第 3 章 线性映射 — 章节汇总

全章概览

第 3 章是线性代数的”操作手册”——它将第 1-2 章建立的向量空间理论从”静态结构”推向”动态变换”。本章引入线性映射作为核心研究对象，证明所有线性映射的集合本身构成向量空间，建立零空间与值域的基本定理（秩-零化度定理），通过矩阵将抽象映射转化为具体计算，最终以对偶理论揭示映射与其”镜像”之间的深刻对称性。

逻辑链条：线性映射定义 → $L(V,W)$ 是向量空间 → 零空间/值域 → 基本定理 → 矩阵表示 $\mathcal{M}(T)$ → 矩阵运算 → 列秩=行秩 → 可逆性/同构 → 换基公式 → 直积/商空间 → 对偶空间 → 对偶映射 → 零化子 → 双重对偶

核心主线：线性映射是向量空间之间的”结构保持映射”，矩阵是其坐标化身，对偶是其”镜像”

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一、全章知识框架思维导图

graph TB
    A["第3章 线性映射"] --> B["3A 线性映射所成的向量空间"]
    A --> C["3B 零空间和值域"]
    A --> D["3C 矩阵"]
    A --> E["3D 可逆性和同构"]
    A --> F["3E 向量空间的积和商"]
    A --> G["3F 对偶"]
    B -->|"定义"| C
    B -->|"表示"| D
    C -->|"基本定理3.21"| D
    C -->|"零空间商掉"| F
    D -->|"M_T可逆"| E
    D -->|"转置"| G
    E -->|"同构判别"| F
    F -->|"商映射对偶"| G
    C -.->|"第5章 特征空间"| H["后续章节"]
    D -.->|"第7章 谱定理"| I["后续章节"]
    G -.->|"第7章 伴随算子"| J["后续章节"]

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二、全章核心知识点与重点公式汇总

2.1 线性映射所成的向量空间（3A 线性映射所成的向量空间）

定理/定义	内容	编号
==线性映射==	$T(u+v)=Tu+Tv$，$T(\lambda v)=\lambda (Tv)$，对所有 $u,v\in V$，$\lambda \in \mathbb{F}$	3.1
代数运算	$(S+T)(v)=Sv+Tv$，$(\lambda T)(v)=\lambda (Tv)$	3.2-3.4
==线性映射引理==	基上的值唯一确定线性映射（存在性+唯一性）	3.4
$L(V,W)$ 是向量空间	线性映射对加法和标量乘法封闭	3.5-3.7
$\dim L(V,W)=(\dim V)(\dim W)$	通过 $\mathcal{M}$ 是同构证明	3.9
乘积运算	$(ST)(v)=S(Tv)$，一般 $ST\ne TS$	3.11

2.2 零空间和值域（3B 零空间和值域）

定理/定义	内容	编号
==零空间== $\text{null}T$	$\{v\in V:Tv=0\}$，是 $V$ 的子空间	3.12
==值域== $\text{range}T$	$\{Tv:v\in V\}$，是 $W$ 的子空间	3.13
单射 $\iff$ $\text{null}T=\{0\}$	零空间平凡是单射的充要条件	3.14
满射 $\iff$ $\text{range}T=W$	值域等于全空间是满射的充要条件	3.15
==基本定理==	$\dim V=\dim \text{null}T+\dim \text{range}T$	3.21
秩	$\text{rank}T=\dim \text{range}T$	—
零化度	$\text{nullity}T=\dim \text{null}T$	—

2.3 矩阵（3C 矩阵）

定理/定义	内容	编号
==矩阵==	$m\times n$ 的 $\mathbb{F}$ 上元素阵列	3.29
==$\mathcal{M}(T)$==	第 $k$ 列 = $T{v}_k$ 在 $W$ 的基下的坐标	3.31
矩阵加法	$\mathcal{M}(S+T)=\mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T)$	3.34
标量乘法	$\mathcal{M}(\lambda T)=\lambda \mathcal{M}(T)$	3.36
${\mathbb{F}}^{m,n}$	$m\times n$ 矩阵全体，是向量空间	3.39
$\dim {\mathbb{F}}^{m,n}=mn$	标准基矩阵的个数	3.40
==矩阵乘法==	$(AB{)}_{j,k}={\sum }_{r=1}^n{A}_{j,r}{B}_{r,k}$	3.41
$\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$	矩阵乘法的根本理由	3.43
==列秩 = 行秩==	通过行列分解 + 转置对称性证明	3.57
==$\text{rank}A$==	列秩 = 行秩（统称为秩）	3.58

2.4 可逆性和同构（3D 可逆性和同构）

定理/定义	内容	编号
==可逆==	$\exists S\in L(W,V)$：$ST=I_V$ 且 $TS=I_W$	3.59
逆的唯一性	$T^{-1}$ 唯一	3.60
可逆 $\iff$ 单射+满射	双向证明	3.63
==有限维等价条件==	$\dim V=\dim W<\infty$ 时：可逆 $\iff$ 单射 $\iff$ 满射	3.65
$ST=I$ $\iff$ $TS=I$	有限维等维数下的单侧逆即双侧逆	3.68
==同构==	存在可逆线性映射 $T:V\to W$	3.69
维数相同 $\iff$ 同构	$\dim V=\dim W<\infty$ $\iff$ $V\cong W$	3.70
$L(V,W)\cong {\mathbb{F}}^{m,n}$	$\mathcal{M}$ 是同构	3.71
==$\mathcal{M}(Tv)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$==	映射作用 = 矩阵乘法	3.76
$\dim \text{range}T$ = 列秩	映射值域维数等于矩阵列秩	3.78
==换基公式==	$A=C^{-1}BC$（同一映射在不同基下的矩阵）	3.84
$\mathcal{M}(T^{-1})=\mathcal{M}(T{)}^{-1}$	逆映射的矩阵是逆矩阵	3.86

2.5 向量空间的积和商（3E 向量空间的积和商）

定理/定义	内容	编号
==直积==	$V_1\times \cdots \times V_m$，分量运算	3.71
$\dim (V_1\times \cdots \times V_m)$	$={\sum }_{k=1}^m\dim V_k$	3.72
仿射子集	$v+U=\{v+u:u\in U\}$	3.89
==商空间== $V/U$	$\{v+U:v\in V\}$，是向量空间	3.91
==商映射== $\pi$	$\pi :V\to V/U$，$\pi (v)=v+U$	3.104
==$\dim V/U=\dim V-\dim U$==	商空间维数公式	3.105
==诱导映射== $\tilde{T}$	$U\subseteq \text{null}T$ 时，$\tilde{T}:V/U\to W$，$\tilde{T}(v+U)=Tv$	3.106
==$V/\text{null}T\cong \text{range}T$==	基本定理的几何版本（第一同构定理）	3.107

2.6 对偶（3F 对偶）

定理/定义	内容	编号
==线性泛函==	$\phi :V\to \mathbb{F}$ 的线性映射	3.108
==对偶空间== $V^{\prime }$	$L(V,\mathbb{F})$，$\dim V^{\prime }=\dim V$	3.110-3.111
==对偶基==	${\phi }_j(v_k)={\delta }_{jk}$，坐标提取器	3.112
==对偶映射== $T^{\prime }$	$T^{\prime }:W^{\prime }\to V^{\prime }$，$T^{\prime }(\phi )=\phi \circ T$（方向反转！）	3.118
$(ST{)}^{\prime }=T^{\prime }{S}^{\prime }$	顺序反转	3.120
==零化子== $U^0$	$\{\phi \in V^{\prime }:\phi (u)=0\forall u\in U\}$	3.121
$\dim U^0=\dim V-\dim U$	零化子维数公式	3.125
$\text{null}{T}^{\prime }=(\text{range}T{)}^0$	对偶零空间 = 值域的零化子	3.128
$T$ 满射 $\iff$ $T^{\prime }$ 单射	对偶中单射/满射互换	3.129
$\text{range}{T}^{\prime }=(\text{null}T{)}^0$	对偶值域 = 零空间的零化子	3.130
$T$ 单射 $\iff$ $T^{\prime }$ 满射	对偶中单射/满射互换	3.131
==$\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$==	对偶映射的矩阵 = 转置	3.132
==双重对偶== $V^{\prime \prime }$ 与自然同构 $\Lambda$	$\Lambda :V\to V^{\prime \prime }$，$\Lambda (v)(\phi )=\phi (v)$，不依赖基	习题 32

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三、章节学习脉络梳理

3.1 第一层：定义与结构（3A）

核心问题：什么是线性映射？有什么结构？

• 线性映射保持加法和标量乘法——它是向量空间之间的”结构保持映射”
• $L(V,W)$ 本身是向量空间——映射也可以是”向量”，这为后续对偶理论埋下伏笔
• 线性映射引理（3.4）：基上的值决定整个映射，这是全章的理论起点
• $\dim L(V,W)=(\dim V)(\dim W)$：线性映射的”自由度”等于输入维数乘以输出维数

关键收获：线性映射是保持向量空间结构的函数，基上的”自由度”完全决定映射。映射的集合本身也是向量空间——这一事实在第 3F 节对偶理论中至关重要。

3.2 第二层：零空间与值域——映射的”输入输出分析”（3B）

核心问题：映射丢失了什么？映射覆盖了什么？

• $\text{null}T$：被映射到零的向量——“丢失的信息”
• $\text{range}T$：映射能到达的范围——“覆盖的能力”
• 基本定理（3.21）：$\dim V=\dim \text{null}T+\dim \text{range}T$ —— 这是全章最重要的定理
• 单射 $\iff$ $\text{null}T=\{0\}$：没有信息丢失
• 满射 $\iff$ $\text{range}T=W$：完全覆盖目标空间

关键收获：基本定理将映射的”输入端”（零空间）和”输出端”（值域）通过维数精确连接，是后续几乎所有重要结果的源头。

3.3 第三层：矩阵——映射的”坐标化身”（3C）

核心问题：如何用数字计算映射？

• $\mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列 = $T{v}_k$ 的坐标——矩阵的列蕴含了映射的全部信息
• 矩阵运算由映射运算驱动：$\mathcal{M}(S+T)=\mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T)$，$\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$
• ==矩阵乘法的定义是从 $\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$ 反推出来的==——这不是任意规定，而是必然结果
• 三种视角理解矩阵：元素视角（逐元素计算）、列视角（列的线性组合）、行视角（行向量）
• 行列分解 $A=CR$ → 列秩 = 行秩（通过转置对称性优雅证明）

关键收获：矩阵是线性映射的”坐标表示”，矩阵运算的意义来源于线性映射。选定基后，抽象的映射世界与具体的矩阵世界完美对应。

3.4 第四层：可逆性与同构——“完美对应”（3D）

核心问题：什么时候映射是”可逆的”？

• ==有限维等维空间中：单射 $\iff$ 满射 $\iff$ 可逆==（定理 3.65）——只需验证一个条件！
• 同构 = 维数相同的精确表述：$\dim V=\dim W$ $\iff$ $V\cong W$
• $\mathcal{M}(Tv)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$：抽象与具体的完美融合
• ==换基公式 $A=C^{-1}BC$==：同一映射在不同基下的矩阵是相似的——这是第 5 章特征值理论的出发点

关键收获：换基公式揭示了”相似矩阵”的本质——它们是同一个线性映射在不同坐标系下的化身。选取好基使矩阵简单，是后续章节的核心策略。

3.5 第五层：积与商——空间的”组装与折叠”（3E）

核心问题：如何从旧空间构造新空间？

• 直积：维数相加（“打包”），$\dim (V_1\times \cdots \times V_m)=\sum \dim V_k$
• 商空间：维数相减（“折叠”），$\dim V/U=\dim V-\dim U$
• 诱导映射 $\tilde{T}$：消除零空间的标准技术——当 $U\subseteq \text{null}T$ 时，映射”穿透”商空间
• ==$V/\text{null}T\cong \text{range}T$==：基本定理的几何版本，也称为第一同构定理

关键收获：商空间和直积是构造新空间的两种基本方式。标准分解 $T=\tilde{T}\circ \pi$ 揭示了任何线性映射都可以分解为”满射 $\times$ 单射”。

3.6 第六层：对偶——映射的”镜像世界”（3F）

核心问题：映射的”对偶”是什么？

• 对偶空间 $V^{\prime }=L(V,\mathbb{F})$：线性泛函的空间，$\dim V^{\prime }=\dim V$
• 对偶映射 $T^{\prime }:W^{\prime }\to V^{\prime }$：方向反转！ $T:V\to W$ 变为 $T^{\prime }:W^{\prime }\to V^{\prime }$
• 零化子 $U^0$：在 $U$ 上取零的泛函，连接原空间与对偶空间的桥梁
• 单射/满射互换：$T$ 满射 $\iff$ $T^{\prime }$ 单射；$T$ 单射 $\iff$ $T^{\prime }$ 满射
• ==$\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$==：对偶 = 转置——转置的”正确”理解方式
• 双重对偶 $V^{\prime \prime }$：自然同构 $\Lambda :V\to V^{\prime \prime }$，$\Lambda (v)(\phi )=\phi (v)$，不依赖基的选取

关键收获：对偶性是线性代数中最深刻的美——每个概念都有其”镜像”。$V\cong V^{\prime }$ 需要选基（不自然），但 $V\cong V^{\prime \prime }$ 通过 $\Lambda$ 是自然的——这一区别在对偶理论中至关重要。

3.7 六节之间的深层联系

3.7.1 基本定理（3.21）——全章的枢纽

基本定理 $\dim V=\dim \text{null}T+\dim \text{range}T$ 是全章最核心的定理，它串联了几乎所有重要结果：

• 推出 $\dim V/U=\dim V-\dim U$（3.105，商映射 $\pi$ 的零空间恰好是 $U$）
• 推出 $\dim U^0=\dim V-\dim U$（3.125，通过包含映射 $i:U\to V$ 的对偶 $(\text{range}i{)}^0$）
• 推出有限维等维空间中单射 $\iff$ 满射（3.65，$\text{null}T=\{0\}$ $\Rightarrow$ $\dim \text{range}T=\dim V=\dim W$）
• 推出 $\dim L(V,W)=(\dim V)(\dim W)$（3.9，通过 $\mathcal{M}$ 是同构，而 $\dim {\mathbb{F}}^{m,n}=mn$）

3.7.2 矩阵——从抽象到具体的桥梁

3C 的矩阵表示将 3A-3B 的抽象理论转化为可计算的形式：

• $\mathcal{M}(T)$ 将线性映射问题转化为矩阵问题——这是”坐标化”策略的核心
• $\mathcal{M}(Tv)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$ 使得映射作用 = 矩阵乘法——抽象与计算的完美统一
• 换基公式 $A=C^{-1}BC$ 揭示了”相似矩阵”的本质——同一映射的不同坐标化身
• 列秩 = 行秩通过行列分解证明，体现了矩阵的”双向对称性”

3.7.3 对偶——全新的对称视角

3F 的对偶理论为全章提供了一个”镜像”：

• $T:V\to W$ 的每个性质都有 $T^{\prime }:W^{\prime }\to V^{\prime }$ 的对应性质，且方向反转
• 零化子 $U^0$ 连接了子空间理论和对偶理论——$U^0$ 是 $V^{\prime }$ 的子空间，不是 $V$ 的子空间
• $\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$ 将对偶理论与矩阵理论统一——转置的”正确”理解
• 双重对偶 $V^{\prime \prime }$ 的自然同构 $\Lambda$ 不依赖基——这是范畴论中”自然变换”思想的雏形

3.7.4 全章核心线索图

graph TD
    A["线性映射定义<br/>3A"] --> B["零空间与值域<br/>3B"]
    B -->|"基本定理3.21"| C["矩阵表示<br/>3C"]
    C -->|"M_T可逆"| D["可逆性与同构<br/>3D"]
    B -->|"商掉零空间"| E["商空间<br/>3E"]
    C -->|"转置"| F["对偶<br/>3F"]
    D -->|"同构判别"| E
    E -->|"商映射对偶"| F
    B -.->|"第5章 特征空间"| G["后续章节"]
    C -.->|"第7章 谱定理"| H["后续章节"]
    F -.->|"第7章 伴随算子"| I["后续章节"]

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四、补充理解与跨章展望

4.1 第 3 章的核心方法论

第 3 章建立的方法论在后续每一章中都会反复使用：

1. “坐标化”策略：选定基后，线性映射 $\to$ 矩阵，向量 $\to$ 坐标列。这使得抽象证明可以转化为矩阵计算。这是第 5-8 章中所有”矩阵语言”证明的基础。正如 UPC Barcelona Casanellas 线性映射讲义中所强调的，矩阵表示是连接抽象理论与具体计算的核心桥梁。

2. “基本定理分解”：$\dim V=\dim \text{null}T+\dim \text{range}T$ 将映射分解为”丢失的部分”和”保留的部分”。第 5 章中，特征空间分解 $V=G({\lambda }_1,T)\oplus \cdots \oplus G({\lambda }_m,T)$ 是这一思想的深化——将空间按映射的行为”分解”。Rutgers Math 320 笔记将此定理列为”维度定理”，是整个线性代数课程的核心支柱。

3. “对偶翻转”：$T$ 的每个性质都有 $T^{\prime }$ 的对应翻转。第 7 章中，伴随算子 $T^{\ast }$ 是内积空间中的对偶推广——Riesz 表示定理将 $V^{\prime }$ 与 $V$ 自然等同，使得 $T^{\prime }$ 变为 $T^{\ast }$。Harvard Math 55a Elkies 讲义中特别强调了对偶性在抽象代数中的核心地位。

来源：UPC Barcelona Casanellas 线性映射讲义、Northeastern Dummit 线性变换讲义、Rutgers Math 320 笔记、Harvard Math 55a Elkies 对偶讲义。

4.2 第 3 章与后续章节的关联地图

第 3 章概念	后续章节中的深化
线性映射 $L(V,W)$	第 5 章：$L(V)$ 上的算子理论（不变子空间、特征值）
基本定理 3.21	第 5 章：特征空间的维数之和 $\le \dim V$
矩阵表示 $\mathcal{M}(T)$	第 5 章：上三角矩阵、对角矩阵——选取好基使 $\mathcal{M}(T)$ 简单
单射/满射/可逆	第 5 章：可对角化 $\iff$ 有 $\dim V$ 个线性无关特征向量
同构	第 5 章：$V\cong {\mathbb{F}}^n$（选定基后）
换基公式 $A=C^{-1}BC$	第 5 章：相似矩阵有相同的特征值、相同的迹和行列式
商空间 $V/U$	第 8 章：广义特征空间分解、商算子
诱导映射 $\tilde{T}$	第 8 章：商算子 $\tilde{T}:V/G(\lambda ,T)\to V/G(\lambda ,T)$
对偶空间 $V^{\prime }$	第 7 章：Riesz 表示定理（内积空间中 $V\cong V^{\prime }$）
对偶映射 $T^{\prime }$	第 7 章：伴随算子 $T^{\ast }$（内积空间版本，$⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$）
零化子 $U^0$	第 7 章：正交补 $U^{\perp }$（内积空间版本，$U^{\perp }=\{v:⟨v,u⟩=0\forall u\in U\}$）
$\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$	第 7 章：自伴算子 $\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T{)}^{\ast }$（共轭转置）
双重对偶 $V^{\prime \prime }$	第 7 章：自然同构 $\Lambda$ 被 Riesz 表示定理替代（$V\cong V^{\prime }$ 变为”自然的”）

4.3 为什么第 3 章是全书最重要的章节？

第 3 章建立了线性代数的三大核心工具：

• 矩阵语言：后续所有计算都基于矩阵表示。没有第 3 章，就无法将抽象定理转化为具体算法。正如 Northeastern Dummit 线性变换讲义所指出的，矩阵是线性变换的”计算化身”，而线性变换才是第一性的概念。

• 秩-零化度定理：这是线性代数中仅次于维数公式的第二重要等式。它连接了映射的”输入端”（零空间）和”输出端”（值域），为几乎所有维数计算提供了基本框架。BYU Math 344 讲义将其称为”Rank-Nullity Theorem”，并强调它是线性代数课程中”使用频率最高”的定理之一。

• 对偶理论：对偶是现代数学中无处不在的思想——从泛函分析到微分几何，从表示论到量子力学。第 3 章的有限维对偶是其最简洁的入门。Northwestern 大学 dual spaces 讲义和 Clemson 大学 annihilators 讲义都强调，对偶空间和零化子是理解线性映射深层结构的关键工具。

可以毫不夸张地说：第 3 章将第 1-2 章的"静态"向量空间理论推向了"动态"的映射理论，是线性代数从几何直觉走向代数计算的转折点。

来源：UPC Barcelona Casanellas 线性映射讲义、Northeastern Dummit 线性变换讲义、Rutgers Math 320 笔记、Harvard Math 55a Elkies 对偶讲义、BYU Math 344 Rank-Nullity 讲义、Northwestern University dual spaces 讲义、Clemson University annihilators 讲义、CMU 双线性形式讲义。

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五、全章总复习题

使用说明

以下复习题覆盖第 3 章全部六节的核心知识点。建议在不查阅笔记的情况下独立完成，然后对照答案自评。每题标注了考查的节次和知识点。

A. 线性映射基础（3A）

A1. 证明 $T(0)=0$ 对任意线性映射 $T$ 成立。

查看解答

$T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)$（由可加性）。

两边减去 $T(0)$，得 $0=T(0)$。$■$

A2. 若 $T\in L(V,W)$ 满足 $Tv=0$ 对所有 $v\in$ 某基成立，证明 $T=0$。

查看解答

设 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基，且 $T{v}_k=0$ 对所有 $k$。

对任意 $v\in V$，$v=a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n$，故 $Tv=a_{1}T{v}_1+\cdots +a_{n}T{v}_n=0$。

因此 $T=0$（零映射）。$■$

B. 零空间与值域（3B）

B1. 设 $T:{\mathbb{F}}^4\to {\mathbb{F}}^3$，$T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2,x_2+x_3,x_3+x_4)$。求 $\text{null}T$ 和 $\text{range}T$，验证基本定理。

查看解答

求 $\text{null}T$：$Tv=0$ 即 $x_1+x_2=0,x_2+x_3=0,x_3+x_4=0$

由第一个方程 $x_1=-x_2$；由第二个 $x_3=-x_2$；由第三个 $x_4=-x_3=x_2$。

所以 $\text{null}T=\{(-a,a,-a,a):a\in \mathbb{F}\}=\text{span}((-1,1,-1,1))$，$\dim \text{null}T=1$。

求 $\text{range}T$：$T(e_1)=(1,0,0)$，$T(e_2)=(1,1,0)$，$T(e_3)=(0,1,1)$，$T(e_4)=(0,0,1)$。

$\text{range}T=\text{span}((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1))$。

注意到 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 都在值域中（例如 $(0,1,0)=(1,1,0)-(1,0,0)$），所以 $\text{range}T={\mathbb{F}}^3$，$\dim \text{range}T=3$。

验证：$\dim \text{null}T+\dim \text{range}T=1+3=4=\dim {\mathbb{F}}^4$。$■$

B2. 设 $\dim V=5$，$\dim \text{null}T=2$。证明 $T$ 不是满射，并求 $\dim \text{range}T$。

查看解答

由基本定理：$\dim \text{range}T=\dim V-\dim \text{null}T=5-2=3$。

若 $T$ 是满射，则 $\text{range}T=W$，故 $\dim W=3$。但题目未给出 $\dim W$。

更准确地说：$\dim \text{range}T=3$。若 $\dim W>3$，则 $T$ 不是满射。

若 $\dim W=3$，则 $T$ 恰好满射。

修正：题目说”证明 $T$ 不是满射”需要额外条件。如果 $\dim W>3$（例如 $W=V$），则 $\dim \text{range}T=3<5=\dim W$，$T$ 不是满射。

一般情况下，$\dim \text{range}T=3$。$■$

C. 矩阵（3C）

C1. 设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$。计算 $AB$ 和 $BA$，验证 $AB\ne BA$。

查看解答

$AB=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 5+2\cdot 7& 1\cdot 6+2\cdot 8\\ 3\cdot 5+4\cdot 7& 3\cdot 6+4\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$

$BA=\left(\begin{array}{cc}5\cdot 1+6\cdot 3& 5\cdot 2+6\cdot 4\\ 7\cdot 1+8\cdot 3& 7\cdot 2+8\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}23& 34\\ 31& 46\end{array}\right)$

$AB\ne BA$（例如 $(AB{)}_{1,1}=19\ne 23=(BA{)}_{1,1}$）。$■$

C2. 设 $3\times 2$ 矩阵 $A$ 的列线性无关。证明 $\text{rank}A=2$，并给出 $A$ 的行列分解。

查看解答

$\text{rank}A$ = 列秩 = $A$ 的列空间的维数。两列线性无关，故列秩 $=2$。

行列分解：设 $A$ 的列为 $c_1,c_2\in {\mathbb{F}}^3$。令 $C=\left(\begin{array}{cc}{c}_1& c_2\end{array}\right)$（$3\times 2$），$R=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$（$2\times 2$）。

则 $A=CR$（因为 $CR$ 的第 $k$ 列 $=C$ 的第 $k$ 列 $=c_k$）。

更一般地，若 $A$ 有 $r$ 个线性无关的列 $c_1,\dots ,c_r$，则 $A=CR$，其中 $C$ 是由这些列组成的 $m\times r$ 矩阵，$R$ 是满足 $A_{\cdot ,k}=R_{1,k}{c}_1+\cdots +R_{r,k}{c}_r$ 的 $r\times n$ 矩阵。$■$

D. 可逆性与同构（3D）

D1. 设 $T:{\mathbb{F}}^3\to {\mathbb{F}}^3$，$T(x,y,z)=(2x+y,y+z,x+3z)$。判断 $T$ 是否可逆，并求 $T^{-1}$。

查看解答

方法一（矩阵法）：关于标准基的矩阵为 $\mathcal{M}(T)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$

$\det \mathcal{M}(T)=2(3-0)-1(0-1)+0=6+1=7\ne 0$，故 $T$ 可逆。

方法二（基本定理法）：$\text{null}T=\{0\}$（因为 $\mathcal{M}(T)$ 的列线性无关），故 $T$ 单射。$\dim V=\dim W=3$，由 3.65 得 $T$ 可逆。

求 $T^{-1}$：设 $T^{-1}(a,b,c)=(x,y,z)$，则 $2x+y=a,y+z=b,x+3z=c$

由第一式 $y=a-2x$；代入第二式 $a-2x+z=b$，即 $z=b-a+2x$；代入第三式 $x+3(b-a+2x)=c$，即 $7x+3b-3a=c$，$x=\frac{c-3b+3a}{7}$。

$x=\frac{3a-3b+c}{7},y=a-2x=\frac{a+6b-2c}{7},z=b-a+2x=\frac{-2a+2b+2c}{7}$

所以 $T^{-1}(a,b,c)=\left(\frac{3a-3b+c}{7},\frac{a+6b-2c}{7},\frac{-2a+2b+2c}{7}\right)$。$■$

D2. 设 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$AB=AC$ 且 $B\ne C$。证明 $A$ 不可逆。

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$AB=AC$ $\Rightarrow$ $A(B-C)=0$。

令 $D=B-C\ne 0$（因为 $B\ne C$），则 $AD=0$。

对应的线性映射满足 $TD=0$，即存在非零向量 $v$（$D$ 的某列）使得 $Tv=0$。

故 $\text{null}T\ne \{0\}$，$T$ 不是单射，由 3.65 得 $T$ 不可逆，即 $A$ 不可逆。$■$

E. 积与商（3E）

E1. 设 $\dim V=7$，$\dim U=3$。求 $\dim V/U$。

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$\dim V/U=\dim V-\dim U=7-3=4$。$■$

E2. 设 $T:V\to W$ 线性，$U\subseteq \text{null}T$。证明存在唯一的 $S:V/U\to W$ 使得 $T=S\circ \pi$。

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存在性：定义 $S:V/U\to W$，$S(v+U)=Tv$。

• 良定义：若 $v+U=v^{\prime }+U$，则 $v-v^{\prime }\in U\subseteq \text{null}T$，故 $T(v-v^{\prime })=0$，即 $Tv=T{v}^{\prime }$。
• 线性：$S((v+U)+(w+U))=S(v+w+U)=T(v+w)=Tv+Tw=S(v+U)+S(w+U)$。标量乘法类似。
• 满足 $T=S\circ \pi$：$(S\circ \pi )(v)=S(v+U)=Tv$。

唯一性：若 $S^{\prime }:V/U\to W$ 也满足 $T=S^{\prime }\circ \pi$，则对任意 $v+U\in V/U$：$S^{\prime }(v+U)=S^{\prime }(\pi (v))=(S^{\prime }\circ \pi )(v)=Tv=S(v+U)$。$■$

F. 对偶（3F）

F1. 设 $V={\mathbb{F}}^3$，$\phi (x,y,z)=2x-3y+z$。求 $\phi$ 在标准基下的对偶基表示。

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标准基 $e_1=(1,0,0)$，$e_2=(0,1,0)$，$e_3=(0,0,1)$。

对偶基 ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3$ 满足 ${\phi }_j(e_k)={\delta }_{jk}$，即 ${\phi }_j$ 提取第 $j$ 个坐标：

• ${\phi }_1(x,y,z)=x$
• ${\phi }_2(x,y,z)=y$
• ${\phi }_3(x,y,z)=z$

$\phi (x,y,z)=2x-3y+z=2{\phi }_1(x,y,z)-3{\phi }_2(x,y,z)+{\phi }_3(x,y,z)$。

所以 $\phi =2{\phi }_1-3{\phi }_2+{\phi }_3$，在标准对偶基下的坐标为 $(2,-3,1)$。$■$

F2. 设 $T:{\mathbb{F}}^2\to {\mathbb{F}}^2$，$T(x,y)=(x+y,2y)$。计算 $T^{\prime }$ 并验证 $\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$。

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关于标准基：$\mathcal{M}(T)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$。

计算 $T^{\prime }$：$T^{\prime }:({\mathbb{F}}^2{)}^{\prime }\to ({\mathbb{F}}^2{)}^{\prime }$，$T^{\prime }(\psi )=\psi \circ T$。

对标准对偶基 ${\phi }_1,{\phi }_2$（${\phi }_i$ 提取第 $i$ 个坐标）：

• $T^{\prime }({\phi }_1)(x,y)={\phi }_1(T(x,y))={\phi }_1(x+y,2y)=x+y={\phi }_1(x,y)+{\phi }_2(x,y)$
• $T^{\prime }({\phi }_2)(x,y)={\phi }_2(T(x,y))={\phi }_2(x+y,2y)=2y=2{\phi }_2(x,y)$

所以 $T^{\prime }({\phi }_1)={\phi }_1+{\phi }_2$，$T^{\prime }({\phi }_2)=2{\phi }_2$。

关于对偶基：$\mathcal{M}(T^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$。

验证：$\mathcal{M}(T{)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)=\mathcal{M}(T^{\prime })$。$■$

G. 跨节综合题

G1. 设 $T:V\to W$ 是有限维空间之间的线性映射。证明以下四个条件等价： (a) $T$ 可逆 (b) 存在 $S:W\to V$ 使得 $ST=I_V$ (c) $\text{null}T=\{0\}$ 且 $\text{range}T=W$ (d) $\mathcal{M}(T)$ 是可逆矩阵（对某组基）

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(a) $\Rightarrow$ (b)：取 $S=T^{-1}$，则 $ST=T^{-1}T=I_V$。

(b) $\Rightarrow$ (c)：$ST=I_V$ $\Rightarrow$ $T$ 单射（若 $Tv=0$ 则 $v=STv=S0=0$）。又 $\dim V=\dim W$（因为 $ST=I_V$ 且 $T$ 单射推出 $\dim V\le \dim W$，而 $T$ 单射推出 $\dim \text{range}T=\dim V$；若 $\dim V<\dim W$ 则 $T$ 不满射，但由 3.68 $ST=I_V$ $\Rightarrow$ $TS=I_W$，故 $T$ 也满射）。所以 $\text{null}T=\{0\}$ 且 $\text{range}T=W$。

(c) $\Rightarrow$ (a)：$\text{null}T=\{0\}$ $\Rightarrow$ $T$ 单射；$\text{range}T=W$ $\Rightarrow$ $T$ 满射。由 3.63 得 $T$ 可逆。

(a) $\Rightarrow$ (d)：$\mathcal{M}(T^{-1})=\mathcal{M}(T{)}^{-1}$（由 3.86），故 $\mathcal{M}(T)$ 可逆。

(d) $\Rightarrow$ (a)：$\mathcal{M}(T)$ 可逆 $\Rightarrow$ $\mathcal{M}(T^{-1})=\mathcal{M}(T{)}^{-1}$ 存在。对应的映射 $S$ 满足 $\mathcal{M}(S)=\mathcal{M}(T{)}^{-1}$，故 $ST=I_V$ 且 $TS=I_W$，$T$ 可逆。$■$

G2. 设 $\dim V=n$，$T\in L(V)$。证明：$T$ 可逆 $\iff$ 存在基使得 $\mathcal{M}(T)$ 是对角矩阵且对角元全非零。

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($\Leftarrow$)：若 $\mathcal{M}(T)=\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ 且 ${\lambda }_k\ne 0$，则 $\mathcal{M}(T)$ 可逆（行列式 $=\prod {\lambda }_k\ne 0$），故 $T$ 可逆。

($\Rightarrow$)：$T$ 可逆 $\Rightarrow$ 所有特征值 $\lambda \ne 0$（若 $Tv=\lambda v$ 且 $v\ne 0$，则 $T^{-1}Tv=\lambda T^{-1}v$，$v=\lambda T^{-1}v$，故 $\lambda \ne 0$）。

若 $T$ 可对角化（存在由特征向量组成的基），则在此基下 $\mathcal{M}(T)=\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$，且所有 ${\lambda }_k\ne 0$。

注意：并非所有可逆算子都可对角化（例如 Jordan 块矩阵）。更精确的命题是：$T$ 可逆且可对角化 $\iff$ 存在基使得 $\mathcal{M}(T)$ 是对角矩阵且对角元全非零。$■$

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六、各节笔记索引

节	笔记链接	核心主题
3A	3A 线性映射所成的向量空间	线性映射、$L(V,W)$、线性映射引理
3B	3B 零空间和值域	零空间、值域、基本定理
3C	3C 矩阵	==$\mathcal{M}(T)$==、矩阵运算、列秩=行秩
3D	3D 可逆性和同构	可逆性、同构、换基公式
3E	3E 向量空间的积和商	直积、商空间、诱导映射
3F	3F 对偶	对偶空间、对偶映射、零化子、双重对偶

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七、全章核心公式

必须熟记的公式与定理

1. ==基本定理（秩-零化度定理）==（定理 3.21）：$\dim V=\dim \text{null}T+\dim \text{range}T$
2. 单射/满射刻画（定理 3.14/3.15）：$T$ 单射 $\iff$ $\text{null}T=\{0\}$；$T$ 满射 $\iff$ $\text{range}T=W$
3. 有限维等价条件（定理 3.65）：$\dim V=\dim W$ 时，单射 $\iff$ 满射 $\iff$ 可逆
4. ==$\mathcal{M}(Tv)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$==（定理 3.76）：映射作用 = 矩阵乘法
5. ==换基公式==（定理 3.84）：$A=C^{-1}BC$
6. 商空间维数（定理 3.105）：$\dim V/U=\dim V-\dim U$
7. 诱导映射（定理 3.107）：$V/(\text{null}T)\cong \text{range}T$
8. ==对偶翻转==：$T$ 满射 $\iff$ $T^{\prime }$ 单射；$T$ 单射 $\iff$ $T^{\prime }$ 满射
9. ==$\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$==（定理 3.132）：对偶映射的矩阵是转置
10. 零化子维数（定理 3.125）：$\dim U^0=\dim V-\dim U$

易错提醒

• 基本定理是全章枢纽——几乎所有重要结果都由它推出
• 对偶映射 $T^{\prime }$ 的方向反转：$T:V\to W$ 变为 $T^{\prime }:W^{\prime }\to V^{\prime }$
• $(ST{)}^{\prime }=T^{\prime }{S}^{\prime }$，顺序反转（与 $(AB{)}^t=B^t{A}^t$ 一致）
• 零化子 $U^0$ 是 $V^{\prime }$ 的子空间，不是 $V$ 的子空间
• 换基公式 $A=C^{-1}BC$ 中 $C$ 是从新基到旧基的变换矩阵
• $V\cong V^{\prime }$ 需要选基（不自然），但 $V\cong V^{\prime \prime }$ 通过 $\Lambda$ 是自然的

线性映射