子空间

子空间（Subspace）

一句话定义

子空间是向量空间中”自洽”的子集——对加法和标量乘法封闭，且包含零向量。验证子空间只需检查三个条件，其余八条公理从父空间”免费继承”。

形式定义（定理 1.34）

$U\subseteq V$ 是子空间，当且仅当：

1. $0\in U$
2. $u,w\in U\Rightarrow u+w\in U$
3. $u\in U,\lambda \in \mathbb{F}\Rightarrow \lambda u\in U$

Tip

只需验证这三个条件！因为加法交换律、结合律、单位元、逆元等其余公理自动从 $V$ 继承。

几何直觉

${\mathbb{R}}^2$ 的子空间恰有：

• $\{0\}$（原点）
• 过原点的直线
• ${\mathbb{R}}^2$ 本身

关键：子空间必须过原点！这是一般向量空间的子集成为子空间的必要条件。

子空间的运算

子空间的和（定义 1.36）

$U_1+U_2=\{u_1+u_2:u_1\in U_1,u_2\in U_2\}$

• 是包含 $U_1\cup U_2$ 的最小子空间（定理 1.40）
• $\dim (U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim (U_1\cap U_2)$

直和（定义 1.41）

$U_1\oplus U_2$：要求 $U_1\cap U_2=\{0\}$，即每个元素只有唯一的分解方式。

判别法（定理 1.46）：两个子空间 $U_1,U_2$ 的和是直和 $\iff$ $U_1\cap U_2=\{0\}$

零向量判别（定理 1.45）：$U_1+U_2$ 是直和 $\iff$ 零向量只有全零分解

常见子空间的例子

空间	子空间例子
${\mathbb{F}}^n$	$\text{null}T$（零空间）、$\text{range}T$（值域）
$C^{\infty }(\mathbb{R})$	$\mathbb{F}[x{]}_n$（多项式空间）
${\mathbb{F}}^{\infty }$	只有零序列、收敛序列等

与其他概念的联系

• vector-space：子空间是向量空间的”子系统”——整个向量空间本身和 $\{0\}$ 都是平凡子空间
• span：张成空间 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)$ 是包含这些向量的最小子空间
• operator：算子 $T:V\to V$ 的核 $\text{null}T$ 和像 $\text{range}T$ 都是子空间（定理 3.12-3.13）

深层意义

”继承”机制

子空间三条件体现了向量空间公理的深层结构：一旦验证了三条条件，其余公理自动成立，因为运算规则从父空间完全继承。这在后续反复出现——第 3 章的零空间、第 5 章的特征空间都是子空间。

直和的前瞻

直和 $U_1\oplus U_2$ 的本质——每个向量恰好有一种分解方式——是理解空间分解的统一框架：

场景	分解形式
基（向量 $\to$ 基向量）	$v=a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n$
谱定理（自伴算子）	$V=E({\lambda }_1,T)\perp \cdots \perp E({\lambda }_m,T)$
广义特征空间（若当型）	$V=G({\lambda }_1,T)\oplus \cdots \oplus G({\lambda }_m,T)$

章节定位

1C 节建立子空间概念。三条件判别法是后续几乎所有子空间证明的基础工具，直和概念为第 2 章基分解和第 5-8 章算子结构分解奠定基础。

详见：第1章 向量空间 — 章节汇总