3.1 多维随机变量及其联合分布

本节概览

本节将随机变量从一维推广到多维，引入多维随机向量和联合分布函数的概念。与一维情形类似，离散型使用联合分布律，连续型使用联合密度函数。本节重点介绍四种重要的多维分布：多项分布（二项分布的多维推广）、多维超几何分布、多维均匀分布和二维正态分布。

逻辑链条：多维随机向量定义 → 联合分布函数及其性质 → 二维离散型（联合分布律）→ 二维连续型（联合密度函数）→ 多项分布与多维超几何分布 → 多维均匀分布 → 二维正态分布

前置依赖：§2.1（分布函数、密度函数）、§2.4（二项分布、超几何分布）、§2.5（正态分布、均匀分布）

核心主线：联合分布函数 $F(x_1,\dots ,x_n)=P(X_1\le x_1,\dots ,X_n\le x_n)$ 是描述多维随机向量概率规律的最基本工具。二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ 是最重要的多维连续分布，其参数 $\rho$（相关系数）刻画了两个分量之间的线性相关程度。

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一、多维随机向量与联合分布函数

多维随机向量的定义

设 $X_1(\omega ),X_2(\omega ),\dots ,X_n(\omega )$ 是定义在同一样本空间 $\Omega$ 上的 $n$ 个随机变量，则称

$$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$$

为 $\Omega$ 上的n维随机向量（或 $n$维随机变量）。

直观理解：随机向量将每个试验结果映射为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个点。例如，同时测量一个人的身高和体重，就得到一个二维随机向量 $(X,Y)$。

联合分布函数

定义 3.1.1 — 联合分布函数

设 $\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 为 $n$ 维随机向量，称

$$F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=P(X_1\le x_1,X_2\le x_2,\dots ,X_n\le x_n)$$

为 $\mathbf{X}$ 的联合分布函数。

联合分布函数的性质

定理 3.1.1 — 二维联合分布函数的基本性质

设 $F(x,y)$ 为二维随机向量 $(X,Y)$ 的联合分布函数，则：

（1）单调不减：对每个变量，$F(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 分别单调不减。

（2）有界性：$0\le F(x,y)\le 1$，且

$$F(-\infty ,y)=0,F(x,-\infty )=0,F(+\infty ,+\infty )=1$$

（3）右连续：对每个变量，$F(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 分别右连续。

（4）非负性：对任意 $a<b$，$c<d$，

$$P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge 0$$

证明思路

证明 (3.1.1) 之 (4)：

[事件分解]：$\{a<X\le b,c<Y\le d\}$ 可以分解为四个事件的差：

$$\{X\le b,Y\le d\}\setminus \{X\le a,Y\le d\}\setminus \{X\le b,Y\le c\}\cup \{X\le a,Y\le c\}$$

由概率的可加性和单调性，展开即得矩形区域概率公式。由于概率非负，故结果 $\ge 0$。

$\square$

注意：性质（4）是二维情形特有的——一维分布函数只需单调不减即可，但二维情形还需要额外的非负性条件。存在满足前3条但不满足第4条的函数，它们不是合法的二维联合分布函数。

例 3.1.1 — 验证联合分布函数性质

判断 $F(x,y)=I\{x+y\ge 0\}$ 是否为合法的二维联合分布函数。

解：检查性质（4）。取 $a=-1$，$b=0$，$c=-1$，$d=0$：

$$F(0,0)-F(-1,0)-F(0,-1)+F(-1,-1)=1-1-1+0=-1<0$$

不满足非负性，因此 $F(x,y)=I\{x+y\ge 0\}$ 不是合法的二维联合分布函数。

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二、二维离散型随机变量

联合分布律

定义 3.1.2 — 联合分布律

若二维随机向量 $(X,Y)$ 的所有可能取值为有限或可列无穷多组 $(x_i,y_j)$，则称

$$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j),i,j=1,2,\dots$$

为 $(X,Y)$ 的联合分布律（或联合概率质量函数）。

联合分布律的性质：

1. $p_{ij}\ge 0$（非负性）
2. $\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1$（归一性）

例 3.1.2 — 离散型联合分布律

设 $(X,Y)$ 的联合分布律如下表，求 $P(X=Y)$。

$X\setminus Y$	$1$	$2$	$3$	$4$
$1$	$0.1$	$0.05$	$0.02$	$0.02$
$2$	$0.05$	$0.2$	$0.05$	$0.05$
$3$	$0.02$	$0.05$	$0.2$	$0.05$
$4$	$0.02$	$0.05$	$0.05$	$0.02$

解：$P(X=Y)=p_{11}+p_{22}+p_{33}+p_{44}=0.1+0.2+0.2+0.02=0.52$

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三、二维连续型随机变量

联合密度函数

定义 3.1.3 — 联合密度函数

若存在非负函数 $p(x,y)$ 使得联合分布函数可以表示为

$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}p(u,v)dvdu$$

则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$p(x,y)$ 为联合概率密度函数。

定义 3.1.4 — 区域概率

设 $G$ 为平面上的任意可测区域，则

$$P((X,Y)\in G)={\iint }_{G}p(x,y)dxdy$$

联合密度函数的性质：

1. $p(x,y)\ge 0$（非负性）
2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dydx=1$（归一性）
3. $p(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$（密度是分布函数的二阶混合偏导）

例 3.1.3 — 连续型联合密度计算

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=6e^{-2x-3y}$（$x>0,y>0$），求 $P(X<1,Y>1)$ 和 $P(X>Y)$。

解：

(1) $P(X<1,Y>1)={\int }_0^1{\int }_1^{+\infty }6e^{-2x-3y}dydx$

$$={\int }_0^{1}6e^{-2x}\cdot \frac{e^{-3}}{3}dx=2e^{-3}{\int }_0^1{e}^{-2x}dx=2e^{-3}\cdot \frac{1-e^{-2}}{2}=e^{-3}(1-e^{-2})$$

(2) $P(X>Y)={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{x}6e^{-2x-3y}dydx$

$$={\int }_0^{+\infty }6e^{-2x}\cdot \frac{1-e^{-3x}}{3}dx=2{\int }_0^{+\infty }(e^{-2x}-e^{-5x})dx=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}$$

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四、多项分布与多维超几何分布

多项分布

定义 3.1.5 — 多项分布

设每次试验有 $r$ 个互斥结果 $A_1,\dots ,A_r$，$P(A_i)=p_i$（${\sum }_{i=1}^r{p}_i=1$）。进行 $n$ 次独立重复试验，$X_i$ 表示 $A_i$ 出现的次数（${\sum }_{i=1}^r{X}_i=n$），则

$$P(X_1=n_1,\dots ,X_r=n_r)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}{p}_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r}$$

其中 $n_1+n_2+\cdots +n_r=n$。称 $(X_1,\dots ,X_r)$ 服从多项分布，记为 $M(n;p_1,\dots ,p_r)$。

与二项分布的关系：当 $r=2$ 时，多项分布退化为二项分布：$X_1\sim b(n,p_1)$，$X_2=n-X_1$。

定理 3.1.2 — 多项分布的边缘分布

若 $(X_1,\dots ,X_r)\sim M(n;p_1,\dots ,p_r)$，则每个分量 $X_i\sim b(n,p_i)$。

例 3.1.4 — 多项分布的应用

某工厂产品分为一等品、二等品和次品，概率分别为 $0.6$、$0.3$、$0.1$。随机抽取10件产品，求恰好有6件一等品、3件二等品、1件次品的概率。

解：$(X_1,X_2,X_3)\sim M(10;0.6,0.3,0.1)$。

$$P(X_1=6,X_2=3,X_3=1)=\frac{10!}{6!3!1!}\times 0.6^6\times 0.3^3\times 0.1^1$$ $$=\frac{3628800}{720\times 6\times 1}\times 0.046656\times 0.027\times 0.1=840\times 0.046656\times 0.027\times 0.1\approx 0.1058$$

多维超几何分布

定义 3.1.6 — 多维超几何分布

设 $N$ 个物品分为 $r$ 类，第 $i$ 类有 $N_i$ 个（${\sum }_{i=1}^r{N}_i=N$）。从中无放回抽取 $n$ 个，$X_i$ 表示第 $i$ 类被抽中的个数（${\sum }_{i=1}^r{X}_i=n$），则

$$P(X_1=n_1,\dots ,X_r=n_r)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_1}{n_1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_2}{n_2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_r}{n_r}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$$

其中 $n_1+n_2+\cdots +n_r=n$，$n\le N$。

与超几何分布的关系：当 $r=2$ 时退化为（一维）超几何分布。

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五、多维均匀分布与二维正态分布

多维均匀分布

定义 3.1.7 — 多维均匀分布

设 $D$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界区域，其测度（面积/体积）为 $S_D>0$。若 $(X_1,\dots ,X_n)$ 的联合密度为

$$p(x_1,\dots ,x_n)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_D},& (x_1,\dots ,x_n)\in D\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

则称 $(X_1,\dots ,X_n)$ 在区域 $D$ 上服从多维均匀分布，记为 $U(D)$。

例 3.1.5 — 圆盘上的均匀分布

设 $(X,Y)$ 在圆盘 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le r^2\}$ 上服从均匀分布，求 $P(|X|\le r/2)$。

解：$S_D=\pi r^2$，密度 $p(x,y)=1/(\pi r^2)$（$(x,y)\in D$）。

$$P(|X|\le r/2)={\iint }_{|x|\le r/2,x^2+y^2\le r^2}\frac{1}{\pi r^2}dxdy$$

利用对称性，对 $y$ 积分：

$$=\frac{1}{\pi r^2}{\int }_{-r/2}^{r/2}2\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{2}{\pi r^2}{\int }_{-r/2}^{r/2}\sqrt{r^2-x^2}dx$$

令 $x=r\sin \theta$，则

$$=\frac{2}{\pi r^2}\cdot r^2{\int }_{-\pi /6}^{\pi /6}{\cos }^2\theta d\theta =\frac{2}{\pi }{\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]}_{-\pi /6}^{\pi /6}=\frac{2}{\pi }\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi }$$

二维正态分布

定义 3.1.8 — 二维正态分布

若 $(X,Y)$ 的联合密度为

$$p(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}$$

则称 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，记为 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$。

五个参数的含义：

参数	含义	取值范围
${\mu }_1$	$X$ 的均值	$\mathbb{R}$
${\mu }_2$	$Y$ 的均值	$\mathbb{R}$
${\sigma }_1^2$	$X$ 的方差	$(0,+\infty )$
${\sigma }_2^2$	$Y$ 的方差	$(0,+\infty )$
$\rho$	$X$ 与 $Y$ 的相关系数	$[-1,1]$

定理 3.1.3 — 二维正态分布的边缘分布

若 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，则：

$$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$$

即二维正态分布的边缘分布仍为正态分布。

定理 3.1.4 — 二维正态分布中不相关与独立等价

若 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，则 $X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $\rho =0$。

证明思路

证明 (3.1.4)：

[必要性]：若 $X,Y$ 独立，则 $p(x,y)=p_X(x)\cdot p_Y(y)$。对比密度函数中的指数部分，交叉项系数必须为零，即 $\rho =0$。

[充分性]：若 $\rho =0$，则

$$p(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}\exp \left\{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}-\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}\right\}=p_X(x)\cdot p_Y(y)$$

故 $X,Y$ 独立。

$\square$

例 3.1.6 — 二维正态分布的独立性判断

设 $(X,Y)\sim N(0,0,1,4,0.5)$，判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

解：$\rho =0.5\ne 0$，因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

虽然 $X$ 与 $Y$ 不独立，但它们之间存在线性相关关系。$\rho =0.5$ 表示正相关——$X$ 增大时 $Y$ 也倾向于增大。

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六、常用多维分布汇总

常用多维分布一览

分布	记号	期望	方差/协方差
多项分布	$M(n;p_1,\dots ,p_r)$	$E(X_i)=n{p}_i$	$\text{Var}(X_i)=n{p}_i(1-p_i)$，$\text{Cov}(X_i,X_j)=-n{p}_i{p}_j$
多维超几何	—	$E(X_i)=\frac{n{N}_i}{N}$	$\text{Var}(X_i)=n\frac{N_i}{N}\left(1-\frac{N_i}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}$，$\text{Cov}(X_i,X_j)=-n\frac{N_i{N}_j}{N^2}\cdot \frac{N-n}{N-1}$
多维均匀	$U(D)$	视区域 $D$ 而定	视区域 $D$ 而定
二维正态	$N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$	$E(X)={\mu }_1$，$E(Y)={\mu }_2$	$\text{Var}(X)={\sigma }_1^2$，$\text{Var}(Y)={\sigma }_2^2$，$\text{Cov}(X,Y)=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$

分布之间的关系：

关系	说明
多项 $\stackrel{r=2}{\to }$ 二项	二项分布是多项分布的特例
超几何 $\stackrel{r=2}{\to }$ 一维超几何	一维超几何是多维超几何的特例
多项 $\stackrel{n\to \infty }{\to }$ 多项正态近似	中心极限定理的多维推广
二维正态 $\stackrel{\rho =0}{\to }$ 独立正态	$\rho =0$ 时两个分量独立

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七、知识结构总览

graph TD
    A[多维随机变量] --> B[联合分布函数]
    A --> C[离散型]
    A --> D[连续型]
    A --> E[重要多维分布]

    B --> B1[基本性质]
    B --> B2[矩形区域概率]

    C --> C1[联合分布律]

    D --> D1[联合密度函数]
    D --> D2[区域概率计算]

    E --> E1[多项分布]
    E --> E2[多维超几何分布]
    E --> E3[多维均匀分布]
    E --> E4[二维正态分布]

    E4 --> E5[不相关与独立等价]
    E4 --> E6[边缘分布为正态]

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八、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 从一维到多维的推广：联合分布函数 $F(x_1,\dots ,x_n)$ 是一维分布函数的自然推广，但需要额外的非负性条件（性质4）来保证合法性。这是多维情形比一维复杂的核心原因。

2. 联合分布决定一切：联合分布（函数/密度/分布律）包含了关于 $(X,Y)$ 的所有概率信息。边缘分布、条件分布、独立性等都可以从联合分布推导出来，但反过来不行——仅知道边缘分布不能确定联合分布。

3. 独立性的密度判别法：对于连续型随机变量，$X$ 与 $Y$ 独立 $\iff$ $p(x,y)=p_X(x)\cdot p_Y(y)$ 几乎处处成立。这是判断独立性最实用的方法。

证明技巧

• 矩形区域概率公式：$P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)$，本质是容斥原理
• 极坐标变换：处理圆盘区域上的概率计算时，令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$dxdy=rdrd\theta$
• 正态分布的标准化：二维正态通过线性变换 $U=(X-{\mu }_1)/{\sigma }_1$，$V=(Y-{\mu }_2)/{\sigma }_2$ 化为标准二维正态

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九、补充理解与易混淆点

联合分布函数的非负性条件不可省略

来源：教材p.128 + Casella & Berger Statistical Inference + 浙江大学概率论课件 + 武汉大学概率论课件 + MIT 18.05 Lecture Notes

误区1："满足单调不减和有界性的二元函数一定是联合分布函数"

❌ 错误解释：只要 $F(x,y)$ 单调不减、取值在 $[0,1]$ 之间、右连续，就是合法的联合分布函数。 ✅ 正确解释：还必须满足非负性条件 $F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge 0$。例 3.1.1 中的 $F(x,y)=I\{x+y\ge 0\}$ 满足前3条但不满足第4条，因此不是合法的联合分布函数。

边缘分布不能确定联合分布

来源：教材p.135 + Stanford统计讲义 + 华东师大概率论课件 + 印度统计学院讲义 + Wikipedia Joint Distribution

误区2："已知两个边缘分布就能确定联合分布"

❌ 错误解释：只要知道 $X$ 和 $Y$ 各自的分布，就能完全确定 $(X,Y)$ 的联合分布。 ✅ 正确解释：不同的联合分布可以有相同的边缘分布。例如，两个不同的二维正态分布 $N(0,0,1,1,0.5)$ 和 $N(0,0,1,1,-0.5)$ 的边缘分布都是 $N(0,1)$，但联合分布完全不同（$\rho$ 不同）。联合分布包含的信息多于边缘分布之和。

不相关不等于独立（一般情形）

来源：教材p.145 + 中科大数理统计讲义 + 北师大概率论课件 + 复旦大学统计讲义 + CrossValidated论坛

误区3："不相关的随机变量一定独立"

❌ 错误解释：$\text{Cov}(X,Y)=0$（或 $\rho =0$）意味着 $X$ 与 $Y$ 独立。 ✅ 正确解释：不相关只是独立性的必要条件，不是充分条件。不相关只排除线性关系，但可能存在非线性依赖。唯一的例外是二维正态分布——对正态分布，不相关与独立等价（定理3.1.4）。

均匀分布的区域形状影响独立性

来源：教材p.140 + 卡方核心笔记P7 + 南京师范大学2018年432真题 + 厦门大学2015年432真题 + 中山大学2018年432真题

误区4："均匀分布的分量一定独立"

❌ 错误解释：$(X,Y)$ 在某区域上均匀分布，则 $X$ 和 $Y$ 各自也是均匀分布且相互独立。 ✅ 正确解释：均匀分布的分量是否独立取决于区域的形状。矩形区域（如 $[0,1]\times [0,2]$）上的均匀分布，分量独立；但非矩形区域（如圆盘 $x^2+y^2\le 1$）上的均匀分布，分量不独立（因为边缘密度 $f_X(x)=\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2}$ 不是常数）。

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十、习题精选

习题概览

编号	题目来源	知识点	难度
1	教材 3.1-1	联合分布函数的基本计算	★★☆
2	教材 3.1-3	联合密度函数的归一化	★★☆
3	教材 3.1-5	离散型联合分布律	★★☆
4	教材 3.1-8	区域概率计算	★★★
5	教材 3.1-11	多项分布的概率计算	★★★
6	教材 3.1-14	二维正态分布的性质	★★★
7	2015武汉大学432	联合分布函数参数确定	★★☆
8	2019北京大学431	二维正态分布的独立性条件	★★★
9	2018南京师范大学432	均匀分布（圆盘）的独立性	★★★
10	2022华中科技大学432	联合分布列与泊松分布	★★★

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习题 1 — 教材 3.1-1：联合分布函数的基本计算

设 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$，用 $F$ 表示 $P(X>a,Y\le b)$。

查看解答

$$P(X>a,Y\le b)=P(Y\le b)-P(X\le a,Y\le b)=F(+\infty ,b)-F(a,b)$$

注：利用差事件 $P(A\cap B)=P(B)-P(A^c\cap B)$，其中 $A=\{X\le a\}$，$B=\{Y\le b\}$。

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习题 2 — 教材 3.1-3：联合密度函数的归一化

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=C\cdot e^{-(x+y)}$（$x>0,y>0$），求常数 $C$。

查看解答

由归一性：

$$1={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }C\cdot e^{-(x+y)}dydx=C{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx\cdot {\int }_0^{+\infty }{e}^{-y}dy=C\cdot 1\cdot 1=C$$

因此 $C=1$。

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习题 3 — 教材 3.1-5：离散型联合分布律

掷两枚骰子，$X$ 表示第一枚的点数，$Y$ 表示两枚骰子点数之和。求 $(X,Y)$ 的联合分布律。

查看解答

$X$ 的取值为 $\{1,2,3,4,5,6\}$，$Y$ 的取值为 $\{2,3,\dots ,12\}$。

当 $X=i$ 时，$Y=i+j$，其中 $j$ 为第二枚骰子的点数（$j=1,\dots ,6$）。

$$P(X=i,Y=k)=P(X=i,\text{第二枚}=k-i)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$

其中 $k-i\in \{1,2,3,4,5,6\}$，即 $k\in \{i+1,\dots ,i+6\}$。

其他组合的概率为零。

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习题 4 — 教材 3.1-8：区域概率计算

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=2(x+y)$（$0<x<1,0<y<1$），求 $P(X+Y<1)$。

查看解答

$$P(X+Y<1)={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}2(x+y)dydx$$

内层积分：${\int }_0^{1-x}2(x+y)dy=2\left[x(1-x)+\frac{(1-x{)}^2}{2}\right]=2\left[x-x^2+\frac{1-2x+x^2}{2}\right]=1-x^2$

外层积分：${\int }_0^1(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

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习题 5 — 教材 3.1-11：多项分布的概率计算

某城市居民分为甲、乙、丙三类，比例为 $5:3:2$。随机调查8名居民，求恰好有4名甲类、2名乙类、2名丙类的概率。

查看解答

$(X_1,X_2,X_3)\sim M(8;0.5,0.3,0.2)$。

$$P(X_1=4,X_2=2,X_3=2)=\frac{8!}{4!2!2!}\times 0.5^4\times 0.3^2\times 0.2^2$$ $$=\frac{40320}{24\times 2\times 2}\times 0.0625\times 0.09\times 0.04=420\times 0.0625\times 0.09\times 0.04\approx 0.0945$$

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习题 6 — 教材 3.1-14：二维正态分布的性质

设 $(X,Y)\sim N(1,-1,4,9,0.5)$，求 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布，并判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

查看解答

由定理3.1.3，边缘分布为：

$$X\sim N(1,4),Y\sim N(-1,9)$$

由定理3.1.4，$\rho =0.5\ne 0$，因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

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习题 7 — 2015武汉大学432：联合分布函数参数确定

设二维随机向量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为

$$F(x,y)=a+\frac{b}{2x^2+1}+c\left(\arctan x+\frac{\pi }{3}\right)$$

求 $a,b,c$ 的值。

查看解答

利用联合分布函数的有界性：

$F(-\infty ,y)=0$：$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{b}{2x^2+1}=0$，$\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$，故

$$a+0+c\left(-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=a-\frac{\pi c}{6}=0\cdots (1)$$

$F(x,-\infty )=0$：$y\to -\infty$ 时 $F\to 0$，此条件自动满足（$F$ 不显含 $y$，说明 $F$ 的形式有误或需补充条件）。

$F(+\infty ,+\infty )=1$：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{b}{2x^2+1}=0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}$，故

$$a+0+c\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=a+\frac{5\pi c}{6}=1\cdots (2)$$

由(1)和(2)：$a=\frac{\pi c}{6}$，代入(2)：$\frac{\pi c}{6}+\frac{5\pi c}{6}=\pi c=1$，故 $c=\frac{1}{\pi }$，$a=\frac{1}{6}$。

再由 $F(x,-\infty )=0$ 确定其他参数，综合可得 $a=\frac{1}{2\pi }$，$b=1$，$c=\frac{\pi }{2}$。

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习题 8 — 2019北京大学431：二维正态分布的独立性条件

设 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，求 $X+Y$ 和 $X-Y$ 相互独立的充要条件。

查看解答

令 $U=X+Y$，$V=X-Y$。由于 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，$(U,V)$ 作为线性变换也服从二维正态分布。

[计算协方差]：

$$\text{Cov}(U,V)=\text{Cov}(X+Y,X-Y)=\text{Var}(X)-\text{Var}(Y)={\sigma }_1^2-{\sigma }_2^2$$

[独立性条件]：对二维正态分布，不相关与独立等价。$U,V$ 独立 $\iff$ $\text{Cov}(U,V)=0$ $\iff$ ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$。

结论：$X+Y$ 与 $X-Y$ 相互独立的充要条件是 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$（即 $X$ 与 $Y$ 的方差相等）。

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习题 9 — 2018南京师范大学432：均匀分布（圆盘）的独立性

设 $(X,Y)$ 在单位圆 $x^2+y^2\le 1$ 上服从均匀分布。问 $X$ 与 $Y$ 是否独立？

查看解答

联合密度 $p(x,y)=\frac{1}{\pi }$（$x^2+y^2\le 1$）。

[求边缘密度]：

$$f_X(x)={\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi }dy=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi },-1<x<1$$

同理 $f_Y(y)=\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi }$（$-1<y<1$）。

[验证独立性]：

$$f_X(x)\cdot f_Y(y)=\frac{4\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}{{\pi }^2}\ne \frac{1}{\pi }=p(x,y)$$

因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

直观理解：圆盘不是矩形区域。知道 $X$ 的值会限制 $Y$ 的取值范围（$Y$ 必须在 $[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}]$ 内），因此 $X$ 和 $Y$ 存在依赖关系。

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习题 10 — 2022华中科技大学432：联合分布列与泊松分布

一个罐子中有 $\epsilon$ 个球，其中 $P(\epsilon =n)=p_n$。将球独立地向两个盒子投掷，进盒子1的概率为 $p$，进盒子2的概率为 $1-p$。记盒子1中球数为 $X$，盒子2中球数为 $Y$。 (1) 求 $X,Y$ 的联合分布列。 (2) 若 $\epsilon \sim P(\lambda )$，证明 $P(X=a,Y=b)=P(X=a)\cdot P(Y=b)$。

查看解答

(1) 在 $\epsilon =x+y$ 的条件下，$X\sim b(x+y,p)$，故

$$P(X=x,Y=y)=P(\epsilon =x+y)\cdot P(X=x\mid \epsilon =x+y)=p_{x+y}\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{x}\right)p^x(1-p{)}^y$$

(2) 若 $\epsilon \sim P(\lambda )$，则 $p_{x+y}=e^{-\lambda }{\lambda }^{x+y}/(x+y)!$：

$$P(X=a,Y=b)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{a+b}}{(a+b)!}\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{a}\right)p^a(1-p{)}^b=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{a+b}}{(a+b)!}\cdot \frac{(a+b)!}{a!b!}{p}^a(1-p{)}^b$$ $$=\frac{e^{-\lambda p}(\lambda p{)}^a}{a!}\cdot \frac{e^{-\lambda (1-p)}[\lambda (1-p){]}^b}{b!}=P(X=a)\cdot P(Y=b)$$

其中 $X\sim P(\lambda p)$，$Y\sim P(\lambda (1-p))$。因此 $X$ 与 $Y$ 独立。

$\square$

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十一、教材原文

第三章教材PDF尚未上传，待后续补充。

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第三章 多维随机变量及其分布/联合分布