随机变量

概述

随机变量（Random Variable）是从随机试验的结果映射到数值上的函数，是概率论研究的核心对象。按取值类型分为离散型和连续型两大类。

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一、随机变量的定义

随机变量

设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 为概率空间，定义映射 $X:\Omega \to \mathbb{R}$，若对任意实数 $x$，集合 $\{\omega :X(\omega )⩽x\}\in \mathcal{F}$，则称 $X$ 为随机变量。

• 随机变量本质上是可测函数
• $\{X⩽x\}$ 简记为 $\{X⩽x\}$ 或 $(X⩽x)$

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二、离散型随机变量

定义

离散型随机变量

若随机变量 $X$ 只取有限或可列个值，则称 $X$ 为离散型随机变量。

概率质量函数（PMF）

概率质量函数（PMF）

设 $X$ 为离散型随机变量，$P(X=x_k)=p_k$ 称 $p_k$ 为 $X$ 的概率质量函数，满足：

• $p_k⩾0$
• ${\sum }_k{p}_k=1$

分布函数

$F(x)=P(X⩽x)={\sum }_{x_k⩽x}{p}_k$

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三、连续型随机变量

定义

连续型随机变量

若存在非负函数 $p(x)$，使对任意 $a⩽b$ 有 $P(a⩽X⩽b)={\int }_a^{b}p(x)dx$，则称 $X$ 为连续型随机变量，$p(x)$ 为其概率密度函数。

概率密度函数（PDF）的性质

性质	说明
$p(x)⩾0$	非负性
${\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)dx=1$	归一性
$P(X=c)=0$	单点概率为0
$P(a⩽X⩽b)={\int }_a^{b}p(x)dx$	区间概率

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四、分布函数

分布函数

对任意随机变量 $X$，称函数 $F(x)=P(X⩽x),x\in \mathbb{R}$ 为 $X$ 的累积分布函数（CDF），简称分布函数。

分布函数的性质

• 单调非减：$F(x_1)⩽F(x_2)$（$x_1<x_2$）
• 右连续：$F(x+0)=F(x)$
• 极限：${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$，${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$

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五、随机变量的数字特征

特征	定义	物理意义
数学期望 $E(X)$	$\sum x_k{p}_k$ 或 $\int xp(x)dx$	平均值
方差 $\mathrm{Var}(X)$	$E[(X-E(X){)}^2]$	离散程度
标准差 $\sigma$	$\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$	与期望同单位
协方差 $\mathrm{Cov}(X,Y)$	$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$	联合离散程度
相关系数 ${\rho }_{XY}$	$\mathrm{Cov}(X,Y)/{\sigma }_X{\sigma }_Y$	线性相关程度

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六、相关章节

• 第二章 随机变量及其分布 — 章节汇总
• 常用离散分布 — 伯努利、二项、泊松等
• 常用连续分布 — 正态、指数、均匀等
• 2.2 数学期望 — 随机变量的一阶矩
• 独立性 — 随机变量间的核心关系