线性映射（Linear Map）
一句话定义
线性映射是保持向量加法和标量乘法的函数：，。它是向量空间之间的”结构保持映射”。
形式定义
设 为映射。 是线性的，当且仅当：
等价于： 对所有 成立。
线性映射引理（定理 3.4）
基上的值唯一确定线性映射。若 是 的基，则每个 的取值唯一决定一个线性映射 。
意义：这是整个线性代数的起点——要定义一个线性映射，只需指定基向量去向即可。
核心概念
零空间（Null Space / Kernel）
- 是 的子空间（定理 3.12）
- 单射
值域（Range / Image）
- 是 的子空间（定理 3.13）
- 满射
最重要的定理：维数公式 / 线性映射基本定理（定理 3.21）
零空间维数 + 值域维数 = 定义域维数。这是全章（乃至全书）最重要的定理，连接了映射的”输入端”和”输出端”。
矩阵表示（3C 节）
- （定义 3.31）：第 列 在 的基下的坐标
- 矩阵乘法的根本来源：（定理 3.43）——矩阵乘法不是任意规定的，而是由复合映射唯一确定的
列秩 = 行秩（定理 3.57）
矩阵的列秩 = 行秩。这说明”列方向”和”行方向”的维数天然相等，是矩阵最重要的不变量之一。
与其他概念的联系
- matrix：矩阵是线性映射关于特定基的表示——列是基向量的像
- rank-nullity-theorem：维数公式是线性映射理论的核心
- eigenvalue：特征值是算子（）的特征，零空间是 的子空间
- operator：算子是线性映射的特殊情况（）
章节定位
第 3 章是线性代数的”操作手册”。LADR 的核心观点：先有线性映射，再有矩阵；矩阵只是线性映射的表示，线性映射本身与基的选取无关。