线性无关（Linear Independence）

一句话定义

向量组 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 线性无关，当且仅当 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{m} v_{m} = 0$ 时必有 $a_{1} = \dots = a_{m} = 0$ 。换言之：没有冗余向量，每个向量都对”张成”有贡献。

$v_{1}, \dots, v_{m} \in V$ 线性无关，若 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{m} v_{m} = 0 ⟹ a_{1} = \dots = a_{m} = 0$

线性相关：若存在不全为零的系数使上式成立（等价于：至少有一个向量是其余向量的线性组合）。

若 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 线性相关，则存在 $k$ 使得：

$v_{k} \in span (v_{1}, \dots, v_{k - 1})$

去掉 $v_{k}$ 后，剩下的向量组张成空间不变

意义：这是从线性相关迈向线性无关的关键——每次去除一个冗余向量，最终得到线性无关组，且张成空间不变。

线性无关组的长度 $\leq$ 张成组的长度

推论：有限维空间中，基的长度（维数）是唯一确定的——不依赖于具体基的选择。

2A 节引入线性无关，与张成空间共同为基和维数铺路。线性无关的本质是”无冗余”——每个向量都贡献新方向。