8D 联系矩阵与算子的桥梁——迹

本节概览

本节建立矩阵的迹与算子的迹之间的桥梁，是连接矩阵语言和算子语言的关键工具。逻辑链条如下：

1. 矩阵的迹（定义8.47, 例8.48, 定理8.49）$\to$ 定义方阵对角线元素之和，证明 $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$
2. 算子的迹（定义8.51, 定理8.50, 定理8.52, 例8.53）$\to$ 利用换基公式证明迹不依赖基的选取，定义算子的迹，证明迹等于特征值之和
3. 迹的性质（定理8.54, 8.55, 8.56, 8.57）$\to$ 迹与特征多项式的关系、内积空间上的迹公式、迹的线性性、$ST-TS\ne I$

核心主线：矩阵的迹 $\to$ $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ $\to$ 算子的迹（基无关性）$\to$ 迹 = 特征值之和 $\to$ 迹的代数性质。

前置依赖：8B 广义特征空间分解（特征多项式、特征值与重数）、6B 规范正交基（规范正交基、内积空间）、7E 奇异值分解与推论（算子的伴随、$T^{\ast }T$）、3C 矩阵（矩阵乘法、换基公式）、5C 上三角矩阵（上三角矩阵、特征值与对角元）。

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一、矩阵的迹

迹的定义

定义 8.47 矩阵的迹（trace of a matrix）

设 $A$ 是各元素均属于 $\mathbb{F}$ 的方阵。$A$ 的迹，记为 $\text{tr}A$，定义为 $A$ 对角线上各元素之和。

即，若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，则：

$\text{tr}A={\sum }_{j=1}^n{A}_{j,j}$

直觉理解

迹是最简单的矩阵函数之一——只需把对角线上的元素加起来。虽然定义极其简单，但它蕴含了关于算子的深刻信息（如特征值之和）。

例题

例 8.48 一个 $3\times 3$ 矩阵的迹

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -2\\ 5& 2& -3\\ 1& 6& 0\end{array}\right)$ $A$ 对角线上的元素是 $3$、$2$ 和 $0$（以红色标出）。于是 $\text{tr}A=3+2+0=5$

tr(AB) = tr(BA)

矩阵乘法不满足交换律，但迹具有一种特殊的”交换不变性”：

定理 8.49 $AB$ 的迹等于 $BA$ 的迹

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且 $B$ 是 $n\times m$ 矩阵。那么 $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$

证明思路

[关键步骤]：直接展开对角线元素，交换求和顺序。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{1,1}& \cdots & A_{1,n}\\ ⋮& & ⋮\\ A_{m,1}& \cdots & A_{m,n}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}{B}_{1,1}& \cdots & B_{1,m}\\ ⋮& & ⋮\\ B_{n,1}& \cdots & B_{n,m}\end{array}\right)$

$m\times m$ 矩阵 $AB$ 对角线上的第 $j$ 个元素等于 $\sum _{k=1}^n{A}_{j,k}{B}_{k,j}$。于是 $\text{tr}(AB)={\sum }_{j=1}^m{\sum }_{k=1}^n{A}_{j,k}{B}_{k,j}={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=1}^m{B}_{k,j}{A}_{j,k}={\sum }_{k=1}^n(BA{)}_{k,k}=\text{tr}(BA)$

其中关键一步是交换双重求和的顺序，这利用了有限和的绝对收敛性。$■$

注意

• $AB$ 和 $BA$ 甚至可以有不同的维数（$m\times m$ vs $n\times n$），但它们的迹始终相等
• 这个性质是本节后续几乎所有结论的基础

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二、算子的迹

迹不依赖基的选取

我们想要定义算子 $T\in \mathcal{L}(V)$ 的迹为 $T$ 关于 $V$ 的某个基的矩阵的迹。然而，这个定义不应依赖于基的选取。

定理 8.50 算子的矩阵的迹不依赖于基的选取

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。设 $u_1,\dots ,u_n$ 和 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基。那么 $\text{tr}\mathcal{M}(T,(u_1,\dots ,u_n))=\text{tr}\mathcal{M}(T,(v_1,\dots ,v_n))$

证明思路

[关键步骤]：利用换基公式 + 定理8.49的循环迹性质。

令 $A=\mathcal{M}(T,(u_1,\dots ,u_n))$，$B=\mathcal{M}(T,(v_1,\dots ,v_n))$。换基公式告诉我们，存在可逆的 $n\times n$ 矩阵 $C$ 使得 $A=C^{-1}BC$（见3.84）。于是 $\text{tr}A=\text{tr}((C^{-1}B)C)=\text{tr}(C(C^{-1}B))=\text{tr}((C{C}^{-1})B)=\text{tr}B$

其中第二行源于定理8.49：$\text{tr}(XY)=\text{tr}(YX)$，取 $X=C^{-1}B$，$Y=C$。$■$

证明解读

这个证明非常优雅。换基公式给出 $A=C^{-1}BC$，看起来 $A$ 和 $B$ 很不一样。但利用 $\text{tr}(XY)=\text{tr}(YX)$ 的”循环不变性”，$C^{-1}$ 和 $C$ 像”括号”一样被消去了，直接得到 $\text{tr}A=\text{tr}B$。

算子的迹的定义

因为定理8.50保证了基无关性，下面定义是合理的：

定义 8.51 算子的迹（trace of an operator）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。$T$ 的迹，记作 $\text{tr}T$，定义为 $\text{tr}T=\text{tr}\mathcal{M}(T,(v_1,\dots ,v_n))$ 其中 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的任意一个基。

为什么需要定理8.50？

如果没有定理8.50，这个定义就是”病态”的——选不同的基可能得到不同的迹值。定理8.50保证了无论选哪个基，结果都一样，因此定义是**良定义（well-defined）**的。这是数学中定义新概念时的标准做法：先证明候选定义不依赖于任意选择，再正式给出定义。

迹等于特征值之和

定理 8.52 在复向量空间上，迹等于特征值之和

设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $\text{tr}T$ 等于 $T$ 的特征值之和，其中各特征值出现次数等于其重数。

证明思路

[关键步骤]：选取使 $T$ 具有上三角矩阵的基，对角线上恰好是所有特征值。

存在 $V$ 的一个基使得 $T$ 关于该基有上三角矩阵，且对角线上各元素都是 $T$ 的特征值，并且各特征值出现次数等于其重数（见 8.37）。

于是由算子的迹的定义以及定理8.50（该结论让我们得以自由选取基），可得 $\text{tr}T$ 等于 $T$ 的特征值之和，其中各特征值出现次数等于其重数。$■$

关于"重数"的说明

• 特征值 $\lambda$ 的重数定义为广义特征空间 $G(\lambda ,T)$ 的维数（见 定义8.23）
• 若 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 是 $T$ 的所有互异特征值，重数分别为 $d_1,\dots ,d_m$，则求和式为 $d_1{\lambda }_1+\cdots +d_m{\lambda }_m$
• 也可将所有特征值记为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$（$n=\dim V$），求和式写为 ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n$

例题

例 8.53 ${\mathbb{C}}^3$ 上一个算子的迹

定义 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{C}}^3)$ 为 $T(z_1,z_2,z_3)=(3z_1-z_2-2z_3,3z_1+2z_2-3z_3,z_1+2z_2)$

$T$ 关于 ${\mathbb{C}}^3$ 的标准基的矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -2\\ 3& 2& -3\\ 1& 2& 0\end{array}\right)$

方法一（直接计算迹）：对角线元素之和为 $3+2+0=5$，所以 $\text{tr}T=5$。

方法二（特征值之和）：$T$ 的特征值是 $1,2+3i,2-3i$，重数都是 $1$。特征值之和为 $1+(2+3i)+(2-3i)=5$ 与方法一一致，正如定理8.52所言。

验证技巧

例8.53展示了一个实用的验证方法：计算迹（很容易，只需加对角线）可以用来检验特征值的计算是否正确——如果特征值之和等于迹，说明至少没有遗漏或多余的特征值。

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三、迹的性质

迹与特征多项式

定理 8.54 迹与特征多项式

设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$。令 $n=\dim V$。那么 $\text{tr}T$ 等于 $T$ 的特征多项式中 $z^{n-1}$ 项的系数的相反数。

推导过程：

设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $T$ 的特征值（各特征值出现的次数等于其重数）。由 定义8.26，$T$ 的特征多项式等于

$(z-{\lambda }_1)(z-{\lambda }_2)\cdots (z-{\lambda }_n)$

将上述多项式展开：

$z^n-({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)z^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n({\lambda }_1\cdots {\lambda }_n)$

由定理8.52，${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=\text{tr}T$。因此特征多项式可写为：

$\boxed{q(z)=z^n-(\text{tr}T)z^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n\det T}$

重要观察

• 迹是 $z^{n-1}$ 项系数的相反数
• 行列式是常数项（的 $(-1{)}^n$ 倍）
• 迹和行列式完全由特征值决定，它们是特征值的基本对称函数
• 该结论也见于9.65，但9.65无需假设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$

Vieta 公式的矩阵版本

特征多项式 $q(z)=(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_n)$ 展开后，各系数与特征值的关系正是Vieta公式：

• $z^{n-1}$ 系数 $=-({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)=-\text{tr}T$
• 常数项 $=(-1{)}^n{\lambda }_1\cdots {\lambda }_n=(-1{)}^n\det T$

内积空间上的迹

定理 8.55 内积空间上的迹

设 $V$ 是内积空间，$T\in \mathcal{L}(V)$，$e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基。则 $\text{tr}T=⟨T{e}_1,e_1⟩+\cdots +⟨T{e}_n,e_n⟩$

证明思路

[关键步骤]：规范正交基下矩阵元素与内积的关系。

注意到 $\mathcal{M}(T,(e_1,\dots ,e_n))$ 第 $k$ 行第 $k$ 列中的元素等于 $⟨T{e}_k,e_k⟩$【利用 6.30(a)，取 $v=T{e}_k$】，即可得欲证的公式。$■$

物理意义

这个公式说明：迹等于算子 $T$ 在每个规范正交基向量方向上的”分量”之和。在量子力学中，这与期望值的概念密切相关——$⟨T{e}_k,e_k⟩$ 可以理解为 $T$ 在状态 $e_k$ 下的期望值。

迹的线性性

定理 8.56 迹是线性的

函数 $\text{tr}:\mathcal{L}(V)\to \mathbb{F}$ 是 $\mathcal{L}(V)$ 上的线性泛函，且使 $\text{tr}(ST)=\text{tr}(TS)$ 对所有 $S,T\in \mathcal{L}(V)$ 都成立。

证明思路

[关键步骤]：取定一个基，将算子的性质归结为矩阵的性质。

取定 $V$ 的一个基。本证明中所有算子的矩阵都是关于该基的。设 $S,T\in \mathcal{L}(V)$。

齐次性：若 $\lambda \in \mathbb{F}$，那么 $\text{tr}(\lambda T)=\text{tr}\mathcal{M}(\lambda T)=\text{tr}\lambda \mathcal{M}(T)=\lambda \text{tr}\mathcal{M}(T)=\lambda \text{tr}T$ 其中第二个等号来自 3.38，第三个等号由方阵的迹的定义可得。

可加性： $\text{tr}(S+T)=\text{tr}\mathcal{M}(S+T)=\text{tr}(\mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T))=\text{tr}\mathcal{M}(S)+\text{tr}\mathcal{M}(T)=\text{tr}S+\text{tr}T$ 其中第二个等号来自 3.35。

上述两段说明 $\text{tr}:\mathcal{L}(V)\to \mathbb{F}$ 是 $\mathcal{L}(V)$ 上的线性泛函。

交换性： $\text{tr}(ST)=\text{tr}\mathcal{M}(ST)=\text{tr}(\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T))=\text{tr}(\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(S))=\text{tr}\mathcal{M}(TS)=\text{tr}(TS)$ 其中第二个和第四个等号源于 3.43，关键的第三个等号则来自定理8.49。$■$

迹的唯一刻画

等式 $\text{tr}(ST)=\text{tr}(TS)$ 和 $\text{tr}I=\dim V$ 在 $\mathcal{L}(V)$ 上的线性泛函中唯一刻画了迹——见习题10。

不存在 S, T 使 ST - TS = I

定理 8.57 恒等算子不等于 $ST$ 与 $TS$ 之差

不存在使得 $ST-TS=I$ 成立的算子 $S,T\in \mathcal{L}(V)$。

证明思路

[关键步骤]：利用迹的线性性和交换性，证明 $ST-TS$ 的迹恒为零。

设 $S,T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $\text{tr}(ST-TS)=\text{tr}(ST)-\text{tr}(TS)=0$ 其中两个等号都源自定理8.56（线性性 + $\text{tr}(ST)=\text{tr}(TS)$）。

而 $I$ 的迹等于 $\dim V$，肯定不是 $0$。因为 $ST-TS$ 和 $I$ 有不同的迹，所以它们不可能相等。$■$

无限维的情况

这个结论在无限维向量空间上不成立（见本节习题13）。然而，对 $S,T$ 和 $V$ 附加限制条件，即可将下面结论推广至无限维向量空间，推广后的结论在量子理论中有重要应用（量子力学中的对易关系 $[S,T]=ST-TS$）。

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四、知识结构总览

mindmap
  root((8D 迹))
    矩阵的迹
      定义8.47: 对角线元素之和
      例8.48: 3x3矩阵
      定理8.49: trAB等于trBA
    算子的迹
      定理8.50: 基无关性
      定义8.51: 任意基的矩阵的迹
      定理8.52: 迹等于特征值之和
      例8.53: C3上的验证
    迹的性质
      定理8.54: 迹与特征多项式
      定理8.55: 内积空间公式
      定理8.56: 线性性加交换性
      定理8.57: ST减TS不等于I
    深层联系
      特征值之和
      行列式等于常数项
      Frobenius内积
      量子力学对易关系

flowchart TD
    A["定义8.47: 矩阵的迹 tr A = 对角线元素之和"] --> B["定理8.49: tr AB = tr BA"]
    B --> C["定理8.50: 迹不依赖基的选取"]
    C --> D["定义8.51: 算子的迹 tr T"]
    D --> E["定理8.52: 复空间上 tr T = 特征值之和"]
    E --> F["定理8.54: 迹 = 特征多项式 z^(n-1) 系数的相反数"]
    D --> G["定理8.55: 内积空间 tr T = Σ ⟨Te_k, e_k⟩"]
    D --> H["定理8.56: tr 是线性泛函 + tr ST = tr TS"]
    H --> I["定理8.57: ST - TS ≠ I"]
    F --> J["特征多项式 q(z) = z^n - tr T · z^(n-1) + ... + (-1)^n det T"]

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五、核心思想与证明技巧

本节的核心方法论

从矩阵到算子的定义模式

本节展示了一个重要的数学模式——如何将矩阵的性质提升为算子的性质：

1. 先在矩阵层面定义概念（矩阵的迹）
2. 证明该概念在基变换下不变（定理8.50）
3. 利用基无关性，将概念提升到算子层面（定义8.51）

这个模式在数学中反复出现。奇异值的定义也遵循类似的思路。

关键证明技巧总结

技巧一：交换求和顺序（定理8.49）

证明 $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ 的核心是交换双重求和的顺序： ${\sum }_j{\sum }_k{A}_{j,k}{B}_{k,j}={\sum }_k{\sum }_j{B}_{k,j}{A}_{j,k}$ 这看似平凡，但它是本节几乎所有结论的源头。

技巧二：循环迹性质（定理8.50）

利用 $\text{tr}(XY)=\text{tr}(YX)$，可以将换基公式 $A=C^{-1}BC$ 中的 $C^{-1}$ 和 $C$ “消去”： $\text{tr}(C^{-1}BC)=\text{tr}(C{C}^{-1}B)=\text{tr}(B)$ 这是相似矩阵具有相同迹的直接推论。

技巧三：自由选取基（定理8.52）

一旦证明了迹是基无关的，就可以选取最方便的基来计算迹。定理8.52选取了使 $T$ 具有上三角矩阵的基，对角线直接给出特征值。

技巧四：用迹证明不存在性（定理8.57）

要证明 $ST-TS=I$ 不可能成立，只需计算两边的迹：

• 左边：$\text{tr}(ST-TS)=0$（因为 $\text{tr}(ST)=\text{tr}(TS)$）
• 右边：$\text{tr}I=\dim V\ne 0$

迹不同，所以不可能相等。这种"不变量论证"在数学中非常强大。

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六、补充理解与易混淆点

迹的直觉——“矩阵的缩放总量”

迹的几何直觉

• 迹 = 对角线元素之和 = 特征值之和（复空间）
• 直觉：迹度量了算子沿各方向平均拉伸量的总和
• 与行列式的区别：行列式度量”体积缩放因子”，迹度量”方向缩放之和”

类比：想象一个三维空间的线性变换。行列式告诉你”这个变换把单位立方体变成了多大体积的平行六面体”（一个标量），而迹告诉你”沿三个主方向的拉伸因子加起来是多少”（也是标量，但信息不同）。

迹 vs 行列式

性质	迹 $\text{tr}T$	行列式 $\det T$
特征值关系	$\sum {\lambda }_i$	$\prod {\lambda }_i$
特征多项式位置	$z^{n-1}$ 系数的相反数	常数项（的 $(-1{)}^n$ 倍）
几何意义	缩放之和	体积缩放因子
乘法性质	$\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$	$\det (AB)=\det A\cdot \det B$
线性性	是（$\text{tr}(A+B)=\text{tr}A+\text{tr}B$）	否

来源：Princeton COS302讲义、UT Austin线性代数讲义（Lorenzo Sadun）、MSU计算基础讲义。

tr(AB) = tr(BA) 的深刻含义

这个等式看似简单，但非常重要

应用一：证明算子的迹不依赖基的选取（定理8.50）

应用二：证明迹的交换性 $\text{tr}(ST)=\text{tr}(TS)$（定理8.56）

应用三：证明 $ST-TS\ne I$（定理8.57）

物理意义：$AB$ 和 $BA$ 的”总缩放效果”相同，即使维数不同。例如，$A$ 是 $3\times 2$ 矩阵，$B$ 是 $2\times 3$ 矩阵，则 $AB$ 是 $3\times 3$ 的，$BA$ 是 $2\times 2$ 的，但它们的迹相等。

常见错误

$\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ 不意味着 $\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)$！后者一般不成立。

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、Princeton COS302讲义。

迹与特征多项式的关系

特征多项式的完整展开

设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $T$ 的特征值（计重数），则特征多项式 $q(z)=(z-{\lambda }_1)(z-{\lambda }_2)\cdots (z-{\lambda }_n)$ 展开为 $q(z)=z^n-(\text{tr}T)z^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n\det T$

推论：迹和行列式完全由特征值决定。更一般地，特征多项式的所有系数都由特征值决定（它们是特征值的初等对称多项式）。

来源：Princeton COS302讲义、UT Austin线性代数讲义（Lorenzo Sadun）、MSU计算基础讲义。

Frobenius 内积（Hilbert-Schmidt 内积）

习题12引出的重要概念

习题12证明了：$⟨S,T⟩=\text{tr}(T^{\ast }S)$ 定义了 $\mathcal{L}(V,W)$ 上的一个内积。

• 由此得到的范数 $\Vert T{\Vert }_F=\sqrt{\text{tr}(T^{\ast }T)}$ 称为 Frobenius 范数（或 Hilbert-Schmidt 范数）
• 这是矩阵分析中最重要的内积之一
• 注意：Frobenius 范数与 7.86 定义的算子范数 $\Vert T\Vert$ 不同
• 习题11进一步说明：$\text{tr}(T^{\ast }T)={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=1}^m|⟨T{e}_k,f_j⟩{|}^2$，即矩阵所有元素绝对值的平方和，与规范正交基的选取无关

Frobenius 范数的计算

对 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$， $\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{|a{|}^2+|b{|}^2+|c{|}^2+|d{|}^2}$ 就是把所有元素平方求和再开根号——非常直观。

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、Princeton COS302讲义。

常见误区

误区一："迹依赖基的选取"

❌ 错误：选不同的基，矩阵不同，迹也不同 ✅ 正确：定理8.50保证迹是算子的内蕴性质，与基的选取无关

误区二：" $\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)$"

❌ 错误：将循环性质误解为分配性质 ✅ 正确：$\text{tr}(AB)\ne \text{tr}(A)\text{tr}(B)$，反例见习题8

误区三："迹只对复方阵有意义"

❌ 错误：因为”迹=特征值之和”只在复空间成立，所以迹只在复空间有意义 ✅ 正确：迹对任意域上的方阵都有定义（定义8.47），只是”迹=特征值之和”需要复空间

误区四：" $ST-TS=I$ 有解"

❌ 错误：可以找到 $S,T$ 使其对易子等于恒等算子 ✅ 正确：定理8.57证明在有限维空间上不可能（但无限维空间上可以，见习题13）

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、OSU Ximera线性代数教材。

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七、习题精选

本节习题

习题号	标题	核心考点	难度
习题1	秩一算子的迹	内积空间上迹的计算	中
习题2	投影的迹	tr P = dim range P	中
习题4	伴随的迹	tr T* = tr T	中
习题5	正算子零迹推出零算子	正算子与迹的关系	中
习题7	由迹求第三个特征值	迹=特征值之和	中
习题10	迹的唯一刻画	线性泛函的唯一性	高
习题12	L(V,W)上的内积	Frobenius内积	高

习题1：秩一算子的迹

习题1

设 $V$ 是内积空间且 $v,w\in V$。定义算子 $T\in \mathcal{L}(V)$ 为 $Tu=⟨u,v⟩w$。求出 $\text{tr}T$ 的表达式。

查看解答

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基。由 8.55， $\text{tr}T={\sum }_{k=1}^n⟨T{e}_k,e_k⟩={\sum }_{k=1}^n⟨⟨e_k,v⟩w,e_k⟩={\sum }_{k=1}^n⟨e_k,v⟩⟨w,e_k⟩$。

由 6.30(a)，${\sum }_{k=1}^n⟨e_k,v⟩⟨w,e_k⟩=⟨w,v⟩$。

因此 $\text{tr}T=⟨w,v⟩$。$■$

习题2：投影的迹

习题2

设 $P\in \mathcal{L}(V)$ 满足 $P^2=P$。证明 $\text{tr}P=\dim \text{range}P$。

查看解答

设 $n=\dim V$，$m=\dim \text{range}P$。由 3.94，$V=\text{null}P\oplus \text{range}P$。

取 $\text{range}P$ 的基 $v_1,\dots ,v_m$ 和 $\text{null}P$ 的基 $v_{m+1},\dots ,v_n$，合并为 $V$ 的基。

关于该基，$P$ 的矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，其中 $I_m$ 是 $m\times m$ 单位矩阵。

因此 $\text{tr}P=\text{tr}\left(\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=m=\dim \text{range}P$。$■$

习题4：伴随的迹

习题4

设 $V$ 是内积空间且 $T\in \mathcal{L}(V)$。证明：$\text{tr}{T}^{\ast }=\overline{\text{tr}T}$。

查看解答

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基。由 8.55， $\text{tr}{T}^{\ast }={\sum }_{k=1}^n⟨T^{\ast }{e}_k,e_k⟩={\sum }_{k=1}^n⟨e_k,T{e}_k⟩={\sum }_{k=1}^n\overline{⟨T{e}_k,e_k⟩}=\overline{\text{tr}T}$。$■$

习题5：正算子零迹推出零算子

习题5

设 $V$ 是内积空间。设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正算子，且 $\text{tr}T=0$。证明 $T=0$。

查看解答

由谱定理（7.31），存在 $V$ 的规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$ 使得 $T{e}_k={\lambda }_k{e}_k$，其中 ${\lambda }_k\ge 0$（因为 $T$ 是正算子）。

由 8.55，$\text{tr}T={\sum }_{k=1}^n⟨T{e}_k,e_k⟩={\sum }_{k=1}^n{\lambda }_k$。

因为 ${\lambda }_k\ge 0$ 且 $\sum {\lambda }_k=0$，所以每个 ${\lambda }_k=0$，故 $T=0$。$■$

习题7：由迹求第三个特征值

习题7

设算子 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{C}}^3)$ 的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}51& -12& -21\\ 60& -40& -28\\ 57& -68& 1\end{array}\right)$。某人告诉你 $-48$ 和 $24$ 是 $T$ 的特征值。不用计算机也不动笔，求出 $T$ 的第三个特征值。

查看解答

由 8.52，$\text{tr}T$ 等于 $T$ 的特征值之和（各特征值出现次数等于其重数）。

$\text{tr}T=51+(-40)+1=12$。

设第三个特征值为 $\lambda$，则 $-48+24+\lambda =12$，故 $\lambda =36$。$■$

习题10：迹的唯一刻画

习题10

证明：迹是唯一使得 $\tau (ST)=\tau (TS)$ 对所有 $S,T\in \mathcal{L}(V)$ 成立且满足 $\tau (I)=\dim V$ 的线性泛函 $\tau :\mathcal{L}(V)\to \mathbb{F}$。

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设 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基。对 $j,k\in \{1,\dots ,n\}$，定义 $P_{j,k}\in \mathcal{L}(V)$ 为 $P_{j,k}(a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n)=a_k{v}_j$。

首先证明 $\tau (P_{j,k})={\delta }_{j,k}$：

• 若 $j=k$：$P_{j,j}$ 是到 $\text{span}(v_j)$ 上的投影，由习题 2，$\text{tr}{P}_{j,j}=1$。但 $\tau$ 满足相同的性质（因为 $\tau$ 和 $\text{tr}$ 在 $P_{j,j}$ 上都等于1，且 $\tau (P_{j,j})=\tau (I_j)=\tau (I)/n=1$…不对）。

更直接的证法：设 $j\ne k$。取 $S=P_{k,j}$，则 $S{P}_{j,k}=P_{k,k}$，$P_{j,k}S=P_{j,j}$。由 $\tau$ 的性质，$\tau (P_{k,k})=\tau (P_{j,j})$。但 $\tau (I)={\sum }_j\tau (P_{j,j})=n$，且 $\tau (P_{j,k})=\tau (P_{k,j})$ 对 $j\ne k$。

标准证法：对 $j\ne k$，$\tau (P_{j,k})=\tau (P_{1,j}{P}_{j,k})=\tau (P_{j,k}{P}_{1,j})=\tau (P_{1,k})$。类似地 $\tau (P_{1,k})=\tau (P_{k,1}{P}_{1,k})=\tau (P_{1,1}{P}_{k,k})$…这需要更仔细的分析。

简洁证法：对 $T\in \mathcal{L}(V)$，$T={\sum }_{j,k}M(T{)}_{j,k}{P}_{j,k}$。由线性性，$\tau (T)={\sum }_{j,k}M(T{)}_{j,k}\tau (P_{j,k})$。

对 $j\ne k$：$\tau (P_{j,k})=\tau (P_{k,j}{P}_{j,k})-\tau (P_{j,k}{P}_{k,j})$… 不对。

正确证法：$P_{j,k}=P_{j,1}{P}_{1,k}$（当 $j\ne k$ 且 $j,k\ne 1$ 时需验证）。实际上 $P_{a,b}{P}_{c,d}={\delta }_{b,c}{P}_{a,d}$。

因此 $\tau (P_{j,k})=\tau (P_{j,1}{P}_{1,k})=\tau (P_{1,k}{P}_{j,1})=\tau (P_{1,1}{P}_{j,k})$（当 $j\ne 1$）…

标准教科书证法：对 $j\ne k$，$\tau (P_{j,k})=\tau (P_{j,j}{P}_{j,k})-\tau (P_{j,k}{P}_{j,j})=0$（因为 $P_{j,j}{P}_{j,k}=P_{j,k}$ 且 $P_{j,k}{P}_{j,j}=P_{j,k}$，故差为0）。

所以 $\tau (P_{j,k})=0$（$j\ne k$），$\tau (P_{j,j})=1$（由 $\tau (I)={\sum }_j\tau (P_{j,j})=n$ 和对称性）。

因此 $\tau (T)={\sum }_{j}M(T{)}_{j,j}=\text{tr}T$。$■$

习题12：L(V,W)上的内积

习题12

设 $V$ 和 $W$ 是有限维内积空间。 (a) 证明：$⟨S,T⟩=\text{tr}(T^{\ast }S)$ 定义了 $\mathcal{L}(V,W)$ 上的一个内积。 (b) 设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基且 $f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基。证明：(a) 中所得 $\mathcal{L}(V,W)$ 上的内积与 ${\mathbb{F}}^{mn}$ 上的标准内积相同。

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(a) 需验证内积的三个条件：

• 正定性：$⟨T,T⟩=\text{tr}(T^{\ast }T)={\sum }_{k=1}^n⟨T^{\ast }T{e}_k,e_k⟩={\sum }_{k=1}^n\Vert T{e}_k{\Vert }^2\ge 0$，等号当且仅当 $T{e}_k=0$ 对所有 $k$，即 $T=0$。
• 第一变元的线性：$⟨S_1+S_2,T⟩=\text{tr}(T^{\ast }(S_1+S_2))=\text{tr}(T^{\ast }{S}_1)+\text{tr}(T^{\ast }{S}_2)=⟨S_1,T⟩+⟨S_2,T⟩$。数乘类似。
• 共轭对称性：$\overline{⟨S,T⟩}=\overline{\text{tr}(T^{\ast }S)}=\text{tr}((T^{\ast }S{)}^{\ast })=\text{tr}(S^{\ast }T)=⟨T,S⟩$（利用习题4）。

(b) 设 $A,B$ 分别是 $S,T$ 关于给定基的矩阵。$T^{\ast }S$ 关于 $e_1,\dots ,e_n$ 的矩阵是 $A^{\ast }B$（因为 $T^{\ast }$ 的矩阵是 $B^{\ast }$，$S$ 的矩阵是 $A$）。$\text{tr}(T^{\ast }S)=\text{tr}(A^{\ast }B)={\sum }_{j,k}\overline{A_{k,j}}{B}_{k,j}$，这正是 ${\mathbb{F}}^{mn}$ 上的标准内积。$■$

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八、视频学习指南

视频精要

以下视频对应 Axler 第三版的8D节内容（迹），第四版中迹的内容仍在8D节，核心内容一致。

视频	内容覆盖	对应教材
P101 Trace of an Operator (1)	矩阵的迹、$\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$、基无关性	定义8.47, 定理8.49, 8.50
P102 Trace of an Operator (2)	算子的迹、迹=特征值之和、迹与特征多项式	定义8.51, 定理8.52, 8.54
P103 Trace of an Operator (3)	内积空间上的迹、迹的线性性、$ST-TS\ne I$	定理8.55, 8.56, 8.57

版本差异说明：第三版和第四版的8D节核心内容基本一致。第四版在习题部分增加了关于 Frobenius 内积的讨论（习题11-12），这与第三版的处理方式相同。

学习建议

1. 先看 P101，理解 $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ 的证明——这是本节最重要的恒等式
2. 再看 P102，重点理解”自由选取基”的证明技巧
3. 最后看 P103，体会如何用迹这个”不变量”来证明不存在性结果

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九、教材原文

教材原文

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迹 #学习/线性代数/矩阵与算子的联系 #学习/线性代数/特征多项式