统计量与抽样分布

概述

统计量（Statistic）是从样本数据中提取的函数，是对总体进行统计推断的核心工具。抽样分布（Sampling Distribution）则是统计量的分布，是参数估计和假设检验的理论基础。

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一、总体与样本

基本概念

概念	说明
总体（Population）	研究对象的全体
个体（Individual）	总体中的单个元素
样本（Sample）	从总体中抽取的部分个体
简单随机抽样	每个个体被抽中的概率相同，独立抽取

样本的表示

设总体为 $X$，从中抽取容量为 $n$ 的样本，记为 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$。

假设：$X_1,\cdots ,X_n$ i.i.d. $\sim$ $F(x)$（与总体同分布）。

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二、常用统计量

样本矩

统计量	定义
样本均值	$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$
样本方差	$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$
样本标准差	$S=\sqrt{S^2}$
样本 $k$ 阶矩	$A_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^k$
样本协方差	$S_{XY}=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})$

次序统计量

将样本从小到大排序： $X_{(1)}⩽X_{(2)}⩽\cdots ⩽X_{(n)}$

其中 $X_{(k)}$ 为第 $k$ 个次序统计量。

常用次序统计量：

• 样本最小值：$X_{(1)}$
• 样本最大值：$X_{(n)}$
• 样本中位数：$\tilde{X}=X_{(\lfloor (n+1)/2\rfloor )}$

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三、抽样分布

核心定理：费希尔引理

费希尔引理

设 $X_1,\cdots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ i.i.d.，则：

1. $\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$
2. $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$
3. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立

三大抽样分布

分布	样本函数	主要应用
${\chi }^2(n)$	$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$	总体方差估计/检验
$t(n)$	$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S}$	总体均值检验
$F(m,n)$	$\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}$	两总体方差比较

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四、充分统计量

充分统计量

设 $X_1,\cdots ,X_n$ 为来自某分布族的样本，统计量 $T(X_1,\cdots ,X_n)$ 称为充分统计量，若在给定 $T$ 的条件下，样本的条件分布与未知参数无关。

因子分解定理（奈曼因子分解定理）

因子分解定理

$T(\mathbf{X})$ 为充分统计量，当且仅当存在函数 $g(t,\theta )$ 和 $h(\mathbf{x})$，使得： $L(\theta ;\mathbf{x})=g(T(\mathbf{x}),\theta )\cdot h(\mathbf{x})$

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五、相关章节

• 第五章 统计量及其分布 — 章节汇总
• 三大抽样分布 — ${\chi }^2$、t、F 分布的详细性质
• 正态分布 — CLT 与抽样分布的母分布
• 参数估计 — 统计量在估计中的应用
• 假设检验 — 检验统计量的抽样分布