3.4 多维随机变量的特征数

本节概览

本节将§2.2和§2.3中一维随机变量的数字特征推广到多维情形。核心任务是研究多个随机变量之间的线性关系度量——从期望与方差的运算性质出发，引入协方差和相关系数两个关键概念，最终建立n维正态分布的完整框架。协方差和相关系数是刻画随机变量间线性关联程度的基石，在回归分析、主成分分析、多元统计分析中具有核心地位。

逻辑链条：函数期望 → 期望方差性质 → 协方差 → 方差展开 → 相关系数 → n维正态分布

前置依赖：§3.1、§3.2、§2.2、§2.3

核心主线：从一维数字特征出发，通过期望的线性性质（无需独立）和方差的展开性质（需要协方差项），引入协方差和相关系数来度量多维随机变量间的线性关系，最终推广到n维正态分布。

---

一、多维随机变量函数的期望

定义与公式

定义 3.4.1 — 多维随机变量函数的期望（公式3.4.1）

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，$g(x,y)$ 为二元连续函数。

离散型：若 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$（$i,j=1,2,\dots$），则

$$E[g(X,Y)]=\sum _{i=1}^{+\infty }\sum _{j=1}^{+\infty }g(x_i,y_j)p_{ij}$$

连续型：若 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$，则

$$E[g(X,Y)]={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}g(x,y)p(x,y)dxdy$$

当上述级数或积分绝对收敛时，期望存在。

边缘期望与边缘方差作为特例

定义 3.4.1 的强大之处在于：==不需要先求 $g(X,Y)$ 的分布==，直接用联合分布计算期望。

边缘期望是 $g(X,Y)=X$ 的特例：

$$E(X)={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}xp(x,y)dxdy={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy\right]dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{p}_X(x)dx$$

这正是用联合密度求边缘期望的过程——先对 $y$ 积分得到边缘密度 $p_X(x)$，再对 $x$ 积分。

边缘方差是 $g(X,Y)=(X-EX{)}^2$ 的特例：

$$\text{Var}(X)={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}(x-EX{)}^{2}p(x,y)dxdy={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-EX{)}^2{p}_X(x)dx$$

例 3.4.1 — $E(\max \{X_1,X_2\})$，独立指数分布

设 $X_1,X_2$ 相互独立，$X_i\sim \text{Exp}(\lambda )$（$i=1,2$），求 $Y=\max \{X_1,X_2\}$ 的期望。

解：先求 $Y$ 的分布函数。由§3.3最大值分布公式：

$$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X_1\le y)P(X_2\le y)=(1-e^{-\lambda y}{)}^2,y>0$$

利用非负随机变量期望的积分公式 $E(Y)={\int }_0^{+\infty }(1-F_Y(y))dy$：

$$E(Y)={\int }_0^{+\infty }\left[1-(1-e^{-\lambda y}{)}^2\right]dy={\int }_0^{+\infty }\left[1-(1-2e^{-\lambda y}+e^{-2\lambda y})\right]dy$$ $$={\int }_0^{+\infty }(2e^{-\lambda y}-e^{-2\lambda y})dy=\frac{2}{\lambda }-\frac{1}{2\lambda }=\frac{3}{2\lambda }$$

验证：$E(X_i)=1/\lambda$，$E(\max \{X_1,X_2\})=3/(2\lambda )>1/\lambda$，符合直觉——最大值倾向于比单个变量更大。

---

二、期望与方差的性质

期望的线性性质

定理 3.4.2 — 期望的线性性质（无需独立）

对任意两个随机变量 $X,Y$（无论是否独立），只要期望存在，就有

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

推论：对任意常数 $a,b$，$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$。

Abstract

证明：以连续型为例。设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)$：

$$E(X+Y)={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}(x+y)p(x,y)dxdy={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}xp(x,y)dxdy+{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}yp(x,y)dxdy$$ $$=E(X)+E(Y)$$

离散型类似，将积分改为求和。$\square$

关键点：期望的线性性质不需要独立性。这是因为期望本质上是”加权平均”，而加权平均天然满足线性性。

定理 3.4.3 — 期望线性性质的推广

对任意 $n$ 个随机变量 $X_1,X_2,\dots ,X_n$（无论是否独立），只要期望存在，就有

$$E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i)$$

对任意常数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，$E\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i\right)={\sum }_{i=1}^n{a}_{i}E(X_i)$。

独立随机变量乘积的期望

定理 3.4.4 — 独立随机变量乘积的期望

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且期望存在，则

$$E(XY)=E(X)E(Y)$$

Abstract

证明：以连续型为例。由独立性，联合密度等于边缘密度之积 $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$：

$$E(XY)={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}xyp(x,y)dxdy={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}xy{p}_X(x)p_Y(y)dxdy$$ $$=\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }x{p}_X(x)dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }y{p}_Y(y)dy\right)=E(X)E(Y)$$

离散型类似。$\square$

定理 3.4.5 — 独立乘积期望的推广

若 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 相互独立，且期望存在，则

$$E\left(\prod _{i=1}^n{X}_i\right)=\prod _{i=1}^{n}E(X_i)$$

独立随机变量和/差的方差

定理 3.4.6 — 独立随机变量和/差的方差

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则

$$\text{Var}(X\pm Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$$

Abstract

证明：以 $\text{Var}(X+Y)$ 为例：

$$\text{Var}(X+Y)=E[(X+Y-E(X+Y){)}^2]=E[(X-EX+Y-EY{)}^2]$$ $$=E[(X-EX{)}^2+2(X-EX)(Y-EY)+(Y-EY{)}^2]$$ $$=\text{Var}(X)+2E[(X-EX)(Y-EY)]+\text{Var}(Y)$$

由独立性，$X-EX$ 与 $Y-EY$ 也独立（常数平移不改变独立性），故

$$E[(X-EX)(Y-EY)]=E(X-EX)E(Y-EY)=0\cdot 0=0$$

因此 $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$。$\square$

注意：$\text{Var}(X-Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ 中是 $+$ 号而非 $-$ 号！这是因为方差度量的是偏离程度，减法的偏离程度仍然叠加。

推论 — 样本均值的方差

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$\text{Var}(X_i)={\sigma }^2$，$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，则

$$\text{Var}(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$$

推导：$\text{Var}(\bar{X})=\text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\text{Var}(X_i)=\frac{n{\sigma }^2}{n^2}=\frac{{\sigma }^2}{n}$。

例 3.4.2 — 线性组合的期望与方差

设 $X_1\sim U(0,6)$，$X_2\sim N(1,3)$，$X_3\sim \text{Exp}(3)$，且三者相互独立。令 $Y=X_1-2X_2+3X_3$，求 $E(Y)$ 和 $\text{Var}(Y)$。

解：

（1）求 $E(Y)$：利用期望的线性性质（无需独立）：

$$E(Y)=E(X_1)-2E(X_2)+3E(X_3)=3-2\times 1+3\times \frac{1}{3}=3-2+1=2$$

其中 $E(X_1)=\frac{0+6}{2}=3$，$E(X_2)=1$，$E(X_3)=\frac{1}{3}$。

（2）求 $\text{Var}(Y)$：利用独立性和方差的数乘性质 $\text{Var}(aX)=a^2\text{Var}(X)$：

$$\text{Var}(Y)=\text{Var}(X_1)+4\text{Var}(X_2)+9\text{Var}(X_3)$$

其中 $\text{Var}(X_1)=\frac{(6-0{)}^2}{12}=3$，$\text{Var}(X_2)=3$，$\text{Var}(X_3)=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。

$$\text{Var}(Y)=3+4\times 3+9\times \frac{1}{9}=3+12+1=16$$

---

三、协方差

定义

定义 3.4.2 — 协方差（公式3.4.7）

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，若 $E[(X-EX)(Y-EY)]$ 存在，则称之为 $X$ 与 $Y$ 的协方差，记为

$$\text{Cov}(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]$$

计算公式

展开定义式，利用期望的线性性质：

$$\text{Cov}(X,Y)=E[XY-X\cdot EY-Y\cdot EX+EX\cdot EY]=E(XY)-EX\cdot EY-EY\cdot EX+EX\cdot EY\boxed{\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)}$$

这个计算公式比定义式更实用——只需计算 $E(XY)$、$E(X)$、$E(Y)$ 三个量。

协方差的含义

协方差度量的是 $X$ 和 $Y$ 共同偏离各自均值的趋势：

• $\text{Cov}(X,Y)>0$：$X$ 大于均值时 $Y$ 也倾向于大于均值（同向变化）
• $\text{Cov}(X,Y)<0$：$X$ 大于均值时 $Y$ 倾向于小于均值（反向变化）
• $\text{Cov}(X,Y)=0$：$X$ 和 $Y$ 之间没有线性关系（但可能有非线性关系）

生活类比：协方差就像衡量两个人的消费习惯是否同步。如果一个人花钱多时另一个人也花钱多，协方差为正；如果一个人节俭时另一个人奢侈，协方差为负。

不相关与独立的关系

不相关与独立

• 不相关：$\text{Cov}(X,Y)=0$（即 $E(XY)=E(X)E(Y)$）
• 独立：$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$（联合分布等于边缘分布之积）

关系：

• $X$ 与 $Y$ 独立 $⟹$ $X$ 与 $Y$ 不相关（由定理 3.4.4 直接得出）
• $X$ 与 $Y$ 不相关 $\text{centernot}⟹$ $X$ 与 $Y$ 独立（一般情形下不成立！）
• 二维正态分布是例外：不相关 $⟺$ 独立

例 3.4.3 — 协方差的计算

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=3x$（$0<y<x<1$），求 $\text{Cov}(X,Y)$。

解：

（1）求 $E(X)$：

$$E(X)={\int }_0^1{\int }_0^{x}x\cdot 3xdydx={\int }_0^{1}3x^2\cdot xdx={\int }_0^{1}3x^{3}dx=\frac{3}{4}$$

（2）求 $E(Y)$：

$$E(Y)={\int }_0^1{\int }_0^{x}y\cdot 3xdydx={\int }_0^{1}3x\cdot \frac{x^2}{2}dx=\frac{3}{2}{\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{3}{8}$$

（3）求 $E(XY)$：

$$E(XY)={\int }_0^1{\int }_0^{x}xy\cdot 3xdydx={\int }_0^{1}3x^2\left[{\int }_0^{x}ydy\right]dx={\int }_0^{1}3x^2\cdot \frac{x^2}{2}dx=\frac{3}{2}{\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{10}$$

（4）计算协方差：

$$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{3}{10}-\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{8}=\frac{3}{10}-\frac{9}{32}=\frac{96-90}{320}=\frac{3}{64}$$

---

四、方差展开与协方差性质

一般方差展开公式

定理 3.4.7 — 方差展开公式（公式3.4.8）

对任意两个随机变量 $X,Y$（不要求独立），有

$$\text{Var}(X\pm Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)\pm 2\text{Cov}(X,Y)$$

Abstract

证明：以 $\text{Var}(X+Y)$ 为例：

$$\text{Var}(X+Y)=E[(X+Y-E(X+Y){)}^2]=E[(X-EX+Y-EY{)}^2]$$ $$=E[(X-EX{)}^2+2(X-EX)(Y-EY)+(Y-EY{)}^2]$$ $$=E[(X-EX{)}^2]+2E[(X-EX)(Y-EY)]+E[(Y-EY{)}^2]$$ $$=\text{Var}(X)+2\text{Cov}(X,Y)+\text{Var}(Y)$$

$\text{Var}(X-Y)$ 类似，交叉项取负号。$\square$

与定理 3.4.6 的关系：当 $X$ 与 $Y$ 独立时，$\text{Cov}(X,Y)=0$，定理 3.4.7 退化为定理 3.4.6。因此定理 3.4.7 是更一般的公式。

定理 3.4.8 — n个随机变量和的方差（公式3.4.9）

$$\text{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\text{Var}(X_i)+2\sum _{1\le i<j\le n}\text{Cov}(X_i,X_j)$$

记忆方式：展开 $(X_1+\cdots +X_n{)}^2$ 的交叉项，每个 $\text{Cov}(X_i,X_j)$ 出现两次（$i<j$ 和 $j<i$），所以乘以 2。

协方差的运算性质

协方差的四条运算性质

（1）对称性：$\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)$

（2）常数协方差为零：$\text{Cov}(X,a)=0$（$a$ 为常数）

（3）数乘性质：$\text{Cov}(aX,bY)=ab\text{Cov}(X,Y)$（$a,b$ 为常数）

（4）分配律（双线性）：$\text{Cov}(X_1+X_2,Y)=\text{Cov}(X_1,Y)+\text{Cov}(X_2,Y)$

Abstract

证明：

（1）由定义直接得出：$E[(X-EX)(Y-EY)]=E[(Y-EY)(X-EX)]$。

（2）$\text{Cov}(X,a)=E[(X-EX)(a-a)]=E[0]=0$。

（3）$\text{Cov}(aX,bY)=E[(aX-aEX)(bY-bEY)]=abE[(X-EX)(Y-EY)]=ab\text{Cov}(X,Y)$。

（4）$\text{Cov}(X_1+X_2,Y)=E[(X_1+X_2-E(X_1+X_2))(Y-EY)]$ $=E[(X_1-E{X}_1+X_2-E{X}_2)(Y-EY)]$ $=E[(X_1-E{X}_1)(Y-EY)]+E[(X_2-E{X}_2)(Y-EY)]$ $=\text{Cov}(X_1,Y)+\text{Cov}(X_2,Y)$。$\square$

例 3.4.4 — 方差展开的完整计算

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=\frac{x+y}{3}$（$0<x<1$，$0<y<2$），求 $\text{Var}(2X-3Y+8)$。

解：由方差展开公式（常数不影响方差）：

$$\text{Var}(2X-3Y+8)=\text{Var}(2X-3Y)=4\text{Var}(X)+9\text{Var}(Y)-12\text{Cov}(X,Y)$$

（1）求边缘密度和各阶矩：

$p_X(x)={\int }_0^2\frac{x+y}{3}dy=\frac{2x+2}{3}=\frac{2(x+1)}{3}$（$0<x<1$）

$p_Y(y)={\int }_0^1\frac{x+y}{3}dx=\frac{1+2y}{6}$（$0<y<2$）

（2）求 $E(X)$、$E(X^2)$：

$$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot \frac{2(x+1)}{3}dx=\frac{2}{3}{\int }_0^1(x^2+x)dx=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{9}$$ $$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot \frac{2(x+1)}{3}dx=\frac{2}{3}{\int }_0^1(x^3+x^2)dx=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{12}=\frac{7}{18}$$ $$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{7}{18}-\frac{25}{81}=\frac{63-50}{162}=\frac{13}{162}$$

（3）求 $E(Y)$、$E(Y^2)$：

$$E(Y)={\int }_0^{2}y\cdot \frac{1+2y}{6}dy=\frac{1}{6}{\int }_0^2(y+2y^2)dy=\frac{1}{6}\cdot \frac{22}{3}=\frac{11}{9}$$ $$E(Y^2)={\int }_0^2{y}^2\cdot \frac{1+2y}{6}dy=\frac{1}{6}{\int }_0^2(y^2+2y^3)dy=\frac{1}{6}\cdot \frac{44}{3}=\frac{22}{9}$$ $$\text{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y){]}^2=\frac{22}{9}-\frac{121}{81}=\frac{198-121}{81}=\frac{77}{81}$$

（4）求 $E(XY)$ 和 $\text{Cov}(X,Y)$：

$$E(XY)={\int }_0^1{\int }_0^{2}xy\cdot \frac{x+y}{3}dydx=\frac{1}{3}{\int }_0^1{\int }_0^2(x^{2}y+x{y}^2)dydx$$ $$=\frac{1}{3}{\int }_0^1\left[x^2\cdot 2+x\cdot \frac{8}{3}\right]dx=\frac{1}{3}{\int }_0^1\left(2x^2+\frac{8}{3}x\right)dx=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right)=\frac{2}{9}$$ $$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{2}{9}-\frac{5}{9}\cdot \frac{11}{9}=\frac{2}{9}-\frac{55}{81}=\frac{18-55}{81}=-\frac{37}{81}$$

（5）最终结果：

$$\text{Var}(2X-3Y+8)=4\cdot \frac{13}{162}+9\cdot \frac{77}{81}-12\cdot \left(-\frac{37}{81}\right)=\frac{52}{162}+\frac{693}{81}+\frac{444}{81}$$ $$=\frac{26}{81}+\frac{693}{81}+\frac{444}{81}=\frac{1163}{81}$$

---

五、相关系数

定义

定义 3.4.3 — 相关系数（公式3.4.10）

设 $\text{Var}(X)>0$，$\text{Var}(Y)>0$，则 $X$ 与 $Y$ 的（皮尔逊）相关系数定义为

$$\text{Corr}(X,Y)={\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\sqrt{\text{Var}(Y)}}$$

其中 ${\sigma }_X=\sqrt{\text{Var}(X)}$，${\sigma }_Y=\sqrt{\text{Var}(Y)}$。

标准化变量的解释

定义标准化变量：$X^{\ast }=\frac{X-EX}{{\sigma }_X}$，$Y^{\ast }=\frac{Y-EY}{{\sigma }_Y}$。

标准化变量满足 $E(X^{\ast })=E(Y^{\ast })=0$，$\text{Var}(X^{\ast })=\text{Var}(Y^{\ast })=1$。

此时：

$$\text{Corr}(X,Y)=E(X^{\ast }{Y}^{\ast })$$

即相关系数等于标准化变量的乘积期望。这揭示了相关系数的本质：协方差除以标准差后的标准化版本，消除了量纲的影响。

二维正态分布中 $\rho$ 的含义

在§3.1的二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$ 中，参数 $\rho$ 正是 $X$ 与 $Y$ 的相关系数。$\rho$ 的取值决定了联合密度的等高线形状：

• $\rho =0$：等高线为圆（两个方向等程度伸展）
• $|\rho |\to 1$：等高线被压扁为狭长椭圆（强线性关系）

柯西-施瓦茨不等式

定理 3.4.9 — 柯西-施瓦茨不等式（公式3.4.11）

对任意两个随机变量 $X,Y$，有

$$[\text{Cov}(X,Y){]}^2\le \text{Var}(X)\text{Var}(Y)$$

Abstract

证明思路：构造关于 $t$ 的二次函数

$$g(t)=E[(X-EX+t(Y-EY){)}^2]=\text{Var}(X)+2t\text{Cov}(X,Y)+t^2\text{Var}(Y)$$

由于 $g(t)\ge 0$ 对一切实数 $t$ 成立（平方的期望非负），故判别式 $\Delta \le 0$：

$$[2\text{Cov}(X,Y){]}^2-4\text{Var}(X)\text{Var}(Y)\le 0$$

即 $[\text{Cov}(X,Y){]}^2\le \text{Var}(X)\text{Var}(Y)$。$\square$

推论 — 相关系数的取值范围

由柯西-施瓦茨不等式直接得到

$$|\text{Corr}(X,Y)|=\frac{|\text{Cov}(X,Y)|}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\le 1$$

相关系数等于 $\pm 1$ 的条件

定理 3.4.10 — $|\rho |=1$ 的充要条件

$$|\text{Corr}(X,Y)|=1⟺P(Y=aX+b)=1(a\ne 0)$$

即相关系数的绝对值等于 1 当且仅当 $X$ 与 $Y$ 以概率 1 具有线性关系。

Abstract

证明思路：$|\rho |=1$ 等价于柯西-施瓦茨不等式取等号，等价于二次函数 $g(t)$ 有重根 $t=t_0$，即 $g(t_0)=0$。而 $g(t_0)=E[(X-EX+t_0(Y-EY){)}^2]=0$ 意味着 $X-EX+t_0(Y-EY)=0$ 几乎必然成立，即 $Y=aX+b$ 几乎必然成立。$\square$

相关系数的几何意义

$\rho$ 的值	含义	散点图特征
$\rho =1$	完全正线性相关	所有点在一条上升直线上
$0<\rho <1$	正部分线性相关	点大致沿上升趋势分布
$\rho =0$	无线性相关	点无明显的线性趋势
$-1<\rho <0$	负部分线性相关	点大致沿下降趋势分布
$\rho =-1$	完全负线性相关	所有点在一条下降直线上

例 3.4.5 — 相关系数的计算

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=\frac{8}{3}$（$0<x-y<0.5$，$0<x,y<1$），求 $\text{Corr}(X,Y)$。

解：需要计算 $E(X)$、$E(Y)$、$\text{Var}(X)$、$\text{Var}(Y)$、$\text{Cov}(X,Y)$。

（1）确定积分区域：条件 $0<x-y<0.5$ 等价于 $y<x<y+0.5$，结合 $0<x,y<1$。

分两种情况：

• 当 $0<y<0.5$ 时：$y<x<y+0.5$（$y+0.5<1$ 自动满足）
• 当 $0.5\le y<1$ 时：$y<x<1$（因为 $y+0.5>1$，被 $x<1$ 截断）

（2）求 $E(X)$：

$$E(X)=\frac{8}{3}\left[{\int }_0^{0.5}{\int }_y^{y+0.5}xdxdy+{\int }_{0.5}^1{\int }_y^{1}xdxdy\right]$$

内层积分 ${\int }_y^{y+0.5}xdx=\frac{(y+0.5{)}^2-y^2}{2}=\frac{y+0.25}{2}$

${\int }_y^{1}xdx=\frac{1-y^2}{2}$

$$E(X)=\frac{8}{3}\left[{\int }_0^{0.5}\frac{y+0.25}{2}dy+{\int }_{0.5}^1\frac{1-y^2}{2}dy\right]$$ $$=\frac{8}{3}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{0.125+0.125}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(0.5-\frac{7}{24}\right)\right]=\frac{8}{3}\left[\frac{0.125}{2}+\frac{5}{48}\right]=\frac{8}{3}\cdot \frac{11}{48}=\frac{11}{18}$$

（3）求 $E(Y)$：

$$E(Y)=\frac{8}{3}\left[{\int }_0^{0.5}{\int }_y^{y+0.5}ydxdy+{\int }_{0.5}^1{\int }_y^{1}ydxdy\right]$$ $$=\frac{8}{3}\left[{\int }_0^{0.5}0.5ydy+{\int }_{0.5}^{1}y(1-y)dy\right]$$ $$=\frac{8}{3}\left[\frac{0.5\times 0.125}{2}+\left(\frac{3}{8}-\frac{7}{24}\right)\right]=\frac{8}{3}\left[\frac{1}{32}+\frac{1}{24}\right]=\frac{8}{3}\cdot \frac{7}{96}=\frac{7}{36}$$

（4）求 $E(X^2)$、$E(Y^2)$、$E(XY)$（类似方法，利用二重积分计算）：

$$E(X^2)=\frac{8}{3}\left[{\int }_0^{0.5}{\int }_y^{y+0.5}{x}^{2}dxdy+{\int }_{0.5}^1{\int }_y^1{x}^{2}dxdy\right]=\frac{53}{108}$$ $$E(Y^2)=\frac{8}{3}\left[{\int }_0^{0.5}{\int }_y^{y+0.5}{y}^{2}dxdy+{\int }_{0.5}^1{\int }_y^1{y}^{2}dxdy\right]=\frac{5}{27}$$ $$E(XY)=\frac{8}{3}\left[{\int }_0^{0.5}{\int }_y^{y+0.5}xydxdy+{\int }_{0.5}^1{\int }_y^{1}xydxdy\right]=\frac{43}{144}$$

（5）计算方差和协方差：

$$\text{Var}(X)=\frac{53}{108}-{\left(\frac{11}{18}\right)}^2=\frac{53}{108}-\frac{121}{324}=\frac{159-121}{324}=\frac{38}{324}=\frac{19}{162}$$ $$\text{Var}(Y)=\frac{5}{27}-{\left(\frac{7}{36}\right)}^2=\frac{5}{27}-\frac{49}{1296}=\frac{240-49}{1296}=\frac{191}{1296}$$ $$\text{Cov}(X,Y)=\frac{43}{144}-\frac{11}{18}\cdot \frac{7}{36}=\frac{43}{144}-\frac{77}{648}=\frac{1293-1104}{3888}=\frac{189}{3888}=\frac{7}{144}$$

（6）计算相关系数：

$$\text{Corr}(X,Y)=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\sqrt{\text{Var}(Y)}}=\frac{7/144}{\sqrt{19/162}\cdot \sqrt{191/1296}}=\frac{7/144}{\sqrt{19\times 191}/(162\times 36)}$$ $$=\frac{7\times 162\times 36}{144\times \sqrt{3629}}=\frac{7\times 81\times 2}{8\times \sqrt{3629}}=\frac{1134}{8\sqrt{3629}}=\frac{567}{4\sqrt{3629}}\approx 0.742$$

---

六、n维正态分布

期望向量与协方差矩阵

定义 3.4.4 — 期望向量与协方差矩阵

设 $\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_n{)}^{\top }$ 为 $n$ 维随机向量，则

期望向量：

$$E(\mathbf{X})=\mathbf{\mu }=(E(X_1),E(X_2),\dots ,E(X_n){)}^{\top }$$

协方差矩阵：

$$\text{Cov}(\mathbf{X})=\mathbf{\Sigma }=({\sigma }_{ij}{)}_{n\times n}$$

其中 ${\sigma }_{ij}=\text{Cov}(X_i,X_j)=E[(X_i-E{X}_i)(X_j-E{X}_j)]$，特别地 ${\sigma }_{ii}=\text{Var}(X_i)$。

协方差矩阵是对称矩阵：${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$。

n维正态分布的密度函数

定义 3.4.5 — n维正态分布（公式3.4.13）

若 $n$ 维随机向量 $\mathbf{X}$ 的联合密度函数为

$$p(\mathbf{x})=(2\pi {)}^{-n/2}|\mathbf{B}{|}^{-1/2}\exp \left\{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{a}{)}^{\top }{\mathbf{B}}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{a})\right\}$$

其中 $\mathbf{a}=(a_1,\dots ,a_n{)}^{\top }$ 为期望向量，$\mathbf{B}=({\sigma }_{ij}{)}_{n\times n}$ 为正定协方差矩阵，$|\mathbf{B}|$ 为 $\mathbf{B}$ 的行列式，则称 $\mathbf{X}$ 服从 $n$ 维正态分布，记为 $\mathbf{X}\sim N_n(\mathbf{a},\mathbf{B})$。

参数含义：

• $\mathbf{a}$：$n$ 个分量的期望值组成的向量
• $\mathbf{B}$：$n\times n$ 协方差矩阵，对角线元素为各分量的方差，非对角线元素为两两协方差

线性变换性质

定理 3.4.11 — n维正态分布的线性变换性质

若 $\mathbf{X}\sim N_n(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$，$\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 常数矩阵（$m\le n$），$\mathbf{b}$ 为 $m\times 1$ 常数向量，则

$$\mathbf{Y}=\mathbf{AX}+\mathbf{b}\sim N_m(\mathbf{A}\mathbf{\mu }+\mathbf{b},\mathbf{A}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{A}}^{\top })$$

推论：若 $(X_1,X_2)$ 服从二维正态分布，则 $X_1$ 和 $X_2$ 的任何线性组合 $a{X}_1+b{X}_2$ 仍服从（一维）正态分布。

例 3.4.6 — 不相关不等于独立的反例

设 $\phi (x)$ 为标准正态密度函数，$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}\cos (2\pi x)$。定义

$$p(x,y)=\phi (x)\phi (y)+\frac{1}{2\pi }{e}^{-{\pi }^2}g(x)g(y)$$

（1）验证边缘分布：对 $y$ 积分，由于 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }g(y)dy=0$（$g$ 是奇函数的变形），得

$$p_X(x)=\phi (x){\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi (y)dy+\frac{e^{-{\pi }^2}}{2\pi }g(x){\int }_{-\infty }^{+\infty }g(y)dy=\phi (x)$$

同理 $p_Y(y)=\phi (y)$。因此 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$。

（2）验证不相关：

$$E(XY)={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}xyp(x,y)dxdy=E(X)E(Y)+\frac{e^{-{\pi }^2}}{2\pi }\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }xg(x)dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }yg(y)dy\right)$$

由于 $E(X)=E(Y)=0$，且 $xg(x)$ 是奇函数（$g$ 为偶函数），${\int }_{-\infty }^{+\infty }xg(x)dx=0$，故 $E(XY)=0$。

因此 $\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，$\text{Corr}(X,Y)=0$。

（3）但不独立：可以验证 $p(x,y)\ne \phi (x)\phi (y)$（第二项不为零），故 $X$ 与 $Y$ 不独立。

结论：$X$ 和 $Y$ 各自服从标准正态分布且不相关，但不独立。这说明”各自正态 + 不相关”不能推出独立，必须”联合正态”才行。

---

七、知识结构总览

graph TD
    A[多维随机变量特征数] --> B[函数期望]
    A --> C[期望与方差性质]
    A --> D[协方差]
    A --> E[相关系数]
    A --> F[n维正态分布]

    B --> B1[连续型二重积分]
    B --> B2[离散型双重求和]

    C --> C1[期望线性: 无需独立]
    C --> C2[乘积期望: 需要独立]
    C --> C3[和的方差: 需要独立]

    D --> D1[定义与计算公式]
    D --> D2[不相关与独立]
    D --> D3[方差展开公式]

    E --> E1[标准化变量]
    E --> E2[柯西施瓦茨不等式]
    E --> E3[正负一充要条件]

    F --> F1[期望向量与协方差阵]
    F --> F2[密度函数]
    F --> F3[线性变换性质]

---

八、核心思想与证明技巧

期望线性性质不要求独立性

这是本节最重要的对比之一：

性质	是否需要独立	原因
$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$	否	期望是加权平均，天然满足线性性
$E(XY)=E(X)E(Y)$	是	需要将联合分布分解为边缘分布之积
$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$	是	展开后的交叉项 $\text{Cov}(X,Y)$ 只有独立时才为零

记忆口诀：期望加法无条件，乘积方差需独立。

协方差是”标准化前的相关系数”

协方差和相关系数度量的是同一个东西——线性关系强度，但尺度不同：

• 协方差 $\text{Cov}(X,Y)$：有量纲（$X$ 的单位 $\times$ $Y$ 的单位），大小受变量尺度影响
• 相关系数 $\text{Corr}(X,Y)$：无量纲，取值在 $[-1,1]$ 之间，具有可比性

类比：协方差像”身高与体重的协方差”（单位 cm$\cdot$kg），相关系数像”身高与体重的相关程度”（纯数字）。

柯西-施瓦茨不等式的证明思路

核心技巧是构造非负二次函数：

1. 考虑 $g(t)=E[(X^{\ast }+t{Y}^{\ast }{)}^2]\ge 0$，其中 $X^{\ast }=X-EX$，$Y^{\ast }=Y-EY$
2. 展开得 $g(t)=\text{Var}(X)+2t\text{Cov}(X,Y)+t^2\text{Var}(Y)$
3. 非负二次函数的判别式 $\Delta \le 0$
4. 得到 $[\text{Cov}(X,Y){]}^2\le \text{Var}(X)\text{Var}(Y)$

这个技巧在概率论中反复出现（如证明 $|\rho |\le 1$），值得熟练掌握。

---

九、补充理解与易混淆点

期望线性性质与独立性

来源：茆诗松教材§3.4 + 卡方核心笔记 + 概率论考研真题 + 课堂讨论 + 统计学入门教材

误区1："期望的线性性质需要独立性"

❌ 错误解释：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 和 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 都需要 $X$ 与 $Y$ 独立。 ✅ 正确解释：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 不需要独立性，这是期望作为”加权平均”的天然性质。但 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 确实需要独立性。两者条件不同，不可混淆。

协方差为零与独立

来源：茆诗松教材§3.4 + 卡方核心笔记 + 概率论考研常见错题 + 数理统计教材 + 线性代数教材

误区2："协方差为零意味着独立"

❌ 错误解释：$\text{Cov}(X,Y)=0$ 说明 $X$ 和 $Y$ 之间没有任何关系，因此独立。 ✅ 正确解释：$\text{Cov}(X,Y)=0$ 只说明 $X$ 和 $Y$ 之间没有线性关系（不相关），但可能存在非线性关系。独立 $\Rightarrow$ 不相关，但不相关 $\text{centernot}\Rightarrow$ 独立。唯一的例外是联合正态分布：在联合正态下，不相关等价于独立。

相关系数为零的含义

来源：茆诗松教材§3.4 + 卡方核心笔记 + 回归分析教材 + 考研真题解析 + 数据科学入门教材

误区3："相关系数为零意味着没有任何关系"

❌ 错误解释：$\text{Corr}(X,Y)=0$ 说明 $X$ 和 $Y$ 完全无关，互不影响。 ✅ 正确解释：相关系数只度量线性关系。$\rho =0$ 只排除线性关系，$X$ 和 $Y$ 之间可能存在非线性关系（如 $Y=X^2$）。经典反例：$X\sim U(-1,1)$，$Y=X^2$，则 $\text{Cov}(X,Y)=0$（因为 $X$ 对称，$E(X^3)=0$），但 $Y$ 完全由 $X$ 决定。

方差的可加性条件

来源：茆诗松教材§3.4 + 卡方核心笔记 + 概率论考研真题 + 课堂练习 + 概率论进阶教材

误区4："方差性质 $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ 总成立"

❌ 错误解释：方差的加法公式和期望的加法公式一样，不需要任何条件。 ✅ 正确解释：$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ 需要独立性（或至少 $\text{Cov}(X,Y)=0$）。一般公式为 $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$，只有当协方差项为零时才能简化。==注意 $\text{Var}(X-Y)$ 也是加号==：$\text{Var}(X-Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)-2\text{Cov}(X,Y)$。

正态变量线性组合的条件

来源：茆诗松教材§3.4 + 卡方核心笔记 + 概率论考研常见错题 + 数理统计教材 + 多元统计分析教材

误区5："正态变量的线性组合一定服从正态分布"

❌ 错误解释：只要 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布，$aX+bY$ 就一定服从正态分布。 ✅ 正确解释：$aX+bY\sim N(\cdot ,\cdot )$ 需要 $X$ 和 $Y$ 独立或联合正态。如果 $X$ 和 $Y$ 各自正态但不独立（即不联合正态），线性组合不一定正态。反例见例 3.4.6。定理 3.4.11 的条件是”$(X_1,\dots ,X_n)$ 服从 $n$ 维正态分布”，即要求联合正态，而不仅仅是边缘正态。

---

十、习题精选

习题概览

编号	来源	知识点	方法	难度
1	教材3.4-1	$E(X+Y)$ 的计算	期望线性性质	★★☆
2	教材3.4-3	$E(XY)$ 与独立性的关系	乘积期望	★★☆
3	教材3.4-5	$\text{Cov}(X,Y)$ 的计算	协方差计算公式	★★★
4	教材3.4-7	$\text{Var}(X+Y)$ 的计算	方差展开公式	★★★
5	教材3.4-9	$\text{Corr}(X,Y)$ 的计算	相关系数定义	★★★
6	教材3.4-12	$n$维正态分布的性质	线性变换性质	★★★★
7	2022东北财经大学432	$X+Y$ 的方差	联合分布+协方差	★★☆
8	2019北京大学432	条件分布+联合分布+边际分布	重期望+方差恒等式	★★★★
9	2019北京大学431	$X+Y$ 和 $X-Y$ 独立的充要条件	正态下不相关等价独立	★★★
10	2020东北大学432	正态分布线性组合+$F$分布	线性组合+卡方分布	★★★

习题1 — 教材3.4-1： $E(X+Y)$ 的计算 ★★☆

设 $(X,Y)$ 的联合分布律如下表，求 $E(X+Y)$。

$X\setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$0$	$0.1$	$0.2$	$0.1$
$1$	$0.3$	$0.2$	$0.1$

查看解答

解：利用期望的线性性质 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$。

求 $E(X)$：

$$E(X)=0\times (0.1+0.2+0.1)+1\times (0.3+0.2+0.1)=0+0.6=0.6$$

求 $E(Y)$：

$$E(Y)=0\times (0.1+0.3)+1\times (0.2+0.2)+2\times (0.1+0.1)=0+0.4+0.4=0.8$$ $$E(X+Y)=0.6+0.8=1.4$$

验证：直接计算 $E(X+Y)$：

$$E(X+Y)=0\times 0.1+1\times 0.2+2\times 0.1+1\times 0.3+2\times 0.2+3\times 0.1=0+0.2+0.2+0.3+0.4+0.3=1.4✓$$

习题2 — 教材3.4-3： $E(XY)$ 与独立性的关系 ★★☆

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=6x$（$0<x<y<1$），判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立，并计算 $E(XY)$。

查看解答

解：

（1）判断独立性：求边缘密度。

$p_X(x)={\int }_x^{1}6xdy=6x(1-x)$（$0<x<1$）

$p_Y(y)={\int }_0^{y}6xdx=3y^2$（$0<y<1$）

$p_X(x)\cdot p_Y(y)=6x(1-x)\cdot 3y^2=18x(1-x)y^2\ne 6x=p(x,y)$

因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

（2）计算 $E(XY)$：

$$E(XY)={\int }_0^1{\int }_x^{1}xy\cdot 6xdydx={\int }_0^{1}6x^2\cdot \frac{1-x^2}{2}dx=3{\int }_0^1(x^2-x^4)dx=3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=3\cdot \frac{2}{15}=\frac{2}{5}$$

（3）验证：$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 6x(1-x)dx=6{\int }_0^1(x^2-x^3)dx=6\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{2}$

$E(Y)={\int }_0^{1}y\cdot 3y^{2}dy=3{\int }_0^1{y}^{3}dy=\frac{3}{4}$

$E(X)E(Y)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}\ne \frac{2}{5}=E(XY)$，验证了不独立时 $E(XY)\ne E(X)E(Y)$。

习题3 — 教材3.4-5： $\text{Cov}(X,Y)$ 的计算 ★★★

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=2$（$0<x<y<1$），求 $\text{Cov}(X,Y)$。

查看解答

解：

（1）求 $E(X)$：

$$E(X)={\int }_0^1{\int }_0^{y}x\cdot 2dxdy={\int }_0^1{y}^{2}dy=\frac{1}{3}$$

（2）求 $E(Y)$：

$$E(Y)={\int }_0^1{\int }_0^{y}y\cdot 2dxdy={\int }_0^{1}2y^{2}dy=\frac{2}{3}$$

（3）求 $E(XY)$：

$$E(XY)={\int }_0^1{\int }_0^{y}xy\cdot 2dxdy={\int }_0^1{y}^{3}dy=\frac{1}{4}$$

（4）计算协方差：

$$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{9-8}{36}=\frac{1}{36}$$

习题4 — 教材3.4-7： $\text{Var}(X+Y)$ 的计算 ★★★

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$X\sim U(0,1)$，$Y\sim U(0,1)$，求 $\text{Var}(X+Y)$。

查看解答

解：由独立性，$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$。

$\text{Var}(X)=\frac{(1-0{)}^2}{12}=\frac{1}{12}$，$\text{Var}(Y)=\frac{1}{12}$。

$$\text{Var}(X+Y)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$$

对比验证：由§3.3例题，$X+Y$ 服从三角分布，密度为 $p(z)=\{\begin{array}{ll}z,& 0<z<1\\ 2-z,& 1\le z<2\end{array}$。

$E(X+Y)=1$，$E[(X+Y{)}^2]={\int }_0^1{z}^2\cdot zdz+{\int }_1^2{z}^2(2-z)dz=\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=2$。

$\text{Var}(X+Y)=2-1=1\ne \frac{1}{6}$。这里出现矛盾，说明需要重新验证。

实际上 $E[(X+Y{)}^2]={\int }_0^1{z}^{3}dz+{\int }_1^2(2z^2-z^3)dz=\frac{1}{4}+{\left[\frac{2}{3}{z}^3-\frac{1}{4}{z}^4\right]}_1^2=\frac{1}{4}+\left(\frac{16}{3}-4-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}+\frac{14}{3}-\frac{15}{4}=\frac{1}{4}+\frac{14}{3}-\frac{15}{4}=\frac{7}{6}$。

$\text{Var}(X+Y)=\frac{7}{6}-1=\frac{1}{6}$ ✓

习题5 — 教材3.4-9： $\text{Corr}(X,Y)$ 的计算 ★★★

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=\frac{1}{\pi }$（$x^2+y^2\le 1$），求 $\text{Corr}(X,Y)$。

查看解答

解：由对称性，$E(X)=E(Y)=0$。

$E(XY)={\iint }_{x^2+y^2\le 1}xy\cdot \frac{1}{\pi }dxdy=0$（被积函数关于 $x$ 为奇函数，积分区域关于 $y$ 轴对称）。

$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0=0$。

因此 $\text{Corr}(X,Y)=0$。

注意：$X$ 和 $Y$ 不独立（因为 $p(x,y)=1/\pi$ 在单位圆内，而 $p_X(x)=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi }$，$p_X(x)\cdot p_Y(y)\ne p(x,y)$），这是不相关但不独立的又一个经典反例。

习题6 — 教材3.4-12： $n$维正态分布的性质 ★★★★

设 $\mathbf{X}=(X_1,X_2,X_3{)}^{\top }\sim N_3(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$，其中 $\mathbf{\mu }=(1,2,3{)}^{\top }$，$\mathbf{\Sigma }=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 1& 9& 2\\ 0& 2& 16\end{array}\right)$。令 $Y_1=X_1+X_2$，$Y_2=X_2-X_3$，求 $(Y_1,Y_2)$ 的联合分布。

查看解答

解：令 $\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}\right)=\mathbf{AX}$。

由定理 3.4.11，$\mathbf{Y}\sim N_2(\mathbf{A}\mathbf{\mu },\mathbf{A}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{A}}^{\top })$。

期望：

$$\mathbf{A}\mathbf{\mu }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$$

协方差矩阵：

$$\mathbf{A}\mathbf{\Sigma }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 1& 9& 2\\ 0& 2& 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 10& 2\\ 1& 7& -14\end{array}\right)$$ $$\mathbf{A}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{A}}^{\top }=\left(\begin{array}{ccc}5& 10& 2\\ 1& 7& -14\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15& 8\\ 8& 23\end{array}\right)$$

因此 $(Y_1,Y_2)\sim N_2\left(\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}15& 8\\ 8& 23\end{array}\right)\right)$。

习题7 — 2022东北财经大学432： $X+Y$ 的方差 ★★☆

设 $U\sim U[-2,2]$，定义 $X=\{\begin{array}{ll}-1,& U\le -1\\ 1,& U>-1\end{array}$，$Y=\{\begin{array}{ll}-1,& U\le 1\\ 1,& U>1\end{array}$。求 $X+Y$ 的方差。

查看解答

解：

（1）求 $(X,Y)$ 的联合分布：

$P(X=-1,Y=-1)=P(U\le -1)=\frac{-1-(-2)}{4}=\frac{1}{4}$

$P(X=-1,Y=1)=P(-1<U\le 1)=\frac{1-(-1)}{4}=\frac{1}{2}$

$P(X=1,Y=-1)=P(U>-1\text{ 且 }U\le 1)=0$（不可能同时 $U>-1$ 和 $U\le -1$）

等等，重新分析：$X=1$ 要求 $U>-1$，$Y=-1$ 要求 $U\le 1$，所以 $P(X=1,Y=-1)=P(-1<U\le 1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

重新梳理：

• $P(X=-1,Y=-1)=P(U\le -1)=\frac{1}{4}$
• $P(X=-1,Y=1)=P(-1<U\le 1\text{ 且 }U\le -1)=0$（$X=-1$ 要求 $U\le -1$，$Y=1$ 要求 $U>1$，矛盾）
• $P(X=1,Y=-1)=P(-1<U\le 1)=\frac{1}{2}$
• $P(X=1,Y=1)=P(U>1)=\frac{1}{4}$

联合分布表：

$X\setminus Y$	$-1$	$1$
$-1$	$1/4$	$0$
$1$	$1/2$	$1/4$

（2）求 $E(X)$、$E(Y)$、$E(XY)$：

$$E(X)=-1\times \frac{1}{4}+1\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$$ $$E(Y)=-1\times \frac{3}{4}+1\times \frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$ $$E(XY)=(-1)(-1)\times \frac{1}{4}+(-1)(1)\times 0+(1)(-1)\times \frac{1}{2}+(1)(1)\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=0$$

（3）计算方差和协方差：

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$ $$\text{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y){]}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$ $$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$$

（4）$\text{Var}(X+Y)$：

$$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+2\times \frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$$

习题8 — 2019北京大学432：条件分布+联合分布+边际分布 ★★★★

设 $X_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$X_2|X_1=x_1\sim N\left({\mu }_2+\frac{2{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(x_1-{\mu }_1),\frac{3}{4}{\sigma }_2^2\right)$。求 $(X_1,X_2)$ 的联合分布和 $X_2$ 的边际分布。

查看解答

解：利用重期望公式和方差恒等式。

（1）求 $E(X_2)$：由重期望公式

$$E(X_2)=E[E(X_2|X_1)]=E\left[{\mu }_2+\frac{2{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(X_1-{\mu }_1)\right]={\mu }_2+\frac{2{\sigma }_2}{{\sigma }_1}\cdot 0={\mu }_2$$

（2）求 $\text{Var}(X_2)$：由方差恒等式 $\text{Var}(X_2)=E[\text{Var}(X_2|X_1)]+\text{Var}[E(X_2|X_1)]$

$\text{Var}(X_2|X_1)=\frac{3}{4}{\sigma }_2^2$，故 $E[\text{Var}(X_2|X_1)]=\frac{3}{4}{\sigma }_2^2$。

$E(X_2|X_1)={\mu }_2+\frac{2{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(X_1-{\mu }_1)$，故

$$\text{Var}[E(X_2|X_1)]=\text{Var}\left[\frac{2{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(X_1-{\mu }_1)\right]=\frac{4{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\cdot {\sigma }_1^2=4{\sigma }_2^2$$ $$\text{Var}(X_2)=\frac{3}{4}{\sigma }_2^2+4{\sigma }_2^2=\frac{19}{4}{\sigma }_2^2$$

（3）求 $\text{Cov}(X_1,X_2)$：

$$\text{Cov}(X_1,X_2)=E(X_1{X}_2)-E(X_1)E(X_2)$$

由重期望：$E(X_1{X}_2)=E[X_1\cdot E(X_2|X_1)]=E\left[X_1\left({\mu }_2+\frac{2{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(X_1-{\mu }_1)\right)\right]$

$$={\mu }_{2}E(X_1)+\frac{2{\sigma }_2}{{\sigma }_1}\left[E(X_1^2)-{\mu }_{1}E(X_1)\right]={\mu }_1{\mu }_2+\frac{2{\sigma }_2}{{\sigma }_1}\cdot {\sigma }_1^2={\mu }_1{\mu }_2+2{\sigma }_1{\sigma }_2$$ $$\text{Cov}(X_1,X_2)={\mu }_1{\mu }_2+2{\sigma }_1{\sigma }_2-{\mu }_1{\mu }_2=2{\sigma }_1{\sigma }_2$$

（4）求相关系数：

$$\rho =\frac{\text{Cov}(X_1,X_2)}{{\sigma }_1\cdot \sqrt{19{\sigma }_2^2/4}}=\frac{2{\sigma }_1{\sigma }_2}{{\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{19}/2}=\frac{4}{\sqrt{19}}$$

（5）联合分布：由于 $X_1$ 正态，$X_2|X_1$ 正态（均值是 $X_1$ 的线性函数），故 $(X_1,X_2)$ 服从二维正态分布：

$$(X_1,X_2)\sim N\left({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,\frac{19}{4}{\sigma }_2^2;\frac{4}{\sqrt{19}}\right)$$

$X_2$ 的边际分布为 $X_2\sim N\left({\mu }_2,\frac{19}{4}{\sigma }_2^2\right)$。

习题9 — 2019北京大学431： $X+Y$ 和 $X-Y$ 独立的充要条件 ★★★

设 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\omega }_1^2,{\omega }_2^2;\rho )$，求 $X+Y$ 和 $X-Y$ 相互独立的充要条件。

查看解答

解：由于 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，$X+Y$ 和 $X-Y$ 都是 $X,Y$ 的线性组合，故 $(X+Y,X-Y)$ 服从二维正态分布。

对于二维正态分布，不相关等价于独立。因此只需 $\text{Cov}(X+Y,X-Y)=0$。

$$\text{Cov}(X+Y,X-Y)=\text{Cov}(X,X)-\text{Cov}(X,Y)+\text{Cov}(Y,X)-\text{Cov}(Y,Y)$$ $$=\text{Var}(X)-\text{Var}(Y)={\omega }_1^2-{\omega }_2^2$$

令其等于零，得 ${\omega }_1^2={\omega }_2^2$。

结论：$X+Y$ 和 $X-Y$ 相互独立的充要条件是 ${\omega }_1^2={\omega }_2^2$（即 $X$ 和 $Y$ 的方差相等），与 $\rho$ 无关。

习题10 — 2020东北大学432：正态分布线性组合+ $F$ 分布 ★★★

设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 独立同分布，$X_i\sim N(0,1)$。 （1）求 $X_1+X_2-2X_3$ 的分布。 （2）求常数 $k$ 使得 $\frac{k(X_1+X_2+X_3+X_4{)}^2}{(X_1+X_2-2X_3{)}^2}\sim F(1,1)$。

查看解答

解：

（1）$X_1+X_2-2X_3$ 的分布：

由独立正态变量的线性组合性质：

$$E(X_1+X_2-2X_3)=0+0-0=0$$ $$\text{Var}(X_1+X_2-2X_3)=1+1+4=6$$

因此 $X_1+X_2-2X_3\sim N(0,6)$。

（2）求 $k$：

令 $U=X_1+X_2+X_3+X_4$，$V=X_1+X_2-2X_3$。

$E(U)=0$，$\text{Var}(U)=1+1+1+1=4$，故 $U\sim N(0,4)$。

$V\sim N(0,6)$（已求出）。

检验独立性：$\text{Cov}(U,V)=\text{Cov}(X_1+X_2+X_3+X_4,X_1+X_2-2X_3)$

$$=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)-2\text{Var}(X_3)=1+1-2=0$$

由 $U,V$ 联合正态且 $\text{Cov}(U,V)=0$，知 $U$ 与 $V$ 独立。

标准化：$\frac{U}{2}\sim N(0,1)$，$\frac{V}{\sqrt{6}}\sim N(0,1)$。

因此 ${\left(\frac{U}{2}\right)}^2\sim {\chi }^2(1)$，${\left(\frac{V}{\sqrt{6}}\right)}^2\sim {\chi }^2(1)$，且两者独立。

$$\frac{k{U}^2}{V^2}=k\cdot \frac{U^2/4}{V^2/6}\cdot \frac{4}{6}=k\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{U^2/4}{V^2/6}=\frac{2k}{3}\cdot \frac{{\chi }^2(1)/1}{{\chi }^2(1)/1}$$

要使上式 $\sim F(1,1)$，需要 $\frac{2k}{3}=1$，即 $k=\frac{3}{2}$。

答案：$k=\frac{3}{2}$。

---

十一、教材原文

第三章教材PDF尚未上传，待后续补充。

第三章 多维随机变量及其分布/特征数