第四章 随机变量序列的极限定理 — 章节汇总

全章概览

本章研究随机变量序列的极限行为，是概率论从”有限”走向”无穷”的关键一步。全章围绕”收敛性→特征函数→大数定律→中心极限定理”四条主线展开：先建立三种收敛性（§4.1），再引入特征函数作为分析工具（§4.2），然后建立大数定律体系（§4.3），最后系统建立中心极限定理体系（§4.4）。

全章逻辑主线：收敛性工具（§4.1）→ 特征函数工具（§4.2）→ 大数定律（§4.3）→ 中心极限定理（§4.4）

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一、全章知识框架

graph TB
    A[第四章 随机变量序列的极限定理] --> B[§4.1 两种收敛性]
    A --> C[§4.2 特征函数]
    A --> D[§4.3 大数定律]
    A --> E[§4.4 中心极限定理]

    B --> B1[几乎处处收敛 a.s.]
    B --> B2[依概率收敛 P]
    B --> B3[依分布收敛 L]
    B --> B4[收敛关系链]

    C --> C1[特征函数定义与性质]
    C --> C2[逆转公式与唯一性]
    C --> C3[Levy连续性定理]

    D --> D1[马尔科夫LLN]
    D --> D2[切比雪夫LLN]
    D --> D3[伯努利LLN]
    D --> D4[辛钦LLN]
    D --> D5[柯尔莫哥洛夫SLLN]

    E --> E1[林德伯格列维CLT]
    E --> E2[棣莫弗拉普拉斯CLT]
    E --> E3[正态近似与连续性修正]
    E --> E4[林德伯格条件]
    E --> E5[李雅普诺夫CLT]
    E --> E6[Delta方法]

    B --> C
    C --> D
    C --> E
    D --> E

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二、核心知识点与公式汇总

§4.1 随机变量序列的两种收敛性

本节建立随机变量序列极限理论的语言基础。几乎处处收敛、依概率收敛和依分布收敛是三种由强到弱的收敛方式，它们在极限定理中各有不同的应用场景。

编号	类型	名称	内容
4.1.1	定义	几乎处处收敛	$P(\lim X_n=X)=1$，即除零测集外逐点收敛
4.1.2	定义	依概率收敛	${\lim }_{n\to \infty }P(|X_n-X|\ge \epsilon )=0$，$\forall \epsilon >0$
4.1.3	定义	依分布收敛	在 $F$ 的连续点上 ${\lim }_{n\to \infty }{F}_n(x)=F(x)$

编号	类型	名称	内容
4.1.T1	定理	P收敛的运算性质	$X_n\stackrel{P}{\to }X$ 且 $Y_n\stackrel{P}{\to }Y$ $\Rightarrow$ $X_n\pm Y_n\stackrel{P}{\to }X\pm Y$，$X_n{Y}_n\stackrel{P}{\to }XY$，$X_n/Y_n\stackrel{P}{\to }X/Y$（$Y\ne 0$）
4.1.T2	定理	P收敛蕴含L收敛	$X_n\stackrel{P}{\to }X\Rightarrow X_n\stackrel{L}{\to }X$
4.1.T3	定理	常数极限下等价	$X_n\stackrel{P}{\to }c\iff X_n\stackrel{L}{\to }c$（$c$ 为常数）

核心公式：

$$X_n\stackrel{\text{a.s.}}{\to }X⟹X_n\stackrel{P}{\to }X⟹X_n\stackrel{L}{\to }X\underset{n\to \infty }{\lim }P(|X_n-X|\ge \epsilon )=0\text{（依概率收敛）}\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x)=F(x)\text{（在 F 的连续点上，依分布收敛）}$$

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§4.2 特征函数

特征函数 $\phi (t)=E(e^{itX})$ 是连接概率分布与函数分析的桥梁。它永远存在、与分布一一对应（唯一性定理），且将独立随机变量和的分布问题转化为特征函数的乘法问题。Levy连续性定理是证明中心极限定理的核心工具。

编号	类型	名称	内容
4.2.1	定义	特征函数	$\phi (t)=E(e^{itX})$，对所有 $t\in \mathbb{R}$ 有定义
4.2.2	定义	离散型特征函数	$\phi (t)={\sum }_k{e}^{it{x}_k}{p}_k$
4.2.3	定义	连续型特征函数	$\phi (t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{itx}p(x)dx$

编号	类型	名称	内容
4.2.T1	定理	基本性质	有界性 $|\phi (t)|\le 1$；共轭对称 $\phi (-t)=\overline{\phi (t)}$；$\phi (0)=1$；线性变换 ${\phi }_{aX+b}(t)=e^{itb}{\phi }_X(at)$
4.2.T2	定理	独立和乘法	$X$ 与 $Y$ 独立时 ${\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_X(t)\cdot {\phi }_Y(t)$
4.2.T3	定理	特征函数与矩	若 $E(X^k)$ 存在，则 ${\phi }^{(k)}(0)=i^{k}E(X^k)$
4.2.T4	定理	非负定性	${\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=1}^n\phi (t_k-t_j)z_k{\bar{z}}_j\ge 0$，$\forall n,t_1,\dots ,t_n,z_1,\dots ,z_n$
4.2.T5	定理	逆转公式与唯一性	特征函数与分布函数一一对应；由 $\phi (t)$ 可唯一恢复 $F(x)$
4.2.T6	定理	Levy连续性定理	$\{F_n\}$ 依分布收敛于 $F$ $\iff$ $\{{\phi }_n\}$ 逐点收敛于 $\phi$ 且 $\phi (t)$ 在 $t=0$ 处连续

核心公式：

$$\phi (t)=E(e^{itX}),|\phi (t)|\le 1,\phi (0)=1{\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_X(t)\cdot {\phi }_Y(t)\text{（独立时）}E(X)=\frac{{\phi }^{\prime }(0)}{i},\text{Var}(X)=-{\phi }^{\prime \prime }(0)+[{\phi }^{\prime }(0){]}^2$$

常用分布的特征函数表：

分布	特征函数
$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$e^{i\mu t-{\sigma }^2{t}^2/2}$
$P(\lambda )$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
$b(n,p)$	$[(1-p)+p{e}^{it}{]}^n$
$\text{Exp}(\lambda )$	$(1-it/\lambda {)}^{-1}$
$U(a,b)$	$(e^{itb}-e^{ita})/[it(b-a)]$

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§4.3 大数定律

大数定律回答的核心问题是：大量独立随机变量的均值是否会稳定在某个确定值附近？从马尔科夫大数定律（最一般）到柯尔莫哥洛夫强大数定律（最强），大数定律体系为”频率稳定于概率”提供了严格的数学证明，也为统计推断中相合估计的概念奠定了理论基础。

编号	类型	名称	内容
4.3.1	定义	相合估计	${\hat{\theta }}_n\stackrel{P}{\to }\theta$，即估计量依概率收敛到真实参数

编号	类型	名称	内容
4.3.T1	定理	马尔科夫LLN	$\frac{1}{n^2}\text{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)\to 0$ $\Rightarrow$ ${\bar{X}}_n-{\bar{\mu }}_n\stackrel{P}{\to }0$
4.3.T2	定理	切比雪夫LLN	$X_1,X_2,\dots$ 独立，方差一致有界 $\Rightarrow$ ${\bar{X}}_n-{\bar{\mu }}_n\stackrel{P}{\to }0$
4.3.T3	定理	伯努利LLN	$S_n\sim b(n,p)$ 时，$S_n/n\stackrel{P}{\to }p$（频率稳定于概率）
4.3.T4	定理	辛钦LLN	$X_1,X_2,\dots$ i.i.d.，$E(X_1)=\mu$ 存在 $\Rightarrow$ ${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu$
4.3.T5	定理	柯尔莫哥洛夫SLLN	$X_1,X_2,\dots$ i.i.d.，$E(X_1)=\mu$ 存在 $\Rightarrow$ ${\bar{X}}_n\stackrel{\text{a.s.}}{\to }\mu$

大数定律对比表：

定理	条件	结论	特点
马尔科夫	$\frac{1}{n^2}\text{Var}\left(\sum X_i\right)\to 0$	${\bar{X}}_n-{\bar{\mu }}_n\stackrel{P}{\to }0$	最一般，允许不同分布不同期望
切比雪夫	独立 + 方差一致有界	${\bar{X}}_n-{\bar{\mu }}_n\stackrel{P}{\to }0$	马尔科夫的推论
伯努利	二项分布 $b(n,p)$	$S_n/n\stackrel{P}{\to }p$	辛钦的特例
辛钦	i.i.d. + 期望存在	${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu$	不要求方差存在
柯尔莫哥洛夫	i.i.d. + 期望存在	${\bar{X}}_n\stackrel{\text{a.s.}}{\to }\mu$	最强结论，几乎处处收敛

核心公式：

$${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\mu \text{（辛钦大数定律）}P\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\mu \right)=1\text{（柯尔莫哥洛夫强大数定律）}$$

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§4.4 中心极限定理

中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它揭示了大量独立随机因素叠加的结果趋近正态分布这一深刻事实。从i.i.d.情形的林德伯格-列维CLT到独立不同分布的林德伯格CLT和李雅普诺夫CLT，CLT体系完整回答了”标准化和的极限分布是什么”这一核心问题。Delta方法则将CLT的应用范围扩展到统计量的光滑函数。

编号	类型	名称	内容
4.4.1	条件	林德伯格条件	$\dfrac{1}{B_n^2}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} E!\left[(X_i - \mu_i)^2 \cdot \mathbf{1}_{{
4.4.2	条件	李雅普诺夫条件	$\dfrac{1}{B_n^{2+\delta}}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} E

编号	类型	名称	内容
4.4.T1	定理	林德伯格-列维CLT	$X_1,X_2,\dots$ i.i.d.，$E(X_1)=\mu$，$\text{Var}(X_1)={\sigma }^2\in (0,+\infty )$ $\Rightarrow$ $\frac{\sum X_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{L}{\to }N(0,1)$
4.4.T2	定理	棣莫弗-拉普拉斯CLT	$S_n\sim b(n,p)$ 时，$\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\stackrel{L}{\to }N(0,1)$
4.4.T3	定理	林德伯格CLT	$X_1,X_2,\dots$ 独立，满足林德伯格条件 $\Rightarrow$ $\frac{\sum X_i-\sum {\mu }_i}{B_n}\stackrel{L}{\to }N(0,1)$
4.4.T4	定理	李雅普诺夫CLT	$X_1,X_2,\dots$ 独立，满足李雅普诺夫条件 $\Rightarrow$ $\frac{\sum X_i-\sum {\mu }_i}{B_n}\stackrel{L}{\to }N(0,1)$
4.4.T5	定理	Delta方法	$\sqrt{n}(g({\bar{X}}_n)-g(\mu ))\stackrel{d}{\to }N(0,[g^{\prime }(\mu ){]}^2{\sigma }^2)$，$g^{\prime }(\mu )\ne 0$

核心公式：

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{L}{\to }N(0,1)\text{（林德伯格-列维CLT）}\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\stackrel{L}{\to }N(0,1)\text{（棣莫弗-拉普拉斯CLT）}P(S_n=k)\approx \Phi \left(\frac{k+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi \left(\frac{k-0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)\text{（连续性修正）}\sqrt{n}(g({\bar{X}}_n)-g(\mu ))\stackrel{d}{\to }N(0,[g^{\prime }(\mu ){]}^2{\sigma }^2)\text{（Delta方法）}n(g({\bar{X}}_n)-g(\mu ))\stackrel{d}{\to }\frac{{\sigma }^2{g}^{\prime \prime }(\mu )}{2}{\chi }_1^2\text{（二阶Delta方法，g′(μ)=0 时）}$$

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三、章节学习脉络

§4.1 随机变量序列的两种收敛性

从确定性极限到随机极限，本节建立了分析随机变量序列极限行为的三种语言。三种收敛性由强到弱构成关系链：a.s.收敛→P收敛→L收敛。几乎处处收敛最强但最难验证，它要求除零测集外逐点收敛，在实际问题中往往难以直接检验。依概率收敛是实际最常用的收敛类型，它只要求偏差超过任意阈值的概率趋于零，大数定律的结论正是以P收敛的形式表述。依分布收敛最弱但恰好是CLT需要的收敛类型——CLT关心的是标准化和的”分布形状”趋近标准正态，而非随机变量本身趋近某个确定值。

定理4.1.2建立了P收敛蕴含L收敛的单向关系，这保证了在P收敛条件下L收敛自动成立。定理4.1.3则指出收敛目标是常数时P收敛与L收敛等价——这一结论在CLT的证明中有关键作用，因为CLT中标准化和的极限是常数0（在P收敛意义下），从而可以等价地在L收敛意义下讨论。收敛关系链是理解全章的基础框架。

§4.2 特征函数

特征函数是全章的技术核心，也是概率论中最重要的分析工具之一。它将分布函数的卷积运算转化为特征函数的乘法运算，使得独立和的分布问题变得可解——这一转化是CLT证明的关键步骤。特征函数的基本性质（有界性、共轭对称性、$\phi (0)=1$）保证了它具有良好的分析性质。特征函数与矩的关系 ${\phi }^{(k)}(0)=i^{k}E(X^k)$ 提供了从特征函数提取矩信息的直接途径。

唯一性定理（定理4.2.5）保证了特征函数与分布函数的一一对应，这是特征函数方法有效性的根基——只要证明了两个特征函数相等，就等价于证明了两个分布相同。Levy连续性定理（定理4.2.6）则建立了”特征函数逐点收敛到连续函数”与”分布函数依分布收敛”的等价关系——这是证明CLT的关键工具。CLT的证明思路可以概括为三步：先求标准化和的特征函数，再证明它逐点收敛到 $e^{-t^2/2}$（标准正态的特征函数），最后由Levy连续性定理得出依分布收敛的结论。

§4.3 大数定律

大数定律回答”均值是否稳定”这一核心问题。五大定律构成一个完整的体系，从不同条件出发、以不同强度的收敛形式，共同论证了”大量随机变量的均值趋于稳定”这一深刻结论。马尔科夫LLN最一般，它只要求标准化后的方差和趋于零，允许随机变量有不同的分布和不同的期望。切比雪夫LLN是马尔科夫的推论，增加了”独立”和”方差一致有界”两个条件。伯努利LLN是切比雪夫的特例，专门处理二项分布，给出了”频率稳定于概率”的严格数学表述。

辛钦LLN从另一方向出发，它不要求方差存在（比切比雪夫更弱），但要求i.i.d.（比切比雪夫更强）。特别值得注意的是，辛钦LLN的条件”期望存在”确实比”方差有限”更弱——存在期望但方差无限的分布（如参数 $\alpha \in (1,2]$ 的Pareto分布）满足辛钦但不满足切比雪夫。柯尔莫哥洛夫SLLN将辛钦的结论从P收敛加强到a.s.收敛，这是大数定律体系中最强的结论。相合估计作为大数定律在统计学中的直接应用，是参数估计理论的基础概念——一个好的估计量至少应该是相合的。

§4.4 中心极限定理

中心极限定理回答”波动服从什么分布”这一核心问题。CLT是概率论最重要的定理，其核心结论是：大量独立随机因素的标准化和趋近标准正态分布。这一结论解释了为什么正态分布在自然界中如此普遍——任何大量独立微小因素叠加的结果都近似正态。林德伯格-列维CLT（定理4.4.T1）是基础版本，要求i.i.d.和有限方差。棣莫弗-拉普拉斯CLT（定理4.4.T2）是其二项分布特例，是正态近似二项分布的理论基础。

正态近似与连续性修正是CLT在实际计算中的直接应用。连续性修正通过将离散概率 $P(S_n=k)$ 转化为连续区间上的积分 $P(k-0.5<S_n<k+0.5)$，显著提高了正态近似的精度。林德伯格条件（条件4.4.1）将CLT推广到独立不同分布情形，其本质要求是：每个随机变量对总方差的贡献都不能太大（没有单个变量”主导”）。李雅普诺夫条件（条件4.4.2）是更易验证的充分条件，通过要求 $(2+\delta )$ 阶矩的存在来保证林德伯格条件成立。Delta方法（定理4.4.T5）利用Taylor展开，将CLT的结论扩展到统计量的光滑函数 $g({\bar{X}}_n)$，是渐近统计推断（如MLE的渐近正态性）的核心工具。

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四、补充理解与跨章展望

全章核心思想

本章的核心思想可以概括为三个层次：

1. 三层结构：收敛性（§4.1）是语言基础→特征函数（§4.2）是技术工具→大数定律（§4.3）和CLT（§4.4）是核心结论。没有收敛性的语言就无法精确描述极限行为，没有特征函数的工具就无法证明极限定理
2. 标准化思想的贯穿：LLN和CLT都对随机变量和做标准化处理——LLN中 ${\bar{X}}_n-\mu$ 标准化后趋于0（均值稳定），CLT中 $(\sum X_i-n\mu )/(\sigma \sqrt{n})$ 标准化后趋于 $N(0,1)$（波动有结构）。两者互补，不可替代
3. 从特殊到一般：i.i.d.→独立不同分布（辛钦→马尔科夫，林德伯格-列维→林德伯格），弱大数→强大数（辛钦→柯尔莫哥洛夫），P收敛→L收敛（LLN→CLT）。全章呈现从简单到复杂、从特殊到一般的递进结构

跨章关联表

关联方向	章节	关联内容
前置	第二章 随机变量及其分布	方差有限性→LLN和CLT的共同前提；常用分布→CLT的应用对象
前置	第三章 多维随机变量及其分布	独立性→CLT的i.i.d.前提；协方差→方差展开 $\text{Var}(\sum X_i)=\sum \text{Var}(X_i)$
工具	§4.1 两种收敛性	依分布收敛是CLT的收敛类型；P收敛蕴含L收敛是CLT证明中的关键步骤
工具	§4.2 特征函数	Levy连续性定理是CLT证明的核心工具；唯一性定理保证特征函数方法的可靠性
后续	第五章 抽样分布	CLT→样本均值近似正态，是统计推断的理论基础
后续	第六章 参数估计	Delta方法→MLE渐近正态性；相合估计→LLN的直接应用
后续	第七章 假设检验	CLT→大样本检验的理论依据

全章学习建议

1. 收敛关系链是骨架：a.s.→P→L的关系链贯穿全章，理解三种收敛的区别和联系是学习极限定理的第一步。特别注意：反向一般不成立（L收敛不能推出P收敛），但收敛目标是常数时P收敛与L收敛等价
2. 特征函数是关键工具：CLT的证明完全依赖特征函数方法。理解”为什么特征函数能证明CLT”比记忆证明细节更重要——核心在于特征函数将卷积变为乘法，将极限分布问题变为逐点收敛问题
3. LLN与CLT的对比：LLN说均值稳定（收敛到常数），CLT说波动有结构（收敛到正态分布）。两者互补，不可替代。LLN回答”收敛到哪里”，CLT回答”以什么速率、什么分布收敛”

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五、全章复习题

§4.1 复习题

复习题 1 — 收敛关系辨析

判断以下命题是否正确，并说明理由： (1) 若 $X_n\stackrel{L}{\to }X$，则 $X_n\stackrel{P}{\to }X$； (2) 若 $X_n\stackrel{P}{\to }c$（$c$ 为常数），则 $X_n\stackrel{L}{\to }c$； (3) 若 $X_n\stackrel{P}{\to }X$ 且 $Y_n\stackrel{P}{\to }Y$，则 $X_n+Y_n\stackrel{P}{\to }X+Y$。

查看解答

(1) ❌ 依分布收敛不能推出依概率收敛。反例：设 $X\sim N(0,1)$，$X_n=-X$，则 $X_n\stackrel{L}{\to }X$（因为 $X_n$ 与 $X$ 同分布），但

$$P(|X_n-X|\ge 1)=P(|-2X|\ge 1)=2[1-\Phi (0.5)]>0$$

不趋于0，因此 $X_n/\stackrel{P}{\to }X$。

(2) ✅ 定理4.1.3：收敛目标是常数时，P收敛与L收敛等价。

(3) ✅ 定理4.1.1：P收敛保持加法运算。由 $\epsilon$-分解法可证。

$\square$

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复习题 2 — 依分布收敛的判别

设 $X_n\sim N(0,1/n)$，证明 $X_n\stackrel{P}{\to }0$，并由此推出 $X_n\stackrel{L}{\to }0$。

查看解答

$E(X_n)=0$，$\text{Var}(X_n)=1/n$。

由切比雪夫不等式：

$$P(|X_n-0|\ge \epsilon )\le \frac{\text{Var}(X_n)}{{\epsilon }^2}=\frac{1}{n{\epsilon }^2}\to 0(n\to \infty )$$

因此 $X_n\stackrel{P}{\to }0$。

由定理4.1.2（P收敛蕴含L收敛），$X_n\stackrel{L}{\to }0$。

$\square$

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§4.2 复习题

复习题 3 — 特征函数与分布判别

设 $X$ 的特征函数为 $\phi (t)=\frac{1}{1-3it}$。（1）求 $E(X)$ 和 $\text{Var}(X)$；（2）指出 $X$ 服从的分布。

查看解答

(1) 求期望和方差

$${\phi }^{\prime }(t)=\frac{3i}{(1-3it{)}^2},{\phi }^{\prime \prime }(t)=\frac{-18}{(1-3it{)}^3}E(X)=\frac{{\phi }^{\prime }(0)}{i}=\frac{3i}{i}=3E(X^2)=\frac{{\phi }^{\prime \prime }(0)}{i^2}=\frac{-18}{-1}=18\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=18-9=9$$

(2) 判别分布

$\text{Exp}(\lambda )$ 的特征函数标准形式为 $(1-it/\lambda {)}^{-1}$。比较：

$$\frac{1}{1-3it}={\left(1-\frac{it}{1/3}\right)}^{-1}$$

因此 $\lambda =1/3$，$X\sim \text{Exp}(1/3)$。

验证：$E(X)=1/\lambda =3$ ✓，$\text{Var}(X)=1/{\lambda }^2=9$ ✓。

$\square$

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复习题 4 — Levy连续性定理

设 $X_n$ 的特征函数为 ${\phi }_n(t)={\left(\frac{1}{1+t^2/n}\right)}^n$。求 $X_n$ 的极限分布。

查看解答

$${\phi }_n(t)={\left(1+\frac{t^2}{n}\right)}^{-n}\to e^{-t^2}(n\to \infty )$$

现在识别 $e^{-t^2}$ 对应的分布。$N(0,{\sigma }^2)$ 的特征函数为 $e^{-{\sigma }^2{t}^2/2}$，令

$$\frac{{\sigma }^2}{2}=1⟹{\sigma }^2=2$$

因此 $e^{-t^2}$ 是 $N(0,2)$ 的特征函数。

验证Levy连续性定理的条件：$\phi (t)=e^{-t^2}$ 在 $t=0$ 处连续（$\phi (0)=1$）✓。

由Levy连续性定理，$X_n\stackrel{L}{\to }N(0,2)$。

$\square$

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§4.3 复习题

复习题 5 — 大数定律条件辨析

设 $\{X_n\}$ i.i.d.，$E(X_1)=\mu$ 存在但 $E(X_1^2)=+\infty$（方差不存在）。问：能否用切比雪夫大数定律得出 ${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu$？能否用辛钦大数定律得出？

查看解答

切比雪夫大数定律要求方差一致有界（$\text{Var}(X_i)\le c$），而本题方差不存在（$E(X_1^2)=+\infty$），因此不能用切比雪夫大数定律。

辛钦大数定律只要求i.i.d.且期望存在（$E|X_1|<+\infty$），不要求方差存在。本题满足辛钦的条件，因此可以用辛钦大数定律得出 ${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu$。

这一对比说明辛钦LLN的条件比切比雪夫LLN更弱（不要求方差），但代价是要求i.i.d.（切比雪夫允许不同分布）。两者各有适用场景，不可互相完全替代。

$\square$

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复习题 6 — 相合性证明

设 $X_1,\dots ,X_n$ i.i.d.，$E(X_1)=\mu$，$\text{Var}(X_1)={\sigma }^2$。证明样本二阶矩 $M_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 是 $E(X^2)={\mu }^2+{\sigma }^2$ 的相合估计。

查看解答

令 $Y_i=X_i^2$，则 $M_2={\bar{Y}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i$。

由于 $E(Y_1)=E(X_1^2)={\mu }^2+{\sigma }^2<+\infty$（有限），且 $Y_1,Y_2,\dots$ 仍为i.i.d.序列。

由辛钦大数定律（$Y_i$ i.i.d.且期望有限）：

$${\bar{Y}}_n=M_2\stackrel{P}{\to }E(Y_1)={\mu }^2+{\sigma }^2$$

因此 $M_2$ 是 $E(X^2)$ 的相合估计。

推广：同理可证，样本 $k$ 阶矩 $M_k=\frac{1}{n}\sum X_i^k$ 是 $E(X^k)$ 的相合估计（只要 $E|X{|}^k<+\infty$）。

$\square$

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§4.4 复习题

复习题 7 — CLT正态近似计算

某产品合格率为 $p=0.8$。现随机抽取 $n=400$ 件，用正态近似（含连续性修正）求合格品数在 $310$ 到 $330$ 之间的概率。

查看解答

设 $S_n\sim b(400,0.8)$，则

$$np=320,npq=400\times 0.8\times 0.2=64,\sqrt{npq}=8$$

含连续性修正：

$$P(310\le S_n\le 330)=P(309.5<S_n<330.5)=\Phi \left(\frac{330.5-320}{8}\right)-\Phi \left(\frac{309.5-320}{8}\right)=\Phi (1.3125)-\Phi (-1.3125)=2\Phi (1.3125)-1\approx 2\times 0.9057-1=0.8114$$

因此合格品数在310到330之间的概率约为 0.8114。

$\square$

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复习题 8 — Delta方法应用

设 $X_1,\dots ,X_n$ i.i.d.，$E(X_1)=1$，$\text{Var}(X_1)=4$。利用Delta方法求 $\sqrt{n}({\bar{X}}_n^2-1)$ 的极限分布。

查看解答

由CLT：

$$\sqrt{n}({\bar{X}}_n-1)\stackrel{d}{\to }N(0,4)$$

令 $g(x)=x^2$，则 $g^{\prime }(x)=2x$，$g^{\prime }(1)=2\ne 0$。

由Delta方法：

$$\sqrt{n}(g({\bar{X}}_n)-g(1))=\sqrt{n}({\bar{X}}_n^2-1)\stackrel{d}{\to }N(0,[g^{\prime }(1){]}^2\cdot 4)=N(0,4\times 4)=N(0,16)$$

因此 $\sqrt{n}({\bar{X}}_n^2-1)\stackrel{d}{\to }N(0,16)$。

$\square$

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六、各节笔记索引

节号	节标题	核心主题	定义数	定理数	误区数	习题数
4.1	4.1 随机变量序列的两种收敛性	a.s.收敛、P收敛、L收敛	3	3	3	10
4.2	4.2 特征函数	定义、性质、唯一性、Levy定理	3	5	3	10
4.3	4.3 大数定律	五大定律 + 相合估计	1	5	3	10
4.4	4.4 中心极限定理	CLT体系 + Delta方法	2	5	5	10
合计			9	18	14	40

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第四章 随机变量序列的极限定理/章节汇总