维数公式（Rank-Nullity Theorem / Linear Map Fundamental Theorem）

定理陈述（定理 3.21）

$T : V \to W 为线性映射 ⟹ dim null T + dim range T = dim V$

一句话概括

零空间的维数 + 值域的维数 = 定义域的维数。

证明思路（三种证明）

证明一：基扩展法（标准证明）

取 $null T$ 的一组基 $v_{1}, \dots, v_{k}$
扩展为 $V$ 的一组基 $v_{1}, \dots, v_{k}, u_{1}, \dots, u_{m}$
证明 $T u_{1}, \dots, T u_{m}$ 是 $range T$ 的基
得 $k + m = dim V$

证明二：直和版本

$V = null T \oplus U (dim U = dim range T)$

因为 $T ∣_{U} : U \to range T$ 是同构。

重要意义

这是线性代数中最重要的定理之一，贯穿全书：

第 3 章：建立线性映射的基本理论

第 5 章：证明特征空间的维数性质

第 8 章：广义特征空间分解的基础

常见用法

场景	应用
判断线性映射是否满射	$dim range T = dim W$
判断线性映射是否单射	$dim null T = 0$
维数计算	已知两个量，求第三个
维数公式（子空间）	$dim (U_{1} + U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2} - dim (U_{1} \cap U_{2})$

推论

$dim range T \leq dim V$
若 $dim V > dim W$ ，则 $T$ 不可能满射
若 $dim V < dim W$ ，则 $T$ 不可能单射

章节定位

3.22 节是第 3 章的核心。LADR 的处理方式是：从抽象的线性映射出发，不依赖矩阵和坐标。

详见：第3章线性映射 — 章节汇总