行列式

行列式（Determinant）

一句话定义

行列式是唯一的 $n$ 次交错多重线性型 $\det :{\mathbb{F}}^{n,n}\to \mathbb{F}$，满足 $\det I=1$。它衡量线性算子对”有向体积”的缩放因子。

LADR 的定义路径（第 9 章）

LADR 用多重线性型的语言定义行列式，揭示了其本质：

双线性型（两个变量各自线性）
  ↓ 加"交错"条件（交换两行变号）
交错多重线性型
  ↓ 加"n次"条件（n个向量）
行列式（唯一存在的n次交错多重线性型）

核心性质

性质	内容
乘法公式	$\det (AB)=\det (A)\det (B)$
可逆判据	$\det (A)\ne 0\iff A$ 可逆
转置不变	$\det (A^T)=\det (A)$
特征值关系	$\det (A)={\lambda }_1\cdots {\lambda }_n$（特征值之积）

莱布尼茨公式（定理 9.46）

$\det A={\sum }_{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma ){\prod }_{j=1}^n{A}_{j,\sigma (j)}$

这是行列式的”原始”定义——按所有排列求和。但 LADR 用多重线性型的存在唯一性作为定义，将这个公式作为推论。

特征值与行列式

定理	内容
特征多项式	$p_T(z)=\det (zI-T)$（定义 8.26）
$\det T={\lambda }_1\cdots {\lambda }_n$	行列式等于特征值的乘积（按重数计）
$\text{tr}T=\sum {\lambda }_k$	迹等于特征值的和

与若当型的关系

• 若当型中每个 $1\times 1$ 若当块贡献一个特征值
• 若当块的行列式是 ${\lambda }^m$（$m$ 为块大小）
• 整个矩阵的行列式是所有特征值的乘积

与其他概念的联系

• matrix：行列式是方阵的重要不变量
• eigenvalue：特征值之积等于行列式
• tensor-product：行列式本质上是最高次交错多重线性型，即 $V$ 的 $n$ 次外幂 ${\Lambda }^n(V)$
• jordan-form-theorem：行列式（特征多项式）是若当型的代数基础

常见误解

Warning

传统教材从”展开公式”引入行列式，LADR 的路径是：多重线性型 $\Rightarrow$ 行列式的存在唯一性 $\Rightarrow$ 具体计算公式是推论而非定义。理解这个路径比记住计算公式更重要。

章节定位

第 9 章的行列式定义揭示了行列式不是”竖式计算”，而是多重线性型理论的自然产物。

详见：第9章 多重线性代数和行列式 — 章节汇总