Margalit & Rabinoff)、CSDN 博客。

误区2：矩阵乘法是逐元素相乘

❌ 错误认知：认为 $(AB{)}_{j,k}=A_{j,k}\cdot B_{j,k}$ ✅ 正确理解：矩阵乘法是行与列的点积，不是逐元素乘法。逐元素乘法称为 Hadamard 积，是另一种完全不同的运算。初学者常犯此错误，尤其是在编程中混淆 * 和 @ 运算符。

来源：Vedantu (Matrix Multiplication Explained)、CSDN 博客。

误区3： $M(T)$ 的列数等于目标空间维数

❌ 错误认知：混淆矩阵的行数与列数对应的维度 ✅ 正确理解：$M(T)$ 是 $m\times n$ 矩阵，其中 $m=\dim W$（==行数 = 目标空间维数==），$n=\dim V$（==列数 = 定义域维数==）。第 $k$ 列记录的是 $T{v}_k$ 的坐标——$k$ 遍历定义域的基向量，所以列数 = 定义域维数。

来源：Vanderbilt University Lecture 19、BU CS132 (Snyder)。

误区4：秩总是等于 $\min \{m,n\}$

❌ 错误认知：认为 $\text{rank}A=\min \{m,n\}$ 总成立 ✅ 正确理解：秩可以严格小于 $\min \{m,n\}$。当 $\text{rank}A=\min \{m,n\}$ 时称 $A$ 为满秩矩阵，但这不是必然的。例如零矩阵的秩为 $0$，$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ 的秩为 $1<2$。

来源：Vedantu JEE (Matrix Multiplication)、Brown University Homework Solutions。

误区5： $\text{rank}(A+B)=\text{rank}A+\text{rank}B$

❌ 错误认知：认为秩对加法有简单的等式关系 ✅ 正确理解：一般只有 $\text{rank}(A+B)\le \text{rank}A+\text{rank}B$。类似地，$\text{rank}(AB)\le \min \{\text{rank}A,\text{rank}B\}$。秩是”次可加的”，而非可加的。例如 $A=I$，$B=-I$，则 $\text{rank}(A+B)=0$ 但 $\text{rank}A+\text{rank}B=2n$。

来源：CSDN 线性代数错误总结、Baylor University (Simanek, Rank Inequality)。

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七、习题精选

本节习题

编号	标题	核心考点	难度
1	$M(T)$ 的非零元素下界	值域维数与矩阵的关系	⭐⭐
4	微分映射的”好基”	基的选取简化矩阵	⭐⭐
5	矩阵的标准形	基的选取与值域	⭐⭐⭐
10	矩阵乘法不可交换	反例构造	⭐
12	矩阵乘法的结合律	用线性映射证明	⭐⭐
16	秩 1 矩阵的刻画	行列分解的特例	⭐⭐
17	单射与列线性无关	$M(T)$ 的列与 $T$ 的关系	⭐⭐⭐

习题 1：$M(T)$ 至少有 $\dim \text{range}T$ 个非零元素

习题 1

假设 $V$ 和 $W$ 是有限维的且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$。证明 $M(T)$ 至少有 $\dim \text{range}T$ 个非零元素。

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证明：$M(T)$ 是 $m\times n$ 矩阵，其中 $m=\dim W$，$n=\dim V$。设 $\dim \text{range}T=d$。

取 $\text{range}T$ 的基 $w_1,\dots ,w_d$。每个 $w_k$ 等于 $T{v}_{j_k}$（某个 $v_{j_k}\in V$），所以 $M(T)$ 的第 $j_k$ 列至少有一个非零元素（因为 $T{v}_{j_k}\ne 0$）。

由于 $w_1,\dots ,w_d$ 线性无关，$T{v}_{j_1},\dots ,T{v}_{j_d}$ 也线性无关。$M(T)$ 的第 $j_1,\dots ,j_d$ 列分别是这些向量的坐标，每列至少有一个非零元素。

因此 $M(T)$ 至少有 $d=\dim \text{range}T$ 个非零元素。$■$

习题 4：微分映射的”好基”

习题 4

找到 ${\mathcal{P}}_3(\mathbb{R})$ 和 ${\mathcal{P}}_2(\mathbb{R})$ 的基，使得微分映射 $D$ 关于这些基的矩阵为 $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

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解题思路：对比例 3.33 中 $M(D)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$。我们希望 $D$ 作用在基向量上后，系数都是 $1$ 而不是 $1,2,3$。关键观察：$(x^k/k!{)}^{\prime }=x^{k-1}/(k-1)!$。

解答：取 ${\mathcal{P}}_3(\mathbb{R})$ 的基为 $1,x,\frac{x^2}{2},\frac{x^3}{6}$（即 $x^k/k!$），${\mathcal{P}}_2(\mathbb{R})$ 的基为 $1,x,\frac{x^2}{2}$。

验证：

• $D(1)=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot \frac{x^2}{2}$ → 第一列 $(1,0,0{)}^T$
• $D(x)=0\cdot 1+1\cdot x+0\cdot \frac{x^2}{2}$ → 第二列 $(0,1,0{)}^T$
• $D\left(\frac{x^2}{2}\right)=0\cdot 1+0\cdot x+1\cdot \frac{x^2}{2}$ → 第三列 $(0,0,1{)}^T$
• $D\left(\frac{x^3}{6}\right)=0\cdot 1+0\cdot x+0\cdot \frac{x^2}{2}$ → 第四列 $(0,0,0{)}^T$

$M(D)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)■$

习题 5：矩阵的标准形

习题 5

假设 $V$ 和 $W$ 是有限维的且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$。证明：存在 $V$ 的基和 $W$ 的基，使得 $M(T)$ 除对角线上前 $\dim \text{range}T$ 个位置为 $1$ 外，其余元素全为 $0$。

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证明：设 $d=\dim \text{range}T$。

[构造 $V$ 的基]：取 $\text{null}T$ 的基 $u_1,\dots ,u_{n-d}$（其中 $n=\dim V$）。由 定理 2.32，扩充为 $V$ 的基 $u_1,\dots ,u_{n-d},v_1,\dots ,v_d$。

[构造 $W$ 的基]：令 $w_k=T{v}_k$（$k=1,\dots ,d$）。由 基本定理 的证明，$w_1,\dots ,w_d$ 是 $\text{range}T$ 的基。扩充为 $W$ 的基 $w_1,\dots ,w_d,w_{d+1},\dots ,w_m$。

[计算 $M(T)$]：

• $T{u}_k=0$ → 第 $k$ 列全为零（$k=1,\dots ,n-d$）
• $T{v}_k=w_k$ → 第 $n-d+k$ 列为 $e_k$（$k=1,\dots ,d$）

$M(T)=\left(\begin{array}{cc}{I}_d& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 其中 $I_d$ 是 $d\times d$ 单位矩阵。$■$

习题 10：矩阵乘法不可交换

习题 10

找到 $2\times 2$ 矩阵 $A$ 和 $B$，使得 $AB\ne BA$。

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取 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$。

$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

$BA=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

$AB\ne BA$。$■$

习题 12：矩阵乘法的结合律

习题 12

证明矩阵乘法是结合的。即，假设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times p$ 矩阵，$C$ 是 $p\times q$ 矩阵，证明 $(AB)C=A(BC)$。

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证明：设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^q,{\mathbb{F}}^p)$，$S\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^p,{\mathbb{F}}^n)$，$R\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^n,{\mathbb{F}}^m)$ 使得 $M(T)=C$，$M(S)=B$，$M(R)=A$。

由定理 3.43： $M((RS)T)=M(RS)M(T)=M(R)M(S)M(T)=A(BC)$ $M(R(ST))=M(R)M(ST)=M(R)M(S)M(T)=(AB)C$

由函数复合的结合律：$(RS)T=R(ST)$（因为函数复合总是结合的）。

所以 $M((RS)T)=M(R(ST))$，即 $A(BC)=(AB)C$。$■$

Artin 名言

“My experience is that if one can shorten a proof by 50% by leaving out matrices, one should do so.” （我的经验是，如果抛开矩阵的话，证明能缩短 50%，那就应该这么做。）

习题 16：秩 1 矩阵的刻画

习题 16

假设 $A\in {\mathbb{F}}^{m,n}$。证明 $\text{rank}A=1$ 当且仅当存在非零列向量 $c\in {\mathbb{F}}^{m,1}$ 和非零行向量 $d\in {\mathbb{F}}^{1,n}$ 使得对所有 $j,k$，$A_{j,k}=c_j{d}_k$。

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($\Rightarrow$)：设 $\text{rank}A=1$。由行列分解（定理 3.56），$A=CR$，其中 $C$ 是 $m\times 1$ 矩阵（列向量 $c$），$R$ 是 $1\times n$ 矩阵（行向量 $d^t$）。所以 $A_{j,k}=c_j{d}_k$。由于 $\text{rank}A=1\ge 1$，$c\ne 0$ 且 $d\ne 0$。

($\Leftarrow$)：设 $A_{j,k}=c_j{d}_k$，其中 $c\ne 0$，$d\ne 0$。令 $C$ 为以 $c$ 为唯一列的 $m\times 1$ 矩阵，$R$ 为以 $d^t$ 为唯一行的 $1\times n$ 矩阵。则 $A=CR$，由定理 3.56 的构造，$\text{rank}A\le 1$。由于 $A\ne 0$（因为 $c\ne 0$ 且 $d\ne 0$），$\text{rank}A=1$。$■$

习题 17：单射与列线性无关

习题 17

假设 $V$ 和 $W$ 是有限维的且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$。证明以下等价： (a) $T$ 是单射 (b) $M(T)$ 的各列线性无关 (c) $M(T)$ 的各列张成 ${\mathbb{F}}^{m,1}$ (d) $M(T)$ 的各行线性无关 (e) $M(T)$ 的各行张成 ${\mathbb{F}}^{1,n}$

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(a) $\iff$ (b)：$T$ 单射 ⟺ $\text{null}T=\{0\}$（定理 3.15）。

$M(T)$ 的第 $k$ 列是 $T{v}_k$ 在 $W$ 的基下的坐标。$M(T)$ 的列线性无关 ⟺ ${\sum }_k{c}_{k}T{v}_k=0$ 蕴涵所有 $c_k=0$ ⟺ $T({\sum }_k{c}_k{v}_k)=0$ 蕴涵 ${\sum }_k{c}_k{v}_k=0$ ⟺ $\text{null}T=\{0\}$（因为 $v_1,\dots ,v_n$ 线性无关）。

(b) $\iff$ (c)：$M(T)$ 有 $n$ 列。在 ${\mathbb{F}}^{m,1}$ 中，$n$ 个向量线性无关 ⟺ 它们张成 ${\mathbb{F}}^{m,1}$（当且仅当 $n=m$ 时两者同时成立，即 $T$ 既单射又满射）。

(b) $\iff$ (d)：$M(T)$ 的列线性无关 ⟺ $\text{rank}M(T)=n$ ⟺ $M(T{)}^t$ 的列线性无关 ⟺ $M(T)$ 的行线性无关。

(c) $\iff$ (e)：类似地，$M(T)$ 的列张成 ${\mathbb{F}}^{m,1}$ ⟺ $\text{rank}M(T)=m$ ⟺ $M(T)$ 的行张成 ${\mathbb{F}}^{1,n}$。$■$

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八、视频学习指南

视频资源

视频主题	对应笔记模块	平台
3Blue1Brown 线性代数的本质 第3章：矩阵与线性变换	模块一	YouTube / B站
3Blue1Brown 线性代数的本质 第4章：矩阵乘法与线性变换复合	模块二	YouTube / B站

视频精要

• 第3章（矩阵与线性变换）：矩阵的列就是基向量变换后的位置。理解了这一点，矩阵乘法就不再神秘——它只是”先变换、再变换”的坐标记录。
• 第4章（矩阵乘法作为复合）：矩阵乘法对应线性变换的复合——先应用右边矩阵的变换，再应用左边矩阵的变换。这与函数复合的书写顺序 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 一致。
• 关键直觉：矩阵乘法的”行乘列”规则，本质上是复合变换的坐标计算。当我们把两个变换”串接”起来，新变换的矩阵自然就是两个矩阵的乘积。

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九、教材原文

矩阵