张量积（Tensor Product）

一句话定义

张量积 $V \otimes W$ 是将双线性映射”线性化”的通用工具：每个双线性映射 $B : V \times W \to F$ 唯一对应一个线性映射 $\hat{B} : V \otimes W \to F$ 。

每个双线性映射 $B : V \times W \to F$ 唯一对应一个线性映射 $\hat{B} : V \otimes W \to F$ ，满足 $\hat{B} (v \otimes w) = B (v, w)$ 。

这是张量积的核心价值：将双线性问题转化为线性问题。

$V \otimes W = L (V^{'}, W^{'}; F)$

即从 $V$ 的对偶空间到 $W$ 的对偶空间的所有双线性泛函构成的空间。

性质	内容
维数	$dim (V \otimes W) = (dim V) (dim W)$
基	若 $e_{1}, \dots, e_{m}$ 和 $f_{1}, \dots, f_{n}$ 分别是 $V, W$ 的基，则 $e_{i} \otimes f_{j}$ 是 $V \otimes W$ 的基
双线性	$(v_{1} + v_{2}) \otimes w = v_{1} \otimes w + v_{2} \otimes w$ ， $v \otimes (w_{1} + w_{2}) = v \otimes w_{1} + v \otimes w_{2}$

行列式本质上是最高次（ $n$ 次）交错多重线性型，即 $V$ 的 $n$ 次外幂：

$det \in L_{alt} (V^{n}; F) = Λ^{n} (V)$

9D 节是第 9 章的核心高潮之一。张量积是现代数学（代数几何、微分几何、量子力学）的核心语言。