若当型定理（Jordan Form Theorem）

一句话概括

每个复向量空间上的算子都有一组基，使矩阵呈若当型——对角线为特征值，上方次对角线可能有 1（表示链式结构）。若当型是算子最完整的矩阵描述。

设 $V$ 为复向量空间， $T \in L (V)$ 。则 $V$ 有一组基关于 $T$ 的矩阵为若当矩阵，即每个特征值有一系列若当块：

$J (λ, m) = λ 0 1 λ ⋱ ⋱ 01 λ_{m \times m}$

$(T - λ I)^{k} v = 0$ 对某个 $k$ ，且 $v \neq = 0$

每个有限维复向量空间上的算子都有由广义特征向量构成的基。

这保证若当型总是存在——即使算子不可对角化。

$V = G (λ_{1}, T) \oplus \dots \oplus G (λ_{m}, T)$

其中 $G (λ_{k}, T) = null (T - λ_{k} I)^{d i m V}$ 是广义特征空间，每个 $(T - λ_{k} I) ∣_{G (λ_{k}, T)}$ 是幂零算子。

若当块 $J (λ, m)$ 对应一个 $m$ 维广义特征空间：

幂零部分： $J (λ, m) - λ I$ 是幂零矩阵（次对角线全 1，对角线全 0），其 $m$ 次幂为零。

关键步骤：

若当型是最完整的矩阵描述，即使是不可对角化的算子也能用若当矩阵表示。每个复算子都”几乎”可对角化——广义特征向量填补了特征向量的缺口。

$q (T) = 0$ ，其中 $q (z) = \prod (z - λ_{i})^{d_{i}}$ 是特征多项式。

算子 $T$ 满足自己的特征方程——这是若当型理论的直接推论。

第 8D 节是全书最后的理论高潮。若当型告诉我们：即使特征向量不够用（不可对角化），我们仍然可以找到”最简矩阵”。