常用离散分布

概述

离散型随机变量在有限或可数个点上取值，是描述随机现象的重要数学模型。本页面汇总概率论与统计中最常用的离散分布。

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一、伯努利分布（Bernoulli）

伯努利分布

设随机变量 $X$ 只取 0 和 1 两个值，$P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$，则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的伯努利分布，记为 $X\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$。

特征	值
PMF	$P(X=1)=p,P(X=0)=1-p$
期望	$E(X)=p$
方差	$\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$
mgf	$M(t)=(1-p)+p{e}^t$
应用	一次成败试验，是二项分布的基础

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二、二项分布（Binomial）

二项分布

设 $X$ 为 $n$ 次独立重复试验中成功的次数，每次成功概率为 $p$，则 $X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$： $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n$

特征	值
期望	$E(X)=np$
方差	$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$
可加性	$X_1\sim B(n_1,p)$，$X_2\sim B(n_2,p)$，则 $X_1+X_2\sim B(n_1+n_2,p)$
正态近似	$X\approx N(np,np(1-p))$（CLT）
极限	$B(n,p)\stackrel{n\to \infty }{\to }\text{Poisson}(np)$（$p\to 0$）

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三、泊松分布（Poisson）

泊松分布

若随机变量 $X$ 的 PMF 为： $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2,\cdots$ 其中 $\lambda >0$，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X\sim P(\lambda )$。

特征	值
期望	$E(X)=\lambda$
方差	$\mathrm{Var}(X)=\lambda$
可加性	$X_1\sim P({\lambda }_1)$，$X_2\sim P({\lambda }_2)$，则 $X_1+X_2\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$
应用	稀有事件计数、单位时间事件数

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四、几何分布（Geometric）

几何分布

设独立重复试验每次成功概率为 $p$，$X$ 为首次成功出现的试验次数，则 $X\sim \mathrm{Geometric}(p)$： $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots$

特征	值
期望	$E(X)=1/p$
方差	$\mathrm{Var}(X)=(1-p)/p^2$
无记忆性	$P(X > m+n

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五、超几何分布（Hypergeometric）

超几何分布

从 $N$ 个产品（含 $M$ 个不合格品）中不放回抽取 $n$ 个，记 $X$ 为不合格品数，则 $X\sim \mathrm{Hypergeometric}(N,M,n)$： $P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)},k=0,1,\cdots ,n$

特征	值
期望	$E(X)=n\cdot M/N$
方差	$\mathrm{Var}(X)=n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}$

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六、离散分布对照表

分布	记号	取值	期望	方差	典型应用
伯努利	$\mathrm{Bern}(p)$	$\{0,1\}$	$p$	$p(1-p)$	成败试验
二项	$B(n,p)$	$\{0,\cdots ,n\}$	$np$	$np(1-p)$	$n$次试验成功数
泊松	$P(\lambda )$	$\{0,1,2,\cdots \}$	$\lambda$	$\lambda$	稀有事件
几何	$\mathrm{Geom}(p)$	$\{1,2,\cdots \}$	$1/p$	$(1-p)/p^2$	首次成功
超几何	$\mathrm{Hyper}(N,M,n)$	$\{\max (0,n-N+M),\cdots ,\min (n,M)\}$	$nM/N$	见公式	不放回抽样

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七、相关章节

• 第二章 随机变量及其分布 — 章节汇总
• 随机变量 — 离散型随机变量的基础
• 中心极限定理 — 二项分布的正态近似
• 常用连续分布 — 与连续分布对比学习