第 9 章 多重线性代数和行列式 — 章节汇总

全章概览

第 9 章是线性代数的进阶章节，围绕多重线性型这一核心概念展开，从双线性型出发，经过交错型，最终到达行列式和张量积两大核心理论。全章四节构成一条清晰的逻辑链：

双线性和二次型（9A）→ 交错多重线性型（9B）→ 行列式（9C）→ 张量积（9D）

全章的核心动机是：行列式本质上是"线性算子对有向体积的缩放因子"，而这一事实通过交错多重线性型的一维性得到最本质的定义。张量积则提供了”将双线性映射线性化”的通用工具。

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一、全章知识框架思维导图

graph TB
    subgraph CH9["第9章 多重线性代数和行列式"]
        subgraph S9A["9A 双线性和二次型"]
            A1["定义9.1: 双线性型 beta<br/>V乘V到F 两个位置分别线性"]
            A2["V的2次方: 双线性型向量空间<br/>dim等于dim V的平方"]
            A3["矩阵表示 M of beta<br/>第j行第k列等于beta of ej和ek"]
            A4["⭐ 换基公式 A等于CtBC<br/>合同变换"]
            A5["对称双线性型<br/>⭐ 可对角化: 定理9.12"]
            A6["交错双线性型<br/>alpha v v 等于0"]
            A7["⭐ 直和分解<br/>V的2次方等于sym直和alt"]
            A8["二次型 q beta<br/>唯一对应对称双线性型"]
        end
        subgraph S9B["9B 交错多重线性型"]
            B1["m重线性型 V的m次方<br/>每个位置线性"]
            B2["交错型 V的m次方alt<br/>两输入相等时输出为0"]
            B3["⭐ 线性相关组输出为0<br/>定理9.28"]
            B4["m大于dim V时无非零交错型"]
            B5["交换输入变号: 定理9.30"]
            B6["排列与符号 sign<br/>逆序数定义"]
            B7["⭐ 核心展开公式: 定理9.36"]
            B8["⭐ 一维性 dim V alt n次方等于1<br/>定理9.37"]
            B9["线性无关性刻画: 定理9.39"]
        end
        subgraph S9C["9C 行列式"]
            C1["定义9.41: 算子行列式 det T<br/>alpha的T次方等于 det T 乘以 alpha"]
            C2["定义9.43: 矩阵行列式 det A"]
            C3["⭐ 莱布尼茨公式: 定理9.46"]
            C4["上三角矩阵: 对角元素之积"]
            C5["⭐ 可乘性 det ST等于 det S乘det T"]
            C6["⭐ 可逆判据 det T非零"]
            C7["⭐ 特征值之积: 定理9.51"]
            C8["⭐ 特征多项式 pT z等于 det zI减T"]
            C9["⭐ 凯莱哈密尔顿定理 pT T等于0"]
            C10["阿达马不等式与范德蒙行列式"]
        end
        subgraph S9D["9D 张量积"]
            D1["双线性泛函 B of V and W<br/>dim等于 dim V 乘以 dim W"]
            D2["定义9.71: 张量积 V tensor W<br/>等于 B of V prime 和 W prime"]
            D3["dim V tensor W 等于 dim V 乘以 dim W"]
            D4["张量积的基: ej tensor fk"]
            D5["⭐ 泛性质: 定理9.79<br/>双线性映射与线性映射一一对应"]
            D6["内积空间张量积<br/>规范正交基的配对"]
            D7["多空间张量积推广<br/>m重线性映射与泛性质"]
        end
    end

    A1 --> A3
    A3 --> A4
    A5 --> A7
    A6 --> A7
    A7 --> A8
    A1 --> B1
    B1 --> B2
    B2 --> B3
    B3 --> B4
    B2 --> B5
    B5 --> B7
    B6 --> B7
    B7 --> B8
    B8 --> B9
    B8 --> C1
    C1 --> C2
    C1 --> C3
    C3 --> C4
    C4 --> C5
    C5 --> C6
    C6 --> C7
    C7 --> C8
    C8 --> C9
    A1 --> D1
    D1 --> D2
    D2 --> D3
    D3 --> D4
    D4 --> D5
    D5 --> D6
    D5 --> D7

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二、全章核心知识点与重点公式汇总

2.1 双线性和二次型（9A 双线性和二次型）

定理/定义	内容	编号
双线性型	$\beta :V\times V\to \mathbb{F}$，两个位置分别线性	9.1
$V^{(2)}$	双线性型构成的向量空间	9.3
$M(\beta )$ 的构造	$M(\beta {)}_{j,k}=\beta (e_j,e_k)$	9.4
==$\dim V^{(2)}=(\dim V{)}^2$==	$\beta \mapsto M(\beta )$ 是同构	9.5
与算子复合	$M(\alpha )=M(\beta )M(T)$，$M(\rho )=M(T{)}^{t}M(\beta )$	9.6
==换基公式==	$A=C^{t}BC$（合同变换）	9.7
对称双线性型	$\rho (u,w)=\rho (w,u)$，关于所有基的矩阵都对称	9.9, 9.12
==对称双线性型可对角化==	4个等价条件，存在基使矩阵为对角矩阵	9.12
规范正交基对角化	实内积空间上，对称双线性型可关于规范正交基对角化	9.13
交错双线性型	$\alpha (v,v)=0$，等价于反对称	9.14, 9.16
==直和分解==	$V^{(2)}=V_{\text{sym}}^{(2)}\oplus V_{\text{alt}}^{(2)}$	9.17
二次型	$q_{\beta }(v)=\beta (v,v)$，唯一对应对称双线性型	9.18, 9.21
二次型对角化	$q(x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n)={\lambda }_1{x}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2$	9.23

2.2 交错多重线性型（9B 交错多重线性型）

定理/定义	内容	编号
$m$ 重线性型	$\beta :V^m\to \mathbb{F}$，每个位置线性	9.25
交错型	任意两个输入相等时输出为零	9.27
==线性相关组输出为0==	$v_1,\dots ,v_m$ 线性相关 $\Rightarrow$ $\alpha (v_1,\dots ,v_m)=0$	9.28
$m>\dim V$ 时无非零	$V_{\text{alt}}^{(m)}=\{0\}$	9.29
交换输入变号	交换任意两个位置，值乘以 $-1$	9.30
排列符号	$\mathrm{sign}(j_1,\dots ,j_m)=(-1{)}^N$，$N$ 为逆序数	9.32
排列与交错型	$\alpha (v_{j_1},\dots )=\mathrm{sign}\cdot \alpha (v_1,\dots )$	9.35
==核心展开公式==	$\alpha (v_1,\dots ,v_n)=\alpha (e_1,\dots ,e_n){\sum }_{\sigma \in {\text{perm}}_n}\mathrm{sign}(\sigma )b_{\sigma (1),1}\cdots b_{\sigma (n),n}$	9.36
==一维性==	$\dim V_{\text{alt}}^{(n)}=1$（$n=\dim V$）	9.37
线性无关性刻画	$\alpha (e_1,\dots ,e_n)\ne 0$ $⟺$ $e_1,\dots ,e_n$ 线性无关	9.39

2.3 行列式（9C 行列式）

定理/定义	内容	编号
算子行列式 $\det T$	${\alpha }^T=(\det T)\alpha$，体积缩放因子	9.41
矩阵行列式 $\det A$	对应算子关于标准基的行列式	9.43
==莱布尼茨公式==	$\det A={\sum }_{\sigma \in {\text{perm}}_n}\mathrm{sign}(\sigma )A_{\sigma (1),1}\cdots A_{\sigma (n),n}$	9.46
上三角矩阵行列式	$\det A=A_{1,1}{A}_{2,2}\cdots A_{n,n}$	9.48
==可乘性==	$\det (ST)=(\det S)(\det T)$	9.49
==可逆判据==	$T$ 可逆 $⟺$ $\det T\ne 0$；$\det T^{-1}=1/\det T$	9.50
==特征值之积==	$\det T={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$（按代数重数）	9.51
相似不变量	$\det A=\det B$（$A,B$ 相似）	9.52
算子等于矩阵行列式	$\det T=\det A$（$A$ 为 $T$ 的矩阵）	9.53
转置不变	$\det A^T=\det A$	9.56
行列式计算技巧	行交换变号、行缩放乘系数、行的倍数加到另一行不变	9.57
幺正算子	$	\det T
正算子	$\det T\ge 0$	9.59
==特征多项式==	$p_T(z)=\det (zI-T)=(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_n)$	9.62, 9.63
==凯莱-哈密尔顿定理==	$p_T(T)=0$	9.64
迹和行列式	$p_T(z)=z^n-(\mathrm{tr}T)z^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n\det T$	9.65
阿达马不等式	$	\det A
范德蒙行列式	$\det V={\prod }_{j<k}(c_k-c_j)$	9.67

2.4 张量积（9D 张量积）

定理/定义	内容	编号
双线性泛函 $B(V,W)$	$\beta :V\times W\to \mathbb{F}$，两个位置分别线性	9.68
==$\dim B(V,W)=(\dim V)(\dim W)$==	对偶基构造 ${\beta }_{j,k}={\epsilon }_j\cdot {\eta }_k$	9.70
张量积 $V\otimes W$	定义为 $B(V^{\prime },W^{\prime })$；$v\otimes w$ 是双线性泛函	9.71
==$\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$==	由定义和定理9.70直接得出	9.72
张量积的双线性	$(v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w$	9.73
张量积的基	$\{e_j\otimes f_k\}$ 构成 $V\otimes W$ 的基	9.74
张量积与矩阵	${\mathbb{F}}^m\otimes {\mathbb{F}}^n\cong M_{m,n}(\mathbb{F})$	9.76
==泛性质==	双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$ $\leftrightarrow$ 线性映射 $T:V\otimes W\to U$（一一对应）	9.79
张量积上的内积	$⟨v_1\otimes w_1,v_2\otimes w_2⟩=⟨v_1,v_2{⟩}_V\cdot ⟨w_1,w_2{⟩}_W$	9.80, 9.82
规范正交基	规范正交基的配对 $\{e_j\otimes f_k\}$ 仍规范正交	9.83
多空间张量积	$V_1\otimes \cdots \otimes V_m=B(V_1^{\prime },\dots ,V_m^{\prime })$	9.88
多空间泛性质	$m$ 重线性映射 $\leftrightarrow$ 线性映射（一一对应）	9.92

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三、章节学习脉络梳理

3.1 第一层：双线性和二次型（9A）

核心问题：什么是双线性型？它有哪些重要的特殊类型？

• 定义了双线性型 $\beta :V\times V\to \mathbb{F}$，建立了矩阵表示 $M(\beta )$
• 证明了 $\dim V^{(2)}=(\dim V{)}^2$，$\beta \mapsto M(\beta )$ 是同构
• 导出==换基公式 $A=C^{t}BC$==（合同变换），与算子的换基公式 $A=C^{-1}BC$ 形成对比
• 对称双线性型：可对角化（定理9.12），且可在规范正交基下对角化（定理9.13）
• 交错双线性型：等价于反对称（定理9.16）
• ==直和分解 $V^{(2)}=V_{\text{sym}}^{(2)}\oplus V_{\text{alt}}^{(2)}$==：每个双线性型唯一分解为对称部分加交错部分
• 二次型 $q_{\beta }(v)=\beta (v,v)$ 唯一对应对称双线性型

关键收获：双线性型是”两个变量同时线性”的函数，换基时用合同变换 $C^{t}BC$（而非相似变换 $C^{-1}BC$），对称双线性型一定可以找到基使其矩阵为对角矩阵。

3.2 第二层：交错多重线性型（9B）

核心问题：如何将双线性型推广到多个变量？交错型有什么深刻性质？

• 将双线性型推广到 $m$ 重线性型 $V^{(m)}$
• 交错型：任意两个输入相等时输出为零，等价于交换任意两个输入变号
• ==线性相关组 $\to$ 输出0==（定理9.28）：交错型是”退化检测器”
• $m>\dim V$ 时无非零交错型（定理9.29）
• 引入排列和逆序数定义排列的符号
• 核心展开公式（定理9.36）：将 $\alpha (v_1,\dots ,v_n)$ 展开为排列和
• ==一维性 $\dim V_{\text{alt}}^{(n)}=1$==（定理9.37）：所有非零交错 $n$ 重线性型只差标量倍数
• 线性无关性刻画（定理9.39）：非零交错 $n$ 重线性型检测线性无关性

关键收获：交错多重线性型本质上是”有向体积”的代数抽象，一维性是全章最核心的结论——它为行列式的定义提供了理论基础。

3.3 第三层：行列式（9C）

核心问题：如何利用交错型的一维性定义行列式？行列式有哪些核心性质？

• 算子行列式 $\det T$：${\alpha }^T=(\det T)\alpha$，体积缩放因子
• 矩阵行列式 $\det A$：算子行列式在标准基下的表示
• 莱布尼茨公式：行列式的经典排列和表达式
• ==可乘性 $\det (ST)=(\det S)(\det T)$==：体积缩放的复合
• ==可逆判据 $\det T\ne 0⟺T$ 可逆==：体积缩放为零意味着退化
• 特征值之积：$\det T={\lambda }_1\cdots {\lambda }_n$
• 特征多项式 $p_T(z)=\det (zI-T)$：连接行列式与算子理论
• ==凯莱-哈密尔顿定理 $p_T(T)=0$==：每个算子满足自身的特征多项式
• 阿达马不等式与范德蒙行列式：经典应用

关键收获：Axler 的行列式定义从交错型一维性出发，无需矩阵即可定义算子行列式，核心性质（乘法性、可逆判据）几乎是定义的直接推论。行列式是特征多项式的常数项，迹是 $z^{n-1}$ 系数的负值。

3.4 第四层：张量积（9D）

核心问题：如何将双线性映射”线性化”？张量积是什么？

• 双线性泛函 $B(V,W)$：$\dim B(V,W)=(\dim V)(\dim W)$
• 张量积 $V\otimes W=B(V^{\prime },W^{\prime })$：将双线性映射的”源”变为向量空间
• 维数公式：$\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$
• 张量积的基：$\{e_j\otimes f_k\}$ 是基的”所有配对”
• 泛性质（定理9.79）：双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$ 与线性映射 $T:V\otimes W\to U$ 一一对应
• 内积空间张量积：规范正交基的配对仍规范正交
• 多空间推广：$V_1\otimes \cdots \otimes V_m$，$m$ 重线性映射的泛性质

关键收获：张量积是”双线性映射的万能线性化器”——泛性质是其灵魂。任何双线性问题都可以通过张量积转化为线性问题，利用成熟的线性代数工具求解。

3.5 全章核心线索图

graph TD
    A["双线性型 V的2次方<br/>dim等于dim V的平方 (9A)"] --> B["对称与交错分解<br/>V的2次方等于sym直和alt (9A)"]
    A --> C["交错多重线性型<br/>线性相关组输出为0 (9B)"]
    B --> D["二次型<br/>唯一对应对称双线性型 (9A)"]
    C --> E["排列与符号<br/>展开公式 (9B)"]
    E --> F["⭐ 一维性<br/>dim V alt n次方等于1 (9B)"]
    F --> G["⭐ 行列式定义<br/>det T 等于体积缩放因子 (9C)"]
    G --> H["莱布尼茨公式与可乘性<br/>det ST等于det S乘det T (9C)"]
    H --> I["可逆判据与特征值之积<br/>det T非零当且仅当T可逆 (9C)"]
    I --> J["特征多项式与凯莱哈密尔顿<br/>pT T等于0 (9C)"]
    A --> K["双线性泛函 B of V and W<br/>dim等于dim V乘以dim W (9D)"]
    K --> L["⭐ 张量积 V tensor W<br/>泛性质: 双线性映射线性化 (9D)"]
    L --> M["内积空间与多空间推广 (9D)"]

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四、全章总复习题

使用说明

以下复习题覆盖第 9 章全部四节的核心知识点。建议在不查阅笔记的情况下独立完成，然后对照答案自评。每题标注了考查的节次和知识点。

A. 双线性和二次型（9A）

A1. 设 $V={\mathbb{R}}^3$，$\beta$ 关于标准基的矩阵为 $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 3& 1\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$。判断 $\beta$ 是否为对称双线性型，并说明理由。

查看解答

$B$ 是对称矩阵（$B=B^t$），因为 $B_{1,2}=B_{2,1}=2$，$B_{2,3}=B_{3,2}=1$，其余元素关于对角线对称。

由定理9.12(c) $\Rightarrow$ (a)：若双线性型关于某个基的矩阵是对称的，则该双线性型是对称的。因此 $\beta$ 是对称双线性型。

A2. 设 $\rho$ 是 $V$ 上的对称双线性型，关于基 $e_1,e_2,e_3$ 的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$。写出二次型 $q_{\rho }$ 的表达式，并求从 $\rho$ 恢复对称双线性型的公式验证。

查看解答

二次型 $q_{\rho }(x_1{e}_1+x_2{e}_2+x_3{e}_3)=2x_1^2+3x_2^2-x_3^2$。

恢复公式验证：$\rho (u,w)=\frac{q_{\rho }(u+w)-q_{\rho }(u)-q_{\rho }(w)}{2}$。

取 $u=(a_1,a_2,a_3)$，$w=(b_1,b_2,b_3)$： $q_{\rho }(u+w)=2(a_1+b_1{)}^2+3(a_2+b_2{)}^2-(a_3+b_3{)}^2$ $q_{\rho }(u)=2a_1^2+3a_2^2-a_3^2$ $q_{\rho }(w)=2b_1^2+3b_2^2-b_3^2$

因此 $\rho (u,w)=2a_1{b}_1+3a_2{b}_2-a_3{b}_3$，与矩阵 $A$ 一致。

B. 交错多重线性型（9B）

B1. 设 $\dim V=4$。证明 $V_{\text{alt}}^{(5)}=\{0\}$，并求 $\dim V_{\text{alt}}^{(4)}$。

查看解答

由定理9.29：若 $m>\dim V$，则 $V_{\text{alt}}^{(m)}=\{0\}$。因为 $5>4=\dim V$，所以 $V_{\text{alt}}^{(5)}=\{0\}$。

由定理9.37：$\dim V_{\text{alt}}^{(n)}=1$（$n=\dim V$）。因为 $4=\dim V$，所以 $\dim V_{\text{alt}}^{(4)}=1$。

B2. 设 $\alpha$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的非零交错 $3$ 重线性型，$v_1=(1,0,1)$，$v_2=(0,1,1)$，$v_3=(1,1,0)$。判断 $\alpha (v_1,v_2,v_3)$ 是否为零，并说明理由。

查看解答

由定理9.39：$\alpha (e_1,\dots ,e_n)\ne 0$ 当且仅当 $e_1,\dots ,e_n$ 线性无关。

需要判断 $v_1,v_2,v_3$ 是否线性无关。计算行列式（或判断线性相关性）：

$\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=1\cdot (0-1)-0+1\cdot (0-1)=-1-1=-2\ne 0$

因此 $v_1,v_2,v_3$ 线性无关，由定理9.39，$\alpha (v_1,v_2,v_3)\ne 0$。

C. 行列式（9C）

C1. 设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ 关于标准基的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$。利用上三角矩阵行列式公式计算 $\det T$，并判断 $T$ 是否可逆。

查看解答

$A$ 是上三角矩阵，由定理9.48： $\det A=A_{1,1}\cdot A_{2,2}\cdot A_{3,3}=2\times 3\times (-1)=-6$

由定理9.53，$\det T=\det A=-6\ne 0$，因此 $T$ 是可逆的（定理9.50）。

C2. 设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{C}}^3)$ 的特征值为 $2,2,5$（按代数重数列出）。求 $\det T$、$\mathrm{tr}T$，并写出特征多项式 $p_T(z)$。

查看解答

由定理9.55（或9.51）： $\det T=2\times 2\times 5=20$

由定理8.29： $\mathrm{tr}T=2+2+5=9$

由定理9.62： $p_T(z)=(z-2)(z-2)(z-5)=(z-2{)}^2(z-5)=z^3-9z^2+24z-20$

验证定理9.65：$z^{n-1}$ 系数为 $-\mathrm{tr}T=-9$ ✓，常数项为 $(-1{)}^3\det T=-20$ ✓。

D. 张量积（9D）

D1. 设 $\dim V=3$，$\dim W=4$。求 $\dim (V\otimes W)$ 和 $\dim (V\otimes W\otimes V)$。

查看解答

由定理9.72：$\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)=3\times 4=12$。

由定理9.89：$\dim (V\otimes W\otimes V)=(\dim V)(\dim W)(\dim V)=3\times 4\times 3=36$。

D2. 设 $\Gamma :{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ 定义为 $\Gamma ((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(x_1{y}_1,x_1{y}_2+x_2{y}_1,x_2{y}_2)$。验证 $\Gamma$ 是双线性映射，并利用泛性质描述对应的线性映射 $T:{\mathbb{R}}^2\otimes {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$。

查看解答

双线性性验证：固定 $(y_1,y_2)$，$\Gamma ((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(x_1{y}_1,x_1{y}_2+x_2{y}_1,x_2{y}_2)$ 关于 $(x_1,x_2)$ 是线性的（每个分量都是 $x_1,x_2$ 的线性函数）。固定 $(x_1,x_2)$ 时同理。

利用泛性质（定理9.79）：存在唯一的线性映射 $T:{\mathbb{R}}^2\otimes {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ 使得 $T(v\otimes w)=\Gamma (v,w)$。

取 ${\mathbb{R}}^2$ 的标准基 $e_1=(1,0)$，$e_2=(0,1)$，则 $\{e_1\otimes e_1,e_1\otimes e_2,e_2\otimes e_1,e_2\otimes e_2\}$ 是 ${\mathbb{R}}^2\otimes {\mathbb{R}}^2$ 的基。$T$ 在基上的值为：

• $T(e_1\otimes e_1)=\Gamma ((1,0),(1,0))=(1,0,0)$
• $T(e_1\otimes e_2)=\Gamma ((1,0),(0,1))=(0,1,0)$
• $T(e_2\otimes e_1)=\Gamma ((0,1),(1,0))=(0,1,0)$
• $T(e_2\otimes e_2)=\Gamma ((0,1),(0,1))=(0,0,1)$

因此 $T$ 的矩阵（关于上述基和 ${\mathbb{R}}^3$ 的标准基）为 $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$。

E. 综合应用题

E1. 设 $T\in \mathcal{L}(V)$，$\dim V=n$。利用行列式的定义（定义9.41）和交错型的一维性（定理9.37），证明 $\det (ST)=(\det S)(\det T)$。

查看解答

设 $\alpha$ 是 $V$ 上的非零交错 $n$ 重线性型。

由定义9.40和9.41： ${\alpha }^{ST}(v_1,\dots ,v_n)=\alpha (ST{v}_1,\dots ,ST{v}_n)={\alpha }^S(T{v}_1,\dots ,T{v}_n)$

由定义9.41应用于 $S$：${\alpha }^S=(\det S)\alpha$，所以： ${\alpha }^{ST}(v_1,\dots ,v_n)=(\det S)\alpha (T{v}_1,\dots ,T{v}_n)=(\det S){\alpha }^T(v_1,\dots ,v_n)=(\det S)(\det T)\alpha (v_1,\dots ,v_n)$

但由定义9.41应用于 $ST$：${\alpha }^{ST}=(\det (ST))\alpha$。

因此 $(\det (ST))\alpha =(\det S)(\det T)\alpha$。因为 $\alpha \ne 0$，所以 $\det (ST)=(\det S)(\det T)$。

E2. 设 $V$ 和 $W$ 是有限维内积空间，$e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基。证明 $\{e_j\otimes f_k\}$ 是 $V\otimes W$ 的规范正交基，并利用此结论计算 $\Vert e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2\Vert$。

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规范正交性证明（定理9.83）：

由定理9.74，$\{e_j\otimes f_k\}$ 已经是 $V\otimes W$ 的基。只需验证规范正交性。

由定义9.82： $⟨e_j\otimes f_k,e_p\otimes f_q⟩=⟨e_j,e_p{⟩}_V\cdot ⟨f_k,f_q{⟩}_W={\delta }_{j,p}{\delta }_{k,q}$

因为 $e_j$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_k$ 是 $W$ 的规范正交基。因此 $\{e_j\otimes f_k\}$ 是 $V\otimes W$ 的规范正交基。

范数计算：

$\Vert e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2{\Vert }^2=⟨e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2,e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2⟩$ $=⟨e_1\otimes f_1,e_1\otimes f_1⟩+⟨e_1\otimes f_1,e_2\otimes f_2⟩+⟨e_2\otimes f_2,e_1\otimes f_1⟩+⟨e_2\otimes f_2,e_2\otimes f_2⟩$ $=1\cdot 1+0\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 1=2$

因此 $\Vert e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2\Vert =\sqrt{2}$。

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五、各节笔记索引

节	笔记链接	核心主题
9A	9A 双线性和二次型	==换基公式 $C^{t}BC$==、对称型可对角化、直和分解、二次型
9B	9B 交错多重线性型	==一维性 $\dim V_{\text{alt}}^{(n)}=1$==、排列符号、展开公式
9C	9C 行列式	行列式定义、莱布尼茨公式、可乘性、特征多项式、凯莱-哈密尔顿
9D	9D 张量积	泛性质、张量积定义、双线性映射线性化、内积空间张量积

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六、全章核心公式

必须熟记的公式

1. 换基公式（合同变换）：$A=C^{t}BC$
2. 直和分解：$V^{(2)}=V_{\text{sym}}^{(2)}\oplus V_{\text{alt}}^{(2)}$
3. 一维性：$\dim V_{\text{alt}}^{(n)}=1$（$n=\dim V$）
4. 算子行列式定义：$\alpha (T{v}_1,\dots ,T{v}_n)=(\det T)\alpha (v_1,\dots ,v_n)$
5. 莱布尼茨公式：$\det A={\sum }_{\sigma \in {\text{perm}}_n}\mathrm{sign}(\sigma )A_{\sigma (1),1}\cdots A_{\sigma (n),n}$
6. 可乘性：$\det (ST)=(\det S)(\det T)$
7. 可逆判据：$T$ 可逆 $⟺$ $\det T\ne 0$
8. 特征值之积：$\det T={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$
9. 特征多项式：$p_T(z)=\det (zI-T)=z^n-(\mathrm{tr}T)z^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n\det T$
10. 凯莱-哈密尔顿定理：$p_T(T)=0$