谱定理

谱定理（Spectral Theorem）

一句话概括

自伴（正规）算子关于某个规范正交基有对角矩阵——它们在最好的基下”只是拉伸”。谱定理是线性代数算子理论的皇冠。

复谱定理（定理 7.31）

设 $V$ 为复内积空间，$T\in \mathcal{L}(V)$。则 $T$ 为正规算子 $⟺$ $V$ 有一个由特征向量构成的规范正交基。

等价表述：$T$ 关于某规范正交基的矩阵是对角矩阵。

实谱定理（定理 7.29）

设 $V$ 为实内积空间，$T\in \mathcal{L}(V)$。则 $T$ 为自伴算子 $⟺$ $V$ 有一个由特征向量构成的规范正交基。

算子分类（从一般到特殊）

类型	定义	对角化
一般算子	$T\in \mathcal{L}(V)$	未必可对角化
正规算子	$T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$	规范正交基下对角化
自伴算子	$T^{\ast }=T$	规范正交基下对角化，特征值为实数

正规算子的 5 条等价性质（定理 7.21）：

• $\Vert Tv\Vert =\Vert T^{\ast }v\Vert$ 对所有 $v$
• $\text{null}T=\text{null}{T}^{\ast }$
• $\text{range}T=\text{range}{T}^{\ast }$
• $\text{range}T=(\text{null}T{)}^{\perp }$
• $T-\lambda I$ 对所有 $\lambda$ 正规

谱分解

若 $T$ 为正规算子，特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 互异，则： $T={\lambda }_1{P}_1+\cdots +{\lambda }_m{P}_m$

其中 $P_k$ 是到特征空间 $E({\lambda }_k,T)$ 的正交投影，且 $P_j{P}_k=0$（$j\ne k$），$P_1+\cdots +P_m=I$。

谱定理的意义

谱定理是全书理论高潮：它告诉我们，自伴/正规算子不仅可对角化，而且可以选一组合适的基（规范正交的）来对角化。这在物理（量子力学）和应用中（SVD、最小二乘）都有重要意义。

与 SVD 的关系

• 谱定理：$T:V\to V$，要求 $T$ 正规 $\Rightarrow$ $V$ 的正交基对角化 $T$
• SVD：$T:V\to W$，无结构要求 $\Rightarrow$ $V$ 和 $W$ 的正交基同时对齐

SVD 是谱定理的最广义形式，适用于任意线性映射。

详见：第7章 内积空间上的算子 — 章节汇总