8C 广义特征空间分解的推论

本节概览

本节是第8章的高潮收尾，建立在 8B 广义特征空间分解 的基础上，得到两个重要成果：

1. 可逆算子的平方根（引理8.39, 定理8.41）$\to$ 利用幂零算子的有限性，构造 $\sqrt{I+T}$ 和 $\sqrt{T}$
2. 若当基与若当型（定义8.44, 定理8.45, 定理8.46）$\to$ 本节最核心的结果，证明每个复向量空间上的算子都有若当基，从而得到若当型——比上三角矩阵更精细的”最简标准形”

核心主线：幂零算子的平方根 $\to$ 可逆算子的平方根 $\to$ 若当基（归纳法） $\to$ 若当型（广义特征空间分解 + 若当基）。

前置依赖：8A 广义特征向量和幂零算子（幂零算子、广义特征向量）、8B 广义特征空间分解（广义特征空间分解、分块对角矩阵）、5C 上三角矩阵（上三角矩阵、特征值与对角元）、7A 自伴算子和正规算子（谱定理对比）。

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一、可逆算子的平方根

视频精要 — P98 8C(1)：特征多项式（19:51）

• 注意：第四版8C节内容与视频P98-P100可能不完全对应，视频基于第三版录制
• 视频P98主要讨论特征多项式，而第四版8C节聚焦于若当型
• 建议参考视频 P101-P103（第三版8D，对应第四版8C的若当型内容）

引理8.39：$I+T$ 有平方根（$T$ 幂零时）

引理 8.39：恒等算子加上幂零算子有平方根

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是幂零的。那么 $I+T$ 有平方根。

证明思路

[关键步骤1：泰勒级数启发]： 考虑 $\sqrt{1+x}$ 的泰勒级数

$\sqrt{1+x}=1+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$

其中 $a_1=\frac{1}{2}$。我们不需要关心各系数的确切值，只需要知道它们存在。

[关键步骤2：代入算子]： 因为 $T$ 是幂零的，所以存在正整数 $m$ 使得 $T^m=0$。将 $x$ 换成 $T$、$1$ 换成 $I$，无限和变为有限和：

$I+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_{m-1}{T}^{m-1}$

[关键步骤3：逐次确定系数]： 展开上述算子的平方：

$(I+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_{m-1}{T}^{m-1}{)}^2=I+2a_{1}T+(2a_2+a_1^2)T^2+(2a_3+2a_1{a}_2)T^3+\cdots$

令其等于 $I+T$，逐次求解：

• $2a_1=1$，得 $a_1=\frac{1}{2}$
• $2a_2+a_1^2=0$，得 $a_2=-\frac{1}{8}$
• $2a_3+2a_1{a}_2=0$，得 $a_3=\frac{1}{16}$
• 对每个 $k=4,\dots ,m-1$，类似地求出 $a_k$

每一步只需要解一个关于 $a_k$ 的线性方程（前一步的系数已知），因此总能求解。$■$

关键洞察

• 幂零性的威力：$T^m=0$ 将无限级数截断为有限和，这是整个证明的核心
• 上述引理在实向量空间和复向量空间上都成立
• 系数的具体值不重要，重要的是归纳式地逐次可解

定理8.41：复空间上可逆算子有平方根

定理 8.41： $\mathbb{C}$ 上可逆算子具有平方根

设 $V$ 是复向量空间，$T\in \mathcal{L}(V)$ 是可逆的。那么 $T$ 有平方根。

证明思路

[关键步骤1：广义特征空间上的分解]： 令 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 是 $T$ 的所有互异特征值。由 定理8.22(b)，对每个 $k$ 存在幂零算子 $T_k\in \mathcal{L}(G({\lambda }_k,T))$ 使得

$T{|}_{G({\lambda }_k,T)}={\lambda }_{k}I+T_k$

[关键步骤2：提取特征值]： 因为 $T$ 可逆，所以各 ${\lambda }_k\ne 0$。因此

$T{|}_{G({\lambda }_k,T)}={\lambda }_k\left(I+\frac{T_k}{{\lambda }_k}\right)$

因为 $T_k/{\lambda }_k$ 仍是幂零的，由 引理8.39，$I+T_k/{\lambda }_k$ 有平方根。

[关键步骤3：构造平方根]： 将复数 ${\lambda }_k$ 的平方根（$\sqrt{{\lambda }_k}\in \mathbb{C}$）与 $I+T_k/{\lambda }_k$ 的平方根相乘，得到 $T{|}_{G({\lambda }_k,T)}$ 的平方根 $R_k$。

[关键步骤4：拼接]： 由广义特征空间分解，每个 $v\in V$ 可唯一写成 $v=u_1+\cdots +u_m$，其中 $u_k\in G({\lambda }_k,T)$。定义

$Rv=R_1{u}_1+\cdots +R_m{u}_m$

则 $R$ 是 $T$ 的平方根。$■$

推广

效仿上述技巧可以证明：如果 $V$ 是复向量空间且 $T\in \mathcal{L}(V)$ 可逆，那么 $T$ 具有任意正整数次方根。

反例：不可逆算子不一定有平方根

${\mathbb{C}}^3$ 上定义为 $T(z_1,z_2,z_3)=(z_2,z_3,0)$ 的算子没有平方根（见习题1）。这个算子不可逆并非偶然。

实向量空间的限制

一维实向量空间 $\mathbb{R}$ 上”与 $-1$ 相乘”这个算子就没有平方根——因为 $\sqrt{-1}\notin \mathbb{R}$。这说明定理8.41在实向量空间上不成立。

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二、若当基与若当型

视频精要

• P101 8D(1)：幂零算子的循环子空间分解（52:56）

• P102 8D(2)：定理8.55的推论（42:34）

• P103 8D(3)：Jordan标准型（23:42）

版本差异说明 第三版的8D节（Jordan标准型），而第四版中Jordan型被提前到了8C节。视频中的定理编号和内容组织可能与教材不完全一致，但核心思想相同。

视频P101-P103对应的是

例8.42：单个若当块的幂零算子

例 8.42：具有很好的矩阵的幂零算子

设 $T$ 是 ${\mathbb{C}}^4$ 上定义为

$T(z_1,z_2,z_3,z_4)=(0,z_1,z_2,z_3)$

的算子。那么 $T^4=0$，从而 $T$ 是幂零的。

取 $v=(1,0,0,0)$，则 $T^{3}v,T^{2}v,Tv,v$ 是 ${\mathbb{C}}^4$ 的基。$T$ 关于该基的矩阵是

$\mathcal{M}(T)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

观察要点

• 这就是一个 $4\times 4$ 的若当块（特征值为0）
• 对角线上全是0，紧挨对角线正上方的元素全是1，其余为0
• 基的排列顺序是 $T^{3}v,T^{2}v,Tv,v$（从高次幂到低次幂），这保证了1出现在超对角线上

例8.43：多个若当块的幂零算子

例 8.43：具有稍复杂点的矩阵的幂零算子

设 $T$ 是 ${\mathbb{C}}^6$ 上定义为

$T(z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6)=(0,z_1,z_2,0,z_4,0)$

的算子。那么 $T^3=0$，从而 $T$ 是幂零的。

与例8.42不同，这里不存在单个向量 $v\in {\mathbb{C}}^6$ 使得 $T^{5}v,T^{4}v,T^{3}v,T^{2}v,Tv,v$ 构成基。然而，取

• $v_1=(1,0,0,0,0,0)$
• $v_2=(0,0,0,1,0,0)$
• $v_3=(0,0,0,0,0,1)$

则 $T^2{v}_1,T{v}_1,v_1,T{v}_2,v_2,v_3$ 是 ${\mathbb{C}}^6$ 的一个基。$T$ 关于该基的矩阵是

$\mathcal{M}(T)=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

这是一个分块对角矩阵，包含：

• 一个 $3\times 3$ 的若当块（对应 $v_1$ 的链）
• 一个 $2\times 2$ 的若当块（对应 $v_2$ 的链）
• 一个 $1\times 1$ 的零块（对应 $v_3$）

关键观察

• 当找不到一条足够长的链来覆盖整个空间时，需要多条较短的链
• 每条链对应一个若当块，链的长度等于块的阶数
• $v_1$ 产生长度为3的链：$T^2{v}_1\to T{v}_1\to v_1$
• $v_2$ 产生长度为2的链：$T{v}_2\to v_2$
• $v_3$ 产生长度为1的链：$v_3$

定义8.44：若当基

定义 8.44：若当基（Jordan basis）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。称 $V$ 的一个基是 $T$ 的若当基，如果 $T$ 关于该基具有分块对角矩阵

$\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & A_p\end{array}\right)$

其中每个对角块 $A_k$ 是形如

$A_k=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_k& 1& & 0\\ & {\lambda }_k& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ 0& & & {\lambda }_k\end{array}\right)$

的上三角矩阵。这样的矩阵 $A_k$ 称为若当块（Jordan block）。

若当块的结构

• 对角线上全是同一个特征值 ${\lambda }_k$
• 紧挨对角线正上方的元素全是 $1$
• 其余元素全为 $0$
• 若当块可以是 $1\times 1$ 的（仅含 ${\lambda }_k$），此时退化为对角元素
• 各 ${\lambda }_k$ 不一定互异

定理8.45：每个幂零算子都有若当基（核心定理）

定理 8.45：每个幂零算子都有若当基

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是幂零的。那么 $V$ 中有一个基是 $T$ 的若当基。

证明思路

[关键步骤1：归纳奠基]： 对 $\dim V$ 用归纳法。$\dim V=1$ 时，唯一的幂零算子是 $0$ 算子，结论显然成立。

[关键步骤2：构造最长链]： 设 $\dim V>1$，令 $m$ 是使得 $T^m=0$ 的最小正整数。取 $u\in V$ 使得 $T^{m-1}u\ne 0$。令

$U=\text{span}(u,Tu,\dots ,T^{m-1}u)$

由 8A节习题2，$u,Tu,\dots ,T^{m-1}u$ 线性无关。若 $U=V$，则将这组向量反过来排列就得到若当基，证明完成。

[关键步骤3：构造补空间 $W$]： 设 $U\ne V$。取 $\phi \in V^{\prime }$ 使得 $\phi (T^{m-1}u)\ne 0$。令

$W=\{v\in V:\phi (T^{k}v)=0\text{ 对每个 }k=0,\dots ,m-1\}$

则 $W$ 是 $V$ 的在 $T$ 下不变的子空间（若 $v\in W$，则 $\phi (T^k(Tv))=0$ 对所有 $k=0,\dots ,m-2$ 成立；$k=m-1$ 时 $\phi (T^{m}v)=\phi (0)=0$）。

[关键步骤4：证明 $V=U\oplus W$]：

• $U\cap W=\{0\}$：设 $v\in U\cap W$，$v\ne 0$。则 $v=c_{0}u+c_{1}Tu+\cdots +c_{m-1}{T}^{m-1}u$。令 $j$ 是使 $c_j\ne 0$ 的最小下标。将 $T^{m-j-1}$ 作用于两端，得 $T^{m-j-1}v=c_j{T}^{m-1}u$。用 $\phi$ 作用得 $\phi (T^{m-j-1}v)=c_j\phi (T^{m-1}u)\ne 0$，与 $v\in W$ 矛盾。

• $U\oplus W=V$：定义 $S:V\to {\mathbb{F}}^m$ 为 $Sv=(\phi (v),\phi (Tv),\dots ,\phi (T^{m-1}v))$。则 $\text{null }S=W$，由 线性映射基本定理（3.21），

$\dim W=\dim V-\dim \text{range }S\ge \dim V-m$

因此 $\dim (U\oplus W)=\dim U+\dim W\ge m+(\dim V-m)=\dim V$，由 2.39 得 $U\oplus W=V$。

[关键步骤5：归纳完成]： $U$ 和 $W$ 都在 $T$ 下不变，且维数都小于 $\dim V$。由归纳假设，$U$ 有 $T{|}_U$ 的若当基，$W$ 有 $T{|}_W$ 的若当基。将两者合并即得 $T$ 的若当基。$■$

证明的核心技巧

• 对偶空间的使用：通过 $\phi \in V^{\prime }$ 构造补空间 $W$，这是整个证明最精妙的部分
• 线性映射 $S$ 的维度估计：利用 $\dim \text{range }S\le m$ 来证明 $U\oplus W=V$
• 归纳法的结构：找到 $T$-不变子空间 $U$ 和 $W$，分别应用归纳假设，然后合并

定理8.46：若当型（核心定理）

定理 8.46：若当型（Jordan Form）

设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么 $V$ 有一个基是 $T$ 的若当基。

证明思路

[关键步骤]： 令 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 是 $T$ 的所有互异特征值。由 广义特征空间分解（8.22），

$V=G({\lambda }_1,T)\oplus \cdots \oplus G({\lambda }_m,T)$

且每个 $(T-{\lambda }_{k}I){|}_{G({\lambda }_k,T)}$ 都是幂零的。由 定理8.45，每个 $G({\lambda }_k,T)$ 都有 $(T-{\lambda }_{k}I){|}_{G({\lambda }_k,T)}$ 的若当基。将这些基合并，就得到 $V$ 的一个基，且它是 $T$ 的若当基。$■$

证明的结构之美

• 若当型定理的证明将前两节的所有工具完美串联：
  • 8B 广义特征空间分解 提供空间分解 $V=⨁G({\lambda }_k,T)$
  • 8A 广义特征向量和幂零算子 保证 $(T-{\lambda }_{k}I){|}_{G({\lambda }_k,T)}$ 是幂零的
  • 定理8.45 为幂零算子提供若当基
• 整个第8章的逻辑链条：广义特征向量 $\to$ 幂零算子 $\to$ 广义特征空间分解 $\to$ 若当基 $\to$ 若当型

历史注记

卡米耶·若当（Camille Jordan, 1838—1922）于1870年发表了定理8.46的证明。

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三、知识结构总览

graph TB
    subgraph "8C 广义特征空间分解的推论"
        A["引理8.39<br/>I+T有平方根<br/>（T幂零时）"]
        B["定理8.41<br/>可逆算子有平方根<br/>（复空间）"]
        C["定义8.44<br/>若当基"]
        D["定理8.45<br/>幂零算子有若当基<br/>（归纳法）"]
        E["定理8.46<br/>若当型<br/>（Jordan Form）"]
    end

    subgraph "前置知识"
        F["8A 幂零算子"]
        G["8B 广义特征空间分解"]
        H["5C 上三角矩阵"]
    end

    F --> A
    F --> D
    G --> B
    G --> E
    D --> E
    A --> B
    H --> C

    style E fill:#ff6b6b,color:#fff,stroke:#c0392b,stroke-width:3px
    style D fill:#ff6b6b,color:#fff,stroke:#c0392b,stroke-width:3px
    style B fill:#74b9ff,color:#fff,stroke:#2980b9,stroke-width:2px

graph LR
    subgraph "矩阵形式的层次关系"
        A["一般矩阵"] --> B["上三角矩阵<br/>（定理5.27）"]
        B --> C["分块对角矩阵<br/>（定理8.37）"]
        C --> D["若当型<br/>（定理8.46）"]
        D --> E["对角矩阵<br/>（可对角化时）"]
    end

    style D fill:#ff6b6b,color:#fff,stroke:#c0392b,stroke-width:3px
    style E fill:#2ecc71,color:#fff,stroke:#27ae60,stroke-width:2px

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四、核心思想与证明技巧

泰勒级数截断法（引理8.39）

核心技巧

将 $\sqrt{1+x}$ 的泰勒级数中的 $x$ 替换为幂零算子 $T$。因为 $T^m=0$，无限级数自动截断为有限和，从而避免了收敛性问题。这一技巧的精髓在于：

• ==幂零性 $\Rightarrow$ 有限性 $\Rightarrow$ 无需讨论收敛==
• 系数可以逐次确定，每步只需求解一个线性方程
• 该方法可推广到构造任意多项式函数 $f(I+T)$

归纳法 + 对偶空间（定理8.45）

核心技巧

定理8.45的证明是本章最精妙的归纳论证之一，其关键创新在于：

1. 构造最长链 $U$：取 $u$ 使得 $T^{m-1}u\ne 0$，生成循环子空间 $U$
2. 利用对偶空间构造补空间 $W$：通过 $\phi \in V^{\prime }$ 定义 $W$，巧妙地保证 $W$ 在 $T$ 下不变
3. 维度估计：构造线性映射 $S:V\to {\mathbb{F}}^m$，利用 $\dim \text{range }S\le m$ 证明 $U\oplus W=V$

对偶空间的使用是整个证明的灵魂——它使得我们能够”正交地”切出补空间，同时保持 $T$-不变性。

从幂零到一般（定理8.46）

核心技巧

定理8.46的证明体现了"化归为幂零情形"的标准策略：

1. 利用广义特征空间分解，将 $V$ 分解为 $G({\lambda }_k,T)$ 的直和
2. 在每个 $G({\lambda }_k,T)$ 上，$T-{\lambda }_{k}I$ 是幂零的
3. 对幂零算子 $T-{\lambda }_{k}I$ 应用定理8.45，得到若当基
4. 合并各若当基，得到 $T$ 的若当基

这一策略与定理8.37（分块对角矩阵）的证明策略完全一致，只是这里用若当基替换了上三角基。

若当链的构造

核心概念

给定幂零算子 $T$ 和向量 $v$ 使得 $T^{m-1}v\ne 0$ 但 $T^{m}v=0$，则

$v,Tv,T^{2}v,\dots ,T^{m-1}v$

构成一条若当链（Jordan chain），对应一个 $m\times m$ 的若当块。若当链中的每个向量都是 $T$ 的广义特征向量。

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五、补充理解与易混淆点

若当块是什么？——最直观的理解

若当块的直观形象

若当块是一个”几乎对角”的上三角矩阵：对角线上全是同一个特征值 $\lambda$，紧挨对角线正上方的元素全是 $1$，其余为 $0$。

例如 $3\times 3$ 若当块：

$\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)$

几何直觉：若当块描述了”链式作用”——

• $T{v}_3=v_2+\lambda v_3$（将 $v_3$ 映射到 $v_2$ 方向，加上 $\lambda$ 倍自身）
• $T{v}_2=v_1+\lambda v_2$
• $T{v}_1=\lambda v_1$（$v_1$ 是真正的特征向量）

可以想象成一条”降级链”：$v_3\stackrel{T}{\to }{v}_2\stackrel{T}{\to }{v}_1\stackrel{T}{\to }0$（减去 $\lambda$ 倍自身后）。

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、University of Toronto Jordan Form讲义、Northwestern大学Jordan Form讲义、Utah大学Jordan Form讲义。

若当型 vs 对角矩阵 vs 分块对角矩阵

矩阵形式的层次关系

形式	描述	条件	例子
对角矩阵	每个块都是 $1\times 1$	$T$ 可对角化	$\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$
若当型	每个块是若当块	$T$ 是复空间上的算子	含若当块的分块对角矩阵
分块对角矩阵	每个块是上三角的	$T$ 是复空间上的算子	[[8B 广义特征空间分解#41-分块对角矩阵
上三角矩阵	一般上三角	$V$ 是复向量空间	[[5C 上三角矩阵

层次关系：对角矩阵 $\subset$ 若当型 $\subset$ 分块对角矩阵 $\subset$ 上三角矩阵 $\subset$ 一般矩阵

• 对角矩阵：最理想的情况，$T$ 可对角化时取得
• 若当型：最精细的”几乎对角”形式，对任意复算子都存在
• 分块对角矩阵（8.37）：每个块是上三角的，对角线全为 ${\lambda }_k$，但超对角线不一定是 $1$
• 若当型是分块对角矩阵的进一步精细化：强制超对角线元素为 $1$

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、University of Toronto Jordan Form讲义、Northwestern大学Jordan Form讲义、Utah大学Jordan Form讲义。

若当链（Jordan Chain）的构造

若当链的详细说明

给定幂零算子 $T$ 和向量 $v$ 使得 $T^{m-1}v\ne 0$ 但 $T^{m}v=0$，则

$v,Tv,T^{2}v,\dots ,T^{m-1}v$

构成一条长度为 $m$ 的若当链。

性质：

• 这条链对应一个 $m\times m$ 的若当块
• 链中每个向量都是 $T$ 的广义特征向量
• $T^{m-1}v$ 是 $T$ 的（真正的）特征向量（属于 $\text{null }T$）
• 链的长度 $m$ 等于 $v$ 作为广义特征向量的”级”（level）

在若当基中的排列：若当链在基中按从高次幂到低次幂排列，即 $T^{m-1}v,\dots ,Tv,v$，这样 $T$ 作用后每个向量恰好变成前一个向量（加上 $\lambda$ 倍自身）。

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、University of Toronto Jordan Form讲义、Northwestern大学Jordan Form讲义、Utah大学Jordan Form讲义。

为什么若当型重要？

若当型的意义

1. 最简标准形：若当型是复向量空间上算子的”最简标准形”——比 谱定理 更一般
   • 谱定理要求 $T$ 正规（$T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$），若当型对任意算子都成立
   • 谱定理给出对角矩阵，若当型给出”最接近对角”的形式
2. 揭示内部结构：若当型直接告诉我们：
   • $T$ 有哪些特征值
   • 每个特征值对应多少个若当块（= 该特征值的几何重数 = $\dim \text{null}(T-\lambda I)$）
   • 每个若当块多大（最大块的阶数 = $(T-\lambda I)$ 在 $G(\lambda ,T)$ 上的幂零指数）
3. 重要应用：
   • 解微分方程组：$x^{\prime }=Ax$ 的通解可通过若当型直接写出
   • 计算矩阵函数：$e^A,\sin (A),\cos (A)$ 等可通过若当块上的函数值计算
   • Markov链分析：若当型揭示马尔可夫矩阵的长期行为

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、University of Toronto Jordan Form讲义、Northwestern大学Jordan Form讲义、Utah大学Jordan Form讲义。

常见误区

常见误区纠正

误区	正确理解
❌ “若当型要求算子可对角化”	✅ 恰恰相反，若当型处理的是不可对角化的情况。可对角化时若当型退化为对角矩阵
❌ “若当块的大小等于特征值的（代数）重数”	✅ 若当块大小之和等于代数重数，但可以有多个块。例如代数重数为4的特征值可以对应一个 $3\times 3$ 块加一个 $1\times 1$ 块
❌ “若当基是唯一的”	✅ 若当基不唯一，但若当块的个数和大小是唯一确定的（不计排列顺序）
❌ “实矩阵没有若当型”	✅ 实矩阵在复化后仍有若当型，但可能涉及复特征值。若当型定理只在复数域上成立
❌ “若当型中的1可以换成其他数”	✅ 超对角线上的1是标准化的，通过适当的基变换总可以化为1

误区二："若当型是唯一的"

❌ 一个算子的若当型矩阵是唯一确定的。 ✅ 若当型的对角块可以任意排列，因此矩阵形式不唯一。但每个特征值对应的若当块的大小（不计顺序）是唯一的。

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、OSU Ximera线性代数教材。

误区三："若当基只在复数域上存在"

❌ 若当基只在复向量空间上有意义。 ✅ 幂零算子的若当基在实数域上也成立（定理8.45不依赖域）。但完整的若当型定理（8.46）确实只在复数域上成立，因为需要广义特征空间分解。

来源：MIT 18.06讲义（Gilbert Strang）、Northwestern大学Jordan Form讲义。

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六、习题精选

本节习题

习题号	标题	核心考点	难度
习题1	无平方根的算子	平方根不存在的证明	中
习题2	I+T的平方根计算	引理8.39的应用	中
习题4	-I的平方根与维数	实空间上的平方根	中
习题5	若当基的构造	若当基的具体计算	高
习题7	若当基与最小多项式	若当块大小与最小多项式	高
习题10	颠倒若当基的矩阵	若当基的顺序变换	中
习题14	不可分解的刻画	最小多项式与不变子空间	高

习题1：无平方根的算子

习题1

设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{C}}^3)$ 是定义为 $T(z_1,z_2,z_3)=(z_2,z_3,0)$ 的算子。证明：$T$ 没有平方根。

查看解答

反证法。假设存在 $R\in \mathcal{L}({\mathbb{C}}^3)$ 使得 $R^2=T$。

$T$ 是幂零的（$T^3=0$ 但 $T^2\ne 0$）。因此 $R^6=T^3=0$，故 $R$ 也是幂零的。

由 8.16，$\dim \text{null}{R}^3=3$（因为 $R^6=0$ 且零空间序列在 $\dim V=3$ 步内停止增长）。

但 $R^4=T^2\ne 0$，故 $\text{null}{R}^4\ne V$。由 8.3，$\text{null}{R}^3⊊\text{null}{R}^4$，故 $\dim \text{null}{R}^3<3$，矛盾。$■$

习题2：I+T的平方根计算

习题2

定义 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^5)$ 为 $T(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(2x_2,3x_3,-x_4,4x_5,0)$。 (a) 证明：$T$ 是幂零的。 (b) 求出 $I+T$ 的一个平方根。

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(a)：$T^5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=T^4(2x_2,3x_3,-x_4,4x_5,0)=T^3(6x_3,-3x_4,16x_5,0,0)=T^2(-3x_4,48x_5,0,0,0)=T(192x_5,0,0,0,0)=(0,0,0,0,0)$。故 $T^5=0$。

(b)：由引理 8.39 的证明，$I+T$ 的平方根形如 $I+a_{1}T+a_2{T}^2+a_3{T}^3+a_4{T}^4$。

展开平方：$(I+a_{1}T+a_2{T}^2+a_3{T}^3+a_4{T}^4{)}^2=I+2a_{1}T+(2a_2+a_1^2)T^2+(2a_3+2a_1{a}_2)T^3+(2a_4+2a_1{a}_3+a_2^2)T^4+\cdots$

令各系数等于 $I+T$ 的对应系数：$2a_1=1\Rightarrow a_1=1/2$。$2a_2+a_1^2=0\Rightarrow a_2=-1/8$。$2a_3+2a_1{a}_2=0\Rightarrow a_3=1/16$。$2a_4+2a_1{a}_3+a_2^2=0\Rightarrow a_4=-5/128$。

因此 $R=I+\frac{1}{2}T-\frac{1}{8}{T}^2+\frac{1}{16}{T}^3-\frac{5}{128}{T}^4$。$■$

习题4：-I的平方根与维数

习题4

设 $V$ 是实向量空间。证明：当且仅当 $\dim V$ 为偶数，$V$ 上的算子 $-I$ 才有平方根。

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⇒：设 $R^2=-I$。取 $V$ 的任一基，$M(R^2)=M(-I)=-I$。故 $\det (M(R){)}^2=\det (M(R^2))=\det (-I)=(-1{)}^{\dim V}$。

在实数域上，$\det (M(R))\in \mathbb{R}$，故 $(-1{)}^{\dim V}\ge 0$，即 $\dim V$ 为偶数。

⇐：设 $\dim V=2n$。将 $V$ 分解为 $n$ 个二维子空间的直和，在每个二维子空间上定义 $R_k=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$（旋转90°）。$R_k^2=-I_2$。令 $R=R_1\oplus \cdots \oplus R_n$，则 $R^2=-I$。$■$

习题5：若当基的构造

习题5

设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{C}}^2)$ 是定义为 $T(w,z)=(-w-z,9w+5z)$ 的算子。求出 $T$ 的一个若当基。

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$T$ 关于标准基的矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 9& 5\end{array}\right)$。

特征值：$\det (T-\lambda I)=(\lambda +1)(\lambda -5)+9={\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$。特征值 $2$，重数 $2$。

$T-2I=\left(\begin{array}{cc}-3& -1\\ 9& 3\end{array}\right)$。$\text{null}(T-2I)=\text{span}\{(1,-3)\}$，几何重数为 $1$。

因为几何重数 $=1<2$，所以 $T$ 不可对角化。需要广义特征向量：$(T-2I)v=(1,-3)$，解得 $v=(0,-1)$（或其他解）。

若当基：$\{(T-2I)v,v\}=\{(1,-3),(0,-1)\}$。

$T$ 关于该基的矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$。$■$

习题7：若当基与最小多项式

习题7

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是幂零的，$v_1,\dots ,v_n$ 是 $T$ 的若当基。证明：$T$ 的最小多项式是 $z^{m+1}$，其中 $m$ 是 $T$ 关于 $v_1,\dots ,v_n$ 的矩阵中，紧挨在对角线上方的这条线上连续出现的 $1$ 的最大数目。

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$T$ 关于若当基的矩阵是分块对角矩阵，每个对角块是 Jordan 块 $J_k=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 0& 1\\ & & & 0\end{array}\right)$，大小为 $m_k+1$。

$T^{m_k+1}$ 在第 $k$ 个 Jordan 块上为零，但 $T^{m_k}$ 不为零（因为 $(T^{m_k}{)}_{1,m_k+1}=1$）。

$T$ 的最小多项式是使 $T^d$ 在所有 Jordan 块上都为零的最小 $d$，即 $d=\max (m_k)+1=m+1$。$■$

习题10：颠倒若当基的矩阵

习题10

设 $T\in \mathcal{L}(V)$，$V$ 的基 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $T$ 的若当基。描述 $T$ 关于基 $v_n,\dots ,v_1$（通过颠倒各 $v$ 的顺序得到）的矩阵。

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设 $T$ 关于原基的矩阵为 $J=\text{diag}(A_1,\dots ,A_p)$，其中每个 $A_k$ 是 Jordan 块。

颠倒基的顺序等价于用置换矩阵 $P$（反对角线全为1）做相似变换：$PJ{P}^{-1}$。

对单个 Jordan 块 $A=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right)$，$PA{P}^{-1}$ 将 $1$ 从超对角线移到次对角线（主对角线下方紧邻的位置），即 $\lambda$ 仍在主对角线上，但 $1$ 出现在次对角线上。

因此 $T$ 关于颠倒基的矩阵是分块对角矩阵，每个块是 Jordan 块的”转置”——$\lambda$ 在对角线上，$1$ 在次对角线上。$■$

习题14：不可分解的刻画

习题14

设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$。证明：$V$ 不能分解为两个在 $T$ 下不变的非零子空间的直和，当且仅当 $T$ 的最小多项式形如 $(z-\lambda {)}^{\dim V}$（其中 $\lambda \in \mathbb{C}$）。

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⇒：假设 $V$ 不能分解为两个非零不变子空间的直和。由广义特征空间分解（8.22），$V=G({\lambda }_1,T)\oplus \cdots \oplus G({\lambda }_m,T)$。如果 $m\ge 2$，这就给出了一个分解，矛盾。故 $m=1$，$T$ 只有一个特征值 $\lambda$，且 $V=G(\lambda ,T)$。

$T$ 的最小多项式是 $(z-\lambda {)}^k$，其中 $k$ 是使 $(T-\lambda I{)}^k=0$ 的最小正整数。由 8.20，$G(\lambda ,T)=\text{null}(T-\lambda I{)}^{\dim V}$，故 $k=\dim V$。

⇐：假设最小多项式为 $(z-\lambda {)}^{\dim V}$。则 $T$ 只有一个特征值 $\lambda$（因为最小多项式的根就是所有特征值）。由广义特征空间分解，$V=G(\lambda ,T)$。

假设 $V=U\oplus W$，其中 $U,W$ 是非零的 $T$-不变子空间。则 $T{|}_U$ 的特征值也是 $\lambda$，最小多项式整除 $(z-\lambda {)}^{\dim V}$。但 $\dim U<\dim V$ 且 $\dim W<\dim V$，所以 $(T-\lambda I{)}^{\dim V-1}$ 在 $U$ 和 $W$ 上都不为零（因为各自的幂零指数等于各自维数）。矛盾。$■$

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七、视频学习指南

视频精要汇总

编号	标题	时长	内容要点
P98	8C(1)：特征多项式	19:51	第四版8C内容与视频可能不完全对应
P99	8C(2)：极小多项式	52:51	极小多项式的性质与应用
P100	8C习题	40:54	习题讲解
P101	8D(1)：幂零算子的循环子空间分解	52:56	推荐：对应第四版8C的若当基构造
P102	8D(2)：定理8.55的推论	42:34	若当型的推论与应用
P103	8D(3)：Jordan标准型	23:42	推荐：若当型的总结与展望

版本差异说明

• 视频基于第三版录制，第三版中 Jordan 标准型在 8D 节
• 第四版中 Jordan 型被提前到 8C 节，因此视频 P101-P103（第三版8D）对应第四版的8C
• 视频中的定理编号可能与教材不一致，请以第四版教材为准
• 建议重点观看 P101（若当基的构造思想）和 P103（若当型总结）

学习建议

1. 先阅读教材8C节，理解若当基和若当型的定义
2. 观看 P101，理解幂零算子的循环子空间分解（即若当基的构造过程）
3. 观看 P103，建立若当型的整体认知
4. 回到教材，仔细研读定理8.45的归纳证明
5. 完成习题5和习题7，巩固若当基的构造和最小多项式的联系

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八、教材原文

教材原文

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若当型 #学习/线性代数/复向量空间上的算子/幂零算子 #学习/线性代数/复向量空间上的算子/平方根