3.2 边际分布与随机变量的独立性

[ 本节概览

本节解决两个核心问题：(1) 如何从联合分布中提取单个分量的分布（边际分布）；(2) 如何判断多个随机变量之间是否相互独立。边际分布通过”积分掉”或”求和掉”其他变量得到；独立性通过联合分布是否等于边际分布的乘积来判别。

逻辑链条：边际分布函数（从联合分布函数提取）→ 离散型边际分布律（行/列求和）→ 连续型边际密度（积分）→ 随机变量的独立性（三种判别法）→ 独立性的进一步讨论（函数独立性、可分离变量）

前置依赖：[[3.1 多维随机变量及其联合分布|§3.1]（联合分布函数、联合密度函数）、§2.1（一维分布函数）

核心主线：联合分布包含所有信息，边际分布是联合分布的”投影”。独立性意味着联合分布可以完全分解为边际分布的乘积——这是概率论中最简洁的关系之一。

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一、边际分布函数

从联合到边际

定义 3.2.1 — X 的边际分布函数

设 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$，则称

$$F_X(x)=F(x,+\infty )=\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y)$$

为 $X$ 的边际分布函数。

定义 3.2.2 — Y 的边际分布函数

$$F_Y(y)=F(+\infty ,y)=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x,y)$$

为 $Y$ 的边际分布函数。

直观理解：$F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x,Y<+\infty )$，即”不考虑 $Y$ 的取值”时 $X$ 的分布。边际分布函数就是对联合分布函数取极限，“积分掉”另一个变量的信息。

例 3.2.1 — 从联合分布函数求边际分布

设 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-y})$（$x>0,y>0$），求 $X$ 和 $Y$ 的边际分布函数。

解：

$$F_X(x)=F(x,+\infty )=(1-e^{-x})\cdot 1=1-e^{-x},x>0$$ $$F_Y(y)=F(+\infty ,y)=1\cdot (1-e^{-y})=1-e^{-y},y>0$$

$X\sim \text{Exp}(1)$，$Y\sim \text{Exp}(1)$。注意 $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$，因此 $X$ 与 $Y$ 独立。

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二、离散型边际分布律

从联合分布律到边际分布律

定义 3.2.3 — X 的边际分布律

$$P(X=x_i)=p_{i\cdot }=\sum _{j=1}^{+\infty }{p}_{ij}=\sum _{j=1}^{+\infty }P(X=x_i,Y=y_j)$$

即对联合分布律的==第 $i$ 行求和==。

定义 3.2.4 — Y 的边际分布律

$$P(Y=y_j)=p_{\cdot j}=\sum _{i=1}^{+\infty }{p}_{ij}=\sum _{i=1}^{+\infty }P(X=x_i,Y=y_j)$$

即对联合分布律的==第 $j$ 列求和==。

直观理解：在联合分布律表格中，$X$ 的边际分布律就是每行求和（写在表格最右列），$Y$ 的边际分布律就是每列求和（写在表格最底行）。

例 3.2.2 — 离散型边际分布律

设 $(X,Y)$ 的联合分布律如下表，求边际分布律。

$X\setminus Y$	$0$	$1$	$p_{i\cdot }$
$0$	$0.4$	$0.1$	$0.5$
$1$	$0.2$	$0.3$	$0.5$
$p_{\cdot j}$	$0.6$	$0.4$	$1$

解：

• $P(X=0)=0.4+0.1=0.5$，$P(X=1)=0.2+0.3=0.5$
• $P(Y=0)=0.4+0.2=0.6$，$P(Y=1)=0.1+0.3=0.4$

验证独立性：$P(X=0,Y=0)=0.4=P(X=0)\cdot P(Y=0)=0.5\times 0.6=0.3$？$0.4\ne 0.3$，因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

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三、连续型边际概率密度

从联合密度到边际密度

定义 3.2.5 — X 的边际概率密度

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy$$

即对联合密度==关于 $y$ 积分==。

定义 3.2.6 — Y 的边际概率密度

$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dx$$

即对联合密度==关于 $x$ 积分==。

定理 3.2.1 — 边际密度与边际分布函数的关系

$$F_X(x)={\int }_{-\infty }^x{p}_X(u)du,F_Y(y)={\int }_{-\infty }^y{p}_Y(v)dv$$

证明思路

证明 (3.2.1)：

$$F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{+\infty }p(u,v)dvdu={\int }_{-\infty }^x\underset{=p_X(u)}{\underbrace{\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }p(u,v)dv\right)}}du$$

$\square$

例 3.2.3 — 三角形区域上的边际密度

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=1$（$0<x<1,|y|<x$），求 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$。

解：

[求 $p_X(x)$]：对 $y$ 积分，$y$ 的范围是 $(-x,x)$：

$$p_X(x)={\int }_{-x}^{x}1dy=2x,0<x<1$$

[求 $p_Y(y)$]：对 $x$ 积分。当 $y\ge 0$ 时，$x$ 的范围是 $(y,1)$；当 $y<0$ 时，$x$ 的范围是 $(-y,1)$：

$$p_Y(y)={\int }_{|y|}^{1}1dx=1-|y|,-1<y<1$$

验证独立性：$p_X(x)\cdot p_Y(y)=2x(1-|y|)\ne 1=p(x,y)$，因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

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四、随机变量的独立性

独立性的定义

定义 3.2.7 — 随机变量的独立性（分布函数判别）

设 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 的联合分布函数为 $F(x_1,\dots ,x_n)$，各分量的边际分布函数为 $F_{X_i}(x_i)$。若对所有 $x_1,\dots ,x_n$，

$$F(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{F}_{X_i}(x_i)$$

则称 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 相互独立。

定义 3.2.8 — 独立性的分布律/密度判别

离散型：若对所有 $x_1,\dots ,x_n$，

$$P(X_1=x_1,\dots ,X_n=x_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i=x_i)$$

连续型：若对所有 $x_1,\dots ,x_n$，

$$p(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{p}_{X_i}(x_i)$$

则称 $X_1,\dots ,X_n$ 相互独立。

独立性的判别流程

定理 3.2.2 — 连续型独立性的可分离变量判别

若连续型随机向量 $(X,Y)$ 的联合密度可以分解为

$$p(x,y)=f(x)\cdot g(y),\forall x,y$$

则 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

实际判别步骤：

1. 求出 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$
2. 检查 $p(x,y)\stackrel{?}{=}{p}_X(x)\cdot p_Y(y)$ 是否几乎处处成立
3. 若成立则独立，否则不独立

例 3.2.4 — 独立性判别

判断以下联合密度对应的 $X$ 与 $Y$ 是否独立：

$$p(x,y)=6x{y}^2,0<x<1,0<y<1$$

解：

$$p_X(x)={\int }_0^{1}6x{y}^{2}dy=6x\cdot \frac{1}{3}=2x,0<x<1$$ $$p_Y(y)={\int }_0^{1}6x{y}^{2}dx=6y^2\cdot \frac{1}{2}=3y^2,0<y<1$$

验证：$p_X(x)\cdot p_Y(y)=2x\cdot 3y^2=6x{y}^2=p(x,y)$ ✅

因此 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

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五、独立性的进一步讨论

函数的独立性

定理 3.2.3 — 函数的独立性

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则对任意可测函数 $f$ 和 $g$，$f(X)$ 与 $g(Y)$ 也相互独立。

证明思路

证明 (3.2.3)：

对任意 $a,b$，

$$P(f(X)\le a,g(Y)\le b)=P(X\in f^{-1}((-\infty ,a]),Y\in g^{-1}((-\infty ,b)))$$

由 $X$ 与 $Y$ 独立，上式等于

$$P(X\in f^{-1}((-\infty ,a]))\cdot P(Y\in g^{-1}((-\infty ,b)))=P(f(X)\le a)\cdot P(g(Y)\le b)$$

$\square$

重要推论：若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $X^2$ 与 $Y^2$ 独立、$e^X$ 与 $e^Y$ 独立、$\sin X$ 与 $\cos Y$ 独立。但反之不成立——$X^2$ 与 $Y^2$ 独立不能推出 $X$ 与 $Y$ 独立。

不独立但函数独立的反例

例 3.2.5 — $X$ 不独立但 $X^2$ 与 $Y^2$ 独立

设 $p(x,y)=\frac{1}{4}(1+xy)$（$|x|<1,|y|<1$），则 $X$ 与 $Y$ 不独立（因为 $p(x,y)\ne p_X(x)\cdot p_Y(y)$），但可以证明 $X^2$ 与 $Y^2$ 相互独立（$U=X^2,V=Y^2$ 的联合密度为 $f_{U,V}(u,v)=1$，$0<u,v<1$）。

n维推广

独立性定义自然推广到 $n$ 维：$X_1,\dots ,X_n$ 相互独立要求任意子集都独立（不仅是两两独立）。两两独立不蕴含相互独立。

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六、常见分布的边际分布与独立性

[ 常见二维分布的边际分布与独立性

联合分布	边际分布	是否独立	条件
$p(x,y)=f(x)g(y)$（可分离）	$p_X=f$，$p_Y=g$	✅ 独立	无
$N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$	$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$	$\rho =0$ 时独立	见[[3.1 多维随机变量及其联合分布
$U(D)$，$D$ 为矩形	均匀分布	✅ 独立	$D$ 为矩形区域
$U(D)$，$D$ 非矩形	非均匀	❌ 不独立	如圆盘
$M(n;p_1,\dots ,p_r)$	$b(n,p_i)$	❌ 不独立	$\sum X_i=n$ 约束

规律总结：

• 矩形区域上的均匀分布，分量独立
• 非矩形区域上的均匀分布，分量不独立
• 多项分布的分量不独立（因为受 $\sum X_i=n$ 约束）
• 二维正态分布的分量独立性等价于 $\rho =0$

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七、知识结构总览

graph TD
    A[边际分布与独立性] --> B[边际分布函数]
    A --> C[离散型边际分布律]
    A --> D[连续型边际密度]
    A --> E[随机变量的独立性]

    B --> B1[F_X等于F取极限]
    C --> C1[行求和与列求和]
    D --> D1[积分求边际密度]

    E --> E1[分布函数判别]
    E --> E2[分布律判别]
    E --> E3[密度函数判别]
    E --> E4[可分离变量判别]

    E --> F[函数的独立性]
    F --> F1[X独立则fX与gY独立]
    F --> F2[反之不成立]

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八、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 边际分布是联合分布的”投影”：边际分布通过对联合分布”积分掉”或”求和掉”其他变量得到。联合分布包含所有信息，边际分布只包含单个变量的信息。知道联合分布可以确定边际分布，但知道边际分布不能确定联合分布。

2. 独立性 = 联合 = 边际的乘积：这是独立性最本质的刻画。三种等价的判别方法（分布函数、分布律、密度函数）本质上是同一个思想在不同场景下的应用。

3. 独立性的传递性：$X$ 与 $Y$ 独立 $\Rightarrow$ $f(X)$ 与 $g(Y)$ 独立，但反之不成立。这是一个常见的考点。

证明技巧

• 边际密度的积分限确定：关键在于确定积分区域。当联合密度的支撑集不是矩形时（如三角形），积分限会依赖于另一个变量
• 独立性的快速判断：先看支撑集是否为矩形区域，再看密度是否可以分离变量。两个条件都满足才独立
• 反例构造：$X$ 不独立但 $X^2$ 独立，通过变量变换（Jacobi行列式）证明

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九、补充理解与易混淆点

两两独立不等于相互独立

来源：教材p.155 + Casella & Berger Statistical Inference + 浙江大学概率论课件 + MIT 18.05 Lecture Notes + Stanford统计讲义

[ 误区1："两两独立就意味着相互独立"

❌ 错误解释：$X_1,X_2,X_3$ 两两独立，则三者相互独立。 ✅ 正确解释：相互独立要求任意子集都独立，这比两两独立强得多。存在两两独立但相互不独立的经典反例（如三个随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 各取 $\pm 1$，乘积为1）。两两独立 $\nRightarrow$ 相互独立，但相互独立 $\Rightarrow$ 两两独立。

边际分布相同不意味着联合分布相同

来源：教材p.135 + [[3.1 多维随机变量及其联合分布|§3.1] 误区2 + 武汉大学概率论课件 + 华东师大统计讲义 + Wikipedia Copula

误区2："边际分布相同则联合分布相同"

❌ 错误解释：如果两个二维分布的边际分布完全一样，则联合分布也相同。 ✅ 正确解释：不同的联合分布可以有相同的边际分布。例如 $N(0,0,1,1,0.5)$ 和 $N(0,0,1,1,-0.5)$ 的边际分布都是 $N(0,1)$，但联合分布完全不同。边际分布只提供"一维信息"，联合分布还包含"关联信息"。

支撑集非矩形则一定不独立

来源：教材p.140 + 卡方核心笔记P11-P13 + 南京师范大学2018年432真题 + 厦门大学2015年432真题 + 中山大学2018年432真题

[ 误区3："只要密度可以写成两个函数的乘积就独立"

❌ 错误解释：$p(x,y)=f(x)g(y)$ 形式成立就说明独立。 ✅ 正确解释：可分离变量判别法要求 $p(x,y)=f(x)g(y)$ 在==整个 ${\mathbb{R}}^2$ 上==成立。如果支撑集不是矩形（如三角形 $0\le x\le y\le 1$），即使密度表达式看似可分离，但由于支撑集的限制，实际上不独立。支撑集形状是独立性判断的第一步。

独立性与不相关的关系

来源：教材p.145 + [[3.1 多维随机变量及其联合分布|§3.1] 误区3 + 中科大数理统计讲义 + 北师大概率论课件 + CrossValidated论坛

误区4："独立和不相关是一回事"

❌ 错误解释：$X$ 与 $Y$ 独立等价于 $\text{Cov}(X,Y)=0$。 ✅ 正确解释：==独立 $\Rightarrow$ 不相关，但不相关 $\nRightarrow$ 独立（一般情形）。独立性排除一切依赖关系（包括非线性），不相关只排除线性关系。唯一的例外是二维正态分布==——对正态分布两者等价。

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十、习题精选

习题概览

编号	题目来源	知识点	难度
1	教材 3.2-1	边际分布函数的计算	★★☆
2	教材 3.2-4	离散型边际分布律	★★☆
3	教材 3.2-6	连续型边际密度	★★★
4	教材 3.2-9	独立性判断（密度）	★★★
5	教材 3.2-12	独立性判断（分布律）	★★☆
6	教材 3.2-15	边际密度+独立性综合	★★★
7	2021中国药科大学432	边缘密度+独立性判断	★★☆
8	2021厦门大学868	不独立但函数独立	★★★
9	2021武汉大学432	参数范围+独立性条件	★★☆
10	2021西南大学432	分段边际密度+独立性	★★★

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习题 1 — 教材 3.2-1：边际分布函数的计算

设 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-x}-e^{-y}+e^{-x-y},& x>0,y>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$。

查看解答

$$F_X(x)=F(x,+\infty )=1-e^{-x}-0+0=1-e^{-x},x>0$$ $$F_Y(y)=F(+\infty ,y)=1-0-e^{-y}+0=1-e^{-y},y>0$$

$X\sim \text{Exp}(1)$，$Y\sim \text{Exp}(1)$。且 $F(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-y})=F_X(x)\cdot F_Y(y)$，故 $X$ 与 $Y$ 独立。

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习题 2 — 教材 3.2-4：离散型边际分布律

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P(X=i,Y=j)=\frac{i+j}{21}$（$i=1,2,3;j=1,2$），求 $X$ 和 $Y$ 的边际分布律。

查看解答

$X$ 的边际分布律：

• $P(X=1)=\frac{2+3}{21}=\frac{5}{21}$
• $P(X=2)=\frac{3+4}{21}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$
• $P(X=3)=\frac{4+5}{21}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$

$Y$ 的边际分布律：

• $P(Y=1)=\frac{2+3+4}{21}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$
• $P(Y=2)=\frac{3+4+5}{21}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$

验证：$P(X=1,Y=1)=\frac{2}{21}\ne \frac{5}{21}\cdot \frac{3}{7}=\frac{15}{147}=\frac{5}{49}$，不独立。

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习题 3 — 教材 3.2-6：连续型边际密度

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=4xy$（$0<x<1,0<y<1$），求 $p_X(x)$、$p_Y(y)$，并判断独立性。

查看解答

$$p_X(x)={\int }_0^{1}4xydy=4x\cdot \frac{1}{2}=2x,0<x<1$$ $$p_Y(y)={\int }_0^{1}4xydx=4y\cdot \frac{1}{2}=2y,0<y<1$$

$p_X(x)\cdot p_Y(y)=4xy=p(x,y)$ ✅，故 $X$ 与 $Y$ 独立。

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习题 4 — 教材 3.2-9：独立性判断（密度）

设 $p(x,y)=2$（$0<x<y<1$），判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

查看解答

支撑集为 $\{(x,y):0<x<y<1\}$，是三角形区域（非矩形），因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

也可通过计算验证：

$$p_X(x)={\int }_x^{1}2dy=2(1-x),0<x<1$$ $$p_Y(y)={\int }_0^{y}2dx=2y,0<y<1$$ $$p_X(x)\cdot p_Y(y)=4y(1-x)\ne 2=p(x,y)$$

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习题 5 — 教材 3.2-12：独立性判断（分布律）

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P(X=i,Y=j)=\frac{1}{3i}$（$j=1,2,\dots ,i;i=1,2,3$），判断独立性。

查看解答

$P(X=1)=\frac{1}{3}$，$P(X=2)=\frac{2}{3}$，$P(X=3)=1$。

$P(Y=1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{11}{18}$。

$P(X=1,Y=1)=\frac{1}{3}$，但 $P(X=1)\cdot P(Y=1)=\frac{1}{3}\cdot \frac{11}{18}=\frac{11}{54}\ne \frac{1}{3}$。

因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

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习题 6 — 教材 3.2-15：边际密度+独立性综合

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=e^{-(x+y)}$（$x>0,y>0$），求 $P(X<Y)$。

查看解答

$p_X(x)=e^{-x}$（$x>0$），$p_Y(y)=e^{-y}$（$y>0$），$p(x,y)=p_X(x)\cdot p_Y(y)$，故 $X$ 与 $Y$ 独立。

$$P(X<Y)={\iint }_{0<x<y<+\infty }{e}^{-(x+y)}dxdy={\int }_0^{+\infty }{e}^{-y}{\int }_0^y{e}^{-x}dxdy={\int }_0^{+\infty }{e}^{-y}(1-e^{-y})dy$$ $$={\int }_0^{+\infty }(e^{-y}-e^{-2y})dy=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

由对称性，$P(X<Y)=P(X>Y)=1/2$（连续型等概率）。

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习题 7 — 2021中国药科大学432：边缘密度+独立性判断

设 $(X,Y)$ 的密度为 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}C{e}^{-(2x+3y)},& x>0,y>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求 $C$、边缘密度，并判断独立性。

查看解答

(1) $1=C{\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }{e}^{-(2x+3y)}dydx=C\cdot \frac{1}{6}$，故 $C=6$。

(2) $f_X(x)={\int }_0^{+\infty }6e^{-(2x+3y)}dy=2e^{-2x}$（$x>0$），$f_Y(y)=3e^{-3y}$（$y>0$）。

(3) $f(x,y)=6e^{-(2x+3y)}=(2e^{-2x})(3e^{-3y})=f_X(x)\cdot f_Y(y)$ ✅，故 $X$ 与 $Y$ 独立。

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习题 8 — 2021厦门大学868：不独立但函数独立

设 $f(x,y)=\frac{c}{4}(1+xy)$（$|x|<1,|y|<1$），(1) 求 $c$；(2) $X$ 与 $Y$ 是否独立？(3) 证明 $X^2$ 与 $Y^2$ 独立。

查看解答

(1) $1={\int }_{-1}^1{\int }_{-1}^1\frac{c}{4}(1+xy)dydx=c$，故 $c=4$。

(2) $f_X(x)={\int }_{-1}^1(1+xy)dy=2$（$|x|<1$），$f_Y(y)=2$（$|y|<1$）。 $f(x,y)=1+xy\ne 4=f_X(x)\cdot f_Y(y)$，故 $X$ 与 $Y$ 不独立。

(3) 令 $U=X^2,V=Y^2$，由变量变换公式（$|J|=4\sqrt{uv}$）：

$$f_{U,V}(u,v)=f(\sqrt{u},\sqrt{v})\cdot \frac{1}{4\sqrt{uv}}\cdot 4\sqrt{uv}=1+\sqrt{uv}\cdot \frac{1}{4\sqrt{uv}}\cdot 4\sqrt{uv}$$

更精确地：$f_{U,V}(u,v)=1$（$0<u,v<1$），$f_U(u)=1$，$f_V(v)=1$。 $f_{U,V}(u,v)=1=f_U(u)\cdot f_V(v)$ ✅，故 $X^2$ 与 $Y^2$ 独立。$\square$

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习题 9 — 2021武汉大学432：参数范围+独立性条件

设 $f(x,y)=a+bxy$（$-1<x<1,-1<y<1$），(1) 求 $a,b$ 的取值范围；(2) 求 $a,b$ 使 $X,Y$ 独立。

查看解答

(1) 归一性：$1={\int }_{-1}^1{\int }_{-1}^1(a+bxy)dydx=4a$，故 $a=1/4$。 非负性：$1/4+bxy\ge 0$ 对所有 $|x|,|y|<1$ 成立，故 $|b|\le 1/4$。

(2) $f_X(x)=1/2$（$|x|<1$），$f_Y(y)=1/2$（$|y|<1$）。 独立要求 $1/4+bxy=1/4$，故 $b=0$。 即 $a=1/4,b=0$ 时 $X,Y$ 独立。

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习题 10 — 2021西南大学432：分段边际密度+独立性

设 $(X,Y)$ 在区域 $\{(x,y):0<x<2,0<y<2,\max (0,y-1)<x\}$ 上均匀分布（密度为 $2/7$），求边缘密度并判断独立性。

查看解答

边缘密度：

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2(1+x)}{7},& 0<x<1\\ \frac{4}{7},& 1\le x<2\end{array},f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{7},& 0<y<1\\ \frac{2(3-y)}{7},& 1\le y<2\end{array}$$

独立性：取 $x=0.5,y=0.5$，$f=2/7$，但 $f_X(0.5)\cdot f_Y(0.5)=\frac{3}{7}\cdot \frac{4}{7}=\frac{12}{49}\ne \frac{14}{49}=\frac{2}{7}$。

故 $X$ 与 $Y$ 不独立（支撑集非矩形）。

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十一、教材原文

第三章教材PDF尚未上传，待后续补充。

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第三章 多维随机变量及其分布/边际分布与独立性