5.4 三大抽样分布

本节概览

本节系统介绍数理统计中最重要的三大抽样分布：卡方分布、t 分布和 F 分布。它们都由标准正态分布衍生而来，是正态总体下统计推断的理论基石。

逻辑链条：卡方分布 → Fisher引理 → F分布 → t分布 → 推论

前置依赖：§5.3（统计量、样本均值方差）、§2.5（Gamma分布、Beta分布）、§3.3（变量变换法）

核心主线：三大分布均由正态分布”组装”而成——卡方分布是标准正态变量的平方和，F 分布是两个独立卡方变量之比，t 分布是标准正态变量与卡方变量之商。Fisher 引理是连接正态总体与三大分布的核心桥梁，它保证了样本均值与样本方差的独立性，并将样本方差的分布归结为卡方分布。

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一、卡方分布

卡方分布（${\chi }^2$ 分布）是三大抽样分布中最基本的，它是标准正态变量平方和的分布。

定义

定义 5.4.1 — 卡方分布

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为 $n$ 个相互独立的标准正态随机变量，即 $X_i\sim N(0,1)$，$i=1,2,\dots ,n$，则称

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

服从自由度为 $n$ 的卡方分布（chi-squared distribution），记为 ${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$。

自由度的含义：自由度 $n$ 表示独立标准正态变量的个数，即平方和中包含的独立信息量。这个概念在后续 Fisher 引理中会反复出现。

密度函数

卡方分布的密度函数

若 ${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$，则其密度函数为

$$p(y)=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\cdot y^{n/2-1}\cdot e^{-y/2},y>0$$

与 Gamma 分布的关系

卡方分布本质上是 Gamma 分布的特例：

$${\chi }^2(n)=Ga\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)$$

即自由度为 $n$ 的卡方分布等价于形状参数为 $n/2$、尺度参数为 $1/2$ 的 Gamma 分布。

密度函数的推导

推导： ${\chi }^2(n)$ 的密度函数

第一步：单个标准正态变量平方的分布

设 $X\sim N(0,1)$，求 $Y=X^2$ 的密度函数。

当 $y>0$ 时，由变量变换法：

$$p_Y(y)=p_X(\sqrt{y})\cdot \left|\frac{d}{dy}\sqrt{y}\right|+p_X(-\sqrt{y})\cdot \left|\frac{d}{dy}(-\sqrt{y})\right|$$ $$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y/2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y/2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot y^{-1/2}\cdot e^{-y/2}$$

这正是 $Ga\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 的密度函数。因此 $X^2\sim Ga\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。

第二步：Gamma 分布的可加性

由 §2.5 中 Gamma 分布的可加性：若 $U\sim Ga({\alpha }_1,\lambda )$，$V\sim Ga({\alpha }_2,\lambda )$，且 $U$ 与 $V$ 独立，则

$$U+V\sim Ga({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$$

注意可加性要求尺度参数相同。

第三步：推广到 $n$ 个变量

由于 $X_1^2,X_2^2,\dots ,X_n^2$ 相互独立，且每个 $X_i^2\sim Ga\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，反复应用可加性得

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim Ga\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)$$

写出 $Ga\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)$ 的密度函数即为卡方分布的密度函数。 $\square$

数字特征

卡方分布的数字特征

若 ${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$，则

$$E({\chi }^2)=n,\text{Var}({\chi }^2)=2n$$

推导：由 ${\chi }^2(n)=Ga(n/2,1/2)$，利用 Gamma 分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的期望 $E=\alpha /\lambda$ 和方差 $\text{Var}=\alpha /{\lambda }^2$：

$$E({\chi }^2)=\frac{n/2}{1/2}=n\text{Var}({\chi }^2)=\frac{n/2}{(1/2{)}^2}=2n$$

可加性

卡方分布的可加性

设 $X\sim {\chi }^2(m)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则

$$X+Y\sim {\chi }^2(m+n)$$

证明：由 $X\sim Ga(m/2,1/2)$，$Y\sim Ga(n/2,1/2)$，尺度参数相同，直接应用 Gamma 分布可加性即得。 $\square$

更一般地，若 $X_1,\dots ,X_k$ 相互独立，$X_i\sim {\chi }^2(n_i)$，则 ${\sum }_{i=1}^k{X}_i\sim {\chi }^2\left({\sum }_{i=1}^k{n}_i\right)$。

例题

例 5.4.1 — 正态总体中偏差平方和的分布

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，求 $T={\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$ 的分布。

解：令 $Z_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }$，则 $Z_i\sim N(0,1)$ 且相互独立。

因此

$$\frac{T}{{\sigma }^2}=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2=\sum _{i=1}^n{Z}_i^2\sim {\chi }^2(n)$$

即 $T/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n)$，等价于 $T\sim Ga\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2{\sigma }^2}\right)$。

注意：这里用的是 $X_i-\mu$（总体均值），而非 $X_i-\bar{X}$（样本均值）。后者涉及一个约束 $\sum (X_i-\bar{X})=0$，自由度会减少 1，这正是 Fisher 引理的核心内容。

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二、Fisher引理（正态总体抽样定理）

Fisher 引理是正态总体统计推断的基石，它揭示了样本均值与样本方差的独立性，并给出了样本方差服从卡方分布的结论。

预备知识：多维正态变换

多维正态分布的线性变换性质

若 $\mathbf{X}=(X_1,\dots ,X_n{)}^{\top }\sim N(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$，$\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 常数矩阵（$\text{rank}(\mathbf{A})=m$），则

$$\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}\sim N\left(\mathbf{A}\mathbf{\mu },\mathbf{A}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{A}}^{\top }\right)$$

特别地，当 $\mathbf{A}$ 为 $n\times n$ 正交矩阵（$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\top }={\mathbf{I}}_n$）时，变换后的各分量仍相互独立。

Fisher 引理

定理 5.4.1 — Fisher 引理（正态总体抽样定理）

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ 为样本均值，$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ 为样本方差，则：

1. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立；
2. $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$；
3. $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$。

完整证明（正交变换法）

证明：Fisher 引理

第一步：构造正交矩阵

构造 $n\times n$ 正交矩阵 $\mathbf{A}$，使其第一行为

$${\mathbf{a}}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}},\dots ,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$

其余 $n-1$ 行 ${\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$ 可通过 Schmidt 正交化得到，满足

$${\mathbf{a}}_i\cdot {\mathbf{a}}_j={\delta }_{ij},\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=0(i=2,3,\dots ,n)$$

即 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\top }={\mathbf{I}}_n$。

第二步：作正交变换

令 $\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}$，其中 $\mathbf{X}=(X_1,\dots ,X_n{)}^{\top }$。则

$$Y_1=\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{X}_j=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^n{X}_j=\sqrt{n}\bar{X}$$

由于 $\mathbf{X}\sim N(\mu 1_n,{\sigma }^2{\mathbf{I}}_n)$，由正态变换性质：

$$\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}\sim N\left(\mathbf{A}(\mu 1_n),\mathbf{A}({\sigma }^2{\mathbf{I}}_n){\mathbf{A}}^{\top }\right)=N\left(\mu \mathbf{A}{1}_n,{\sigma }^2{\mathbf{I}}_n\right)$$

因此 $Y_1,Y_2,\dots ,Y_n$ 相互独立，且 $Y_i\sim N(E(Y_i),{\sigma }^2)$。

第三步：利用正交变换保范数

正交变换保持向量的 Euclidean 范数不变：

$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2={\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}={\mathbf{X}}^{\top }{\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{A}\mathbf{X}={\mathbf{Y}}^{\top }\mathbf{Y}=\sum _{i=1}^n{Y}_i^2$$

第四步：分析各分量的分布

• $Y_1=\sqrt{n}\bar{X}\sim N(\sqrt{n}\mu ,{\sigma }^2)$
• 对 $i\ge 2$：$E(Y_i)={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}\cdot \mu =\mu {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=0$（因为第 $2$ 到 $n$ 行元素之和为零）
• 因此 $Y_2,\dots ,Y_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(0,{\sigma }^2)$

第五步：推导样本方差的分布

由保范数：

$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2=Y_1^2+\sum _{i=2}^n{Y}_i^2=n{\bar{X}}^2+\sum _{i=2}^n{Y}_i^2$$

另一方面：

$$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2$$

因此：

$$(n-1)S^2=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\sum _{i=2}^n{Y}_i^2$$

由于 $Y_1=\sqrt{n}\bar{X}$ 只依赖于 $\bar{X}$，而 $(n-1)S^2={\sum }_{i=2}^n{Y}_i^2$ 只依赖于 $Y_2,\dots ,Y_n$，且 $Y_1$ 与 $Y_2,\dots ,Y_n$ 相互独立，故 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。

又因为 $Y_i/\sigma \sim N(0,1)$（$i=2,\dots ,n$），所以

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\sum _{i=2}^n{\left(\frac{Y_i}{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$$

自由度为 $n-1$ 而非 $n$，因为只有 $n-1$ 个独立的标准正态变量参与求和。 $\square$

直观理解：为什么自由度是 $n-1$？

$n$ 个偏差 $(X_1-\bar{X}),\dots ,(X_n-\bar{X})$ 并非完全独立——它们满足约束

$$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X})=0$$

知道其中 $n-1$ 个偏差后，第 $n$ 个就被唯一确定了。因此”真正的”独立信息只有 $n-1$ 份，自由度为 $n-1$。

类比：想象一根绳子上拴了 $n$ 个珠子，要求珠子的平均位置固定（绳子的重心不动）。你可以自由移动 $n-1$ 个珠子，但第 $n$ 个珠子的位置自动被确定了。

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三、F分布

F 分布由两个独立的卡方变量之比构造而成，广泛用于方差分析（ANOVA）和方差齐性检验。

定义

定义 5.4.2 — F 分布

设 $X_1\sim {\chi }^2(m)$，$X_2\sim {\chi }^2(n)$，且 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立，则称

$$F=\frac{X_1/m}{X_2/n}$$

服从第一自由度为 $m$、第二自由度为 $n$ 的 F 分布（F-distribution），记为 $F\sim F(m,n)$。

自由度的含义：$m$ 是分子自由度（来自分子上的卡方变量），$n$ 是分母自由度（来自分母上的卡方变量）。两个自由度的顺序不可互换。

密度函数的推导

推导：F 分布的密度函数

第一步：求 $Z=X_1/X_2$ 的密度（商的分布公式）

设 $X_1\sim Ga(m/2,1/2)$，$X_2\sim Ga(n/2,1/2)$，二者独立。由商的分布公式：

$$p_Z(z)={\int }_0^{+\infty }{x}_2\cdot p_{X_1}(z{x}_2)\cdot p_{X_2}(x_2)d{x}_2$$

代入 Gamma 密度：

$$p_Z(z)={\int }_0^{+\infty }{x}_2\cdot \frac{(1/2{)}^{m/2}}{\Gamma (m/2)}(z{x}_2{)}^{m/2-1}{e}^{-z{x}_2/2}\cdot \frac{(1/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}{x}_2^{n/2-1}{e}^{-x_2/2}d{x}_2$$ $$=\frac{(1/2{)}^{(m+n)/2}{z}^{m/2-1}}{\Gamma (m/2)\Gamma (n/2)}{\int }_0^{+\infty }{x}_2^{(m+n)/2-1}{e}^{-(z+1)x_2/2}d{x}_2$$

令 $t=(z+1)x_2/2$，积分变为

$${\int }_0^{+\infty }{\left(\frac{2t}{z+1}\right)}^{(m+n)/2-1}{e}^{-t}\cdot \frac{2}{z+1}dt={\left(\frac{2}{z+1}\right)}^{(m+n)/2}\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)$$

因此

$$p_Z(z)=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\cdot \frac{z^{m/2-1}}{(1+z{)}^{(m+n)/2}},z>0$$

第二步：由 $F=(n/m)Z$ 作变量变换

令 $F=\frac{n}{m}Z$，即 $Z=\frac{m}{n}F$，则 $\frac{dz}{df}=\frac{m}{n}$。

$$f_F(y)=p_Z\left(\frac{m}{n}y\right)\cdot \frac{m}{n}$$

第三步：化简得标准 F 密度函数

将 $z=my/n$ 代入 $p_Z(z)$ 并乘以 $m/n$：

$$f_F(y)=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\cdot {\left(\frac{m}{n}\right)}^{m/2}\cdot \frac{y^{m/2-1}}{{\left(1+\frac{m}{n}y\right)}^{(m+n)/2}},y>0$$

这就是 $F(m,n)$ 的标准密度函数。 $\square$

数字特征

F 分布的数字特征

若 $F\sim F(m,n)$，则

• 当 $n>2$ 时，$E(F)=\frac{n}{n-2}$
• 当 $n>4$ 时，$\text{Var}(F)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}$

注意：$E(F)$ 只依赖于分母自由度 $n$，与分子自由度 $m$ 无关（在 $n>2$ 时）。当 $n\le 2$ 时，期望不存在；当 $n\le 4$ 时，方差不存在。

分位数性质

F 分布分位数的倒数关系

$$F_{1-\alpha }(m,n)=\frac{1}{F_{\alpha }(n,m)}$$

证明：设 $F\sim F(m,n)$，则 $1/F\sim F(n,m)$。

$$P(F\le F_{1-\alpha }(m,n))=1-\alpha P\left(\frac{1}{F}\ge \frac{1}{F_{1-\alpha }(m,n)}\right)=1-\alpha P\left(\frac{1}{F}\le \frac{1}{F_{1-\alpha }(m,n)}\right)=\alpha$$

而 $1/F\sim F(n,m)$，所以

$$\frac{1}{F_{1-\alpha }(m,n)}=F_{\alpha }(n,m)$$

即 $F_{1-\alpha }(m,n)=1/F_{\alpha }(n,m)$。 $\square$

查表技巧

F 分布表通常只给出 $\alpha =0.05,0.01$ 等小概率的上侧分位数 $F_{\alpha }(m,n)$。若需要 $F_{0.95}(m,n)$，可利用倒数关系：

$$F_{0.95}(m,n)=\frac{1}{F_{0.05}(n,m)}$$

例题

例 5.4.2 — F 分布分位数计算

求 $F_{0.05}(10,5)$。

解：利用倒数关系：

$$F_{0.05}(10,5)=\frac{1}{F_{0.95}(5,10)}$$

查 F 分布表得 $F_{0.95}(5,10)=3.33$，因此

$$F_{0.05}(10,5)=\frac{1}{3.33}\approx 0.3$$

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四、t分布

t 分布（Student’s t 分布）由标准正态变量与卡方变量的商构造而成，是小样本推断的核心工具。

定义

定义 5.4.3 — t 分布

设 $X_1\sim N(0,1)$，$X_2\sim {\chi }^2(n)$，且 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立，则称

$$t=\frac{X_1}{\sqrt{X_2/n}}$$

服从自由度为 $n$ 的 t 分布（t-distribution），记为 $t\sim t(n)$。

密度函数的推导（从 F 分布出发）

推导：t 分布的密度函数

第一步：建立 $t^2$ 与 F 分布的关系

注意到

$$t^2=\frac{X_1^2}{X_2/n}$$

其中 $X_1^2\sim {\chi }^2(1)$（因为 $X_1\sim N(0,1)$），$X_2\sim {\chi }^2(n)$，且二者独立。由 F 分布的定义：

$$t^2=\frac{X_1^2/1}{X_2/n}\sim F(1,n)$$

第二步：利用分布函数建立关系

设 $f_F(y)$ 为 $F(1,n)$ 的密度函数。由于 $t$ 分布关于原点对称：

$$P(0<t<y)=\frac{1}{2}P(t^2<y^2)=\frac{1}{2}P(F<y^2)$$

第三步：对 $y$ 求导得密度函数

对上式两端关于 $y$ 求导：

$$f_t(y)=\frac{1}{2}\cdot f_F(y^2)\cdot 2y=y\cdot f_F(y^2),y>0$$

由对称性，$f_t(-y)=f_t(y)$。将 $F(1,n)$ 的密度函数代入并化简：

$$f_t(y)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\cdot {\left(1+\frac{y^2}{n}\right)}^{-(n+1)/2},-\infty <y<+\infty$$

$\square$

数字特征

t 分布的数字特征

若 $t\sim t(n)$，则

• 当 $n>1$ 时，$E(t)=0$
• 当 $n>2$ 时，$\text{Var}(t)=\frac{n}{n-2}$
• 当 $n=1$ 时，期望不存在（$t(1)$ 即 Cauchy 分布）

与标准正态分布的对比

t 分布的密度曲线关于 $y=0$ 对称，形状类似于标准正态分布，但尾部更厚（heavy-tailed）。自由度 $n$ 越大，t 分布越接近 $N(0,1)$。

| 自由度 $n$ | $P(|t|>1)$ | $P(|t|>2)$ | $P(|t|>3)$ | |:----------:|:------------:|:------------:|:------------:| | $N(0,1)$ | 0.3173 | 0.0455 | 0.0027 | | $t(1)$ | 0.5000 | 0.1476 | 0.0955 | | $t(4)$ | 0.3583 | 0.1161 | 0.0199 | | $t(10)$ | 0.3404 | 0.0757 | 0.0067 | | $t(30)$ | 0.3253 | 0.0555 | 0.0037 |

关键观察

• 自由度越小，尾部概率越大，极端值出现的可能性越高
• 当 $n=4$ 时，$P(|t|>2)=0.1161$，是 $N(0,1)$ 下 $0.0455$ 的约 2.5 倍
• 当 $n\ge 30$ 时，t 分布与 $N(0,1)$ 的差异已经很小

t 分布的渐近性质

t 分布的收敛性

当自由度 $n\to +\infty$ 时，$t(n)$ 的分布收敛于标准正态分布 $N(0,1)$。

$$t(n)\stackrel{d}{\to }N(0,1),n\to +\infty$$

直观理解：当 $n\to \infty$ 时，$X_2/n\to E(X_2/n)=n/n=1$（由大数定律），因此

$$t=\frac{X_1}{\sqrt{X_2/n}}\approx \frac{X_1}{\sqrt{1}}=X_1\sim N(0,1)$$

t(1) = Cauchy 分布

当 $n=1$ 时，t 分布退化为 Cauchy 分布：

$$f_t(y)=\frac{1}{\pi (1+y^2)},-\infty <y<+\infty$$

Cauchy 分布的期望和方差都不存在（因为积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|f(y)dy$ 发散），这是 t 分布的一个极端情形。

历史背景：Gosset 与 Student

Gosset 与"Student"的故事

t 分布由英国统计学家 William Sealy Gosset（1876—1937）在 1908 年提出。Gosset 在 Guinness 啤酒厂担任化学师，在工作中遇到了小样本（$n<30$）下的质量控制问题。

当时统计学界普遍使用大样本理论（基于中心极限定理），但啤酒厂的样本量往往很小。Gosset 发现用 $N(0,1)$ 近似小样本下的检验统计量会导致严重的误差，于是他推导出了 t 分布的精确形式。

由于 Guinness 公司禁止员工公开发表研究成果，Gosset 以 “Student” 为笔名在 Biometrika 上发表了这篇论文。直到 Gosset 去世后，R. A. Fisher 才正式确认了”Student”的真实身份。

因此 t 分布又称 Student’s t 分布。

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五、正态总体抽样定理推论

基于 Fisher 引理和三大分布的定义，可以推导出正态总体下各种常用统计量的精确分布。

推论 5.4.1：两正态总体的 F 统计量

推论 5.4.1 — 两正态总体的 F 统计量

设 $X_1,\dots ,X_m\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，两组样本相互独立。记 $S_X^2$、$S_Y^2$ 分别为两组样本的样本方差，则

$$F=\frac{S_X^2/{\sigma }_1^2}{S_Y^2/{\sigma }_2^2}\sim F(m-1,n-1)$$

特别地，当 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 时，

$$F=\frac{S_X^2}{S_Y^2}\sim F(m-1,n-1)$$

证明：推论 5.4.1

第一步：应用 Fisher 引理

由 Fisher 引理：

$$\frac{(m-1)S_X^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(m-1),\frac{(n-1)S_Y^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

且由于两组样本独立，这两个卡方变量也相互独立。

第二步：由 F 分布的定义

$$F=\frac{S_X^2/{\sigma }_1^2}{S_Y^2/{\sigma }_2^2}=\frac{(m-1)S_X^2/{\sigma }_1^2/(m-1)}{(n-1)S_Y^2/{\sigma }_2^2/(n-1)}=\frac{{\chi }^2(m-1)/(m-1)}{{\chi }^2(n-1)/(n-1)}\sim F(m-1,n-1)$$

$\square$

推论 5.4.2：单正态总体的 t 统计量

推论 5.4.2 — 单正态总体的 t 统计量

设 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$$t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)$$

证明：推论 5.4.2

第一步：分子标准化

由 Fisher 引理，$\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$，因此

$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{\sigma }\sim N(0,1)$$

第二步：分母的卡方分布

由 Fisher 引理，$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$，因此

$$\frac{S}{\sigma }=\sqrt{\frac{(n-1)S^2/{\sigma }^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{{\chi }^2(n-1)}{n-1}}$$

第三步：由 t 分布的定义

由 Fisher 引理，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立，因此分子与分母独立。

$$t=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )/\sigma }{S/\sigma }=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n-1)/(n-1)}}\sim t(n-1)$$

$\square$

推论 5.4.2 的意义

当 ${\sigma }^2$ 未知时，用 $S$ 代替 $\sigma$ 后，统计量的分布从 $N(0,1)$ 变为 $t(n-1)$。这就是为什么在 $\sigma$ 未知时，要用 t 检验而非 Z 检验。

推论 5.4.3：两正态总体的 t 统计量（等方差）

推论 5.4.3 — 两正态总体的 t 统计量（等方差）

设 $X_1,\dots ,X_m\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_1,{\sigma }^2)$，$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_2,{\sigma }^2)$，两组样本相互独立。定义合并样本方差：

$$S_w^2=\frac{(m-1)S_X^2+(n-1)S_Y^2}{m+n-2}$$

则

$$t=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\sim t(m+n-2)$$

证明：推论 5.4.3

第一步：分子的分布

$\bar{X}\sim N({\mu }_1,{\sigma }^2/m)$，$\bar{Y}\sim N({\mu }_2,{\sigma }^2/n)$，二者独立，因此

$$\bar{X}-\bar{Y}\sim N\left({\mu }_1-{\mu }_2,{\sigma }^2\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)\right)$$

标准化得

$$U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{1/m+1/n}}\sim N(0,1)$$

第二步：分母的卡方分布

由 Fisher 引理：

$$\frac{(m-1)S_X^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(m-1),\frac{(n-1)S_Y^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

二者独立，由卡方分布的可加性：

$$V=\frac{(m+n-2)S_w^2}{{\sigma }^2}=\frac{(m-1)S_X^2+(n-1)S_Y^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(m+n-2)$$

第三步：独立性

$S_X^2$ 与 $\bar{X}$ 独立（Fisher 引理），$S_Y^2$ 与 $\bar{Y}$ 独立（Fisher 引理），且两组样本独立，因此 $U$ 与 $V$ 相互独立。

第四步：由 t 分布的定义

$$t=\frac{U}{\sqrt{V/(m+n-2)}}=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{1/m+1/n}}\sim t(m+n-2)$$

$\square$

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六、三大分布关系总览

关系表

关系	说明
${\chi }^2(n)=Ga(n/2,1/2)$	卡方分布是 Gamma 分布的特例
$F(m,n)=\frac{{\chi }^2(m)/m}{{\chi }^2(n)/n}$	F 分布由两个独立卡方变量之比构造
$t(n)=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n)/n}}$	t 分布由标准正态与卡方变量之商构造
$t^2(n)\sim F(1,n)$	t 分布的平方服从 F 分布
$t(n)\stackrel{d}{\to }N(0,1)$	t 分布随自由度增大收敛于标准正态

核心公式汇总表

分布	定义	密度函数	期望	方差	分位数性质
${\chi }^2(n)$	${\sum }_{i=1}^n{Z}_i^2$，$Z_i\stackrel{\text{iid}}{\sim }N(0,1)$	$\frac{(1/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}{y}^{n/2-1}{e}^{-y/2}$	$n$	$2n$	可加性
$F(m,n)$	$\frac{{\chi }^2(m)/m}{{\chi }^2(n)/n}$	$\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma (m/2)\Gamma (n/2)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{m/2}\frac{y^{m/2-1}}{(1+my/n{)}^{(m+n)/2}}$	$\frac{n}{n-2}$ $(n>2)$	$\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}$ $(n>4)$	$F_{1-\alpha }(m,n)=1/F_{\alpha }(n,m)$
$t(n)$	$\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n)/n}}$	$\frac{\Gamma ((n+1)/2)}{\sqrt{n\pi }\Gamma (n/2)}{\left(1+\frac{y^2}{n}\right)}^{-(n+1)/2}$	$0$ $(n>1)$	$\frac{n}{n-2}$ $(n>2)$	对称性：$t_{\alpha }(n)=-t_{1-\alpha }(n)$

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七、知识结构总览

graph TD
    A[标准正态分布 N(0,1)] --> B[卡方分布 χ²(n)]
    A --> D[t 分布 t(n)]
    B --> C[F 分布 F(m,n)]
    B --> D

    B --> B1[定义: n个独立N(0,1)的平方和]
    B --> B2[性质: E=n, Var=2n]
    B --> B3[性质: 可加性]
    B --> B4[特例: Ga(n/2, 1/2)]

    C --> C1[定义: 两个独立χ²之比]
    C --> C2[性质: 倒数关系]
    C --> C3[应用: 方差齐性检验]

    D --> D1[定义: N(0,1)与χ²(n)之商]
    D --> D2[性质: 对称, 厚尾]
    D --> D3[收敛: n→∞时趋近N(0,1)]
    D --> D4[应用: 小样本均值检验]

    B --> E[Fisher引理]
    E --> E1[X̄与S²独立]
    E --> E2[(n-1)S²/σ² ~ χ²(n-1)]

    E --> F1[推论: 单总体t统计量]
    E --> F2[推论: 两总体F统计量]
    E --> F3[推论: 两总体t统计量]

    D1 --> G[t² ~ F(1,n)]

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八、核心思想与技巧

分位数查表技巧

F 分布的倒数关系：

$$F_{1-\alpha }(m,n)=\frac{1}{F_{\alpha }(n,m)}$$

当需要查 $F_{0.95}(m,n)$ 时，只需查 $F_{0.05}(n,m)$ 再取倒数。

t 分布的对称性：

$$t_{\alpha }(n)=-t_{1-\alpha }(n)$$

t 分布表通常只给出上侧分位数 $t_{\alpha }(n)$（$\alpha >0.5$ 时为正值）。下侧分位数可通过对称性得到。

卡方分布的单侧性：

卡方分布的密度函数在 $y>0$ 上定义，分位数只有上侧分位数 ${\chi }_{\alpha }^2(n)$，满足 $P({\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(n))=\alpha$。

正态总体抽样定理应用框架

单正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$：

条件	统计量	分布
${\sigma }^2$ 已知	$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$	$N(0,1)$
${\sigma }^2$ 未知	$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$
—	$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$	${\chi }^2(n-1)$

两正态总体（等方差 ${\sigma }^2$）：

条件	统计量	分布
均值比较	$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{1/m+1/n}}$	$t(m+n-2)$
方差比较	$\frac{S_X^2}{S_Y^2}$	$F(m-1,n-1)$

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九、补充理解与易混淆点

卡方分布自由度混淆

来源：茆诗松§5.4 p248 + 卡方核心笔记 + CSDN《数理统计基础笔记四》 + CSDN《三大抽样分布简单理解》 + UCLA《Distributions related to normal》

误区1："卡方分布的自由度就是样本量n"

错误解释：认为 ${\chi }^2(n)$ 中的 $n$ 总是等于样本量。

正确解释：${\chi }^2(n)$ 的 $n$ 是独立标准正态变量的个数。在 Fisher 引理中，$(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$，自由度是 $n-1$ 而非 $n$，因为 $n$ 个偏差 $(X_i-\bar{X})$ 中只有 $n-1$ 个是独立的（偏差之和为零约束）。

t 分布与标准正态分布混淆

来源：茆诗松§5.4 p255-256 + CSDN《概率分布t分布详解》 + CSDN《机器学习中的数学》 + UCLA《Distributions》 + 卡方核心笔记

误区2："小样本也可以用N(0,1)近似t分布"

错误解释：认为 $t(n)$ 和 $N(0,1)$ 差不多，小样本时可以直接用 $N(0,1)$ 查表。

正确解释：$t(n)$ 的尾部概率显著大于 $N(0,1)$。例如 $P(|X|>2)$ 在 $N(0,1)$ 下为 $0.0455$，在 $t(4)$ 下为 $0.1161$，相差 2.5 倍以上。n < 30 时必须用 t 分布，只有 $n\ge 30$ 时才能用 $N(0,1)$ 近似。

F 分布自由度顺序

来源：茆诗松§5.4 p253 + 卡方核心笔记 + CSDN《三大抽样分布简单理解》 + LibreTexts《F-distribution》 + CSDN《数理统计基础笔记四》

误区3："F(m,n)和F(n,m)是一样的"

错误解释：认为 F 分布的两个自由度可以互换。

正确解释：$F(m,n)$ 中m 是分子自由度，n 是分母自由度，不可互换。$F(m,n)\ne F(n,m)$，但它们有倒数关系：$F_{1-\alpha }(m,n)=1/F_{\alpha }(n,m)$。查表时务必注意自由度的顺序。

X̄与S²独立性误用

来源：茆诗松§5.4 p250-251（Fisher引理）+ 卡方核心笔记 + CSDN《数理统计基础笔记四》 + bookdown《统计考研复习参考》Ch5 + UCLA《Distributions》

误区4："任何总体下样本均值和样本方差都独立"

错误解释：认为 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 的独立性是普遍成立的。

正确解释：$\bar{X}$ 与 $S^2$ 的相互独立仅在正态总体下成立，这是 Fisher 引理的核心结论。对于非正态总体，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 一般不独立。正态分布的这个特殊性质在统计推断中至关重要。

χ²分布可加性条件

来源：茆诗松§5.4 p248 + 卡方核心笔记 + CSDN《三大抽样分布简单理解》 + CSDN《数理统计基础笔记四》 + bookdown《统计考研复习参考》Ch5

误区5："任意χ²变量都可以直接相加"

错误解释：认为任何两个 ${\chi }^2$ 分布变量之和仍然是 ${\chi }^2$ 分布。

正确解释：${\chi }^2$ 分布的可加性要求各变量相互独立。若 $X\sim {\chi }^2(m)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$ 且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $X+Y\sim {\chi }^2(m+n)$。若 $X$ 与 $Y$ 不独立，则 $X+Y$ 的分布不再是 ${\chi }^2$ 分布（自由度也不等于 $m+n$）。

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十、习题精选

习题概览

本节精选 10 道习题，其中 6 道来自教材，4 道来自考研真题。

编号	来源	核心知识点	难度
1	教材 5.4-1	样本均值的概率计算	★★☆
2	教材 5.4-5	t 统计量概率计算	★★★
3	教材 5.4-7	F 分布对称性证明	★★☆
4	教材 5.4-9	正态变量函数的分布	★★★
5	教材 5.4-13	F 统计量概率计算	★★★
6	教材 5.4-19	均匀分布与卡方分布	★★★★
7	2014 兰州大学 432	Fisher 引理证明	★★★★
8	2015 大连理工大学 432	两总体 t 分布证明	★★★★
9	2018 东北师范大学 432	F 分布概率计算	★★★
10	2024 武汉大学 432	Fisher 引理推广	★★★★★

习题 1（教材 5.4-1）

习题 1

设总体 $X\sim N(7.6,4)$，从中抽取样本 $X_1,\dots ,X_n$。要使样本均值 $\bar{X}$ 落在 $(5.6,9.6)$ 内的概率不小于 $0.95$，样本量 $n$ 至少应取多少？

查看解答

解：$\bar{X}\sim N(7.6,4/n)$，标准化得

$$\frac{\bar{X}-7.6}{2/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

要求

$$P(5.6<\bar{X}<9.6)=P\left(\frac{5.6-7.6}{2/\sqrt{n}}<Z<\frac{9.6-7.6}{2/\sqrt{n}}\right)=P(-\sqrt{n}<Z<\sqrt{n})=2\Phi (\sqrt{n})-1\ge 0.95$$

因此 $\Phi (\sqrt{n})\ge 0.975$，查标准正态表得 $\sqrt{n}\ge 1.96$，即 $n\ge 3.84$。

取 $n\ge 4$。

习题 2（教材 5.4-5）

习题 2

设 $X_1,\dots ,X_{16}\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，已知 $\bar{X}=9$，$S^2=5.32$。求 $P(|\bar{X}-\mu |<0.6)$。

查看解答

解：由推论 5.4.2，

$$t=\frac{\sqrt{16}(\bar{X}-\mu )}{S}=\frac{4(\bar{X}-\mu )}{S}\sim t(15)$$

$S=\sqrt{5.32}\approx 2.3065$，因此

$$P(|\bar{X}-\mu |<0.6)=P\left(\left|\frac{4(\bar{X}-\mu )}{S}\right|<\frac{4\times 0.6}{2.3065}\right)=P(|t_{15}|<1.0405)$$

查 t 分布表，$t_{0.15}(15)\approx 1.0405$（线性插值），因此

$$P=1-2\times 0.1573=0.6854$$

习题 3（教材 5.4-7）

习题 3

设 $X\sim F(n,n)$，证明 $P(X<1)=0.5$。

查看解答

证明：设 $X\sim F(n,n)$，令 $Y=1/X$。

由 F 分布的定义，$Y=1/X\sim F(n,n)$（因为 $X=\frac{{\chi }^2(n)/n}{{\chi }^2(n)/n}$，取倒数后 $Y=\frac{{\chi }^2(n)/n}{{\chi }^2(n)/n}\sim F(n,n)$）。

因此

$$P(X<1)=P(Y>1)=P(X>1)$$

又因为 $P(X<1)+P(X>1)=1$（连续分布中 $P(X=1)=0$），所以

$$P(X<1)=0.5$$

$\square$

习题 4（教材 5.4-9）

习题 4

设 $X_1,X_2\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(0,{\sigma }^2)$，求 $Y={\left(\frac{X_1+X_2}{X_1-X_2}\right)}^2$ 的分布。

查看解答

解：令 $U=X_1+X_2$，$V=X_1-X_2$。

由于 $(X_1,X_2)$ 服从二元正态分布，$U$ 和 $V$ 的线性组合仍为联合正态。

计算协方差：

$$\text{Cov}(U,V)=\text{Cov}(X_1+X_2,X_1-X_2)=\text{Var}(X_1)-\text{Var}(X_2)={\sigma }^2-{\sigma }^2=0$$

协方差为零 + 联合正态 $\Rightarrow$ $U$ 与 $V$ 相互独立。

又 $U\sim N(0,2{\sigma }^2)$，$V\sim N(0,2{\sigma }^2)$，因此

$$\frac{U}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1),\frac{V}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1)$$

于是

$$Y={\left(\frac{U}{V}\right)}^2=\frac{U^2/(2{\sigma }^2)}{V^2/(2{\sigma }^2)}\sim F(1,1)$$

（因为 $U^2/(2{\sigma }^2)\sim {\chi }^2(1)$，$V^2/(2{\sigma }^2)\sim {\chi }^2(1)$，二者独立。）

习题 5（教材 5.4-13）

习题 5

设两个等方差正态总体 $N({\mu }_1,{\sigma }^2)$ 和 $N({\mu }_2,{\sigma }^2)$，分别抽取 $n_1=15$ 和 $n_2=20$ 的样本。求 $P(S_1^2/S_2^2>2)$。

查看解答

解：由推论 5.4.1，等方差时

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(14,19)$$

因此

$$P\left(\frac{S_1^2}{S_2^2}>2\right)=P(F(14,19)>2)=1-F_F(2)$$

查 F 分布表，$F_{0.05}(14,19)\approx 2.26$（或通过插值），因此

$$P\approx 1-0.9202=0.0798$$

习题 6（教材 5.4-19）

习题 6

设 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，$F(x)$ 为 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的分布函数。证明

$$T=-2\sum _{i=1}^n\ln F(X_i)\sim {\chi }^2(2n)$$

查看解答

证明：

第一步：$F(X)$ 的分布

设 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，则 $Y=F(X)\sim U(0,1)$（概率积分变换）。

第二步：$-2\ln Y$ 的分布

设 $Y\sim U(0,1)$，$W=-2\ln Y$。当 $w>0$ 时：

$$P(W\le w)=P(-2\ln Y\le w)=P(Y\ge e^{-w/2})=1-e^{-w/2}$$

这是参数为 $1/2$ 的指数分布的分布函数，即 $W\sim Exp(1/2)=Ga(1,1/2)={\chi }^2(2)$。

第三步：利用独立性

由于 $X_1,\dots ,X_n$ 独立，$F(X_1),\dots ,F(X_n)$ 也独立，从而 $W_i=-2\ln F(X_i)$ 独立同分布于 ${\chi }^2(2)$。

由卡方分布的可加性：

$$T=\sum _{i=1}^n{W}_i\sim {\chi }^2(2n)$$

$\square$

习题 7（2014 兰州大学 432）

习题 7

设 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$，证明 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立，且 $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$。

查看解答

证明：此即 Fisher 引理（定理 5.4.1），完整证明见 完整证明（正交变换法）。

核心思路：构造正交矩阵 $\mathbf{A}$（第一行全为 $1/\sqrt{n}$），作变换 $\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}$，利用正交变换保范数和正态变量的独立性，将 $(n-1)S^2$ 表示为 $n-1$ 个独立 $N(0,{\sigma }^2)$ 变量的平方和。

习题 8（2015 大连理工大学 432）

习题 8

设 $X_1,\dots ,X_m\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_1,{\sigma }^2)$，$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_2,{\sigma }^2)$，两组样本独立。证明推论 5.4.3。

查看解答

证明：完整证明见 推论 5.4.3：两正态总体的 t 统计量（等方差）。

核心步骤：

1. 分子：$(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)\sim N(0,{\sigma }^2(1/m+1/n))$
2. 分母：$(m+n-2)S_w^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(m+n-2)$（卡方可加性）
3. 独立性：分子与分母独立（Fisher 引理 + 两组样本独立）
4. 由 t 分布定义得 $t\sim t(m+n-2)$

习题 9（2018 东北师范大学 432）

习题 9

设 $X_1,\dots ,X_{16}\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(0,4)$，$Y_1,\dots ,Y_{16}\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(0,4)$，两组样本独立。求 $P(S_x^2/S_y^2>2.5)$。

查看解答

解：$X_i\sim N(0,4)$，即 ${\sigma }^2=4$。

由 Fisher 引理：

$$\frac{15S_x^2}{4}\sim {\chi }^2(15),\frac{15S_y^2}{4}\sim {\chi }^2(15)$$

由推论 5.4.1（等方差）：

$$F=\frac{S_x^2}{S_y^2}\sim F(15,15)$$

因此

$$P\left(\frac{S_x^2}{S_y^2}>2.5\right)=P(F(15,15)>2.5)=1-F_F(2.5)$$

查 F 分布表，$F_{0.05}(15,15)\approx 2.40$，$F_{0.025}(15,15)\approx 2.86$，线性插值得 $P\approx 0.04$。

习题 10（2024 武汉大学 432）

习题 10

设 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，两组样本独立，${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$。讨论相关统计量的分布。

查看解答

解：这是 Fisher 引理在异方差情形下的推广。

由 Fisher 引理分别应用于两组样本：

$$\bar{X}\sim N\left({\mu }_1,\frac{{\sigma }_1^2}{n}\right),\bar{Y}\sim N\left({\mu }_2,\frac{{\sigma }_2^2}{n}\right)$$ $$\frac{(n-1)S_x^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(n-1),\frac{(n-1)S_y^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

由于 ${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$，不能直接用合并方差 $S_w^2$。但可以构造：

$$F=\frac{S_x^2/{\sigma }_1^2}{S_y^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n-1,n-1)$$

对于均值差的检验，由于异方差，不能使用推论 5.4.3 的 t 统计量。此时可用 Behrens-Fisher 问题的近似解法（如 Welch t 检验）：

$$t^{\ast }=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{S_x^2/n+S_y^2/n}}$$

其近似服从自由度为

$$\nu =\frac{(S_x^2/n+S_y^2/n{)}^2}{(S_x^2/n{)}^2/(n-1)+(S_y^2/n{)}^2/(n-1)}$$

的 t 分布（Welch-Satterthwaite 近似）。

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十一、教材原文

教材参考

以下为茆诗松《概率论与数理统计》第五章 5.4 节的教材原文，供对照参考。

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第五章 统计量及其分布/三大抽样分布