假设检验

概述

假设检验（Hypothesis Testing）是统计推断的两大支柱之一（另一是参数估计）。其核心思想是：先提出一个关于总体的假设（零假设），然后根据样本数据判断是否有足够证据拒绝该假设。

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一、假设检验的基本概念

原假设与备择假设

原假设（H₀）

亦称零假设，是需要通过样本数据来检验的假设。通常表示”没有效应”或”没有差异”。

备择假设（H₁）

与原假设对立的假设。当拒绝 H₀ 时接受 H₁。

建立原则：

• H₀ 应是关于总体参数的明确陈述
• H₀ 应与实际问题等价
• H₁ 是我们希望证明的结论

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二、检验统计量与拒绝域

检验统计量

用于检验原假设的样本函数，记为 $T=T(X_1,\cdots ,X_n)$。

拒绝域

当检验统计量的值落在某区域 $W$ 时，拒绝原假设 H₀。区域 $W$ 称为拒绝域。

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三、两类错误

	决策
	接受 H₀	拒绝 H₀
H₀ 为真	✅ 正确	❌ 第一类错误（α）
H₀ 为假	❌ 第二类错误（β）	✅ 正确（功效）

第一类错误（Type I Error）

H₀ 为真，但被拒绝的错误。概率记为 $\alpha$，即显著性水平。

第二类错误（Type II Error）

H₀ 为假，但被接受的错误。概率记为 $\beta$。

功效函数（Power Function）

$\beta (\theta )=P_{\theta }(\text{拒绝}{H}_0)$ 功效函数描述了在不同参数值下正确拒绝 H₀ 的概率。

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四、p 值

p 值

在原假设为真的条件下，检验统计量至少与观测值一样极端的概率。p 值越小，拒绝 H₀ 的证据越强。

判断标准（常见约定）：

• $p<0.01$：极强证据拒绝 H₀
• $0.01⩽p<0.05$：强证据拒绝 H₀
• $0.05⩽p<0.10$：弱证据拒绝 H₀
• $p⩾0.10$：没有足够证据拒绝 H₀

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五、显著性检验

显著性检验

控制第一类错误概率不超过 $\alpha$（通常取 $\alpha =0.05$）的检验方法。

步骤：

1. 建立 H₀ 和 H₁
2. 选择显著性水平 $\alpha$
3. 构建检验统计量及其在 H₀ 下的分布
4. 确定拒绝域
5. 计算观测值并做出决策

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六、置信区间与假设检验的对偶关系

参数 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间与显著性水平为 $\alpha$ 的双侧假设检验问题具有对偶关系。

$P(\theta \in \text{CI})=1-\alpha \iff \text{接受}{H}_0:\theta ={\theta }_0\text{ 当且仅当 }{\theta }_0\in \text{CI}$

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七、相关章节

• 第七章 假设检验 — 章节汇总
• 参数估计 — 置信区间与假设检验的对偶性
• 正态分布 — 正态总体参数检验
• 三大抽样分布 — t 分布、F 分布在检验中的应用