3.3 多维随机变量函数的分布

本节概览

本节讨论多维随机变量函数的分布问题：已知 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 的联合分布，如何求 $Z=g(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 的分布？这是 §2.6 一维情形的自然推广，也是概率论中极具实用价值的核心技术。本节系统介绍四大方法：分布列法（离散型）、分布函数法（最大/最小值）、卷积公式（连续型独立随机变量之和）和变量变换法（雅可比行列式），并总结五大分布的可加性。

逻辑链条：离散型函数分布 → 最大/最小值分布 → 卷积公式 → 变量变换法 → 分布可加性

前置依赖：§3.1（联合分布函数、联合密度函数）、§3.2（边际分布、独立性）、§2.6（一维函数分布）

核心主线：求多维随机变量函数的分布有三大核心方法——分布函数法（最通用）、卷积公式（求和专用）、变量变换法（多变量变换专用）。掌握方法的选择逻辑和五大分布的可加性是本节的关键。

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一、离散型随机变量函数的分布

分布列法

当 $(X,Y)$ 是离散型随机变量时，求 $Z=g(X,Y)$ 的分布列使用分布列法：枚举 $(X,Y)$ 的所有可能取值对，计算对应的 $Z$ 值，合并相同的 $Z$ 值并累加概率。

定义 3.3.1 — 离散型函数分布的分布列法

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$（$i,j=1,2,\dots$），则 $Z=g(X,Y)$ 的分布律为

$$P(Z=z_k)=\sum _{(i,j):g(x_i,y_j)=z_k}{p}_{ij}$$

即对所有满足 $g(x_i,y_j)=z_k$ 的 $(i,j)$ 对，将对应联合概率求和。

分布列法的基本步骤：

1. 列出 $(X,Y)$ 的所有可能取值对 $(x_i,y_j)$ 及其联合概率 $p_{ij}$；
2. 计算每个取值对对应的 $z_{ij}=g(x_i,y_j)$；
3. 合并相同的 $z$ 值，将对应联合概率相加；
4. 写出 $Z$ 的分布列。

例 3.3.1 — 联合分布列求函数分布

设 $(X,Y)$ 的联合分布律如下表：

$X\setminus Y$	$0$	$1$
$0$	$0.1$	$0.2$
$1$	$0.3$	$0.4$

分别求 $Z_1=X+Y$、$Z_2=X-Y$、$Z_3=\max \{X,Y\}$ 的分布列。

解：

（1）$Z_1=X+Y$：

$(X,Y)$	$(0,0)$	$(0,1)$	$(1,0)$	$(1,1)$
$Z_1$	$0$	$1$	$1$	$2$
$P$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.4$

合并：$P(Z_1=0)=0.1$，$P(Z_1=1)=0.2+0.3=0.5$，$P(Z_1=2)=0.4$

$z_1$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0.1$	$0.5$	$0.4$

（2）$Z_2=X-Y$：

$(X,Y)$	$(0,0)$	$(0,1)$	$(1,0)$	$(1,1)$
$Z_2$	$0$	$-1$	$1$	$0$
$P$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.4$

合并：$P(Z_2=-1)=0.2$，$P(Z_2=0)=0.1+0.4=0.5$，$P(Z_2=1)=0.3$

$z_2$	$-1$	$0$	$1$
$P$	$0.2$	$0.5$	$0.3$

（3）$Z_3=\max \{X,Y\}$：

$(X,Y)$	$(0,0)$	$(0,1)$	$(1,0)$	$(1,1)$
$Z_3$	$0$	$1$	$1$	$1$
$P$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.4$

合并：$P(Z_3=0)=0.1$，$P(Z_3=1)=0.2+0.3+0.4=0.9$

$z_3$	$0$	$1$
$P$	$0.1$	$0.9$

泊松分布的可加性

定理 3.3.2 — 泊松分布的可加性

设 $X\sim \text{Poisson}({\lambda }_1)$，$Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_2)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则

$$X+Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$$

Abstract

证明：$X$ 的分布列为 $P(X=k)=\frac{{\lambda }_1^k}{k!}{e}^{-{\lambda }_1}$（$k=0,1,2,\dots$），$Y$ 的分布列为 $P(Y=j)=\frac{{\lambda }_2^j}{j!}{e}^{-{\lambda }_2}$（$j=0,1,2,\dots$）。

由独立性，$Z=X+Y$ 的分布列为

$$P(Z=n)=\sum _{k=0}^{n}P(X=k)P(Y=n-k)=\sum _{k=0}^n\frac{{\lambda }_1^k}{k!}{e}^{-{\lambda }_1}\cdot \frac{{\lambda }_2^{n-k}}{(n-k)!}{e}^{-{\lambda }_2}$$ $$=e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}\sum _{k=0}^n\frac{{\lambda }_1^k\cdot {\lambda }_2^{n-k}}{k!(n-k)!}$$

提取 $\frac{1}{n!}$ 并利用二项式定理：

$$=\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{n!}\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}{\lambda }_1^k{\lambda }_2^{n-k}=\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{n!}({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^n$$

这正是 $\text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$ 的分布列。$\square$

直观理解：泊松分布描述的是单位时间内稀有事件发生的次数。如果两个独立稀有事件源分别以速率 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 发生，那么合并后的事件源以速率 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 发生——总发生率等于各发生率之和。

二项分布的可加性

定理 3.3.3 — 二项分布的可加性

设 $X\sim B(n_1,p)$，$Y\sim B(n_2,p)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则

$$X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$$

Abstract

证明：$X$ 的分布列为 $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n_1-k}$（$k=0,1,\dots ,n_1$），$Y$ 的分布列为 $P(Y=j)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2}{j}\right)p^j(1-p{)}^{n_2-j}$（$j=0,1,\dots ,n_2$）。

由独立性，$Z=X+Y$ 的分布列为

$$P(Z=n)=\sum _{k=0}^{n}P(X=k)P(Y=n-k)=\sum _{k=\max (0,n-n_2)}^{\min (n,n_1)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n_1-k}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2}{n-k})p^{n-k}(1-p{)}^{n_2-(n-k)}$$ $$=p^n(1-p{)}^{n_1+n_2-n}\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1}{k}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2}{n-k})$$

由 Vandermonde 恒等式 $\sum _k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2}{n-k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1+n_2}{n}\right)$，得

$$P(Z=n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1+n_2}{n}\right)p^n(1-p{)}^{n_1+n_2-n}$$

这正是 $B(n_1+n_2,p)$ 的分布列。$\square$

直观理解：$X\sim B(n_1,p)$ 表示 $n_1$ 次独立伯努利试验中成功的次数，$Y\sim B(n_2,p)$ 表示另外 $n_2$ 次独立伯努利试验中成功的次数。由于两组试验相互独立且成功概率相同，合并后相当于 $n_1+n_2$ 次伯努利试验，成功次数仍服从二项分布。

注意：二项分布可加性要求==成功概率 $p$ 相同==。如果 $X\sim B(n_1,p_1)$，$Y\sim B(n_2,p_2)$ 且 $p_1\ne p_2$，则 $X+Y$ 不服从二项分布。

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二、最大值与最小值的分布

最大值和最小值是工程、可靠性分析和极值统计中最重要的函数形式之一。本节介绍其分布函数的推导方法——分布函数法。

最大值的分布

定义 3.3.2 — 最大值的分布

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是 $n$ 个相互独立的随机变量，$Y=\max \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$，则 $Y$ 的分布函数为

$$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X_1\le y,X_2\le y,\dots ,X_n\le y)=\prod _{i=1}^n{F}_{X_i}(y)$$

特别地，当 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 独立同分布，共同分布函数为 $F(x)$ 时，

$$F_{\max }(y)=[F(y){]}^n$$

推导思路：$\max \{X_1,\dots ,X_n\}\le y$ 当且仅当每一个 $X_i\le y$。由独立性，联合事件概率等于各事件概率的乘积。

最小值的分布

定义 3.3.3 — 最小值的分布

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是 $n$ 个相互独立的随机变量，$Z=\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$，则 $Z$ 的分布函数为

$$F_Z(z)=P(Z\le z)=1-P(Z>z)=1-P(X_1>z,X_2>z,\dots ,X_n>z)=1-\prod _{i=1}^n[1-F_{X_i}(z)]$$

特别地，当 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 独立同分布，共同分布函数为 $F(x)$ 时，

$$F_{\min }(z)=1-[1-F(z){]}^n$$

推导思路：$\min \{X_1,\dots ,X_n\}>z$ 当且仅当每一个 $X_i>z$。利用对立事件 $P(Z\le z)=1-P(Z>z)$ 转化。

例 3.3.2 — 最大值分布（连续型）

设 $X_1,X_2,\dots ,X_5$ 独立同分布，$X_i\sim U(0,1)$，求 $Y=\max \{X_1,\dots ,X_5\}$ 的密度函数。

解：$X_i$ 的分布函数为 $F(x)=x$（$0<x<1$），则

$$F_Y(y)=[F(y){]}^5=y^5,0<y<1$$ $$f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=5y^4,0<y<1$$

验证：${\int }_0^{1}5y^{4}dy=1$ ✓

例 3.3.3 — 最小值分布（连续型）

设 $X_1,X_2,\dots ,X_5$ 独立同分布，$X_i\sim U(0,1)$，求 $Z=\min \{X_1,\dots ,X_5\}$ 的密度函数。

解：$X_i$ 的分布函数为 $F(x)=x$（$0<x<1$），则

$$F_Z(z)=1-[1-F(z){]}^5=1-(1-z{)}^5,0<z<1$$ $$f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)=5(1-z{)}^4,0<z<1$$

验证：${\int }_0^{1}5(1-z{)}^{4}dz=1$ ✓

例 3.3.4 — 路灯问题（最大值应用题）

一条长为 $a$ 的道路上有两盏路灯，分别位于道路的两端。假设路灯的寿命 $X_1,X_2$ 独立同分布，$X_i\sim \text{Exp}(\lambda )$，求两盏路灯中至少有一盏仍在工作的概率，以及两盏都失效的时间分布。

解：

（1）至少一盏仍在工作： 两盏都失效的时间为 $T=\max \{X_1,X_2\}$。在时刻 $t$ 至少一盏仍在工作等价于 $T>t$。

$T$ 的分布函数：

$$F_T(t)=P(\max \{X_1,X_2\}\le t)=[F(t){]}^2=(1-e^{-\lambda t}{)}^2,t>0$$

因此 $P(\text{至少一盏在时刻 }t\text{ 仍工作})=P(T>t)=1-(1-e^{-\lambda t}{)}^2=2e^{-\lambda t}-e^{-2\lambda t}$

（2）两盏都失效的时间分布：

$$f_T(t)=F_T^{\prime }(t)=2(1-e^{-\lambda t})\cdot \lambda e^{-\lambda t}=2\lambda e^{-\lambda t}(1-e^{-\lambda t}),t>0$$

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三、连续场合的卷积公式

卷积公式是求连续型独立随机变量之和分布的核心工具，也是本节最重要的公式之一。

卷积公式

定理 3.3.4 — 卷积公式

设 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的连续型随机变量，其密度函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$，则 $Z=X+Y$ 的密度函数为

$$p_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(z-y)p_Y(y)dy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(x)p_Y(z-x)dx$$

Abstract

证明：先求 $Z=X+Y$ 的分布函数：

$$F_Z(z)=P(X+Y\le z)={\iint }_{x+y\le z}{p}_X(x)p_Y(y)dxdy$$

将积分区域 $\{(x,y):x+y\le z\}$ 改写为：固定 $y$，则 $x$ 的范围是 $(-\infty ,z-y]$。因此

$$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{z-y}{p}_X(x)dx\right]p_Y(y)dy$$

对 $z$ 求导（利用 Leibniz 积分法则）：

$$p_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(z-y)p_Y(y)dy$$

交换 $X$ 和 $Y$ 的角色（令 $x=z-y$），可得等价形式 $p_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(x)p_Y(z-x)dx$。$\square$

卷积公式的直观理解：$Z=z$ 可以通过无数种方式实现：$X=x$ 且 $Y=z-x$，其中 $x$ 取遍所有实数。对于每一种方式，其”概率密度贡献”为 $p_X(x)\cdot p_Y(z-x)$，将所有贡献积分即得 $p_Z(z)$。

使用卷积公式的关键步骤：

1. 写出 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ 的表达式，注意各自的非零区域；
2. 代入卷积公式 $p_Z(z)=\int p_X(x)p_Y(z-x)dx$；
3. 确定被积函数非零时 $x$ 和 $z$ 需要满足的不等式；
4. 根据 $z$ 的不同取值范围，分段确定积分限；
5. 分段计算积分。

正态分布的可加性

例 3.3.5 — 正态分布的可加性

设 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $Z=X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$。

解：由卷积公式：

$$p_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(x)p_Y(z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{e}^{-\frac{(z-x-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}}dx$$

合并指数部分：

$$-\frac{1}{2}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(z-x-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]$$

对 $x$ 配方，令 ${\sigma }^2={\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$，$\mu ={\mu }_1+{\mu }_2$，经过配方化简后指数部分变为

$$-\frac{(z-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}-\frac{[{\sigma }^2(x-\hat{\mu }){]}^2}{2{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}$$

其中 $\hat{\mu }=\frac{{\sigma }_2^2{\mu }_1+{\sigma }_1^2(z-{\mu }_2)}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$。对 $x$ 积分时，第二项关于 $x$ 的高斯积分结果为 $\frac{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1{\sigma }_2}{\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}}$，与前面的常数合并后恰好得到

$$p_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)}}{e}^{-\frac{(z-{\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{2({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)}}$$

即 $Z\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$。

定理 3.3.5 — 正态分布的线性组合

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 相互独立，$X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$，$a_1,a_2,\dots ,a_n$ 为常数，则

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i\sim N\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{\mu }_i,\sum _{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2\right)$$

推论：若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$。

伽马分布的可加性

例 3.3.6 — 伽马分布的可加性

设 $X\sim \text{Ga}({\alpha }_1,\lambda )$，$Y\sim \text{Ga}({\alpha }_2,\lambda )$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $X+Y\sim \text{Ga}({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$。

解：$X$ 的密度函数为 $p_X(x)=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1}}{\Gamma ({\alpha }_1)}{x}^{{\alpha }_1-1}{e}^{-\lambda x}$（$x>0$），$Y$ 的密度函数为 $p_Y(y)=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_2}}{\Gamma ({\alpha }_2)}{y}^{{\alpha }_2-1}{e}^{-\lambda y}$（$y>0$）。

由卷积公式（$z>0$）：

$$p_Z(z)={\int }_0^z{p}_X(x)p_Y(z-x)dx=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{e}^{-\lambda z}{\int }_0^z{x}^{{\alpha }_1-1}(z-x{)}^{{\alpha }_2-1}dx$$

令 $x=zt$，$dx=zdt$：

$$=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{e}^{-\lambda z}{z}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{\int }_0^1{t}^{{\alpha }_1-1}(1-t{)}^{{\alpha }_2-1}dt$$

积分部分为 Beta 函数 $B({\alpha }_1,{\alpha }_2)=\frac{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2)}$，代入得

$$p_Z(z)=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{z}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{e}^{-\lambda z},z>0$$

即 $Z\sim \text{Ga}({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$。

定理 3.3.6 — 伽马分布的可加性

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 相互独立，$X_i\sim \text{Ga}({\alpha }_i,\lambda )$（$i=1,2,\dots ,n$），则

$$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \text{Ga}\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i,\lambda \right)$$

注意：伽马分布可加性要求==尺度参数 $\lambda$ 相同==。如果尺度参数不同，则和不服从伽马分布。

卡方分布的构造与可加性

定理 3.3.7 — 卡方分布的构造与可加性

（1）设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 相互独立，且 $X_i\sim N(0,1)$，则

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$$

（2）设 $X\sim {\chi }^2(n_1)$，$Y\sim {\chi }^2(n_2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则

$$X+Y\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$$

证明思路：

• （1）先证 $X_i^2\sim \text{Ga}(1/2,1/2)={\chi }^2(1)$（利用变量变换法），再由伽马分布可加性（定理 3.3.6）得 $\sum X_i^2\sim \text{Ga}(n/2,1/2)={\chi }^2(n)$。
• （2）${\chi }^2(k)=\text{Ga}(k/2,1/2)$，由伽马分布可加性直接得到。

例 3.3.7 — 卡方分布的构造

设 $X\sim N(0,1)$，求 $Y=X^2$ 的分布。

解：$Y=X^2\ge 0$。用分布函数法：

$$F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})=\Phi (\sqrt{y})-\Phi (-\sqrt{y})=2\Phi (\sqrt{y})-1,y>0$$

求导：

$$f_Y(y)=2\phi (\sqrt{y})\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y/2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-y/2},y>0$$

这正是 $\text{Ga}(1/2,1/2)={\chi }^2(1)$ 的密度函数。

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四、变量变换法

变量变换法是处理多维随机变量函数分布的通用工具，通过雅可比行列式实现坐标变换。

雅可比行列式

定义 3.3.4 — 雅可比行列式

设变换 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$ 具有连续偏导数，且存在逆变换 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$，则该变换的雅可比行列式（Jacobian determinant）定义为

$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\cdot \frac{\partial y}{\partial u}$$

直观理解：雅可比行列式衡量的是变换前后的”面积微元之比”。$|J|$ 表示在 $(u,v)$ 坐标系中一个微小面积对应到 $(x,y)$ 坐标系中的面积放大倍数。

变量变换公式

定义 3.3.5 — 变量变换公式

设 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p_{X,Y}(x,y)$，作变换

$$U=g_1(X,Y),V=g_2(X,Y)$$

若该变换是一一对应的（即存在逆变换 $X=h_1(U,V)$，$Y=h_2(U,V)$），则 $(U,V)$ 的联合密度函数为

$$p_{U,V}(u,v)=p_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))\cdot |J|$$

其中 $J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ 为雅可比行列式。

变量变换法的基本步骤：

1. 设定变换 $U=g_1(X,Y)$，$V=g_2(X,Y)$（通常 $V$ 的选择需保证一一对应）；
2. 求逆变换 $X=h_1(U,V)$，$Y=h_2(U,V)$；
3. 计算雅可比行列式 $J$；
4. 代入公式 $p_{U,V}(u,v)=p_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\cdot |J|$；
5. 对 $v$ 积分得到 $U$ 的边际密度 $p_U(u)$。

例 3.3.8 — 变量变换法（ $U=X+Y$，$V=X-Y$）

设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$ 独立，求 $U=X+Y$ 和 $V=X-Y$ 的联合分布。

解：$(X,Y)$ 的联合密度为

$$p_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-(x^2+y^2)/2}$$

逆变换：$X=\frac{U+V}{2}$，$Y=\frac{U-V}{2}$

雅可比行列式：

$$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right|=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

$|J|=1/2$。

代入公式：

$$p_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2+{\left(\frac{u-v}{2}\right)}^2\right]}\cdot \frac{1}{2}$$

化简指数部分：

$${\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2+{\left(\frac{u-v}{2}\right)}^2=\frac{u^2+2uv+v^2+u^2-2uv+v^2}{4}=\frac{u^2+v^2}{2}$$

因此

$$p_{U,V}(u,v)=\frac{1}{4\pi }{e}^{-(u^2+v^2)/4}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 2}}{e}^{-u^2/(2\cdot 2)}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 2}}{e}^{-v^2/(2\cdot 2)}$$

即 $U\sim N(0,2)$，$V\sim N(0,2)$，且 $U$ 与 $V$ 独立。

积的公式

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$U=XY$，则 $U$ 的密度函数为

$$p_U(u)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)\frac{1}{|v|}dv$$

推导：令 $U=XY$，$V=Y$，则逆变换为 $X=U/V$，$Y=V$。雅可比行列式为

$$J=\left|\begin{array}{cc}1/v& -u/v^2\\ 0& 1\end{array}\right|=\frac{1}{v}$$

$|J|=1/|v|$。对 $v$ 积分即得。

例 3.3.9 — 积的公式（ $U=XY$）

设 $X\sim U(0,1)$，$Y\sim U(0,1)$ 独立，求 $U=XY$ 的密度函数。

解：$p_X(x)=1$（$0<x<1$），$p_Y(y)=1$（$0<y<1$）。

由积的公式：

$$p_U(u)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)\frac{1}{|v|}dv$$

被积函数非零需要 $0<u/v<1$ 且 $0<v<1$，即 $u<v<1$ 且 $0<v<1$。

当 $0<u<1$ 时：

$$p_U(u)={\int }_u^1\frac{1}{v}dv=-\ln u,0<u<1$$

商的公式

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$U=X/Y$，则 $U$ 的密度函数为

$$p_U(u)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(uv)p_Y(v)|v|dv$$

推导：令 $U=X/Y$，$V=Y$，则逆变换为 $X=UV$，$Y=V$。雅可比行列式为

$$J=\left|\begin{array}{cc}v& u\\ 0& 1\end{array}\right|=v$$

$|J|=|v|$。对 $v$ 积分即得。

例 3.3.10 — 商的公式（ $U=X/Y$）

设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$ 独立，求 $U=X/Y$ 的密度函数。

解：由商的公式：

$$p_U(u)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-(uv{)}^2/2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-v^2/2}\cdot |v|dv$$ $$=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|v|e^{-v^2(1+u^2)/2}dv$$

被积函数为偶函数：

$$=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }v{e}^{-v^2(1+u^2)/2}dv$$

令 $t=v^2(1+u^2)/2$，$dt=v(1+u^2)dv$：

$$=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{1}{1+u^2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}dt=\frac{1}{\pi (1+u^2)}$$

即 $U$ 服从标准柯西分布 $C(0,1)$。

多对一变换的推广公式

当变换 $u=g_1(x,y)$，$v=g_2(x,y)$ 不是一一对应时，需要将定义域划分为若干个一一对应的区域，分别应用变量变换公式后求和：

$$p_{U,V}(u,v)=\sum _k{p}_{X,Y}(x_k(u,v),y_k(u,v))\cdot |J_k|$$

其中 $(x_k,y_k)$ 是第 $k$ 个逆变换分支，$J_k$ 是对应的雅可比行列式。

典型应用：当求 $U=X^2+Y^2$（极坐标变换）或 $U=X^2$ 时，变换不是一一对应的，需要使用推广公式。

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五、常见分布函数汇总

五大分布的可加性

分布名称	条件	和的分布	期望	方差/协方差
泊松分布	$X_i\sim \text{Poisson}({\lambda }_i)$ 独立	$\sum X_i\sim \text{Poisson}(\sum {\lambda }_i)$	$\sum {\lambda }_i$	$\sum {\lambda }_i$
二项分布	$X_i\sim B(n_i,p)$ 独立，$p$ 相同	$\sum X_i\sim B(\sum n_i,p)$	$p\sum n_i$	$p(1-p)\sum n_i$
正态分布	$X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$ 独立	$\sum a_i{X}_i\sim N(\sum a_i{\mu }_i,\sum a_i^2{\sigma }_i^2)$	$\sum a_i{\mu }_i$	$\sum a_i^2{\sigma }_i^2$
伽马分布	$X_i\sim \text{Ga}({\alpha }_i,\lambda )$ 独立，$\lambda$ 相同	$\sum X_i\sim \text{Ga}(\sum {\alpha }_i,\lambda )$	$\frac{\sum {\alpha }_i}{\lambda }$	$\frac{\sum {\alpha }_i}{{\lambda }^2}$
卡方分布	$X_i\sim {\chi }^2(n_i)$ 独立	$\sum X_i\sim {\chi }^2(\sum n_i)$	$\sum n_i$	$2\sum n_i$

记忆技巧：

• 泊松：参数相加（发生率叠加）
• 二项：试验次数相加，概率不变
• 正态：均值按系数加权求和，方差按系数平方加权求和
• 伽马：形状参数相加，尺度参数不变
• 卡方：自由度相加（卡方是伽马的特例）

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六、方法选择指南

三种方法的适用场景

方法	适用条件	优点	缺点	典型应用
分布函数法	任何情形（最通用）	无需独立性假设，适用范围最广	计算可能较繁琐	最大/最小值、一般函数
卷积公式	$Z=X+Y$，$X$ 与 $Y$ 独立	公式直接，计算高效	仅适用于求和，要求独立	正态/伽马可加性
变量变换法	需要同时求多个函数的联合分布	可同时得到多个函数的联合分布	需要构造合适的辅助变量，计算雅可比行列式	商/积的分布、极坐标变换

决策流程：

1. 先判断是否为求和问题（$Z=X+Y$）且独立 → 优先用卷积公式
2. 再判断是否为最大/最小值 → 用分布函数法
3. 再判断是否为商/积或需要联合分布 → 用变量变换法
4. 其他一般情形 → 用分布函数法（万能方法）

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七、知识结构总览

graph TD
    A[多维随机变量函数分布] --> B[离散型: 分布列法]
    A --> C[连续型: 三大方法]
    A --> D[五大分布可加性]

    B --> B1[枚举取值对]
    B --> B2[合并相同值]
    B --> B3[累加概率]

    C --> C1[分布函数法]
    C --> C2[卷积公式]
    C --> C3[变量变换法]

    C1 --> C1a[最大值分布]
    C1 --> C1b[最小值分布]

    C2 --> C2a[独立随机变量之和]
    C2 --> C2b[分段确定积分限]

    C3 --> C3a[雅可比行列式]
    C3 --> C3b[积的公式]
    C3 --> C3c[商的公式]

    D --> D1[泊松: 参数相加]
    D --> D2[二项: n相加p不变]
    D --> D3[正态: 均值方差加权]
    D --> D4[伽马: 形状相加]
    D --> D5[卡方: 自由度相加]

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八、核心思想与证明技巧

卷积公式的证明思路

卷积公式的证明遵循”分布函数 → 求导 → 密度函数”的经典路线：

1. 写出分布函数：$F_Z(z)=P(X+Y\le z)={\iint }_{x+y\le z}{p}_X(x)p_Y(y)dxdy$
2. 交换积分顺序：固定 $y$，对 $x$ 从 $-\infty$ 积到 $z-y$
3. 对 $z$ 求导：利用 Leibniz 积分法则，将导数”穿过”积分号，直接作用于积分上限 $z-y$
4. 得到密度函数：$p_Z(z)=\int p_X(z-y)p_Y(y)dy$

关键技巧：Leibniz 积分法则 $\frac{d}{dz}{\int }_{-\infty }^{z-y}f(x)dx=f(z-y)$ 是整个证明的核心一步。

变量变换法的推导思路

变量变换法本质上是多元微积分中二重积分换元法在概率论中的应用：

1. 设定变换：$(X,Y)\to (U,V)$，要求一一对应
2. 求逆变换：$(U,V)\to (X,Y)$，即 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$
3. 计算雅可比行列式：$|J|=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|$，表示面积微元的缩放因子
4. 代入公式：$p_{U,V}(u,v)=p_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\cdot |J|$
5. 求边际分布：$p_U(u)=\int p_{U,V}(u,v)dv$

关键技巧：辅助变量 $V$ 的选择是变量变换法的难点。好的选择应满足：

• 变换一一对应
• 雅可比行列式计算简便
• 后续积分容易计算

方法选择的决策树

问题：求 Z = g(X,Y) 的分布
│
├─ 离散型？ → 分布列法（枚举+合并）
│
├─ 连续型？
│   ├─ Z = X + Y 且 X,Y 独立？ → 卷积公式
│   ├─ Z = max/min？ → 分布函数法
│   ├─ Z = XY 或 X/Y？ → 变量变换法（积/商公式）
│   ├─ 需要联合分布？ → 变量变换法
│   └─ 其他？ → 分布函数法（万能方法）

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九、补充理解与易混淆点

卷积公式与独立性

来源：茆诗松教材§3.3 + 卡方核心笔记 + 概率论考研真题 + 课堂讨论 + 统计学入门教材

误区1："卷积公式只适用于独立随机变量"

❌ 错误解释：卷积公式是求和问题的唯一方法，任何求和问题都必须用卷积公式。 ✅ 正确解释：卷积公式 $p_Z(z)=\int p_X(z-y)p_Y(y)dy$ 确实要求 $X$ 与 $Y$ 独立（因为推导中用到了 $p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$）。但当 $X$ 与 $Y$ 不独立时，求 $Z=X+Y$ 的分布仍可使用分布函数法：$F_Z(z)={\iint }_{x+y\le z}{p}_{X,Y}(x,y)dxdy$，再求导。分布函数法不要求独立性。

变量变换法的维度

来源：茆诗松教材§3.3 + 卡方核心笔记 + 高等数学教材 + 研究生入学考试大纲 + 概率论进阶教材

误区2："变量变换法只能用于二维"

❌ 错误解释：变量变换法只能处理两个随机变量的情形，无法推广到更高维。 ✅ 正确解释：变量变换法可以推广到 $n$ 维。设 $(X_1,\dots ,X_n)$ 的联合密度为 $p(\mathbf{x})$，作变换 $(U_1,\dots ,U_n)=\mathbf{g}(\mathbf{X})$，若一一对应，则 $p_{\mathbf{U}}(\mathbf{u})=p(\mathbf{h}(\mathbf{u}))\cdot |J|$，其中 $J$ 是 $n\times n$ 的雅可比行列式。例如，$n$ 维正态变量作正交变换后仍为 $n$ 维正态变量。

最大/最小值分布的条件

来源：茆诗松教材§3.3 + 卡方核心笔记 + 可靠性分析教材 + 工程概率论 + 考研真题解析

误区3："最大值和最小值的分布函数公式需要独立同分布"

❌ 错误解释：$F_{\max }(y)=[F(y){]}^n$ 和 $F_{\min }(z)=1-[1-F(z){]}^n$ 只在独立同分布时成立，不同分布时无法使用。 ✅ 正确解释：独立同分布是简化形式。更一般的公式只需要独立（不一定同分布）：$F_{\max }(y)={\prod }_{i=1}^n{F}_{X_i}(y)$，$F_{\min }(z)=1-{\prod }_{i=1}^n[1-F_{X_i}(z)]$。只有当各 $X_i$ 同分布时才能提取公因子得到 $[F(y){]}^n$ 的简洁形式。

正态分布线性组合的条件

来源：茆诗松教材§3.3 + 卡方核心笔记 + 概率论考研常见错题 + 数理统计教材 + 线性代数教材

误区4："正态分布的线性组合一定服从正态分布"

❌ 错误解释：只要 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布，则 $aX+bY$ 一定服从正态分布。 ✅ 正确解释：$aX+bY\sim N(\cdot ,\cdot )$ 需要独立性或联合正态。如果 $X$ 和 $Y$ 各自正态但不独立（即不联合正态），则线性组合不一定正态。反例：设 $X\sim N(0,1)$，$Y=\{\begin{array}{ll}X,& |X|\le c\\ -X,& |X|>c\end{array}$，适当选取 $c$ 可使 $Y\sim N(0,1)$ 但 $X+Y$ 不正态。定理 3.3.5 的条件是”$X_i$ 相互独立”，这一点不可忽略。

卷积的交换律与积分限

来源：茆诗松教材§3.3 + 卡方核心笔记 + 考研真题计算错误案例 + 数学分析教材 + 概率论习题课

误区5："卷积满足交换律所以计算结果与积分顺序无关"

❌ 错误解释：因为 $p_Z(z)=\int p_X(z-y)p_Y(y)dy=\int p_X(x)p_Y(z-x)dx$，所以两种积分方式完全等价，积分限也相同。 ✅ 正确解释：卷积确实满足交换律（两种形式等价），但在具体计算时，两种形式的积分限可能完全不同。例如，当 $X\sim U(0,1)$，$Y\sim \text{Exp}(1)$ 时，$p_Z(z)=\int p_X(x)p_Y(z-x)dx$ 和 $p_Z(z)=\int p_X(z-y)p_Y(y)dy$ 的分段方式和积分限不同。选择哪种形式会影响计算的难易程度，需要根据具体问题灵活选择。

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十、习题精选

习题概览

编号	来源	知识点	方法	难度
1	教材3.3-1	离散型函数分布（$Z=X+Y$）	分布列法	★★☆
2	教材3.3-3	最大值分布	分布函数法	★★☆
3	教材3.3-5	卷积公式求 $Z=X+Y$	卷积公式	★★★
4	教材3.3-8	变量变换法	雅可比行列式	★★★
5	教材3.3-12	最小值分布+期望	分布函数法	★★★
6	教材3.3-15	积/商的分布	变量变换法	★★★★
7	2017兰州大学432	最小值分布（指数分布）	分布函数法	★★☆
8	2021上海交通大学432	商的分布（$X/Y\to$ 柯西分布）	商的公式	★★★
9	2020厦门大学868	变量变换法（两点距离分布）	变量变换法	★★★
10	2019中南财经政法大学432	卷积公式（$Z=2X+Y$）	卷积公式	★★★

习题1 — 教材3.3-1：离散型函数分布（ $Z=X+Y$）★★☆

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P(X=i,Y=j)=\frac{1}{6}$（$i,j=1,2$），求 $Z=X+Y$ 的分布律。

查看解答

解：列出所有取值对及对应的 $Z$ 值：

$(X,Y)$	$(1,1)$	$(1,2)$	$(2,1)$	$(2,2)$
$Z=X+Y$	$2$	$3$	$3$	$4$
$P$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

等等，概率之和为 $4/6\ne 1$，说明还有其他取值。实际上 $P(X=i,Y=j)=1/6$ 对所有 $i,j\in \{1,2\}$ 成立，共4种情况，概率和为 $4/6$，这与概率公理矛盾。题目应为 $P(X=i,Y=j)=1/4$。

修正后：$P(Z=2)=1/4$，$P(Z=3)=1/4+1/4=1/2$，$P(Z=4)=1/4$。

$z$	$2$	$3$	$4$
$P$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

习题2 — 教材3.3-3：最大值分布 ★★☆

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 独立同分布，$X_i\sim \text{Exp}(\lambda )$，求 $Y=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ 的分布函数和密度函数。

查看解答

解：$X_i$ 的分布函数为 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$（$x>0$）。

$$F_Y(y)=[F(y){]}^n=(1-e^{-\lambda y}{)}^n,y>0$$ $$f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=n(1-e^{-\lambda y}{)}^{n-1}\cdot \lambda e^{-\lambda y}=n\lambda e^{-\lambda y}(1-e^{-\lambda y}{)}^{n-1},y>0$$

习题3 — 教材3.3-5：卷积公式求 $Z=X+Y$ ★★★

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$X\sim U(0,1)$，$Y\sim U(0,1)$，用卷积公式求 $Z=X+Y$ 的密度函数。

查看解答

解：$p_X(x)=1$（$0<x<1$），$p_Y(y)=1$（$0<y<1$）。

由卷积公式 $p_Z(z)={\int }_0^1{p}_X(z-y)p_Y(y)dy={\int }_0^1{p}_X(z-y)dy$。

被积函数 $p_X(z-y)=1$ 当且仅当 $0<z-y<1$，即 $z-1<y<z$。

分段讨论：

• 当 $0<z<1$ 时：$y$ 的范围是 $(0,z)$，$p_Z(z)={\int }_0^{z}1dy=z$
• 当 $1\le z<2$ 时：$y$ 的范围是 $(z-1,1)$，$p_Z(z)={\int }_{z-1}^{1}1dy=2-z$
• 其他：$p_Z(z)=0$

$$p_Z(z)=\{\begin{array}{ll}z,& 0<z<1\\ 2-z,& 1\le z<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

这是三角分布（Triangular distribution），密度函数呈三角形。

习题4 — 教材3.3-8：变量变换法 ★★★

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=e^{-(x+y)}$（$x>0,y>0$），令 $U=X+Y$，$V=X/(X+Y)$，求 $(U,V)$ 的联合密度，并判断 $U$ 与 $V$ 是否独立。

查看解答

解：逆变换：$X=UV$，$Y=U(1-V)$。

雅可比行列式：

$$J=\left|\begin{array}{cc}v& u\\ 1-v& -u\end{array}\right|=v\cdot (-u)-u\cdot (1-v)=-uv-u+uv=-u$$

$|J|=u$。

变换后的区域：$x>0,y>0\Rightarrow uv>0,u(1-v)>0$，即 $u>0$，$0<v<1$。

$$p_{U,V}(u,v)=p_{X,Y}(uv,u(1-v))\cdot u=e^{-uv-u(1-v)}\cdot u=u{e}^{-u},u>0,0<v<1$$

可分解为 $p_{U,V}(u,v)=(u{e}^{-u})\cdot 1=p_U(u)\cdot p_V(v)$，其中 $p_U(u)=u{e}^{-u}$（$u>0$），$p_V(v)=1$（$0<v<1$）。

因此 $U$ 与 $V$ 独立。注意 $U\sim \text{Ga}(2,1)$，$V\sim U(0,1)$。

习题5 — 教材3.3-12：最小值分布+期望 ★★★

设系统由 $n$ 个独立元件串联而成，第 $i$ 个元件的寿命 $X_i\sim \text{Exp}({\lambda }_i)$，求系统寿命 $T=\min \{X_1,\dots ,X_n\}$ 的分布，并计算 $E(T)$。

查看解答

解：$X_i$ 的分布函数为 $F_i(t)=1-e^{-{\lambda }_{i}t}$（$t>0$）。

$$F_T(t)=1-\prod _{i=1}^n[1-F_i(t)]=1-\prod _{i=1}^n{e}^{-{\lambda }_{i}t}=1-e^{-({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)t},t>0$$ $$f_T(t)=({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)e^{-({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)t},t>0$$

即 $T\sim \text{Exp}({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)$。

$$E(T)=\frac{1}{{\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n}$$

工程意义：串联系统的寿命取决于最薄弱的环节。$n$ 个指数寿命元件串联后，系统仍为指数寿命，失效率为各元件失效率之和。

习题6 — 教材3.3-15：积/商的分布 ★★★★

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$X\sim \text{Exp}(1)$，$Y\sim \text{Exp}(1)$，分别求 $U=XY$ 和 $V=X/Y$ 的密度函数。

查看解答

解：

（1）$U=XY$：由积的公式 $p_U(u)={\int }_0^{+\infty }{p}_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)\frac{1}{v}dv$。

$p_X(u/v)=e^{-u/v}$（$u/v>0$，即 $u>0$），$p_Y(v)=e^{-v}$（$v>0$）。

$$p_U(u)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-u/v}\cdot e^{-v}\cdot \frac{1}{v}dv={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{v}{e}^{-v-u/v}dv,u>0$$

令 $v=\sqrt{u}t$：

$$={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{u}t}{e}^{-\sqrt{u}(t+1/t)}\sqrt{u}dt={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{t}{e}^{-\sqrt{u}(t+1/t)}dt=2K_0(2\sqrt{u})$$

其中 $K_0$ 为第二类修正贝塞尔函数。

（2）$V=X/Y$：由商的公式 $p_V(v)={\int }_0^{+\infty }{p}_X(vy)p_Y(y)ydy$。

$$p_V(v)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-vy}\cdot e^{-y}\cdot ydy={\int }_0^{+\infty }y{e}^{-(v+1)y}dy,v>0$$

利用伽马函数积分 ${\int }_0^{+\infty }y{e}^{-ay}dy=\frac{1}{a^2}$：

$$p_V(v)=\frac{1}{(v+1{)}^2},v>0$$

这是Pareto 型分布（或 $F$ 分布的特例）。

习题7 — 2017兰州大学432：最小值分布（指数分布）★★☆

设随机变量 $X,Y$ 相互独立且分别服从参数为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的指数分布，求 $Z=\min (X,Y)$ 的密度函数。

查看解答

解：$X\sim \text{Exp}({\lambda }_1)$，$Y\sim \text{Exp}({\lambda }_2)$，$X$ 与 $Y$ 独立。

$X$ 的分布函数 $F_X(x)=1-e^{-{\lambda }_{1}x}$（$x>0$），$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=1-e^{-{\lambda }_{2}y}$（$y>0$）。

由最小值分布公式（独立不一定同分布）：

$$F_Z(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]=1-e^{-{\lambda }_{1}z}\cdot e^{-{\lambda }_{2}z}=1-e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)z},z>0$$ $$f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)=({\lambda }_1+{\lambda }_2)e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)z},z>0$$

即 $Z\sim \text{Exp}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$。

结论：两个独立指数分布的最小值仍为指数分布，参数为两参数之和。

习题8 — 2021上海交通大学432：商的分布（ $X/Y\to$ 柯西分布）★★★

设 $X,Y$ 独立同服从 $N(0,1)$，求 $Z=X/Y$ 的概率密度函数。

A. $f_Z(z)=\frac{1}{\pi (1+z^2)}$   B. $f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}$   C. $f_Z(z)=\frac{2}{\pi (1+z^2)}$   D. $f_Z(z)=\frac{1}{2\sqrt{\pi }}{e}^{-z^2/4}$

查看解答

解：用分布函数法。

$F_Z(z)=P(X/Y\le z)$，分 $y>0$ 和 $y<0$ 讨论：

$$F_Z(z)={\iint }_{x/y\le z}\frac{1}{2\pi }{e}^{-(x^2+y^2)/2}dxdy$$

当 $y>0$ 时，$x\le zy$；当 $y<0$ 时，$x\ge zy$。

$$F_Z(z)={\int }_0^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{zy}\frac{1}{2\pi }{e}^{-(x^2+y^2)/2}dxdy+{\int }_{-\infty }^0{\int }_{zy}^{+\infty }\frac{1}{2\pi }{e}^{-(x^2+y^2)/2}dxdy$$

利用标准正态分布函数 $\Phi$：

$$={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y^2/2}\Phi (zy)dy+{\int }_{-\infty }^0\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y^2/2}[1-\Phi (zy)]dy$$

对 $z$ 求导（利用 ${\Phi }^{\prime }(zy)=\phi (zy)\cdot y$）：

$$f_Z(z)={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y^2/2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2{y}^2/2}\cdot ydy+{\int }_{-\infty }^0\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y^2/2}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2{y}^2/2}\right)\cdot ydy$$ $$=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|e^{-y^2(1+z^2)/2}dy=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }y{e}^{-y^2(1+z^2)/2}dy$$

令 $t=y^2(1+z^2)/2$，$dt=y(1+z^2)dy$：

$$=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{1}{1+z^2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}dt=\frac{1}{\pi (1+z^2)}$$

这是标准柯西分布 $C(0,1)$。

答案：选 A。

习题9 — 2020厦门大学868：变量变换法（两点距离分布）★★★

在区间 $(0,b)$ 中随机投两个点 $X$ 和 $Y$，求两点距离 $T=|X-Y|$ 的分布。

查看解答

解：$X,Y$ 独立同分布，$X\sim U(0,b)$，$Y\sim U(0,b)$。

联合密度 $p_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{b^2}$（$0<x<b$，$0<y<b$）。

令 $U=X-Y$，$V=Y$，则逆变换为 $X=U+V$，$Y=V$。

雅可比行列式：

$$J=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=1$$

$|J|=1$。

变换后区域：$0<u+v<b$，$0<v<b$，即 $-v<u<b-v$，$0<v<b$。

$$p_{U,V}(u,v)=\frac{1}{b^2},-v<u<b-v,0<v<b$$

对 $v$ 积分求 $U$ 的边际密度。注意 $T=|U|$，先求 $U$ 的密度再求 $T$ 的密度。

当 $u>0$ 时：$v$ 的范围是 $0<v<b-u$（由 $v>0$ 和 $v<b-u$），$p_U(u)=\frac{b-u}{b^2}$。

当 $u<0$ 时：$v$ 的范围是 $-u<v<b$（由 $v>-u$ 和 $v<b$），$p_U(u)=\frac{b+u}{b^2}$。

因此 $U$ 的密度关于 $u=0$ 对称，$T=|U|$ 的密度为：

$$f_T(t)=2\cdot \frac{b-t}{b^2}=\frac{2(b-t)}{b^2},0<t<b$$

验证：${\int }_0^b\frac{2(b-t)}{b^2}dt=\frac{2}{b^2}{\left[bt-\frac{t^2}{2}\right]}_0^b=\frac{2}{b^2}\cdot \frac{b^2}{2}=1$ ✓

习题10 — 2019中南财经政法大学432：卷积公式（ $Z=2X+Y$）★★★

设 $X\sim U(0,1)$，$Y\sim \text{Exp}(1)$ 独立，求 $Z=2X+Y$ 的密度函数。

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解：$p_X(x)=1$（$0<x<1$），$p_Y(y)=e^{-y}$（$y>0$）。

令 $W=2X$，则 $W$ 的密度为 $p_W(w)=\frac{1}{2}$（$0<w<2$），$Z=W+Y$。

由卷积公式：

$$p_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_W(w)p_Y(z-w)dw={\int }_0^2\frac{1}{2}\cdot p_Y(z-w)dw$$

$p_Y(z-w)=e^{-(z-w)}$（$z-w>0$，即 $w<z$）。

分段讨论：

情况一：$0<z<2$

$w$ 的范围：$0<w<z$（由 $w<z$ 和 $w>0$）

$$p_Z(z)={\int }_0^z\frac{1}{2}{e}^{-(z-w)}dw=\frac{e^{-z}}{2}{\int }_0^z{e}^{w}dw=\frac{e^{-z}}{2}(e^z-1)=\frac{1-e^{-z}}{2}$$

情况二：$z\ge 2$

$w$ 的范围：$0<w<2$（由 $w<z$ 自动满足，只需 $w>0$ 和 $w<2$）

$$p_Z(z)={\int }_0^2\frac{1}{2}{e}^{-(z-w)}dw=\frac{e^{-z}}{2}{\int }_0^2{e}^{w}dw=\frac{e^{-z}}{2}(e^2-1)=\frac{e^{2-z}-e^{-z}}{2}$$

综合：

$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-e^{-z}}{2},& 0<z<2\\ \frac{e^{2-z}-e^{-z}}{2},& z\ge 2\\ 0,& z\le 0\end{array}$$

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十一、教材原文

第三章教材PDF尚未上传，待后续补充。

第三章 多维随机变量及其分布/函数的分布