第三章 多维随机变量及其分布 — 章节汇总

全章概览

本章将随机变量从一维推广到多维，核心是从联合分布出发，研究多个随机变量之间的概率结构。全章围绕”联合→边际→条件”三条主线展开：先建立联合分布函数、联合分布列和联合密度函数的统一框架（§3.1），再讨论边际分布与独立性（§3.2），然后研究多维随机变量函数的分布（§3.3），接着引入协方差和相关系数刻画变量间的线性关联（§3.4），最后建立条件分布与条件期望的完整理论（§3.5）。

全章逻辑主线：联合分布（整体描述）→ 边际分布与独立性（分解与简化）→ 函数的分布（变换工具）→ 数字特征（关联度量）→ 条件分布与条件期望（信息更新）

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一、全章知识框架

graph TB
    A[第三章 多维随机变量及其分布] --> B[§3.1 联合分布]
    A --> C[§3.2 边际分布与独立性]
    A --> D[§3.3 函数的分布]
    A --> E[§3.4 特征数]
    A --> F[§3.5 条件分布与条件期望]

    B --> B1[联合分布函数]
    B --> B2[联合分布列]
    B --> B3[联合密度函数]
    B --> B4[多项分布]
    B --> B5[二维正态分布]

    C --> C1[边际分布函数]
    C --> C2[边际PMF与PDF]
    C --> C3[独立性判别]

    D --> D1[卷积公式]
    D --> D2[变量变换法]
    D --> D3[最大最小值分布]
    D --> D4[分布可加性]

    E --> E1[协方差]
    E --> E2[相关系数]
    E --> E3[方差展开]
    E --> E4[n维正态分布]

    F --> F1[条件分布律]
    F --> F2[条件密度]
    F --> F3[条件期望]
    F --> F4[全期望与全方差]

    B --> C
    C --> D
    B --> E
    B --> F
    E --> F

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二、核心知识点与公式汇总

§3.1 多维随机变量及其联合分布

本节建立多维随机变量的基本框架。联合分布函数 $F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$ 是统一描述离散型和连续型多维随机变量的核心工具。二维正态分布和多项分布是两个最重要的多维分布模型。

编号	类型	名称	内容
3.1.1	定义	联合分布函数	$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$，关于每个变量单调不减、右连续
3.1.2	定义	联合分布列	离散型：$p(x_i,y_j)=P(X=x_i,Y=y_j)$，${\sum }_i{\sum }_{j}p(x_i,y_j)=1$
3.1.3	定义	联合密度函数	连续型：$p(x,y)\ge 0$，$\iint p(x,y)dxdy=1$，$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=p(x,y)$
3.1.4	定义	多项分布	$P(X_1=n_1,\dots ,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}{p}_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$，$\sum n_i=n$
3.1.5	定义	二维均匀分布	区域 $G$ 上的均匀分布：$p(x,y)=1/S_G$，$(x,y)\in G$
3.1.6	定义	二维正态分布	$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，五个参数完全确定分布
3.1.7	定义	边缘分布函数	$F_X(x)=F(x,+\infty )$，$F_Y(y)=F(+\infty ,y)$
3.1.8	定义	边缘密度函数	$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy$，$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dx$

编号	类型	名称	内容
3.1.T1	定理	边缘密度公式	连续型：$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy$
3.1.T2	定理	边缘分布列公式	离散型：$p_X(x_i)={\sum }_{j}p(x_i,y_j)$
3.1.T3	定理	联合→边缘唯一性	联合分布唯一确定边缘分布，但边缘分布一般不能唯一确定联合分布
3.1.T4	定理	二维正态边缘分布	$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ 时，$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$

核心公式：

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy,p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dxp(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}P((X,Y)\in G)={\iint }_{G}p(x,y)dxdy=\sum _{(x_i,y_j)\in G}p(x_i,y_j)$$

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§3.2 边际分布与随机变量的独立性

边际分布是从联合分布中提取单个变量信息的过程。独立性是概率论中最重要的概念之一——当 $X$ 与 $Y$ 独立时，联合分布等于边际分布的乘积，多维问题可以完全分解为一维问题。独立性有三种等价判别方法：分布函数法、密度函数法和因子分解法。

编号	类型	名称	内容
3.2.1	定义	边际分布函数	$F_X(x)=F(x,+\infty )$，$F_Y(y)=F(+\infty ,y)$
3.2.2	定义	边际PMF	离散型：$p_X(x_i)={\sum }_{j}p(x_i,y_j)$
3.2.3	定义	边际PDF	连续型：$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy$
3.2.4	定义	独立性（分布函数法）	$X$ 与 $Y$ 独立 $\iff$ $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$，$\forall x,y$
3.2.5	定义	独立性（密度函数法）	连续型独立 $\iff$ $p(x,y)=p_X(x)\cdot p_Y(y)$，$\forall x,y$
3.2.6	定义	独立性（因子分解法）	$p(x,y)=g(x)\cdot h(y)$，且支撑集为矩形区域
3.2.7	定义	多维独立性	$X_1,\dots ,X_n$ 相互独立 $\iff$ $F(x_1,\dots ,x_n)=\prod F_{X_i}(x_i)$
3.2.8	定义	函数独立性	若 $X_1,\dots ,X_n$ 独立，则 $g(X_1,\dots ,X_k)$ 与 $h(X_{k+1},\dots ,X_n)$ 独立

编号	类型	名称	内容
3.2.T1	定理	独立性充要条件	$X,Y$ 独立 $\iff$ 联合分布等于边际分布的乘积（三种等价形式）
3.2.T2	定理	二维正态独立性	$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ 时，$X\perp Y\iff \rho =0$
3.2.T3	定理	函数独立性	$X_1,\dots ,X_n$ 独立 $\Rightarrow$ 对任意可测函数 $g,h$，$g(X_1,\dots ,X_k)\perp h(X_{k+1},\dots ,X_n)$

核心公式：

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dy,p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x,y)dxX\perp Y\iff p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),\forall x,yX\perp Y\iff F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),\forall x,y$$

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§3.3 多维随机变量函数的分布

本节解决核心问题：已知 $(X,Y)$ 的联合分布，如何求 $Z=g(X,Y)$ 的分布？卷积公式是求 $Z=X+Y$ 密度的基本工具；变量变换法（雅可比行列式）是处理多维变换的一般方法。分布的可加性（泊松、二项、正态、伽马）是重要的理论结论。

编号	类型	名称	内容
3.3.1	定义	离散函数分布	$P(Z=z_k)={\sum }_{g(x_i,y_j)=z_k}p(x_i,y_j)$
3.3.2	定义	最大值分布	$M=\max (X,Y)$，$F_M(z)=F_X(z)\cdot F_Y(z)$（独立时）
3.3.3	定义	最小值分布	$N=\min (X,Y)$，$F_N(z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))$（独立时）
3.3.4	定义	卷积公式	$p_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(x)p_Y(z-x)dx$（独立连续型 $Z=X+Y$）
3.3.5	定义	变量变换法（雅可比）	$(U,V)=g(X,Y)$，$p_{UV}(u,v) = p_{XY}(x(u,v), y(u,v)) \cdot

编号	类型	名称	内容
3.3.T1	定理	泊松可加性	$X\sim P({\lambda }_1)$，$Y\sim P({\lambda }_2)$ 独立 $\Rightarrow$ $X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$
3.3.T2	定理	二项可加性	$X\sim b(n_1,p)$，$Y\sim b(n_2,p)$ 独立 $\Rightarrow$ $X+Y\sim b(n_1+n_2,p)$
3.3.T3	定理	正态可加性	$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 独立 $\Rightarrow$ $X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$
3.3.T4	定理	伽马可加性	$X\sim Ga({\alpha }_1,\lambda )$，$Y\sim Ga({\alpha }_2,\lambda )$ 独立 $\Rightarrow$ $X+Y\sim Ga({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$
3.3.T5	定理	卡方构造	$Z_i\sim N(0,1)$ 独立，则 ${\sum }_{i=1}^n{Z}_i^2\sim {\chi }^2(n)$
3.3.T6	定理	变量变换法	一一变换 $(U,V)=g(X,Y)$ 时，$p_{UV}(u,v) = p_{XY}(x,y)

核心公式：

$$p_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(x)p_Y(z-x)dx\text{（卷积公式，独立时）}{p}_{UV}(u,v)=p_{XY}(x(u,v),y(u,v))\cdot |J|,J=\det \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\text{（变量变换法）}{F}_M(z)=F_X(z)F_Y(z),F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]\text{（独立时最大/最小值）}{p}_{X/Y}(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|p_X(zy)p_Y(y)dy\text{（独立时商的密度）}$$

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§3.4 多维随机变量的特征数

协方差 $\text{Cov}(X,Y)$ 度量两个随机变量的线性关联方向和强度。相关系数 ${\rho }_{XY}$ 是标准化后的协方差，满足 $|{\rho }_{XY}|\le 1$，$\rho =\pm 1$ 当且仅当 $X$ 与 $Y$ 以概率1呈线性关系。n维正态分布是正态分布向多维的自然推广，其线性变换仍为正态分布。

编号	类型	名称	内容
3.4.1	定义	函数期望（多维LOTUS）	$E[g(X,Y)]=\iint g(x,y)p(x,y)dxdy$
3.4.2	定义	协方差	$\text{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)$
3.4.3	定义	方差展开	$\text{Var}(X\pm Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)\pm 2\text{Cov}(X,Y)$
3.4.4	定义	相关系数	${\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\sqrt{\text{Var}(Y)}}$，$
3.4.5	定义	n维正态分布	$\mathbf{X}\sim N(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$，由均值向量 $\mathbf{\mu }$ 和协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma }$ 完全确定

编号	类型	名称	内容
3.4.T1	定理	期望线性性	$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$，不要求独立性
3.4.T2	定理	独立乘积期望	$X\perp Y\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y)$，进而 $\text{Cov}(X,Y)=0$
3.4.T3	定理	独立方差可加	$X\perp Y\Rightarrow \text{Var}(X\pm Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$
3.4.T4	定理	协方差性质	$\text{Cov}(aX,bY)=ab\text{Cov}(X,Y)$；$\text{Cov}(X_1+X_2,Y)=\text{Cov}(X_1,Y)+\text{Cov}(X_2,Y)$
3.4.T5	定理	柯西-施瓦茨不等式	$[E(XY){]}^2\le E(X^2)\cdot E(Y^2)$，等号当且仅当 $X$ 与 $Y$ 线性相关
3.4.T6	定理	$\rho =\pm 1$ 充要条件	$
3.4.T7	定理	不相关与独立	独立 $\Rightarrow$ 不相关（$\rho =0$），反之不成立（二维正态除外）
3.4.T8	定理	n维正态线性变换	$\mathbf{X}\sim N(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$，$\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{b}$，则 $\mathbf{Y}\sim N(\mathbf{A\mu }+\mathbf{b},{\mathbf{A}\mathbf{\Sigma }\mathbf{A}}^T)$
3.4.T9	定理	n维正态分量独立性	n维正态的分量独立 $\iff$ 协方差矩阵为对角阵 $\iff$ 分量两两不相关
3.4.T10	定理	n维正态边缘分布	n维正态的任何边缘分布（子向量）仍为正态分布

核心公式：

$$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\text{Var}(X\pm Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)\pm 2\text{Cov}(X,Y){\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\sqrt{\text{Var}(Y)}},|{\rho }_{XY}|\le 1[E(XY){]}^2\le E(X^2)E(Y^2)\text{（柯西-施瓦茨不等式）}\mathbf{X}\sim N(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma }),\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{b}\Rightarrow \mathbf{Y}\sim N(\mathbf{A\mu }+\mathbf{b},{\mathbf{A}\mathbf{\Sigma }\mathbf{A}}^T)$$

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§3.5 条件分布与条件期望

条件分布是条件概率在随机变量上的推广，描述在已知一个变量取值后另一个变量的概率规律。条件期望 $E(X|Y=y)$ 是条件分布的期望，是一个关于 $y$ 的函数（随机变量）。全期望公式 $E(X)=E[E(X|Y)]$ 和全方差公式是连接条件与边际的桥梁，在马尔可夫链、贝叶斯统计等领域有广泛应用。

编号	类型	名称	内容
3.5.1	定义	条件分布律	离散型：$P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{p(x_i,y_j)}{p_Y(y_j)}$，$p_Y(y_j)>0$
3.5.2	定义	条件密度函数	连续型：$p(x\mid y)=\frac{p(x,y)}{p_Y(y)}$，$p_Y(y)>0$
3.5.3	定义	条件期望	$E(X\mid Y=y)=\int xp(x\mid y)dx$；$E(X\mid Y)$ 是关于 $Y$ 的随机变量
3.5.4	定义	条件方差	$\text{Var}(X \mid Y) = E[(X - E(X

编号	类型	名称	内容
3.5.T1	定理	贝叶斯公式（密度形式）	$p(x\mid y)=\frac{p(y\mid x)p_X(x)}{p_Y(y)}=\frac{p(y\mid x)p_X(x)}{\int p(y\mid x)p_X(x)dx}$
3.5.T2	定理	正态条件分布	$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ 时，$X\mid Y=y\sim N({\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2),{\sigma }_1^2(1-{\rho }^2))$
3.5.T3	定理	条件期望线性性	$E(aX+bY\mid Z)=aE(X\mid Z)+bE(Y\mid Z)$
3.5.T4	定理	全期望公式	$E(X)=E[E(X\mid Y)]$，即先对条件求期望再对条件变量求期望
3.5.T5	定理	随机和的期望	$E\left({\sum }_{i=1}^N{X}_i\right)=E(N)E(X_1)$（$N$ 与 $X_i$ 独立，$X_i$ 同分布）
3.5.T6	定理	全方差公式	$\text{Var}(Y)=E[\text{Var}(Y\mid X)]+\text{Var}[E(Y\mid X)]$

核心公式：

$$p(x\mid y)=\frac{p(x,y)}{p_Y(y)},p(x,y)=p(x\mid y)p_Y(y)=p(y\mid x)p_X(x)E(X)=E[E(X\mid Y)]\text{Var}(Y)=E[\text{Var}(Y\mid X)]+\text{Var}[E(Y\mid X)]E\left(\sum _{i=1}^N{X}_i\right)=E(N)E(X_1)\text{（随机和期望）}X\mid Y=y\sim N\left({\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2),{\sigma }_1^2(1-{\rho }^2)\right)\text{（正态条件分布）}$$

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三、章节学习脉络

§3.1 多维随机变量及其联合分布

本节是第三章的起点，将一维随机变量的分布理论推广到多维情形。核心思想是用联合分布函数 $F(x,y)$ 统一描述两个随机变量的概率规律——它包含了关于 $(X,Y)$ 的所有概率信息。对于离散型使用联合分布列（如多项分布），对于连续型使用联合密度函数。二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ 是最重要的连续多维分布，其五个参数各有明确含义。本节还引入了边缘分布的概念，揭示了联合分布与单个变量分布之间的关系，为后续的独立性讨论和条件分布奠定基础。

§3.2 边际分布与随机变量的独立性

本节深入探讨联合分布与边际分布之间的关系。核心结论是：联合分布唯一确定边际分布，但边际分布一般不能唯一确定联合分布——除非两个变量独立。独立性意味着联合分布等于边际分布的乘积，这使得多维问题可以完全分解为一维问题。独立性有三种等价判别方法（分布函数法、密度函数法、因子分解法），需要根据具体场景灵活选用。一个重要结论是：二维正态分布中 $X\perp Y\iff \rho =0$，这是正态分布独有的优良性质。需要注意”不相关”（$\rho =0$）与”独立”的区别——不相关只意味着没有线性关联，而独立意味着没有任何关联。

§3.3 多维随机变量函数的分布

本节解决的核心问题是：已知 $(X,Y)$ 的联合分布，如何求 $Z=g(X,Y)$ 的分布？当 $X$ 与 $Y$ 独立时，卷积公式是求 $Z=X+Y$ 密度的基本工具；变量变换法（雅可比行列式）则适用于更一般的一一变换情形。最大值和最小值的分布在可靠性工程中有重要应用。本节的理论高潮是分布的可加性——泊松分布、二项分布、正态分布和伽马分布在独立和下保持分布族不变，这些结论在后续的统计推断中反复出现。卡方分布 ${\chi }^2(n)$ 作为 $n$ 个独立标准正态变量平方和的分布，是连接正态分布与统计推断的桥梁。

§3.4 多维随机变量的特征数

本节将一维的期望和方差推广到多维，引入协方差和相关系数来刻画两个变量之间的线性关联。协方差的计算公式 $\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ 在实际应用中最为常用。方差展开公式 $\text{Var}(X\pm Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)\pm 2\text{Cov}(X,Y)$ 是第二章方差性质的自然推广——当 $X\perp Y$ 时退化为可加性。相关系数 $|{\rho }_{XY}|\le 1$，$\rho =\pm 1$ 当且仅当 $X$ 与 $Y$ 以概率1呈线性关系。n维正态分布 $N(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$ 是本节的理论高峰——其线性变换仍为正态分布，分量独立等价于两两不相关，这些优良性质使得正态分布在多元统计分析中处于核心地位。

§3.5 条件分布与条件期望

本节是第三章的理论高峰，建立了条件分布与条件期望的完整理论。条件密度 $p(x|y)=p(x,y)/p_Y(y)$ 是条件概率的连续版本，它描述了在已知 $Y=y$ 后 $X$ 的概率规律。条件期望 $E(X|Y)$ 不仅是 $y$ 的函数，还是一个随机变量——这一双重身份是理解全期望公式和全方差公式的关键。全期望公式 $E(X)=E[E(X|Y)]$ 是全概率公式的期望版本，全方差公式 $\text{Var}(Y)=E[\text{Var}(Y|X)]+\text{Var}[E(Y|X)]$ 将总方差分解为”组内方差的期望”和”组间方差”两部分。正态分布的条件分布仍为正态，且条件期望是 $y$ 的线性函数，条件方差与 $y$ 无关——这些性质在回归分析和贝叶斯推断中有重要应用。

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四、补充理解与跨章展望

全章核心思想

本章的核心思想可以概括为三个层次：

1. 描述层：用联合分布函数、联合分布列和联合密度函数统一描述多维随机变量的概率规律，实现从”一维”到”多维”的推广
2. 特征层：用协方差和相关系数等数字特征概括多维分布中变量间的关联信息，实现从”联合分布函数”到”关键数字”的降维
3. 变换层：通过条件分布与条件期望建立变量间的信息传递机制，全期望公式和全方差公式是连接”整体”与”局部”的桥梁

跨章关联表

关联方向	章节	关联内容
前置	第二章 随机变量及其分布	一维分布→联合分布，期望方差→协方差相关系数，函数的分布→多维函数的分布
前置	第一章 事件与概率	条件概率→条件分布，全概率公式→全期望公式，贝叶斯公式→贝叶斯密度形式
后续	大数定律与中心极限定理	多维正态→联合极限分布，协方差→协方差矩阵的渐近性质
后续	统计推断（参数估计、假设检验）	二维正态→回归分析，${\chi }^2$分布→拟合优度检验，条件期望→贝叶斯估计
后续	马尔可夫链与随机过程	条件分布→转移概率，全期望公式→条件期望的鞅性质

全章学习建议

1. 联合分布是起点：所有多维问题的分析都从联合分布出发。掌握联合分布→边际分布、联合分布→条件分布这两条分解路径，是理解本章内容的基础
2. 独立性的三重判别：独立性是简化多维问题的关键。熟练掌握分布函数法、密度函数法和因子分解法三种判别方式，特别注意”不相关”与”独立”的区别
3. 全期望公式是核心：全期望公式 $E(X)=E[E(X|Y)]$ 和全方差公式是本章最重要的理论工具。理解条件期望作为随机变量的双重身份，掌握分层思考（先条件后边际）的分析方法

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五、全章复习题

§3.1+§3.2 联合分布与边际分布基础

复习题 1 — 联合密度与边际密度

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}c{x}^{2}y,& 0<x<1,0<y<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。（1）求常数 $c$；（2）求边际密度 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$；（3）判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

查看解答

（1）求常数 $c$：

$$\iint p(x,y)dxdy={\int }_0^1{\int }_0^{2}c{x}^{2}ydydx=c{\int }_0^1{x}^2\cdot \frac{y^2}{2}{|}_0^{2}dx=c{\int }_0^1{x}^2\cdot 2dx=2c\cdot \frac{1}{3}=\frac{2c}{3}=1$$

因此 $c=\frac{3}{2}$。

（2）边际密度：

$$p_X(x)={\int }_0^2\frac{3}{2}{x}^{2}ydy=\frac{3}{2}{x}^2\cdot \frac{y^2}{2}{|}_0^2=\frac{3}{2}{x}^2\cdot 2=3x^2,0<x<1p_Y(y)={\int }_0^1\frac{3}{2}{x}^{2}ydx=\frac{3}{2}y\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{y}{2},0<y<2$$

（3）独立性判别：

$$p_X(x)\cdot p_Y(y)=3x^2\cdot \frac{y}{2}=\frac{3}{2}{x}^{2}y=p(x,y)$$

对一切 $(x,y)$ 成立，且支撑集为矩形区域 $[0,1]\times [0,2]$，因此 $X\perp Y$。

$\square$

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§3.2 独立性判别

复习题 2 — 独立性判别

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy,& 0<x<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立，并说明理由。

查看解答

求边际密度：

$$p_X(x)={\int }_x^{1}8xydy=8x\cdot \frac{y^2}{2}{|}_x^1=4x(1-x^2),0<x<1p_Y(y)={\int }_0^{y}8xydx=8y\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^y=4y^3,0<y<1$$

判别独立性：

$$p_X(x)\cdot p_Y(y)=4x(1-x^2)\cdot 4y^3=16x{y}^3(1-x^2)$$

而 $p(x,y)=8xy$，显然 $p_X(x)\cdot p_Y(y)\ne p(x,y)$。

另一种判别方式：支撑集 $\{(x,y):0<x<y<1\}$ 是三角形区域，不是矩形区域，因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

结论：$X$ 与 $Y$ 不独立。

$\square$

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§3.3 卷积公式求 $Z=X+Y$ 的密度

复习题 3 — 卷积公式应用

设 $X\sim \text{Exp}(1)$，$Y\sim \text{Exp}(1)$，$X$ 与 $Y$ 独立。用卷积公式求 $Z=X+Y$ 的密度函数，并指出 $Z$ 服从的分布。

查看解答

$X$ 与 $Y$ 的密度分别为 $p_X(x)=e^{-x}$（$x>0$），$p_Y(y)=e^{-y}$（$y>0$）。

由卷积公式：

$$p_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(x)p_Y(z-x)dx$$

被积函数非零的条件：$x>0$ 且 $z-x>0$，即 $0<x<z$。因此当 $z>0$ 时：

$$p_Z(z)={\int }_0^z{e}^{-x}\cdot e^{-(z-x)}dx={\int }_0^z{e}^{-z}dx=e^{-z}\cdot z=z{e}^{-z},z>0$$

这正是 $Ga(2,1)$（参数 $\alpha =2,\lambda =1$ 的伽马分布）的密度函数。

结论：$Z=X+Y\sim Ga(2,1)$，即两个独立的 $\text{Exp}(1)$ 之和服从 $Ga(2,1)$，验证了伽马分布的可加性。

$\square$

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§3.4 协方差与相关系数计算

复习题 4 — 协方差与相关系数

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$（单位圆上的均匀分布）。求 $E(X)$、$E(Y)$、$\text{Cov}(X,Y)$ 和 ${\rho }_{XY}$，并判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

查看解答

求 $E(X)$ 和 $E(Y)$：

由对称性，$E(X)=E(Y)=0$。

求 $E(XY)$：

$$E(XY)={\iint }_{x^2+y^2\le 1}xy\cdot \frac{1}{\pi }dxdy$$

被积函数 $xy$ 关于 $x$（或 $y$）是奇函数，积分区域关于 $x$（和 $y$）对称，因此 $E(XY)=0$。

求协方差：

$$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0=0$$

求相关系数：

$${\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\sqrt{\text{Var}(Y)}}=0$$

独立性判别：

虽然 $\text{Cov}(X,Y)=0$（不相关），但 $X$ 与 $Y$ 不独立。因为联合支撑集是单位圆（非矩形区域），且边际密度 $p_X(x)=\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2}$（$|x|\le 1$），而 $p_X(x)\cdot p_Y(y)=\frac{4}{{\pi }^2}\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\ne \frac{1}{\pi }=p(x,y)$。

结论：${\rho }_{XY}=0$（不相关），但 $X$ 与 $Y$ 不独立。这展示了”不相关不等于独立”的经典反例。

$\square$

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§3.4+§3.5 全期望公式应用

复习题 5 — 全期望公式

设某商店每天到达的顾客数 $N\sim P(\lambda )$，每位顾客的消费额 $X_i$ 独立同分布，$E(X_1)=\mu$，$\text{Var}(X_1)={\sigma }^2$，且 $N$ 与 $\{X_i\}$ 独立。设 $S={\sum }_{i=1}^N{X}_i$ 为日总营业额。利用全期望公式和全方差公式求 $E(S)$ 和 $\text{Var}(S)$。

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求 $E(S)$：利用全期望公式（随机和的期望）：

$$E(S)=E[E(S\mid N)]$$

给定 $N=n$ 时，$E(S\mid N=n)=E\left({\sum }_{i=1}^n{X}_i\right)=n\mu$。

因此 $E(S\mid N)=N\mu$，进而：

$$E(S)=E(N\mu )=\mu E(N)=\mu \lambda$$

求 $\text{Var}(S)$：利用全方差公式：

$$\text{Var}(S)=E[\text{Var}(S\mid N)]+\text{Var}[E(S\mid N)]$$

给定 $N=n$ 时：

$$\text{Var}(S\mid N=n)=\text{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=n{\sigma }^2$$

因此：

$$E[\text{Var}(S\mid N)]=E(N{\sigma }^2)={\sigma }^{2}E(N)={\sigma }^2\lambda \text{Var}[E(S\mid N)]=\text{Var}(N\mu )={\mu }^2\text{Var}(N)={\mu }^2\lambda \text{Var}(S)={\sigma }^2\lambda +{\mu }^2\lambda =\lambda ({\sigma }^2+{\mu }^2)$$

结论：$E(S)=\mu \lambda$，$\text{Var}(S)=\lambda ({\sigma }^2+{\mu }^2)$。这一结果在排队论和保险精算中有广泛应用。

$\square$

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综合应用

复习题 6 — 二维正态分布的性质

设 $(X,Y)\sim N(1,0,4,1,1/2)$。（1）求 $Y\mid X=1$ 的条件分布；（2）求 $P(X+Y>3)$；（3）求 $\text{Cov}(X,Y)$ 和 ${\rho }_{XY}$。

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已知 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )=N(1,0,4,1,1/2)$，即 ${\mu }_1=1$，${\mu }_2=0$，${\sigma }_1^2=4$，${\sigma }_2^2=1$，$\rho =1/2$。

（1）条件分布 $Y\mid X=1$：

由正态条件分布公式：

$$Y\mid X=x\sim N\left({\mu }_2+\rho \frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(x-{\mu }_1),{\sigma }_2^2(1-{\rho }^2)\right)$$

代入 $x=1$：

$$E(Y\mid X=1)=0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot (1-1)=0\text{Var}(Y\mid X=1)=1\cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}$$

因此 $Y\mid X=1\sim N(0,3/4)$。

（2）求 $P(X+Y>3)$：

由正态可加性，$X+Y$ 仍为正态分布。

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+0=1\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)\text{Cov}(X,Y)=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1\text{Var}(X+Y)=4+1+2\times 1=7$$

因此 $X+Y\sim N(1,7)$，标准化 $Z=\frac{X+Y-1}{\sqrt{7}}\sim N(0,1)$。

$$P(X+Y>3)=P\left(Z>\frac{3-1}{\sqrt{7}}\right)=P\left(Z>\frac{2}{\sqrt{7}}\right)=P(Z>0.7559)\approx 1-\Phi (0.7559)\approx 1-0.7752=0.2248$$

（3）协方差与相关系数：

$$\text{Cov}(X,Y)=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1{\rho }_{XY}=\rho =\frac{1}{2}$$

$\square$

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六、各节笔记索引

节号	节标题	核心主题	误区数	习题数
3.1	3.1 多维随机变量及其联合分布	联合分布、多项分布、二维正态	4	10
3.2	3.2 边际分布与随机变量的独立性	边际分布、独立性判别、函数独立性	4	10
3.3	3.3 多维随机变量函数的分布	卷积公式、变量变换法、分布可加性	5	10
3.4	3.4 多维随机变量的特征数	协方差、相关系数、n维正态	5	10
3.5	3.5 条件分布与条件期望	条件分布、全期望公式、全方差公式	4	10

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第三章 多维随机变量及其分布/章节汇总