常用连续分布

概述

连续型随机变量在连续区间上取值，其分布由概率密度函数（PDF）描述。本页面汇总概率论与统计中最常用的连续分布。

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一、均匀分布（Uniform）

均匀分布

若 $X\sim U(a,b)$，其 PDF 为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a⩽x⩽b\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

特征	值
期望	$E(X)=\frac{a+b}{2}$
方差	$\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
CDF	$F(x)=\frac{x-a}{b-a}$（$a⩽x⩽b$）
性质	”最公平”的分布，无任何先验偏好

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二、正态分布（Normal）

正态分布

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其 PDF 为： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

特征	值
期望	$\mu$
方差	${\sigma }^2$
线性变换	$aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$
3σ原则	$P(

详见：正态分布

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三、指数分布（Exponential）

指数分布

若 $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$，其 PDF 为： $f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x⩾0$

特征	值
期望	$E(X)=1/\lambda$
方差	$\mathrm{Var}(X)=1/{\lambda }^2$
CDF	$F(x)=1-e^{-\lambda x}$
无记忆性	$P(X > s+t
应用	等待时间、寿命分布

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四、伽马分布（Gamma）

伽马分布

若 $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha ,\lambda )$，其 PDF 为： $f(x)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x},x>0$

其中 $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$。

特征	值
期望	$E(X)=\alpha /\lambda$
方差	$\mathrm{Var}(X)=\alpha /{\lambda }^2$
特殊情形	$\alpha =1$ 时为指数分布；$\alpha =n/2,\lambda =1/2$ 时为卡方分布

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五、贝塔分布（Beta）

贝塔分布

若 $X\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$，其 PDF 为： $f(x)=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1},0<x<1$

其中 $B(\alpha ,\beta )=\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}$。

特征	值
期望	$E(X)=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$
方差	$\mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$
应用	概率的先验分布（贝叶斯统计）

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六、连续分布对照表

分布	记号	取值范围	期望	方差	典型应用
均匀	$U(a,b)$	$[a,b]$	$(a+b)/2$	$(b-a{)}^2/12$	随机数生成
正态	$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$(-\infty ,\infty )$	$\mu$	${\sigma }^2$	CLT、测量误差
指数	$\mathrm{Exp}(\lambda )$	$[0,\infty )$	$1/\lambda$	$1/{\lambda }^2$	等待时间、可靠性
伽马	$\mathrm{Gamma}(\alpha ,\lambda )$	$[0,\infty )$	$\alpha /\lambda$	$\alpha /{\lambda }^2$	排队论、贝叶斯
贝塔	$\mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$	$(0,1)$	$\alpha /(\alpha +\beta )$	见公式	概率的先验分布

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七、相关章节

• 第二章 随机变量及其分布 — 章节汇总
• 正态分布 — 最重要连续分布
• 中心极限定理 — 正态分布作为极限分布
• 常用离散分布 — 与离散分布对比学习