9D 张量积

本节概览

本节是第9章”多重线性代数和行列式”的第四小节，也是本章的核心高潮之一。本节引入了张量积（tensor product）的概念——这是将双线性映射”线性化”的通用工具，在现代数学和物理中无处不在。逻辑链条如下：

1. 定义9.68：双线性泛函 $\to$ $B(V,W)$：$V\times W\to \mathbb{F}$ 上两个位置分别线性的函数
2. 定理9.70：维数公式 $\to$ $\dim B(V,W)=(\dim V)(\dim W)$
3. 定义9.71：张量积 $V\otimes W$ $\to$ 定义为 $B(V^{\prime },W^{\prime })$，$v\otimes w$ 定义为 $V\times W$ 上的双线性泛函
4. 定理9.72-9.74：基本性质 $\to$ 维数、双线性、基
5. 定义9.77/定理9.79：泛性质 $\to$ 双线性映射 $\leftrightarrow$ 线性映射的万能转化
6. 定理9.80-9.83：内积空间 $\to$ 张量积上的内积、规范正交基
7. 定义9.85-9.92：多空间推广 $\to$ $m$ 重线性泛函、$V_1\otimes \cdots \otimes V_m$、泛性质

核心主线：双线性泛函 $\to$ 张量积的定义 $\to$ 基本性质（维数、基、双线性） $\to$ 泛性质（万能转化） $\to$ 内积空间 $\to$ 多空间推广。

前置依赖：9A 双线性和二次型（双线性型）、9B 交错多重线性型（多重线性型）、9C 行列式（行列式）、3F 对偶（对偶空间 $V^{\prime }$、线性泛函）、3E 向量空间的积和商（向量空间的积与商）。

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一、两向量空间的张量积

1.1 双线性泛函

定义9.68： $V\times W$ 上的双线性泛函、$B(V,W)$

设 $V$ 和 $W$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。$V\times W$ 上的一个双线性泛函（bilinear functional）是一个函数 $\beta :V\times W\to \mathbb{F}$，满足：对于所有 $v\in V$，函数 $w\mapsto \beta (v,w)$ 都是 $W$ 上的线性泛函；对于所有 $w\in W$，函数 $v\mapsto \beta (v,w)$ 都是 $V$ 上的线性泛函。

所有 $V\times W$ 上的双线性泛函构成的集合记为 $B(V,W)$。

与双线性型的关系：

• 双线性型是 $\beta :V\times V\to \mathbb{F}$（同一个空间）
• 双线性泛函是 $\beta :V\times W\to \mathbb{F}$（可以是不同的空间）
• 双线性型是双线性泛函当 $V=W$ 时的特例

双线性泛函的线性结构：$B(V,W)$ 构成向量空间，加法和标量乘法定义为 $({\beta }_1+{\beta }_2)(v,w)={\beta }_1(v,w)+{\beta }_2(v,w),(c\beta )(v,w)=c\cdot \beta (v,w)$

1.2 双线性泛函的例子

例9.69：双线性泛函

例1：设 $\phi \in V^{\prime }$ 且 $\tau \in W^{\prime }$。定义为 $\beta (v,w)=\phi (v)\tau (w)$ 的函数 $\beta :V\times W\to \mathbb{F}$ 是 $V\times W$ 上的双线性泛函。这是因为固定 $v$ 时，$\beta (v,w)=\phi (v)\cdot \tau (w)$ 是 $\tau (w)$ 的标量倍，关于 $w$ 线性；固定 $w$ 时类似。

例2：更一般地，设 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_m\in V^{\prime }$ 且 ${\tau }_1,\dots ,{\tau }_m\in W^{\prime }$，则 $\beta (v,w)={\sum }_{k=1}^m{\phi }_k(v){\tau }_k(w)$ 是 $V\times W$ 上的双线性泛函。例1是 $m=1$ 的特例。

例3：设 $V=W={\mathbb{F}}^n$，$A$ 是 $n\times n$ 矩阵。定义为 $\beta (x,y)={\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^n{A}_{j,k}{x}_j{y}_k$ 的函数 $\beta :{\mathbb{F}}^n\times {\mathbb{F}}^n\to \mathbb{F}$ 是双线性泛函。

例4：设 $V=\mathcal{P}(\mathbb{R})$（实系数多项式空间），$W={\mathbb{R}}^3$。定义为 $\beta (p,(x,y,z))=p(1)x+p^{\prime }(0)y+p^{\prime \prime }(2)z$ 的函数 $\beta$ 是双线性泛函。

1.3 双线性泛函空间的维数

定理9.70： $\dim B(V,W)=(\dim V)(\dim W)$

设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间。则 $\dim B(V,W)=(\dim V)(\dim W)$

证明思路

[构造 $B(V,W)$ 的基]：

1. 设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的基。
2. 设 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $V^{\prime }$ 中对应的对偶基，${\eta }_1,\dots ,{\eta }_m$ 是 $W^{\prime }$ 中对应的对偶基（定义3.106）。
3. 定义 ${\beta }_{j,k}(v,w)={\epsilon }_j(v){\eta }_k(w)$，其中 $1\le j\le n$，$1\le k\le m$。
4. 关键步骤：证明 $\{{\beta }_{j,k}{\}}_{j,k}$ 是 $B(V,W)$ 的基。首先证明它们张成 $B(V,W)$：对任意 $\beta \in B(V,W)$，展开 $\beta (v,w)={\sum }_{j,k}\beta (e_j,f_k){\epsilon }_j(v){\eta }_k(w)={\sum }_{j,k}\beta (e_j,f_k){\beta }_{j,k}(v,w)$。然后证明线性无关性：若 ${\sum }_{j,k}{c}_{j,k}{\beta }_{j,k}=0$，则对所有 $j,k$ 有 $c_{j,k}=\beta (e_j,f_k)=0$。
5. 因此 $\dim B(V,W)=nm=(\dim V)(\dim W)$。$■$

维数公式的直觉

$B(V,W)$ 的维数等于 $\dim V$ 和 $\dim W$ 的乘积——这与矩阵的维数一致。事实上，每个双线性泛函都对应一个矩阵（类似9A节中双线性型与矩阵的对应关系），而 $n\times m$ 矩阵空间的维数正是 $nm$。

1.4 张量积的定义

定义9.71：张量积 $V\otimes W$、$v\otimes w$

设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间。$V$ 和 $W$ 的张量积（tensor product），记作 $V\otimes W$，定义为 $B(V^{\prime },W^{\prime })$（即所有从 $V^{\prime }\times W^{\prime }$ 到 $\mathbb{F}$ 的双线性泛函构成的向量空间）。

对于 $v\in V$ 和 $w\in W$，定义 $v\otimes w\in V\otimes W$ 为如下双线性泛函： $(v\otimes w)(\phi ,\tau )=\phi (v)\tau (\phi )$ 其中 $\phi \in V^{\prime }$，$\tau \in W^{\prime }$。

形如 $v\otimes w$ 的元素称为可分解张量（decomposable tensor）或纯张量（pure tensor）。

直觉理解：$v\otimes w$ 是一个”双线性泛函”，它接收两个线性泛函 $\phi \in V^{\prime }$ 和 $\tau \in W^{\prime }$，分别作用于 $v$ 和 $w$，然后把结果相乘。可以理解为”将 $v$ 和 $w$ 的信息编码到一个双线性函数中”。

张量积的本质含义

==张量积 $V\otimes W$ 是”双线性映射的通用目标空间”==。任何从 $V\times W$ 出发的双线性映射，都唯一地对应一个从 $V\otimes W$ 出发的线性映射。这就是泛性质（universal property），是张量积最重要的特征。

1.5 张量积的维数

定理9.72： $\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$

设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间。则 $\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$

证明思路

[直接利用定义9.71和定理9.70]：

1. 由定义9.71，$V\otimes W=B(V^{\prime },W^{\prime })$。
2. 由定理3.106，$\dim V^{\prime }=\dim V$，$\dim W^{\prime }=\dim W$。
3. 由定理9.70，$\dim B(V^{\prime },W^{\prime })=(\dim V^{\prime })(\dim W^{\prime })=(\dim V)(\dim W)$。$■$

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二、张量积的基本性质

2.1 张量积的双线性

定理9.73：张量积的双线性

设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间。则映射 $(v,w)\mapsto v\otimes w$ 是从 $V\times W$ 到 $V\otimes W$ 的双线性映射。即：

• $(v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w$
• $v\otimes (w_1+w_2)=v\otimes w_1+v\otimes w_2$
• $(cv)\otimes w=v\otimes (cw)=c(v\otimes w)$

证明思路

[利用 $v\otimes w$ 的定义验证]：

1. 对任意 $\phi \in V^{\prime }$，$\tau \in W^{\prime }$： $((v_1+v_2)\otimes w)(\phi ,\tau )=\phi (v_1+v_2)\tau (w)=(\phi (v_1)+\phi (v_2))\tau (w)=\phi (v_1)\tau (w)+\phi (v_2)\tau (w)$ 这正是 $(v_1\otimes w+v_2\otimes w)(\phi ,\tau )$。
2. 标量乘法类似：$((cv)\otimes w)(\phi ,\tau )=\phi (cv)\tau (w)=c\phi (v)\tau (w)=(c(v\otimes w))(\phi ,\tau )$。
3. 第二个位置的线性性同理可证。$■$

张量积不是线性映射

虽然张量积映射 $(v,w)\mapsto v\otimes w$ 是双线性的，但它不是线性的。例如 $(cv,cw)\mapsto c^2(v\otimes w)\ne c(v\otimes w)$（除非 $c=0$ 或 $c=1$）。这正是我们需要张量积的原因——双线性映射不能简单地视为线性映射。

2.2 张量积的基

定理9.74： $V\otimes W$ 的基

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的基。则 $\{e_j\otimes f_k:1\le j\le n,1\le k\le m\}$ 是 $V\otimes W$ 的基。特别地，$\dim (V\otimes W)=nm$。

证明思路

[分两步：线性无关性 $\to$ 张成性]：

第一部分：线性无关性。设 ${\sum }_{j,k}{c}_{j,k}{e}_j\otimes f_k=0$。需要证明所有 $c_{j,k}=0$。

1. 设 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $V^{\prime }$ 中关于 $e_1,\dots ,e_n$ 的对偶基，${\eta }_1,\dots ,{\eta }_m$ 是 $W^{\prime }$ 中关于 $f_1,\dots ,f_m$ 的对偶基。
2. 对任意 $\phi \in V^{\prime }$，$\tau \in W^{\prime }$： $0={\sum }_{j,k}{c}_{j,k}(e_j\otimes f_k)(\phi ,\tau )={\sum }_{j,k}{c}_{j,k}\phi (e_j)\tau (f_k)$
3. 关键步骤：取 $\phi ={\epsilon }_p$，$\tau ={\eta }_q$，则 ${\epsilon }_p(e_j)={\delta }_{p,j}$，${\eta }_q(f_k)={\delta }_{q,k}$，因此 $0=c_{p,q}$。

第二部分：张成性。由 $\dim (V\otimes W)=nm$（定理9.72）和 $nm$ 个元素线性无关，它们构成基。$■$

基的直觉

张量积的基是两个空间的基的”所有配对”。如果 $V$ 有 $n$ 个基向量，$W$ 有 $m$ 个基向量，那么 $V\otimes W$ 就有 $nm$ 个基向量——每个都是 $V$ 的一个基向量与 $W$ 的一个基向量的张量积。

2.3 张量积与矩阵

例9.76： ${\mathbb{F}}^m$ 的元素和 ${\mathbb{F}}^n$ 的元素所成的张量积

设 $x=(x_1,\dots ,x_m)\in {\mathbb{F}}^m$，$y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{F}}^n$。则 $x\otimes y$ 可以等同于 $m\times n$ 矩阵： $x\otimes y=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1{y}_1& x_1{y}_2& \cdots & x_1{y}_n\\ x_2{y}_1& x_2{y}_2& \cdots & x_2{y}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_m{y}_1& x_m{y}_2& \cdots & x_m{y}_n\end{array}\right)$

这是因为 $x\otimes y$ 的第 $(j,k)$ 个分量是 $x_j{y}_k$。

具体例子：设 $x=(1,2,3)\in {\mathbb{F}}^3$，$y=(4,5)\in {\mathbb{F}}^2$，则 $x\otimes y=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 4& 1\cdot 5\\ 2\cdot 4& 2\cdot 5\\ 3\cdot 4& 3\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 8& 10\\ 12& 15\end{array}\right)$

注意 $x\otimes y$ 的秩为 1（所有行都是第一行的倍数）。事实上，==所有可分解张量 $v\otimes w$ 对应的矩阵秩都为 1==，而 $V\otimes W$ 中的一般元素是秩为 1 矩阵的线性组合。

张量积与矩阵的关系

${\mathbb{F}}^m\otimes {\mathbb{F}}^n$ 同构于所有 $m\times n$ 矩阵构成的向量空间。在这个同构下：

• 可分解张量 $x\otimes y$ 对应秩为 1 的矩阵 $x{y}^T$
• 一般张量 ${\sum }_i{x}_i\otimes y_i$ 对应一般矩阵 ${\sum }_i{x}_i{y}_i^T$
• 张量积的基 $e_j\otimes f_k$ 对应只有第 $(j,k)$ 个位置为 1 的矩阵 $E_{j,k}$

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三、双线性映射与泛性质

3.1 双线性映射

定义9.77：双线性映射

设 $V$、$W$、$U$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。一个函数 $\Gamma :V\times W\to U$ 称为双线性映射（bilinear map），如果：

• 对每个固定的 $w\in W$，映射 $v\mapsto \Gamma (v,w)$ 是从 $V$ 到 $U$ 的线性映射；
• 对每个固定的 $v\in V$，映射 $w\mapsto \Gamma (v,w)$ 是从 $W$ 到 $U$ 的线性映射。

与双线性泛函的关系：双线性泛函 $\beta :V\times W\to \mathbb{F}$ 是双线性映射当 $U=\mathbb{F}$ 时的特例。双线性映射是双线性泛函的推广——值域从标量推广到任意向量空间。

3.2 双线性映射的例子

例9.78：双线性映射

例1：张量积映射本身 $(v,w)\mapsto v\otimes w$ 是从 $V\times W$ 到 $V\otimes W$ 的双线性映射（定理9.73）。

例2：矩阵乘法可以视为双线性映射。设 $V=M_{m,n}(\mathbb{F})$，$W=M_{n,p}(\mathbb{F})$，$U=M_{m,p}(\mathbb{F})$，则 $(A,B)\mapsto AB$ 是双线性映射。这是因为矩阵乘法关于每个因子都是线性的：$(A_1+A_2)B=A_{1}B+A_{2}B$，$A(B_1+B_2)=A{B}_1+A{B}_2$。

例3：函数的乘积。设 $V=W=U=\mathcal{P}(\mathbb{R})$（多项式空间），则 $(p,q)\mapsto pq$（多项式乘法）是双线性映射。

3.3 泛性质——张量积的核心定理

定理9.79：化双线性映射为线性映射（泛性质）

设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间。则：

(a) 对于每个双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$，存在唯一的线性映射 $T:V\otimes W\to U$ 使得 $T(v\otimes w)=\Gamma (v,w)\text{对所有 }v\in V,w\in W$

(b) 反过来，对于每个线性映射 $T:V\otimes W\to U$，定义为 $\Gamma (v,w)=T(v\otimes w)$ 的函数 $\Gamma :V\times W\to U$ 是双线性映射。

因此，双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$ 与线性映射 $T:V\otimes W\to U$ 之间存在一一对应。

证明思路

[构造 $T$ 并验证一一对应]：

(a) 的证明：设 $\Gamma :V\times W\to U$ 是双线性映射。

1. 设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的基。由定理9.74，$\{e_j\otimes f_k\}$ 是 $V\otimes W$ 的基。
2. 关键步骤：定义 $T$ 在基上的值：$T(e_j\otimes f_k)=\Gamma (e_j,f_k)$，然后线性扩展到整个 $V\otimes W$。
3. 需要验证 $T(v\otimes w)=\Gamma (v,w)$ 对所有 $v,w$ 成立。设 $v={\sum }_j{a}_j{e}_j$，$w={\sum }_k{b}_k{f}_k$，则 $T(v\otimes w)=T({\sum }_{j,k}{a}_j{b}_k{e}_j\otimes f_k)={\sum }_{j,k}{a}_j{b}_k\Gamma (e_j,f_k)=\Gamma ({\sum }_j{a}_j{e}_j,{\sum }_k{b}_k{f}_k)=\Gamma (v,w)$ 其中最后一步利用了 $\Gamma$ 的双线性性。
4. 唯一性：$T$ 由基上的值完全确定，而基上的值由 $\Gamma$ 决定，所以 $T$ 唯一。

(b) 的证明：设 $T:V\otimes W\to U$ 是线性映射，定义 $\Gamma (v,w)=T(v\otimes w)$。

1. $\Gamma$ 关于 $v$ 线性：$\Gamma (v_1+v_2,w)=T((v_1+v_2)\otimes w)=T(v_1\otimes w+v_2\otimes w)=T(v_1\otimes w)+T(v_2\otimes w)=\Gamma (v_1,w)+\Gamma (v_2,w)$。
2. 类似可证 $\Gamma$ 关于 $w$ 线性。$■$

泛性质的深刻含义

泛性质是张量积的"灵魂"。它说的是：

• 任何双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$ 都可以”通过”张量积 $V\otimes W$ 来实现
• 具体来说，$\Gamma$ 可以分解为：先做张量积 $(v,w)\mapsto v\otimes w$，再做线性映射 $T$
• 这个分解是唯一的

这意味着 $V\otimes W$ 是”双线性映射的通用目标空间”——要研究双线性映射，只需要研究从 $V\otimes W$ 出发的线性映射。双线性映射的问题被”线性化”了。

graph LR
    A[V x W] -->|双线性映射 Gamma| B[U]
    A -->|张量积映射| C[V tensor W]
    C -->|线性映射 T| B

泛性质的三层理解框架

1. 操作层：给定双线性映射 $\Gamma$，可以构造唯一的线性映射 $T$ 使得 $\Gamma =T\circ \otimes$
2. 范畴层：张量积是 $V\times W$ 在”双线性映射”范畴下的余积（coproduct），是”线性化”的泛对象
3. 计算层：在具体问题中，泛性质给出了”将双线性问题化为线性问题”的标准方法——先验证双线性性，再利用泛性质得到线性映射

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四、内积空间的张量积

4.1 内积的存在唯一性

定理9.80：两内积空间所成张量积上的内积存在唯一性

设 $(V,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_V)$ 和 $(W,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_W)$ 是有限维内积空间。则 $V\otimes W$ 上存在唯一的内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 满足 $⟨v_1\otimes w_1,v_2\otimes w_2⟩=⟨v_1,v_2{⟩}_V\cdot ⟨w_1,w_2{⟩}_W$

证明思路

[利用基定义内积并验证良定义性]：

1. 设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基。
2. 由定理9.74，$\{e_j\otimes f_k\}$ 是 $V\otimes W$ 的基。
3. 关键步骤：定义 $⟨e_j\otimes f_k,e_p\otimes f_q⟩={\delta }_{j,p}{\delta }_{k,q}$（Kronecker delta），然后双线性扩展。
4. 验证这个内积满足要求：$⟨v_1\otimes w_1,v_2\otimes w_2⟩={\sum }_{j,k,p,q}{a}_{j,k}\overline{b_{p,q}}{\delta }_{j,p}{\delta }_{k,q}={\sum }_{j,k}{a}_{j,k}\overline{b_{j,k}}=⟨v_1,v_2{⟩}_V\cdot ⟨w_1,w_2{⟩}_W$。
5. 唯一性：内积由基上的值完全确定，而基上的值由条件决定。$■$

4.2 张量积上内积的定义

定义9.82：两内积空间所成张量积上的内积

设 $(V,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_V)$ 和 $(W,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_W)$ 是有限维内积空间。$V\otimes W$ 上的内积定义为满足 $⟨v_1\otimes w_1,v_2\otimes w_2⟩=⟨v_1,v_2{⟩}_V\cdot ⟨w_1,w_2{⟩}_W$ 的唯一内积（存在性由定理9.80保证）。

内积的直觉

张量积上的内积就是”分别取内积再相乘”。如果 $v_1\otimes w_1$ 和 $v_2\otimes w_2$ 想象成”两张照片叠加”，那么它们的”相似度”就是两张照片各自相似度的乘积。

4.3 张量积的规范正交基

定理9.83： $V\otimes W$ 的规范正交基

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是内积空间 $V$ 的规范正交基，$f_1,\dots ,f_m$ 是内积空间 $W$ 的规范正交基。则 $\{e_j\otimes f_k:1\le j\le n,1\le k\le m\}$ 是 $V\otimes W$ 的规范正交基。

证明思路

[直接利用定义9.82计算]：

1. 由定理9.74，$\{e_j\otimes f_k\}$ 已经是 $V\otimes W$ 的基。
2. 只需验证规范正交性：$⟨e_j\otimes f_k,e_p\otimes f_q⟩=⟨e_j,e_p{⟩}_V\cdot ⟨f_k,f_q{⟩}_W={\delta }_{j,p}{\delta }_{k,q}$。
3. 因为 $e_j$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_k$ 是 $W$ 的规范正交基，所以 ${\delta }_{j,p}{\delta }_{k,q}$ 正是规范正交性的条件。$■$

规范正交基的直觉

如果 $V$ 和 $W$ 各有一组”标准方向”（规范正交基），那么 $V\otimes W$ 的标准方向就是所有”方向对”的组合。每个方向对 $(e_j,f_k)$ 给出一个规范正交的基向量 $e_j\otimes f_k$。

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五、多个向量空间的张量积

5.1 m 重线性泛函

定义9.85： $m$ 重线性泛函、$B(V_1,\dots ,V_m)$

设 $V_1,\dots ,V_m$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。$V_1\times \cdots \times V_m$ 上的一个 $m$ 重线性泛函（multilinear functional）是一个函数 $\beta :V_1\times \cdots \times V_m\to \mathbb{F}$，满足：固定除第 $k$ 个位置外的所有变量后，函数在第 $k$ 个位置上是线性的（对每个 $k=1,\dots ,m$）。

所有 $V_1\times \cdots \times V_m$ 上的 $m$ 重线性泛函构成的集合记为 $B(V_1,\dots ,V_m)$。

例9.86： $m$ 重线性泛函

例1：设 ${\phi }_k\in V_k^{\prime }$（$k=1,\dots ,m$）。定义为 $\beta (v_1,\dots ,v_m)={\phi }_1(v_1){\phi }_2(v_2)\cdots {\phi }_m(v_m)$ 的函数 $\beta$ 是 $V_1\times \cdots \times V_m$ 上的 $m$ 重线性泛函。这是最基本也是最重要的例子。

例2：行列式 $\det :{\mathbb{F}}^n\times \cdots \times {\mathbb{F}}^n\to \mathbb{F}$（$n$ 个 ${\mathbb{F}}^n$）是 $n$ 重线性泛函（参见定理9.45）。

例3：设 $V_1=\cdots =V_m={\mathbb{F}}^n$，定义为 $\beta (A_1,\dots ,A_m)=\mathrm{trace}(A_1\cdots A_m)$ 的函数是 $m$ 重线性泛函（因为矩阵乘法和迹都是线性的）。

5.2 m 重线性泛函空间的维数

定理9.87： $\dim B(V_1,\dots ,V_m)=(\dim V_1)\times \cdots \times (\dim V_m)$

设 $V_1,\dots ,V_m$ 是有限维向量空间。则 $\dim B(V_1,\dots ,V_m)=(\dim V_1)\times \cdots \times (\dim V_m)$

证明思路

[推广定理9.70的证明方法]：

1. 设 $e_1^{(k)},\dots ,e_{n_k}^{(k)}$ 是 $V_k$ 的基（$k=1,\dots ,m$），其中 $n_k=\dim V_k$。
2. 设 ${\epsilon }_1^{(k)},\dots ,{\epsilon }_{n_k}^{(k)}$ 是 $V_k^{\prime }$ 中对应的对偶基。
3. 定义 ${\beta }_{j_1,\dots ,j_m}(v_1,\dots ,v_m)={\epsilon }_{j_1}^{(1)}(v_1)\cdots {\epsilon }_{j_m}^{(m)}(v_m)$。
4. 关键步骤：与定理9.70类似，证明 $\{{\beta }_{j_1,\dots ,j_m}\}$ 是 $B(V_1,\dots ,V_m)$ 的基。元素个数为 $n_1\times n_2\times \cdots \times n_m$。$■$

5.3 多个空间的张量积

定义9.88：张量积 $V_1\otimes \cdots \otimes V_m$、$v_1\otimes \cdots \otimes v_m$

设 $V_1,\dots ,V_m$ 是有限维向量空间。$V_1,\dots ,V_m$ 的张量积，记作 $V_1\otimes \cdots \otimes V_m$，定义为 $B(V_1^{\prime },\dots ,V_m^{\prime })$。

对于 $v_k\in V_k$（$k=1,\dots ,m$），定义 $v_1\otimes \cdots \otimes v_m\in V_1\otimes \cdots \otimes V_m$ 为如下 $m$ 重线性泛函： $(v_1\otimes \cdots \otimes v_m)({\phi }_1,\dots ,{\phi }_m)={\phi }_1(v_1)\cdots {\phi }_m(v_m)$ 其中 ${\phi }_k\in V_k^{\prime }$。

5.4 多空间张量积的维数与基

定理9.89： $\dim (V_1\otimes \cdots \otimes V_m)=(\dim V_1)\cdots (\dim V_m)$

设 $V_1,\dots ,V_m$ 是有限维向量空间。则 $\dim (V_1\otimes \cdots \otimes V_m)=(\dim V_1)\cdots (\dim V_m)$

证明思路

与定理9.72完全类似：$V_1\otimes \cdots \otimes V_m=B(V_1^{\prime },\dots ,V_m^{\prime })$，由定理9.87直接得到维数公式。$■$

定理9.90： $V_1\otimes \cdots \otimes V_m$ 的基

设 $e_1^{(k)},\dots ,e_{n_k}^{(k)}$ 是 $V_k$ 的基（$k=1,\dots ,m$）。则 $\{e_{j_1}^{(1)}\otimes \cdots \otimes e_{j_m}^{(m)}:1\le j_k\le n_k,k=1,\dots ,m\}$ 是 $V_1\otimes \cdots \otimes V_m$ 的基。

证明思路

与定理9.74完全类似：利用对偶基验证线性无关性，再由维数公式得出张成性。$■$

5.5 m 重线性映射与泛性质

定义9.91： $m$ 重线性映射

设 $V_1,\dots ,V_m$、$U$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。一个函数 $\Gamma :V_1\times \cdots \times V_m\to U$ 称为 $m$ 重线性映射（multilinear map），如果固定除第 $k$ 个位置外的所有变量后，函数在第 $k$ 个位置上是线性的（对每个 $k=1,\dots ,m$）。

定理9.92：化 $m$ 重线性映射为线性映射

设 $V_1,\dots ,V_m$ 是有限维向量空间。则：

(a) 对于每个 $m$ 重线性映射 $\Gamma :V_1\times \cdots \times V_m\to U$，存在唯一的线性映射 $T:V_1\otimes \cdots \otimes V_m\to U$ 使得 $T(v_1\otimes \cdots \otimes v_m)=\Gamma (v_1,\dots ,v_m)\text{对所有 }{v}_k\in V_k$

(b) 反过来，对于每个线性映射 $T:V_1\otimes \cdots \otimes V_m\to U$，定义为 $\Gamma (v_1,\dots ,v_m)=T(v_1\otimes \cdots \otimes v_m)$ 的函数 $\Gamma :V_1\times \cdots \times V_m\to U$ 是 $m$ 重线性映射。

因此，$m$ 重线性映射 $\Gamma :V_1\times \cdots \times V_m\to U$ 与线性映射 $T:V_1\otimes \cdots \otimes V_m\to U$ 之间存在一一对应。

证明思路

与定理9.79完全类似：在基上定义 $T$，利用 $m$ 重线性性验证 $T(v_1\otimes \cdots \otimes v_m)=\Gamma (v_1,\dots ,v_m)$，再验证一一对应。$■$

结合律

多个空间的张量积满足结合律（在同构意义下）： $(V_1\otimes V_2)\otimes V_3\cong V_1\otimes (V_2\otimes V_3)\cong V_1\otimes V_2\otimes V_3$ 因此我们可以不加括号地写 $V_1\otimes V_2\otimes V_3$。类似地，$(v_1\otimes v_2)\otimes v_3$ 和 $v_1\otimes (v_2\otimes v_3)$ 在自然同构下相同，都等于 $v_1\otimes v_2\otimes v_3$。

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六、知识结构总览

graph TD
    A[定义9.68 - 双线性泛函 B of V and W] --> B[定理9.70 - 维数公式]
    B --> C[定义9.71 - 张量积 V tensor W]
    C --> D[定理9.72 - 张量积维数]
    C --> E[定理9.73 - 双线性性]
    C --> F[定理9.74 - 张量积的基]
    D --> G[例9.76 - 张量积与矩阵]
    E --> H[定义9.77 - 双线性映射]
    H --> I[例9.78 - 双线性映射例子]
    H --> J[定理9.79 - 泛性质]
    J --> K[定理9.80 - 内积存在唯一性]
    K --> L[定义9.82 - 张量积上的内积]
    L --> M[定理9.83 - 规范正交基]
    A --> N[定义9.85 - m重线性泛函]
    N --> O[定理9.87 - m重维数公式]
    O --> P[定义9.88 - 多空间张量积]
    P --> Q[定理9.89 - 多空间维数]
    P --> R[定理9.90 - 多空间基]
    P --> S[定义9.91 - m重线性映射]
    S --> T[定理9.92 - 多空间泛性质]

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七、核心思想与证明技巧

6.1 Axler 定义张量积的独特方式

Axler 的张量积定义方式非常独特——他将 $V\otimes W$ 定义为 $B(V^{\prime },W^{\prime })$，即”从 $V^{\prime }\times W^{\prime }$ 到 $\mathbb{F}$ 的双线性泛函”。

传统教材的方法（商空间构造）：

1. 从自由向量空间 $\text{Free}(V\times W)$ 出发
2. 对双线性关系取商：$V\otimes W=\text{Free}(V\times W)/\sim$
3. $v\otimes w$ 是 $(v,w)$ 在商空间中的等价类
4. 泛性质从构造中自然得出

Axler 的方法（本节采用）：

1. 直接定义 $V\otimes W=B(V^{\prime },W^{\prime })$
2. $v\otimes w$ 是一个具体的双线性泛函：$(v\otimes w)(\phi ,\tau )=\phi (v)\tau (w)$
3. 维数和基从对偶空间理论直接得出
4. 泛性质通过基上的构造证明

两种方法的比较：

• Axler 的方法更”具体”——每个元素都是一个明确的函数，不需要处理等价类
• 传统方法更”通用”——可以推广到无限维空间
• Axler 的方法更简洁——不需要引入自由向量空间和商空间的概念

6.2 泛性质的证明模板

定理9.79的证明提供了一个通用的模板，适用于所有”泛性质”类定理：

1. 构造：在基上定义线性映射 $T$
2. 验证：利用多重线性性验证 $T$ 在所有可分解张量上满足要求
3. 唯一性：$T$ 由基上的值完全确定

这个模板在定理9.92（$m$ 重版本）中完全复用。

6.3 维数公式的统一模式

本节的维数公式遵循统一的模式：

对象	维数公式
$B(V,W)$	$(\dim V)(\dim W)$
$V\otimes W$	$(\dim V)(\dim W)$
$B(V_1,\dots ,V_m)$	$(\dim V_1)\times \cdots \times (\dim V_m)$
$V_1\otimes \cdots \otimes V_m$	$(\dim V_1)\cdots (\dim V_m)$

注意：$B(V,W)$ 和 $V\otimes W$ 的维数相同（因为 $V\otimes W=B(V^{\prime },W^{\prime })$，而 $\dim V^{\prime }=\dim V$）。

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八、补充理解与易混淆点

7.1 张量积的动机——为什么需要张量积

双线性函数的"源"不是向量空间，这是一个根本性的美学问题。

考虑双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$。我们希望将 $\Gamma$ 转化为线性映射（因为线性映射的理论已经非常成熟），但 $V\times W$ 作为源空间行不通——$\Gamma$ 在 $V\times W$ 上不是线性的（它是双线性的）。

问题：是否存在一个向量空间 $Z$ 和一个双线性映射 $\otimes :V\times W\to Z$，使得任何双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$ 都可以唯一地分解为 $\Gamma =T\circ \otimes$ 其中 $T:Z\to U$ 是线性映射？

答案：存在，这个 $Z$ 就是 $V\otimes W$，$\otimes$ 就是张量积映射 $(v,w)\mapsto v\otimes w$。这就是泛性质。

类比：就像商空间将”等价关系”转化为”线性映射的核”一样，张量积将”双线性映射”转化为”线性映射”。

来源：Mike Hill (UCLA) Math 110B 讲义——“The source of a bilinear function is not a vector space, and this is aesthetically unacceptable.”

7.2 泛性质的直觉——“将双线性映射转化为线性映射”

泛性质说的是：张量积是双线性映射的"万能线性化器"。

Keith Conrad (UConn) 的表述：张量积是”generalized multiplication”——它将两个向量空间的元素”相乘”，得到一个新的向量空间中的元素，而且这种”乘法”满足双线性性。

三层理解框架：

1. 操作层：给定双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$，可以构造唯一的线性映射 $T:V\otimes W\to U$ 使得下图交换：

   V × W ──Γ──> U
     │            ↑
     ⊗            T
     ↓            │
   V ⊗ W ────────┘
   

2. 范畴层：在 forgetful functor $U\mapsto U\times U$ 的视角下，张量积是左伴随（left adjoint）。用范畴论的语言说，$\text{Hom}(V\otimes W,U)\cong \text{Bilin}(V\times W,U)$。

3. 计算层：在实际问题中，要证明某个构造是”自然的”或”唯一的”，只需要验证它满足泛性质。例如，要证明两个构造给出相同的张量积，只需要证明它们都满足泛性质（由唯一性，它们必然同构）。

来源：Keith Conrad (UConn) “Tensor Products” 讲义、Hacker News 讨论帖 “What is a tensor product, intuitively?“

7.3 张量积的两种构造方法对比

方法一：泛性质构造（Axler 采用的方法）

• $V\otimes W=B(V^{\prime },W^{\prime })$
• 优点：具体、明确，每个元素都是一个函数
• 缺点：依赖于对偶空间，需要有限维假设

方法二：基构造

• 给定 $V$ 的基 $\{e_j\}$ 和 $W$ 的基 $\{f_k\}$，$V\otimes W$ 是以 $\{e_j\otimes f_k\}$ 为基的形式向量空间
• 优点：直接、计算方便
• 缺点：依赖于基的选择（虽然最终结果基无关）

方法三：商空间构造（传统方法）

• $V\otimes W=\text{Free}(V\times W)/\sim$，其中 $\sim$ 由双线性关系生成
• 优点：最通用，适用于无限维
• 缺点：抽象，需要处理等价类

三种方法给出同构的结果。泛性质保证了这一点——只要一个构造满足泛性质，它就与其他满足泛性质的构造自然同构。

来源：Mike Hill (UCLA) Math 110B 讲义。

7.4 张量积与克罗内克积、外积的关系

外积（outer product）是张量积的特例：

• 列向量 $u\in {\mathbb{F}}^m$ 和 $v\in {\mathbb{F}}^n$ 的外积 $u{v}^T$ 是一个 $m\times n$ 矩阵
• 这正是 $u\otimes v$ 在 ${\mathbb{F}}^m\otimes {\mathbb{F}}^n\cong M_{m,n}(\mathbb{F})$ 下的矩阵表示
• 外积只处理列向量的情况，张量积适用于任意向量空间

克罗内克积（Kronecker product）是张量积的矩阵表示：

• 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $p\times q$ 矩阵
• 克罗内克积 $A{\otimes }_{K}B$ 是 $mp\times nq$ 矩阵，定义为 $A{\otimes }_{K}B=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{1,1}B& \cdots & A_{1,n}B\\ ⋮& & ⋮\\ A_{m,1}B& \cdots & A_{m,n}B\end{array}\right)$
• 这对应于算子 $S\in \mathcal{L}(V)$ 和 $T\in \mathcal{L}(W)$ 诱导的算子 $S\otimes T\in \mathcal{L}(V\otimes W)$ 在张量积基下的矩阵

来源：Lei Mao 博客 “Tensor Product and Outer Product”、Number Analytics “Kronecker Product vs Tensor Product”。

7.5 张量积上的算子 $S\otimes T$

设 $S\in \mathcal{L}(V)$，$T\in \mathcal{L}(W)$。可以定义算子 $S\otimes T\in \mathcal{L}(V\otimes W)$ 为 $(S\otimes T)(v\otimes w)=S(v)\otimes T(w)$ 然后线性扩展到整个 $V\otimes W$。

性质：

• $S\otimes T$ 是良定义的线性算子
• $(S_1\otimes T_1)(S_2\otimes T_2)=(S_1{S}_2)\otimes (T_1{T}_2)$
• $(S\otimes T{)}^{-1}=S^{-1}\otimes T^{-1}$（当 $S,T$ 可逆时）
• $\det (S\otimes T)=(\det S{)}^{\dim W}(\det T{)}^{\dim V}$

来源：Keith Conrad (UConn) “Tensor Products” 讲义。

7.6 常见误区

误区1：张量积就是各元素相乘

❌ ”$v\otimes w$ 就是把 $v$ 和 $w$ 的分量逐个相乘” ✅ 在 ${\mathbb{F}}^m\otimes {\mathbb{F}}^n$ 的特殊情况下，$v\otimes w$ 确实可以表示为矩阵 $v{w}^T$（例9.76），其分量是 $v_j{w}_k$。但对于一般的向量空间，$v\otimes w$ 是一个双线性泛函，不是简单的分量相乘。张量积的本质是泛性质，不是分量运算。

来源：Keith Conrad (UConn) “Tensor Products” 讲义。

误区2：张量积与直和类似

❌ ”$V\otimes W$ 和 $V\oplus W$ 差不多” ✅ 这是两个完全不同的构造：

• $\dim (V\oplus W)=\dim V+\dim W$（加法）
• $\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$（乘法）
• 直和的元素是”有序对” $(v,w)$，张量积的元素是双线性泛函的线性组合
• 直和对应”独立选择”，张量积对应”组合配对”

来源：Keith Conrad (UConn) “Tensor Products” 讲义。

误区3：双线性映射就是直和上的线性映射

❌ “双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$ 就是线性映射 $\tilde{\Gamma }:V\oplus W\to U$” ✅ 不正确。$V\times W$ 作为集合等于 $V\oplus W$，但双线性映射不是 $V\oplus W$ 上的线性映射。反例：$\Gamma (cv,cw)=c^2\Gamma (v,w)\ne c\Gamma (v,w)$。这正是需要张量积的原因——$V\otimes W$ 才是双线性映射的”正确”源空间。

来源：Keith Conrad (UConn) “Tensor Products” 讲义、Mike Hill (UCLA) Math 110B 讲义。

误区4：张量就是多维数组

❌ “张量就是一个多维数组，比如 $3\times 4\times 5$ 的数组” ✅ 在有基的情况下，张量确实可以用多维数组表示（分量是关于基的坐标）。但张量本身是基无关的几何对象。同一个张量在不同基下有不同的数组表示。说”张量就是多维数组”就像说”向量就是一列数”一样——在有基的情况下是对的，但忽略了本质。

来源：Hacker News 讨论帖 “What is a tensor product, intuitively?”

误区5：张量积依赖于基的选择

❌ ”$V\otimes W$ 的定义依赖于 $V$ 和 $W$ 的基” ✅ $V\otimes W$ 的定义（定义9.71）完全不涉及基——它是 $B(V^{\prime },W^{\prime })$，一个纯粹由向量空间结构决定的空间。基只在我们具体计算时才需要（定理9.74）。可以做一个数值验证：

设 $V=W={\mathbb{R}}^2$。取标准基 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$，则 $v=(1,2)=e_1+2e_2$，$w=(3,4)=3e_1+4e_2$。 $v\otimes w=(e_1+2e_2)\otimes (3e_1+4e_2)=3(e_1\otimes e_1)+4(e_1\otimes e_2)+6(e_2\otimes e_1)+8(e_2\otimes e_2)$ 现在换一组基 $f_1=(1,1),f_2=(1,-1)$。则 $v=(1,2)=\frac{3}{2}{f}_1-\frac{1}{2}{f}_2$，$w=(3,4)=\frac{7}{2}{f}_1-\frac{1}{2}{f}_2$。 $v\otimes w=\frac{21}{4}(f_1\otimes f_1)-\frac{3}{4}(f_1\otimes f_2)-\frac{7}{4}(f_2\otimes f_1)+\frac{1}{4}(f_2\otimes f_2)$ 两组展开式看起来不同，但表示的是 $V\otimes W$ 中同一个元素。验证：将 $f_j$ 用 $e_k$ 表示后代入，会得到与第一组展开式相同的系数。

来源：Keith Conrad (UConn) “Tensor Products” 讲义。

误区6：泛性质只是抽象废话

❌ “泛性质只是数学家玩的抽象游戏，没有实际用处” ✅ 泛性质是张量积最有用的部分。它给出了一个强大的方法论：

1. 定义新对象：要定义从 $V\times W$ 出发的某种结构，只需要定义从 $V\otimes W$ 出发的对应线性结构
2. 证明唯一性：如果两个构造都满足泛性质，它们必然（自然）同构
3. 简化计算：将双线性问题化为线性问题，利用线性代数的成熟工具
4. 统一理论：行列式、外积、对称积等都是张量积的特殊情况

Brian Conrad (Stanford) 的评论：“泛性质不是’抽象废话’，而是’精确的废话’——它精确地告诉你什么性质是本质的、什么依赖于具体构造。”

来源：Brian Conrad (Stanford) 数学讨论。

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九、习题精选

习题1：张量积的维数

习题1（LADR 9D.1）

设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间。证明 $\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$，不使用定理9.72（即不通过 $B(V^{\prime },W^{\prime })$ 的定义），而是直接利用定理9.74。

查看解答

由定理9.74，$V\otimes W$ 有一组基 $\{e_j\otimes f_k\}$，其中 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的基。这组基的元素个数为 $n\times m=(\dim V)(\dim W)$。因此 $\dim (V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$。

习题2：张量积中的零元素

习题2（LADR 9D.2）

设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间，$v\in V$，$w\in W$。证明 $v\otimes w=0$ 当且仅当 $v=0$ 或 $w=0$。

查看解答

充分性（$v=0$ 或 $w=0$ $\Rightarrow$ $v\otimes w=0$）：由张量积的双线性性（定理9.73），$0\otimes w=0(v\otimes w)=0$，$v\otimes 0=0(v\otimes w)=0$。

必要性（$v\otimes w=0$ $\Rightarrow$ $v=0$ 或 $w=0$）： 反证法。假设 $v\ne 0$ 且 $w\ne 0$。将 $v$ 扩充为 $V$ 的基 $v=e_1,e_2,\dots ,e_n$，将 $w$ 扩充为 $W$ 的基 $w=f_1,f_2,\dots ,f_m$。由定理9.74，$\{e_j\otimes f_k\}$ 是 $V\otimes W$ 的基。特别地，$e_1\otimes f_1=v\otimes w$ 是基向量，不等于零。矛盾。

习题4：张量积与线性映射

习题4（LADR 9D.4）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$，$S\in \mathcal{L}(W)$。证明存在唯一的线性映射 $T\otimes S\in \mathcal{L}(V\otimes W)$ 使得 $(T\otimes S)(v\otimes w)=T(v)\otimes S(w)$ 对所有 $v\in V$，$w\in W$ 成立。

查看解答

利用泛性质（定理9.79）。

定义双线性映射 $\Gamma :V\times W\to V\otimes W$ 为 $\Gamma (v,w)=T(v)\otimes S(w)$。

验证 $\Gamma$ 是双线性的：

• $\Gamma (v_1+v_2,w)=T(v_1+v_2)\otimes S(w)=(T(v_1)+T(v_2))\otimes S(w)=T(v_1)\otimes S(w)+T(v_2)\otimes S(w)=\Gamma (v_1,w)+\Gamma (v_2,w)$
• $\Gamma (cv,w)=T(cv)\otimes S(w)=cT(v)\otimes S(w)=c(T(v)\otimes S(w))=c\Gamma (v,w)$
• 第二个位置的线性性类似。

由定理9.79(a)，存在唯一的线性映射 $T\otimes S:V\otimes W\to V\otimes W$ 使得 $(T\otimes S)(v\otimes w)=\Gamma (v,w)=T(v)\otimes S(w)$。

习题5：张量积与对偶

习题5（LADR 9D.5）

设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间。证明 $(V\otimes W{)}^{\prime }\cong V^{\prime }\otimes W^{\prime }$（在同构意义下）。

查看解答

构造双线性映射并利用泛性质。

定义映射 $\Phi :V^{\prime }\times W^{\prime }\to (V\otimes W{)}^{\prime }$ 为 $\Phi (\phi ,\tau )(v\otimes w)=\phi (v)\tau (w)$。

1. 验证 $\Phi (\phi ,\tau )$ 是良定义的：需要在基上定义并线性扩展。设 $\{e_j\}$ 是 $V$ 的基，$\{f_k\}$ 是 $W$ 的基，则 $\{e_j\otimes f_k\}$ 是 $V\otimes W$ 的基。定义 $\Phi (\phi ,\tau )(e_j\otimes f_k)=\phi (e_j)\tau (f_k)$，然后线性扩展。这给出了 $(V\otimes W{)}^{\prime }$ 中的一个元素。

2. 验证 $\Phi$ 是双线性的：$\Phi ({\phi }_1+{\phi }_2,\tau )(v\otimes w)=({\phi }_1+{\phi }_2)(v)\tau (w)={\phi }_1(v)\tau (w)+{\phi }_2(v)\tau (w)=\Phi ({\phi }_1,\tau )(v\otimes w)+\Phi ({\phi }_2,\tau )(v\otimes w)$。标量乘法类似。

3. 由泛性质，$\Phi$ 诱导线性映射 $\tilde{\Phi }:V^{\prime }\otimes W^{\prime }\to (V\otimes W{)}^{\prime }$。

4. 验证 $\tilde{\Phi }$ 是同构：$\dim (V^{\prime }\otimes W^{\prime })=(\dim V^{\prime })(\dim W^{\prime })=(\dim V)(\dim W)=\dim (V\otimes W)=\dim (V\otimes W{)}^{\prime }$。只需验证单射性：若 $\tilde{\Phi }(\sum c_{j,k}{\epsilon }_j\otimes {\eta }_k)=0$，则对所有 $v,w$ 有 $\sum c_{j,k}{\epsilon }_j(v){\eta }_k(w)=0$。取 $v=e_p$，$w=f_q$ 得 $c_{p,q}=0$。

习题9：泛性质的应用

习题9（LADR 9D.9）

设 $V$、$W$、$U$ 是有限维向量空间。证明：从 $V\times W$ 到 $U$ 的双线性映射构成的集合与从 $V\otimes W$ 到 $U$ 的线性映射构成的集合之间存在自然的双射。

查看解答

这正是定理9.79的内容。

双射的构造：

• 正向：给定双线性映射 $\Gamma :V\times W\to U$，由定理9.79(a)，存在唯一的线性映射 $T:V\otimes W\to U$ 使得 $T(v\otimes w)=\Gamma (v,w)$。定义 $\Phi (\Gamma )=T$。
• 反向：给定线性映射 $T:V\otimes W\to U$，由定理9.79(b)，定义为 $\Gamma (v,w)=T(v\otimes w)$ 的函数 $\Gamma :V\times W\to U$ 是双线性映射。定义 $\Psi (T)=\Gamma$。

验证双射：

• $\Psi \circ \Phi =\text{id}$：$\Psi (\Phi (\Gamma ))(v,w)=\Phi (\Gamma )(v\otimes w)=\Gamma (v,w)$
• $\Phi \circ \Psi =\text{id}$：$\Phi (\Psi (T))(v\otimes w)=\Psi (T)(v,w)=T(v\otimes w)$，由基上的值相等得 $\Phi (\Psi (T))=T$

习题10：内积空间张量积的计算

习题10（LADR 9D.10）

设 $V={\mathbb{R}}^2$，$W={\mathbb{R}}^3$，各自带有标准内积。设 $v_1=(1,0)$，$v_2=(0,1)$，$w_1=(1,0,0)$，$w_2=(0,1,0)$，$w_3=(0,0,1)$。计算 $⟨v_1\otimes w_1+v_2\otimes w_2,v_1\otimes w_2+v_2\otimes w_3⟩$。

查看解答

由定义9.82，张量积上的内积满足 $⟨v_1\otimes w_1,v_2\otimes w_2⟩=⟨v_1,v_2{⟩}_V\cdot ⟨w_1,w_2{⟩}_W$。

展开： $⟨v_1\otimes w_1+v_2\otimes w_2,v_1\otimes w_2+v_2\otimes w_3⟩$ $=⟨v_1\otimes w_1,v_1\otimes w_2⟩+⟨v_1\otimes w_1,v_2\otimes w_3⟩+⟨v_2\otimes w_2,v_1\otimes w_2⟩+⟨v_2\otimes w_2,v_2\otimes w_3⟩$

分别计算四项：

• $⟨v_1\otimes w_1,v_1\otimes w_2⟩=⟨v_1,v_1⟩\cdot ⟨w_1,w_2⟩=1\cdot 0=0$
• $⟨v_1\otimes w_1,v_2\otimes w_3⟩=⟨v_1,v_2⟩\cdot ⟨w_1,w_3⟩=0\cdot 0=0$
• $⟨v_2\otimes w_2,v_1\otimes w_2⟩=⟨v_2,v_1⟩\cdot ⟨w_2,w_2⟩=0\cdot 1=0$
• $⟨v_2\otimes w_2,v_2\otimes w_3⟩=⟨v_2,v_2⟩\cdot ⟨w_2,w_3⟩=1\cdot 0=0$

因此结果为 $0+0+0+0=0$。

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十、视频学习指南

暂无对应视频，建议通过阅读教材原文和本笔记学习。

建议学习路径：

1. 先通读本笔记的”概览”和”知识结构总览”，建立整体框架
2. 按模块顺序学习，重点理解张量积的定义（为什么定义为 $B(V^{\prime },W^{\prime })$）和泛性质
3. 特别关注定理9.79（泛性质）的证明——它展示了张量积的核心思想
4. 通过补充理解模块建立”双线性映射线性化”的直觉
5. 多空间推广（模块五）是直接类比，理解两空间的情况后自然推广
6. 做习题巩固：习题1（维数）、习题2（零元素）、习题4（算子 $T\otimes S$）、习题5（对偶）、习题9（泛性质应用）、习题10（内积计算）

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十一、教材原文

张量积