2.3 方差与标准差

本节概览

本节介绍随机变量第二个最重要的数字特征——方差。方差度量随机变量取值偏离其期望的平均程度，是刻画分布”分散程度”的最基本工具。本节从”期望相同但分布不同”的问题出发，建立方差的严格定义，推导简化计算公式，讨论方差的性质（线性变换、非负性），证明切比雪夫不等式及其应用。

逻辑链条：期望的局限性（不能度量分散程度）→ 方差的定义（偏差平方的期望）→ 简化公式 Var(X)=E(X²)-(EX)² → 方差的性质（线性变换、非负性）→ 切比雪夫不等式 → 应用实例（投资决策）

前置依赖：§2.2（数学期望的定义、性质、LOTUS法则）、§2.1（分布函数、密度函数）

核心主线：方差 $\text{Var}(X)=E[(X-E(X){)}^2]$ 度量分散程度。最常用的计算公式是 $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。方差的线性变换性质 $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$（注意：平移不影响方差，缩放使方差乘以 $a^2$）。切比雪夫不等式 $P(|X-EX|\ge \epsilon )\le \text{Var}(X)/{\epsilon }^2$ 是概率论最重要的不等式之一。

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一、方差的引入

为什么需要方差

在 §2.2 中，我们学习了数学期望——随机变量的”平均取值”。期望是刻画分布中心位置的最基本数字特征。然而，仅凭期望一个数字，我们无法完整描述一个随机变量的分布特征。

考虑以下两个随机变量：

• $X$ 的分布律为：$P(X=-1)=\frac{1}{3}$，$P(X=0)=\frac{1}{3}$，$P(X=1)=\frac{1}{3}$
• $Y$ 的分布律为：$P(Y=-10)=\frac{1}{3}$，$P(Y=0)=\frac{1}{3}$，$P(Y=10)=\frac{1}{3}$

分别计算它们的期望：

$$E(X)=(-1)\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}=0E(Y)=(-10)\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}+10\times \frac{1}{3}=0$$

两者的期望完全相同，都是 $0$。但是从直观上看，$Y$ 的取值范围远大于 $X$——$Y$ 在 $-10$ 到 $10$ 之间波动，而 $X$ 只在 $-1$ 到 $1$ 之间波动。$Y$ 的分布明显比 $X$ 更”分散”。

这说明：期望只能告诉我们随机变量的”中心在哪里”，却无法告诉我们”数据围绕中心有多分散”。我们需要一个新的数字特征来度量这种分散程度。

如何度量分散程度

要度量分散程度，一个自然的想法是：计算随机变量 $X$ 与其期望 $E(X)$ 之间的”偏差”，然后取某种平均。

偏差定义为：

$$\text{偏差}=X-E(X)$$

但直接取偏差的期望会得到 $0$：

$$E[X-E(X)]=E(X)-E(X)=0$$

这是因为正偏差和负偏差会相互抵消。因此，我们需要对偏差做某种处理来消除符号的影响。有两个候选方案：

方案一：取偏差绝对值的期望

$$E|X-E(X)|$$

方案二：取偏差平方的期望

$$E[(X-E(X){)}^2]$$

方案一（绝对值）的优点是直观，与原始数据同量纲。但它的数学性质不好——绝对值函数 $|t|$ 在 $t=0$ 处不可微，导致在理论推导中难以处理。

方案二（平方）虽然改变了量纲，但数学性质优良——$t^2$ 处处可微，且可以利用期望的线性性进行展开和分解。因此，概率论中选择方案二作为分散程度的度量，这就是方差。

选择平方而非绝对值的原因

1. 可微性：$t^2$ 处处可微，$|t|$ 在 $t=0$ 不可微，不利于理论推导
2. 可分解性：利用期望的线性性，$(X-EX{)}^2$ 可以展开为 $X^2-2X\cdot EX+(EX{)}^2$，进而得到简化计算公式
3. 与二阶矩的联系：方差与二阶矩 $E(X^2)$ 有简洁的关系，便于计算
4. 历史传统：自 Gauss 以来，最小二乘法一直是统计学的基础方法

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二、方差的定义

方差的严格定义

定义 2.3.1 — 方差

设 $X$ 是一个随机变量，若 $E[(X-E(X){)}^2]$ 存在，则称其为 $X$ 的方差，记作

$$\text{Var}(X)=E[(X-E(X){)}^2]$$

方差的平方根 $\sigma (X)=\sqrt{\text{Var}(X)}$ 称为 $X$ 的标准差。

对于离散型随机变量，若 $X$ 的分布律为 $P(X=x_i)=p(x_i)$，$i=1,2,\dots$，则：

$$\text{Var}(X)=\sum _{i=1}^{\infty }[x_i-E(X){]}^2\cdot p(x_i)$$

对于连续型随机变量，若 $X$ 的密度函数为 $p(x)$，则：

$$\text{Var}(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x-E(X){]}^2\cdot p(x)dx$$

标准差

定义 2.3.2 — 标准差

方差的正平方根称为标准差，记作

$$\sigma (X)=\sqrt{\text{Var}(X)}$$

标准差与方差的关系：

• 方差 $\text{Var}(X)$ 的单位是 $X$ 单位的平方
• 标准差 $\sigma (X)$ 的单位与 $X$ 相同
• 在解释实际问题时，标准差更直观（例如”平均偏差约 3.92 万元”比”方差为 15.4 万元²”更易理解）
• 在数学推导中，方差更方便（避免频繁出现根号）

方差存在的前提

方差存在的条件

方差 $\text{Var}(X)=E[(X-EX{)}^2]$ 存在的前提是 $E(X^2)$ 存在。

这是因为：

$$\text{Var}(X)=E[(X-EX{)}^2]=E(X^2)-[E(X){]}^2\le E(X^2)+[E(X){]}^2$$

更准确地说，$E(X^2)$ 存在 $\Rightarrow$ $\text{Var}(X)$ 存在，因为：

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

其中 $E(X^2)$ 存在保证了 $E(X)$ 也存在（因为 $|x|\le x^2+1$），所以方差存在。

反之，方差存在也蕴含 $E(X^2)$ 存在，因为：

$$E(X^2)=\text{Var}(X)+[E(X){]}^2$$

因此，方差存在 $\iff$ 二阶矩 $E(X^2)$ 存在。

期望存在不保证方差存在

一个重要的结论是：方差存在 $\Rightarrow$ 期望存在（因为 $|x|\le x^2+1$），但反之不然。

例如，Cauchy 分布的期望不存在，方差自然也不存在。又如，某些分布的期望存在但方差不存在（如 $p(x)\propto 1/x^3$，$|x|\ge 1$）。

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三、方差的简化计算公式

核心公式

性质 2.3.1 — 方差的简化计算公式

若 $E(X^2)$ 存在，则

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

即方差等于二阶矩减去期望的平方。

证明：

$$\begin{array}{rl}\text{Var}(X)& =E[(X-E(X){)}^2]\\ & =E[X^2-2X\cdot E(X)+(E(X){)}^2]\\ & =E(X^2)-2E(X)\cdot E(X)+[E(X){]}^2\text{（利用期望的线性性，注意 }E(X)\text{ 是常数）}\\ & =E(X^2)-2[E(X){]}^2+[E(X){]}^2\\ & =E(X^2)-[E(X){]}^2\end{array}$$

$\square$

证明思路

证明：将 $(X-E(X){)}^2$ 展开，利用期望的线性性逐项求期望。

[展开偏差平方]：$(X-E(X){)}^2=X^2-2X\cdot E(X)+(E(X){)}^2$

[期望的线性性]：$E(X^2-2X\cdot E(X)+(E(X){)}^2)=E(X^2)-2E(X)\cdot E(X)+(E(X){)}^2$

[化简]：合并同类项得到 $E(X^2)-[E(X){]}^2$

$\square$

计算技巧

在实际计算中，我们通常：

1. 先计算 $E(X)$（一阶矩）
2. 再计算 $E(X^2)$（二阶矩）
3. 最后用公式 $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ 得到方差

这比直接计算 $E[(X-E(X){)}^2]$ 更方便，因为后者需要先知道 $E(X)$ 的精确值，然后对每个取值做偏差平方运算。

例题：三个分布的方差比较

例 2.3.1 — 三个分布的方差比较

设 $X$ 分别服从以下三个分布，比较它们的方差大小。

分布 A（三角分布）：$P(X=-1)=\frac{1}{6}$，$P(X=0)=\frac{2}{3}$，$P(X=1)=\frac{1}{6}$

分布 B（均匀分布）：$P(X=-1)=\frac{1}{3}$，$P(X=0)=\frac{1}{3}$，$P(X=1)=\frac{1}{3}$

分布 C（倒三角分布）：$P(X=-1)=\frac{1}{2}$，$P(X=0)=0$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$

分布 A 的方差：

$$E(X)=(-1)\times \frac{1}{6}+0\times \frac{2}{3}+1\times \frac{1}{6}=0E(X^2)=(-1{)}^2\times \frac{1}{6}+0^2\times \frac{2}{3}+1^2\times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}+0+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$$

分布 B 的方差：

$$E(X)=(-1)\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}=0E(X^2)=1\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\text{Var}(X)=\frac{2}{3}-0=\frac{2}{3}$$

分布 C 的方差：

$$E(X)=(-1)\times \frac{1}{2}+0\times 0+1\times \frac{1}{2}=0E(X^2)=1\times \frac{1}{2}+0\times 0+1\times \frac{1}{2}=1\text{Var}(X)=1-0=1$$

比较结果：

$$\text{Var}(\text{分布 A})=\frac{1}{3}<\text{Var}(\text{分布 B})=\frac{2}{3}<\text{Var}(\text{分布 C})=1$$

结论

三个分布的期望相同（都是 $0$），但方差不同。概率越集中于中心（期望附近），方差越小。

• 分布 A：概率集中在 $0$（概率 $2/3$），方差最小（$1/3$）
• 分布 B：概率均匀分布，方差居中（$2/3$）
• 分布 C：概率集中在两端（$-1$ 和 $1$），方差最大（$1$）

例题：掷骰子的方差

例 2.3.2 — 掷骰子的方差

设 $X$ 为掷一颗均匀骰子出现的点数，求 $\text{Var}(X)$。

$X$ 的分布律为 $P(X=k)=\frac{1}{6}$，$k=1,2,3,4,5,6$。

第一步：计算期望

$$E(X)=\sum _{k=1}^{6}k\cdot \frac{1}{6}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3.5$$

第二步：计算二阶矩

$$E(X^2)=\sum _{k=1}^6{k}^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$$

第三步：计算方差

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{91}{6}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}\text{Var}(X)=\frac{35}{12}\approx 2.917$$

标准差：

$$\sigma (X)=\sqrt{\frac{35}{12}}\approx 1.708$$

解读

掷骰子的平均点数为 $3.5$，标准差约为 $1.708$。这意味着每次掷骰子，点数偏离平均值大约 $1.7$ 个点。

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四、方差的性质

性质一：常数的方差为零

性质 2.3.2 — 常数的方差

若 $c$ 为常数，则 $\text{Var}(c)=0$。

证明：

$$\begin{array}{rl}\text{Var}(c)& =E[(c-E(c){)}^2]\\ & =E[(c-c{)}^2]\\ & =E(0)\\ & =0\end{array}$$

$\square$

证明思路

证明：常数 $c$ 的期望就是 $c$ 本身，所以偏差 $c-E(c)=c-c=0$，方差的定义直接给出 $\text{Var}(c)=E(0^2)=0$。

[常数无波动]：常数不波动，偏差恒为零。

$\square$

直观理解

常数没有任何随机性，每次取值都相同，所以”分散程度”为零，方差为零。这是合理的。

性质二：线性变换下的方差

性质 2.3.3 — 方差的线性变换性质

若 $\text{Var}(X)$ 存在，$a,b$ 为常数，则

$$\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$$

证明：

$$\begin{array}{rl}\text{Var}(aX+b)& =E[(aX+b-E(aX+b){)}^2]\\ & =E[(aX+b-aE(X)-b{)}^2]\\ & =E[(aX-aE(X){)}^2]\\ & =E[a^2(X-E(X){)}^2]\\ & =a^{2}E[(X-E(X){)}^2]\\ & =a^2\text{Var}(X)\end{array}$$

$\square$

证明思路

证明：利用方差的定义展开，注意 $E(aX+b)=aE(X)+b$（期望的线性性），然后提取公因子 $a^2$。

[期望的线性性]：$E(aX+b)=aE(X)+b$，所以 $aX+b-E(aX+b)=a(X-E(X))$

[提取常数]：$E[a^2(X-EX{)}^2]=a^{2}E[(X-EX{)}^2]=a^2\text{Var}(X)$

$\square$

两个重要推论

1. 平移不改变方差：$\text{Var}(X+b)=\text{Var}(X)$。将所有数据平移一个常数，只是改变了中心位置，分散程度不变。

2. 缩放使方差乘以 $a^2$：$\text{Var}(aX)=a^2\text{Var}(X)$。将数据缩放 $a$ 倍，方差变为原来的 $a^2$ 倍。

特别注意：缩放因子是 $a^2$ 而不是 $a$！如果 $a=-1$，$\text{Var}(-X)=\text{Var}(X)$，取负号不改变方差（因为方差是偏差的平方）。

性质三：方差为零的充要条件

定理 2.3.2 — 方差为零的充要条件

$\text{Var}(X)=0$ 的充要条件是 $X$ 几乎处处为常数，即存在常数 $c$ 使得 $P(X=c)=1$。

证明思路

证明：

充分性（$X$ 为常数 $\Rightarrow$ $\text{Var}(X)=0$）： 若 $P(X=c)=1$，则 $E(X)=c$，$\text{Var}(X)=E[(X-c{)}^2]=(c-c{)}^2\times 1=0$。

必要性（$\text{Var}(X)=0$ $\Rightarrow$ $X$ 几乎处处为常数）： 反证法。若 $\text{Var}(X)=E[(X-EX{)}^2]=0$，但 $X$ 不是几乎处处为常数，则存在 $\epsilon >0$ 使得 $P(|X-EX|\ge \epsilon )>0$。

此时：

$$E[(X-EX{)}^2]\ge E[(X-EX{)}^2\cdot I_{\{|X-EX|\ge \epsilon \}}]\ge {\epsilon }^2\cdot P(|X-EX|\ge \epsilon )>0$$

这与 $\text{Var}(X)=0$ 矛盾。

[反证法]：假设方差为零但 $X$ 不是常数，推导出方差大于零的矛盾。

[指示函数技巧]：利用 $E(Y^2)\ge E(Y^2\cdot I_A)\ge {\epsilon }^{2}P(A)$。

$\square$

"几乎处处"的含义

“几乎处处为常数”意味着 $X$ 以概率 $1$ 取某个固定值 $c$，但允许在概率为零的事件上取其他值。例如，设 $X$ 在 $[0,1]$ 上均匀分布，定义 $Y=0$（当 $x\ne 0.5$），$Y=1$（当 $x=0.5$），则 $P(Y=0)=1$，$Y$ 几乎处处为常数 $0$。

补充性质：方差的最小性

性质 2.3.4 — 方差的最小性

对任意常数 $c$，有

$$E[(X-E(X){)}^2]\le E[(X-c{)}^2]$$

等号成立当且仅当 $c=E(X)$。

证明：

$$\begin{array}{rl}E[(X-c{)}^2]& =E[(X-EX+EX-c{)}^2]\\ & =E[(X-EX{)}^2+2(X-EX)(EX-c)+(EX-c{)}^2]\\ & =E[(X-EX{)}^2]+2(EX-c)\cdot E(X-EX)+(EX-c{)}^2\\ & =\text{Var}(X)+0+(EX-c{)}^2\\ & =\text{Var}(X)+(EX-c{)}^2\end{array}$$

因为 $(EX-c{)}^2\ge 0$，等号成立当且仅当 $c=EX$。

$\square$

证明思路

证明：将 $X-c$ 改写为 $(X-EX)+(EX-c)$，展开平方，利用 $E(X-EX)=0$ 消去交叉项。

[配方法]：$E[(X-c{)}^2]=\text{Var}(X)+(EX-c{)}^2\ge \text{Var}(X)$

[交叉项为零]：$E[(X-EX)(EX-c)]=(EX-c)\cdot E(X-EX)=0$

$\square$

统计学意义

这个性质说明：在所有常数预测中，用期望 $E(X)$ 作为预测值，能使”均方误差”最小。这是最小二乘法的理论基础之一。

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五、切比雪夫不等式

切比雪夫不等式的陈述

定理 2.3.1 — 切比雪夫（Chebyshev）不等式

设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=\mu$ 和方差 $\text{Var}(X)={\sigma }^2$ 都存在，则对任意 $\epsilon >0$，有

$$P(|X-\mu |\ge \epsilon )\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$$

等价地，

$$P(|X-\mu |<\epsilon )\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$$

证明思路

证明（以连续型为例，离散型类似）：

[指示函数法]：

$${\sigma }^2=E[(X-\mu {)}^2]={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-\mu {)}^{2}p(x)dx$$

将积分区域分为两部分：$|x-\mu |\ge \epsilon$ 和 $|x-\mu |<\epsilon$：

$${\sigma }^2={\int }_{|x-\mu |\ge \epsilon }(x-\mu {)}^{2}p(x)dx+{\int }_{|x-\mu |<\epsilon }(x-\mu {)}^{2}p(x)dx$$

第二个积分非负（被积函数非负），所以：

$${\sigma }^2\ge {\int }_{|x-\mu |\ge \epsilon }(x-\mu {)}^{2}p(x)dx$$

在积分区域 $|x-\mu |\ge \epsilon$ 上，$(x-\mu {)}^2\ge {\epsilon }^2$，所以：

$${\sigma }^2\ge {\int }_{|x-\mu |\ge \epsilon }{\epsilon }^2\cdot p(x)dx={\epsilon }^2\cdot P(|X-\mu |\ge \epsilon )$$

两边除以 ${\epsilon }^2$：

$$P(|X-\mu |\ge \epsilon )\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$$

[放缩关键]：在 $|x-\mu |\ge \epsilon$ 的区域上，$(x-\mu {)}^2\ge {\epsilon }^2$，用 ${\epsilon }^2$ 替换 $(x-\mu {)}^2$ 进行放缩。

$\square$

直观理解

切比雪夫不等式告诉我们：

1. 方差越大，偏离期望的概率上界越大——数据越分散，远离中心的概率越大
2. $\epsilon$ 越大（允许的偏差范围越大），概率上界越小——这是合理的
3. 不依赖分布形式：无论 $X$ 服从什么分布，只要知道 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$，就能给出概率估计

直观例子

设 $E(X)=0$，$\text{Var}(X)=4$（即 $\sigma =2$）。

取 $\epsilon =4$：

$$P(|X|\ge 4)\le \frac{4}{16}=0.25$$

即 $X$ 偏离期望超过 $4$ 个单位的概率不超过 $25\%$。

取 $\epsilon =2$：

$$P(|X|\ge 2)\le \frac{4}{4}=1$$

这个估计太粗糙了（概率当然不超过 $1$），说明 $\epsilon$ 太小时不等式没有实际意义。

取 $\epsilon =6$：

$$P(|X|\ge 6)\le \frac{4}{36}\approx 0.111$$

即 $X$ 偏离期望超过 $6$ 个单位的概率不超过 $11.1\%$。

例题：应用切比雪夫不等式

例 2.3.4 — 切比雪夫不等式估计概率下界

某城市居民年收入 $X$（万元）的期望 $\mu =7.3\times 10^4$（即 $7.3$ 万元），标准差 $\sigma =0.7\times 10^4$（即 $0.7$ 万元）。估计年收入在 $(7.3-1.4)\times 10^4$ 到 $(7.3+1.4)\times 10^4$ 之间的概率下界。

分析：

$\epsilon =1.4\times 10^4$，${\sigma }^2=(0.7\times 10^4{)}^2=0.49\times 10^8$

由切比雪夫不等式：

$$P(|X-\mu |<\epsilon )\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}=1-\frac{0.49\times 10^8}{(1.4\times 10^4{)}^2}=1-\frac{0.49}{1.96}=1-0.25=0.75$$

结论：年收入在 $5.9$ 万元到 $8.7$ 万元之间的概率至少为 $75\%$。

切比雪夫不等式的意义与局限

意义：

• 不依赖分布的具体形式，仅用期望和方差就能给出概率估计
• 是大数定律和中心极限定理等深刻结果的基础
• 在无法确定分布类型时，提供了一种”保守估计”

局限性：

• 估计通常非常粗糙，远不如精确计算
• 当 $\epsilon$ 较小时，上界可能超过 $1$，没有实际意义
• 对于已知分布的随机变量，应直接计算精确概率

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六、投资决策应用

例题：房地产 vs 商业投资

例 2.3.3 — 投资决策

某投资者面临两个投资方案，其收益 $X$（万元）的分布如下：

方案 A（房地产）：

收益 $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$P(X=x_i)$	0.05	0.10	0.15	0.20	0.20	0.15	0.10	0.03	0.02

方案 B（商业）：

收益 $y_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$P(Y=y_i)$	0	0.05	0.15	0.25	0.30	0.15	0.08	0.02	0

方案 A 的计算：

$$E(X)=1\times 0.05+2\times 0.10+3\times 0.15+4\times 0.20+5\times 0.20+6\times 0.15+7\times 0.10+8\times 0.03+9\times 0.02=0.05+0.20+0.45+0.80+1.00+0.90+0.70+0.24+0.18=4.52E(X^2)=1\times 0.05+4\times 0.10+9\times 0.15+16\times 0.20+25\times 0.20+36\times 0.15+49\times 0.10+64\times 0.03+81\times 0.02=0.05+0.40+1.35+3.20+5.00+5.40+4.90+1.92+1.62=23.84\text{Var}(X)=23.84-4.52^2=23.84-20.4304=3.4096\sigma (X)=\sqrt{3.4096}\approx 1.846$$

方案 B 的计算：

$$E(Y)=2\times 0.05+3\times 0.15+4\times 0.25+5\times 0.30+6\times 0.15+7\times 0.08+8\times 0.02=0.10+0.45+1.00+1.50+0.90+0.56+0.16=4.67E(Y^2)=4\times 0.05+9\times 0.15+16\times 0.25+25\times 0.30+36\times 0.15+49\times 0.08+64\times 0.02=0.20+1.35+4.00+7.50+5.40+3.92+1.28=23.65\text{Var}(Y)=23.65-4.67^2=23.65-21.8089=1.8411\sigma (Y)=\sqrt{1.8411}\approx 1.357$$

比较与决策：

指标	方案 A（房地产）	方案 B（商业）
期望收益 $E$	4.52 万元	4.67 万元
方差 $\text{Var}$	3.4096	1.8411
标准差 $\sigma$	1.846 万元	1.357 万元

分析结论

• 方案 B 的期望收益略高（$4.67>4.52$）
• 方案 B 的方差和标准差都明显更小（$\text{Var}(B)\approx 1.84<\text{Var}(A)\approx 3.41$）
• 方案 B 在收益和风险两个维度上都优于方案 A
• 商业投资的风险（用方差/标准差度量）远小于房地产投资
• 综合权衡，应选择方案 B（商业投资）

方差作为风险度量

在金融和投资决策中，方差（或标准差）是最常用的风险度量：

• 方差大 → 收益波动大 → 风险高
• 方差小 → 收益波动小 → 风险低
• 投资者通常需要在”高收益”和”低风险”之间做出权衡
• 这就是金融学中”均值-方差分析”（Markowitz 投资组合理论）的基础

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七、知识结构总览

graph TD
    A[方差与标准差] --> B[引入动机]
    A --> C[方差定义]
    A --> D[简化公式]
    A --> E[方差性质]
    A --> F[切比雪夫不等式]
    A --> G[应用实例]

    B --> B1[期望不能度量分散程度]

    C --> C1[偏差平方的期望]
    C --> C2[标准差]

    D --> D1[Var等于二阶矩减一阶矩平方]

    E --> E1[常数方差为零]
    E --> E2[线性变换性质]
    E --> E3[方差为零的充要条件]

    F --> F1[概率上界估计]
    F --> F2[不依赖分布形式]

    G --> G1[投资决策]
    G --> G2[风险度量]

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八、核心思想与证明技巧

1. 简化公式是最常用的计算工具

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

这个公式避免了直接计算 $E[(X-E(X){)}^2]$ 的繁琐过程。实际操作中，只需分别计算一阶矩 $E(X)$ 和二阶矩 $E(X^2)$，然后相减即可。

常见计算错误

注意 $E(X^2)\ne [E(X){]}^2$！这是初学者最容易犯的错误。

例如，掷骰子：$E(X)=3.5$，$[E(X){]}^2=12.25$，但 $E(X^2)=91/6\approx 15.17$。

两者之差 $\text{Var}(X)=15.17-12.25=2.92$ 才是方差。

2. 线性变换性质的直观理解

$$\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$$

• 平移（$+b$）：把所有数据整体移动，分散程度不变
• 缩放（$\times a$）：把数据拉伸 $a$ 倍，偏差也拉伸 $a$ 倍，偏差的平方拉伸 $a^2$ 倍

记忆口诀

“平移不管，缩放平方”——平移不影响方差，缩放使方差乘以系数的平方。

3. 切比雪夫不等式是”矩方法”的典型应用

切比雪夫不等式的证明只用了方差（二阶中心矩）的定义，没有用到任何分布的具体形式。这种”仅利用矩的信息来推导概率不等式”的方法称为矩方法，是概率论中非常重要的技巧。

4. 方差存在与期望存在的关系

• 方差存在 $\Rightarrow$ 期望存在：因为 $|x|\le x^2+1$（对一切实数 $x$），所以 $E|X|\le E(X^2)+1<\infty$
• 期望存在 $\nRightarrow$ 方差存在：例如 $X$ 的密度函数 $p(x)=\frac{2}{x^3}$（$x\ge 1$），则 $E(X)={\int }_1^{\infty }x\cdot \frac{2}{x^3}dx={\int }_1^{\infty }\frac{2}{x^2}dx=2$，但 $E(X^2)={\int }_1^{\infty }{x}^2\cdot \frac{2}{x^3}dx={\int }_1^{\infty }\frac{2}{x}dx=+\infty$，方差不存在

5. 标准差 vs 方差

特征	方差 $\text{Var}(X)$	标准差 $\sigma (X)$
定义	$E[(X-EX{)}^2]$	$\sqrt{\text{Var}(X)}$
单位	$X$ 单位的平方	与 $X$ 相同
数学推导	方便（无根号）	不方便（有根号）
实际解释	不直观	直观
典型用途	理论推导、证明	数据分析、报告

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九、补充理解与易混淆点

误区一：方差可以为负

来源：教材 p78 + MIT 18.05 + Stanford Stat 116 + UCLA Stats 100A + 华东师大讲义

误区1："方差可以是负数"

❌ 错误解释：方差度量分散程度，如果数据集中在期望附近，方差应该是负的。

✅ 正确解释：方差恒非负，$\text{Var}(X)\ge 0$。因为 $\text{Var}(X)=E[(X-EX{)}^2]$ 是平方的期望，而平方恒非负，非负随机变量的期望也非负。$\text{Var}(X)=0$ 当且仅当 $X$ 几乎处处为常数。

详细说明：

方差是偏差平方的期望，而平方 $(x-EX{)}^2\ge 0$ 对一切 $x$ 成立。因此被求期望的量 $(X-EX{)}^2$ 是一个非负随机变量，其期望自然也非负。

更深层的原因：方差是 $L^2$ 空间中的”范数的平方”，而范数恒非负。

误区二：Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) 恒成立

来源：教材 p80 + MIT 18.05 + 3Blue1Brown + 中科大 432 真题 + 华东师大讲义

误区2："Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) 总是对的"

❌ 错误解释：和期望一样，方差的加法也总是成立的。

✅ 正确解释：$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$。只有当 $X$ 与 $Y$不相关（$\text{Cov}(X,Y)=0$）时，才有 $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$。独立性可以推出不相关，但反之不然。

详细说明：

展开 $\text{Var}(X+Y)$：

$$\begin{array}{rl}\text{Var}(X+Y)& =E[(X+Y-E(X+Y){)}^2]\\ & =E[((X-EX)+(Y-EY){)}^2]\\ & =E[(X-EX{)}^2]+2E[(X-EX)(Y-EY)]+E[(Y-EY{)}^2]\\ & =\text{Var}(X)+2\text{Cov}(X,Y)+\text{Var}(Y)\end{array}$$

其中 $\text{Cov}(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]$ 是 $X$ 与 $Y$ 的协方差（将在后续章节学习）。

只有当 $\text{Cov}(X,Y)=0$（即 $X$ 与 $Y$ 不相关）时，交叉项才为零，方差的加法公式才成立。

与期望的对比

期望的加法恒成立：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$，无论 $X$ 和 $Y$ 是否独立。

方差的加法不恒成立：$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ 只在 $X$ 与 $Y$ 不相关时成立。

这是期望和方差在线性运算上的一个重要区别。

误区三：标准差等于方差的平方

来源：教材 p78 + MIT 18.05 + Stanford Stat 116 + UCLA Stats 100A + 华东师大讲义

误区3："标准差就是方差"

❌ 错误解释：标准差和方差是同一个东西，只是叫法不同。

✅ 正确解释：标准差 $\sigma (X)=\sqrt{\text{Var}(X)}$，是方差的正平方根。标准差的单位与 $X$ 相同，方差的单位是 $X$ 单位的平方。在解释实际问题时通常用标准差，在数学推导中通常用方差。

详细说明：

• 方差：$\text{Var}(X)=15.4$（万元²）——单位是平方，不直观
• 标准差：$\sigma (X)=\sqrt{15.4}\approx 3.92$（万元）——单位与原始数据相同，直观

两者是不同的量，不能混用。特别注意：标准差是方差的平方根，不是方差本身。

误区四：方差越大说明数据越差

来源：教材 p79 + MIT 18.05 + 多校考研真题 + 华东师大讲义

误区4："方差越大越不好"

❌ 错误解释：方差大意味着数据分散，分散就是不好的。

✅ 正确解释：方差大只说明数据分散程度高，分散本身没有好坏之分。在某些场景下（如质量控制），方差小是好的；在另一些场景下（如投资组合多样性、探索性研究），适度的方差反而是有利的。

详细说明：

• 质量控制：产品尺寸的方差越小越好（一致性高）
• 投资组合：适度分散可以降低风险（Markowitz 理论）
• 教育评估：考试成绩方差大可能说明区分度好
• 科学研究：实验数据的方差大可能意味着有新的发现

方差只是一个描述性统计量，它本身没有价值判断。“方差大好不好”完全取决于具体的应用场景。

误区五：切比雪夫不等式给出精确概率

来源：教材 p80 + MIT 18.05 + Stanford Stat 116 + UCLA Stats 100A + 华东师大讲义

误区5："切比雪夫不等式能算出精确概率"

❌ 错误解释：用切比雪夫不等式可以精确计算 $P(|X-\mu |\ge \epsilon )$ 的值。

✅ 正确解释：切比雪夫不等式只给出概率的上界，通常非常粗糙。它的价值在于：不依赖分布的具体形式，仅用期望和方差就能给出估计。对于已知分布的随机变量，应该直接计算精确概率。

详细说明：

例如，设 $X\sim N(0,1)$，求 $P(|X|\ge 2)$。

• 精确值：$P(|X|\ge 2)=2\Phi (-2)\approx 2\times 0.0228=0.0456$
• 切比雪夫估计：$P(|X|\ge 2)\le \frac{1}{4}=0.25$

切比雪夫估计 $0.25$ 比精确值 $0.0456$ 大了约 $5.5$ 倍，非常粗糙。

切比雪夫不等式的真正价值

切比雪夫不等式的主要价值不在于精确计算，而在于：

1. 为未知分布提供保守的概率估计
2. 作为理论工具证明大数定律等深刻定理
3. 展示”方差越大，偏离期望的概率越大”这一基本直觉

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十、习题精选

教材习题

习题 2.3-1（教材）— 泊松分布的方差与矩

设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，已知 $E(X)=\text{Var}(X)=\lambda$，且 $E[(X-1)(X-2)]=1$。求 $\lambda$。

查看解答

解题思路：展开 $E[(X-1)(X-2)]$，利用泊松分布的期望和方差性质。

解答：

$$\begin{array}{rl}E[(X-1)(X-2)]& =E(X^2-3X+2)\\ & =E(X^2)-3E(X)+2\end{array}$$

因为 $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$，所以 $E(X^2)=\text{Var}(X)+[E(X){]}^2=\lambda +{\lambda }^2$。

代入：

$$E[(X-1)(X-2)]=(\lambda +{\lambda }^2)-3\lambda +2={\lambda }^2-2\lambda +2=1$$

解方程 ${\lambda }^2-2\lambda +1=0$，即 $(\lambda -1{)}^2=0$，得 $\lambda =1$。

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习题 2.3-3（教材）— 线性变换的方差

已知 $E(X)=-2$，$E(X^2)=5$，求 $\text{Var}(1-3X)$。

查看解答

解题思路：先求 $\text{Var}(X)$，再利用线性变换性质。

解答：

第一步：求 $\text{Var}(X)$

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=5-(-2{)}^2=5-4=1$$

第二步：利用线性变换性质

$$\text{Var}(1-3X)=(-3{)}^2\cdot \text{Var}(X)=9\times 1=9$$

答案：$\text{Var}(1-3X)=9$。

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习题 2.3-4（教材）— 伯努利分布的方差

设 $P(X=0)=1-p$，$P(X=1)=p$，且 $E(X)=3\text{Var}(X)$。求 $P(X=0)$。

查看解答

解题思路：利用伯努利分布的期望和方差公式建立方程。

解答：

伯努利分布的期望和方差：

$$E(X)=p,\text{Var}(X)=p(1-p)$$

由条件 $E(X)=3\text{Var}(X)$：

$$p=3p(1-p)$$

若 $p=0$，则 $E(X)=0$，$\text{Var}(X)=0$，满足条件。但此时 $P(X=0)=1$。

若 $p\ne 0$，两边除以 $p$：

$$1=3(1-p)$$ $$1=3-3p$$ $$3p=2$$ $$p=\frac{2}{3}$$

所以 $P(X=0)=1-p=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。

答案：$P(X=0)=\frac{1}{3}$（或 $P(X=0)=1$ 当 $p=0$ 时）。

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习题 2.3-5（教材）— 分段分布函数的方差

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\end{array}$$

其中 $\lambda >0$。求 $\text{Var}(X)$。

查看解答

解题思路：这是参数为 $\lambda$ 的指数分布，利用指数分布的期望和方差公式。

解答：

密度函数为 $p(x)=\lambda e^{-\lambda x}$（$x\ge 0$）。

期望：

$$E(X)={\int }_0^{\infty }x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$$

二阶矩：

$$E(X^2)={\int }_0^{\infty }{x}^2\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{{\lambda }^2}$$

方差：

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

答案：$\text{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$，标准差 $\sigma (X)=\frac{1}{\lambda }$。

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习题 2.3-8（教材）— 正态型分布的期望与方差

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=1-e^{-x^2}$（$x>0$），$F(x)=0$（$x\le 0$）。求 $E(X)$ 和 $\text{Var}(X)$。

查看解答

解题思路：先求密度函数，再利用 Gamma 函数计算积分。

解答：

密度函数：

$$p(x)=F^{\prime }(x)=2x{e}^{-x^2},x>0$$

期望：

$$E(X)={\int }_0^{\infty }x\cdot 2x{e}^{-x^2}dx=2{\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-x^2}dx$$

令 $t=x^2$，$dt=2xdx$，$x=\sqrt{t}$：

$$E(X)=2{\int }_0^{\infty }t\cdot e^{-t}\cdot \frac{dt}{2\sqrt{t}}={\int }_0^{\infty }\sqrt{t}\cdot e^{-t}dt=\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

二阶矩：

$$E(X^2)={\int }_0^{\infty }{x}^2\cdot 2x{e}^{-x^2}dx=2{\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-x^2}dx$$

令 $u=x^2$，$du=2xdx$：

$$E(X^2)=2{\int }_0^{\infty }u\cdot e^{-u}\cdot \frac{du}{2}={\int }_0^{\infty }u{e}^{-u}du=\Gamma (2)=1$$

方差：

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=1-\frac{\pi }{4}$$

答案：$E(X)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$，$\text{Var}(X)=1-\frac{\pi }{4}$。

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习题 2.3-9（教材）— 方差的最小性

证明：对任意常数 $c\ne E(X)$，有 $E[(X-EX{)}^2]<E[(X-c{)}^2]$。

查看解答

解题思路：利用方差最小性公式。

解答：

由方差最小性：

$$E[(X-c{)}^2]=\text{Var}(X)+(EX-c{)}^2$$

因为 $c\ne EX$，所以 $(EX-c{)}^2>0$，从而：

$$E[(X-c{)}^2]=\text{Var}(X)+(EX-c{)}^2>\text{Var}(X)=E[(X-EX{)}^2]$$

即 $E[(X-EX{)}^2]<E[(X-c{)}^2]$。$\square$

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考研真题

习题7（2016 东北师范大学 432）— 方差线性变换

已知 $E(X)=-2$，$E(X^2)=5$，求 $\text{Var}(1-3X)$。

查看解答

$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=5-(-2{)}^2=1$

$\text{Var}(1-3X)=(-3{)}^2\cdot \text{Var}(X)=9\times 1=9$

关键：利用方差的线性变换性质 $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$，注意系数是 $-3$，平方后为 $9$。

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习题8（2013 东北师范大学 432）— 二项分布期望与标准差

一颗均匀骰子先后抛掷36次，6点出现次数的期望值和方差分别为（　） A. 6 和 5　　B. 6 和 $\sqrt{5}$　　C. 36 和 6　　D. 36 和 3

查看解答

选A。设 $X$ 为6点出现次数，则 $X\sim b(36,1/6)$。

• $E(X)=np=36\times \frac{1}{6}=6$
• $\text{Var}(X)=np(1-p)=36\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=5$

标准差 $\sigma (X)=\sqrt{5}\approx 2.236$，但选项A中的”5”对应方差值（题目表述为”标准误差”实为方差）。

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习题9（2018 复旦大学 861）— 二维正态分布方差线性组合

设 $(X,Y)\sim N(0,0,1,4,\rho )$，已知 $\text{Var}(2X-Y)=1$，求 $\rho$。

查看解答

利用方差公式：

$$\text{Var}(2X-Y)=4\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)-4\text{Cov}(X,Y)$$

其中 $\text{Cov}(X,Y)=\rho \cdot {\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y=\rho \times 1\times 2=2\rho$。

$$4\times 1+4-4\times 2\rho =8-8\rho =1$$

解得 $\rho =\frac{7}{8}$。

关键：多维随机变量线性组合的方差公式 $\text{Var}(aX+bY)=a^2\text{Var}(X)+b^2\text{Var}(Y)+2ab\text{Cov}(X,Y)$。

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习题10（2021 东北大学 432）— 负二项分布期望与方差

设 $X$ 表示独立重复试验中取得 $r$ 次成功所进行的试验次数，每次成功的概率为 $p$。 (1) 当 $r=1$ 时（几何分布），求 $E(X)$ 和 $\text{Var}(X)$。 (2) 当 $r=3$ 时，求 $E(X)$ 和 $\text{Var}(X)$。

查看解答

$X\sim Nb(r,p)$，其期望和方差公式为：

$$E(X)=\frac{r}{p},\text{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$$

(1) $r=1$（几何分布 $Ge(p)$）：

• $E(X)=\frac{1}{p}$
• $\text{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$

(2) $r=3$：

• $E(X)=\frac{3}{p}$
• $\text{Var}(X)=\frac{3(1-p)}{p^2}$

推导思路：负二项分布可分解为 $r$ 个独立几何分布之和：$X=X_1+\cdots +X_r$，其中 $X_i\sim Ge(p)$。由期望和方差的线性性即得。

习题概览

编号	来源	知识点	难度
习题 2.3-1	教材	泊松分布的方差与矩	★★☆
习题 2.3-3	教材	线性变换的方差	★★☆
习题 2.3-4	教材	伯努利分布的方差	★★☆
习题 2.3-5	教材	分段分布函数的方差（指数分布）	★★★
习题 2.3-8	教材	正态型分布的期望与方差（Gamma函数）	★★★
习题 2.3-9	教材	方差的最小性	★★☆
习题7	2016 东北师范大学 432	方差线性变换	★★☆
习题8	2013 东北师范大学 432	二项分布期望与标准差	★★☆
习题9	2018 复旦大学 861	二维正态分布方差线性组合	★★★
习题10	2021 东北大学 432	负二项分布期望与方差	★★★

习题使用建议

• 教材习题（2.3-1 至 2.3-9）侧重基础概念巩固，建议在首次学习时完成
• 考研真题（习题7-10）侧重综合应用，建议在复习阶段作为检测使用
• 习题7、习题8 难度较低，适合快速检验方差基本公式的掌握程度
• 习题9 涉及协方差与多维正态分布，需要结合协方差的知识
• 习题10 涉及负二项分布，需要了解常见离散分布的期望与方差公式汇总

难度说明：★★☆ = 基础题（直接套公式），★★★ = 进阶题（需要综合分析或多步推导）

来源说明：教材习题来自茆诗松《概率论与数理统计》，考研真题来自各校 432 应用统计/861 概率论专业硕士入学考试。

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十一、教材原文

以下为教材扫描版原文，可点击翻阅。

第二章 随机变量及其分布/方差与标准差