可对角化（Diagonalization）
一句话定义
算子 可对角化，当且仅当存在由特征向量构成的基——在该基下 的矩阵是对角矩阵，对角线上的元素是特征值。
形式定义（定义 5.50）
是可对角化的，若存在 的基使 为对角矩阵。
等价刻画（定理 5.55）
| 条件 | 内容 |
|---|---|
| 特征向量基 | 有一组由特征向量构成的基 |
| 特征空间直和 | |
| 维数等式 | |
| 最小多项式 | 最小多项式无重根 |
判别法
- 充分条件： 个互异特征值 可对角化（定理 5.58）
- 必要条件：若可对角化，则每个特征值的几何重数 = 代数重数
- 不可对角化的典型例子：若当块 ——只有一个线性无关特征向量，但代数重数为 2
可对角化 vs 不可对角化
| 算子 | 可对角化？ | 原因 |
|---|---|---|
| 自伴算子 （实/复内积空间） | 是（谱定理） | 规范正交特征向量基 |
| 正规算子 （复内积空间） | 是（复谱定理） | 规范正交特征向量基 |
| 一般复算子 | 不一定 | 可能有广义特征向量但非特征向量 |
| 实旋转 90°（） | 否 | 无实特征值 |
与谱定理的关系
- 谱定理（spectral-theorem）是可对角化在内积空间的强化：
- 不仅可对角化
- 还能选规范正交特征向量基
- 矩阵是对角矩阵（实数域）或酉矩阵对角化（复数域）
- 若当型（jordan-form-theorem）是处理不可对角化情况的标准形
章节定位
5D 节是可对角化的完整讨论。可对角化是”理想情况”——在特征向量基下，算子的行为一目了然：每个方向上只是拉伸 倍。