三大抽样分布

概述

卡方分布（${\chi }^2$）、t分布、F分布是统计推断中最重要的三大抽样分布。它们都来自正态总体的样本函数，是参数估计和假设检验的理论基础。

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一、正态总体抽样定理

核心引理：费希尔引理

费希尔（Fisher）引理

设 $X_1,\cdots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ i.i.d.，样本均值为 $\bar{X}$，样本方差为 $S^2$，则：

1. $\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$，且与 $S^2$ 独立
2. $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

意义：费希尔引理是三大抽样分布的理论起点。

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二、卡方分布（${\chi }^2$ 分布）

定义

卡方分布

设 $Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n\stackrel{i.i.d.}{\sim }N(0,1)$，则： ${\chi }_n^2=Z_1^2+Z_2^2+\cdots +Z_n^2\sim {\chi }^2(n)$ 称 ${\chi }^2(n)$ 为自由度为 $n$ 的卡方分布。

性质

性质	公式
期望	$E({\chi }_n^2)=n$
方差	$\mathrm{Var}({\chi }_n^2)=2n$
可加性	${\chi }_m^2+{\chi }_n^2\sim {\chi }_{m+n}^2$
再生性	不满足再生性

与其他分布的关系

${\chi }_n^2\stackrel{n\to \infty }{\to }N(n,2n)\text{（正态近似）}$

$\sqrt{2{\chi }_n^2}\stackrel{d}{\to }N(\sqrt{2n-1},1)$

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三、t 分布

定义

t 分布

设 $Z\sim N(0,1)$，$U\sim {\chi }^2(n)$，且 $Z$ 与 $U$ 独立，则： $T_n=\frac{Z}{\sqrt{U/n}}\sim t(n)$ 称 $T_n$ 为自由度为 $n$ 的 t 分布。

性质

性质	公式
期望	$E(T_n)=0$（$n>1$）
方差	$\mathrm{Var}(T_n)=\frac{n}{n-2}$（$n>2$）
对称性	关于 0 对称
尾部	比正态分布尾部更厚
极限	$t_n\stackrel{n\to \infty }{\to }N(0,1)$

常用结论

$T_n^2\sim F(1,n)$

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四、F 分布

定义

F 分布

设 $U\sim {\chi }^2(m)$，$V\sim {\chi }^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 独立，则： $F_{m,n}=\frac{U/m}{V/n}\sim F(m,n)$ 称 $F(m,n)$ 为第一自由度 $m$，第二自由度 $n$ 的 F 分布。

性质

性质	公式
期望	$E(F_{m,n})=\frac{n}{n-2}$（$n>2$）
倒数性质	$\frac{1}{F_{m,n}}\sim F(n,m)$
与t分布关系	$T_n^2=F(1,n)$

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五、三大分布的对照表

	卡方 ${\chi }^2(n)$	t 分布 $t(n)$	F 分布 $F(m,n)$
来源	$Z_1^2+\cdots +Z_n^2$	$Z/\sqrt{{\chi }_n^2/n}$	${\chi }_m^2/m÷{\chi }_n^2/n$
定义变量	标准正态平方和	标准正态 ÷ 卡方	两卡方之比
自由度	$n$	$n$	$m,n$
期望	$n$	$0$（$n>1$）	$n/(n-2)$（$n>2$）
用途	总体方差CI	总体均值CI/检验	两总体方差比较

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六、相关章节

• 第五章 统计量及其分布 — 章节汇总
• 正态分布 — 三大分布的母分布
• 参数估计 — 区间估计的核心工具
• 假设检验 — 方差分析、比率检验的理论基础
• 7.2 正态总体参数的假设检验 — t检验、F检验