张成空间

张成空间（Span）

一句话定义

$\text{span}(v_1,\dots ,v_m)=\{a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m:a_i\in \mathbb{F}\}$，是包含给定向量组的最小子空间——所有线性组合的集合。

形式定义

定义 2.4：$V$ 中向量组 $v_1,\dots ,v_m$ 的张成空间为上述线性组合集合。约定空向量组（$m=0$）的张成空间为 $\{0\}$。

核心定理

最小性（定理 2.6）

张成空间 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)$ 是包含 $v_1,\dots ,v_m$ 的最小子空间。

证明：三条件验证 $\Rightarrow$ 是子空间 $\Rightarrow$ 包含所有线性组合。反过来，任何包含向量组的子空间必须对线性组合封闭，因此包含张成空间。

几何直觉（${\mathbb{R}}^2$）

向量情况	张成空间
一个非零向量	过原点的直线
两个不共线向量	整个 ${\mathbb{R}}^2$
两个共线向量	同一条直线（其中一个是冗余的）

冗余的精确含义：若 $v_k\in \text{span}(v_1,\dots ,v_{k-1})$，则 $v_k$ 是冗余的——去掉它不改变张成空间。

张成 vs 线性无关

概念	关心的问题
张成	这组向量能否描述”足够大”的空间？
线性无关	这组向量里有没有冗余？
基	是否”既够用又无冗余”？

基 = 张成（够）+ 线性无关（不多）= “恰好合适”

与其他概念的联系

• vector-space：张成空间是子空间的具体构造方式
• linear-independence：线性无关 $\iff$ 没有向量可以表示为其他向量的线性组合 $\iff$ 去除任一向量都会减小张成
• basis-and-dimension：基是张成空间且线性无关——所有基长度相同（$\dim V$）

章节定位

2A 节引入张成空间，与线性无关共同为基和维数铺路。张成空间回答”这组向量能描述多大的空间”。

详见：第2章 有限维向量空间 — 章节汇总