基与维数（Basis and Dimension）

一句话定义

基是线性无关且张成整个空间的向量组；维数是基中向量的个数，是向量空间的唯一”尺度”——同维数的向量空间在结构上完全相同（同构）。

$v_{1}, \dots, v_{n}$ 是 $V$ 的基，当且仅当：

$v_{1}, \dots, v_{n}$ 线性无关

$span (v_{1}, \dots, v_{n}) = V$

等价判定（定理 2.28）： $V$ 中每个向量能唯一地表示为基向量的线性组合。

若 $V$ 有有限基，则 $V$ 是有限维的。基中向量的个数称为 $V$ 的维数，记作 $dim V$ 。

不变量： $dim V$ 是向量空间的唯一尺度—— $F^{n}$ 是所有 $n$ 维向量空间的原型（ $V ≅ F^{n}$ ）
维数公式的特例：当 $U_{1} \cap U_{2} = {0}$ （直和）时， $dim (U_{1} \oplus U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2}$

$dim V$ 是唯一确定的——不依赖于基的选择，这是”维数作为不变量”的核心保证，也是有限维空间所有美好性质的起点（维数公式、线性映射基本定理等）。