7.5 正态性检验

相关笔记：7.1 假设检验的基本思想与概念 | 7.2 正态总体参数的假设检验 | 7.3 其他分布参数的假设检验 | 7.4 似然比检验与分布拟合检验 | 5.4 三大抽样分布 | 4.4 中心极限定理 | 2.5 常用连续分布

本节概览

本节介绍正态性检验的三种主要方法：正态概率纸检验（图形法）、Shapiro-Wilk检验（W检验，小样本最优）和Epps-Pulley检验（EP检验，大样本适用）。正态性检验是假设检验的重要应用之一，用于判断样本数据是否来自正态总体，是许多参数统计方法（如 $t$ 检验、方差分析等）的前提条件。我国国家标准 GB/T 4882-2001《数据的统计处理和解释 正态性检验》对这三种方法进行了规范。

逻辑链条：概述 → 概率纸 → W检验 → EP检验 → 变换 → 对比汇总 → 结构总览 → 解题技巧 → 易混淆点 → 习题 → 教材原文

前置依赖：§7.1（假设检验框架）、§7.4（分布拟合检验）、§5.4（正态分布、次序统计量）、§4.4（正态近似）、§7.2（正态总体检验）、§7.3（大样本检验）

核心主线：正态性检验的核心问题是”数据是否来自正态分布”。正态概率纸通过图形直观判断；W检验通过衡量次序统计量与正态分布期望的相关性来检验；EP检验利用特征函数构造统计量。当数据不服从正态分布时，可通过适当的正态性变换（如对数变换）使变换后的数据近似正态。

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一、正态性检验概述

在§7.2中，我们讨论了在已知总体服从正态分布的前提下，如何对均值和方差进行假设检验。然而在实际应用中，“总体是否服从正态分布”本身就是一个需要检验的问题。许多统计方法（如 $t$ 检验、$F$ 检验、方差分析等）都以正态性假设为前提，因此正态性检验具有重要的实际意义。

正态性检验的定义

定义 7.5.1 — 正态性检验

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，考虑假设检验问题

$$H_0:X\text{ 服从正态分布}\text{vs}{H}_1:X\text{ 不服从正态分布}$$

用于检验上述假设的方法称为正态性检验（Normality Test）。

正态性检验的意义

正态性检验在统计分析中具有基础性地位，其重要性体现在以下几个方面：

1. 参数方法的前提：§7.2中的 $u$ 检验、$t$ 检验、${\chi }^2$ 检验和 $F$ 检验都要求总体服从正态分布。如果正态性假设不成立，这些检验的第一类错误概率可能偏离名义水平 $\alpha$。
2. 抽样分布的依据：§5.4中的 ${\chi }^2$ 分布、$t$ 分布、$F$ 分布都是从正态总体导出的，正态性是这些分布成立的根本条件。
3. 中心极限定理的补充：虽然中心极限定理保证了大样本下样本均值的近似正态性，但小样本情形下仍需直接检验正态性。

三种方法概述

我国国家标准 GB/T 4882-2001《数据的统计处理和解释 正态性检验》推荐了以下三种正态性检验方法：

方法	全称	适用样本量	检验类型	特点
正态概率纸	Normal Probability Paper	无严格限制	图形法	直观、简便，但主观性强
W检验	Shapiro-Wilk 检验	$8⩽n⩽50$	定量检验	小样本最优正态性检验
EP检验	Epps-Pulley 检验	$n⩾8$	定量检验	大样本适用，计算较复杂

方法选择建议

• $n<8$：只能使用正态概率纸（图形法），定量检验功效不足。
• $8⩽n⩽50$：优先使用 W 检验，功效最高。
• $n>50$：使用 EP 检验，或使用 D’Agostino 检验等大样本方法。

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二、正态概率纸检验

正态概率纸检验是一种简单直观的图形方法，其核心思想是：如果数据来自正态分布，则在特殊的坐标纸（正态概率纸）上，数据点应近似落在一条直线上。

正态概率纸的构造原理

正态概率纸的构造基于标准正态分布的分位数函数。设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则标准化后 $Z=(X-\mu )/\sigma \sim N(0,1)$。

构造方法：

1. 横轴：等距刻度，表示观测值 $x$。
2. 纵轴：非等距刻度，表示标准正态分布的分位数 ${\Phi }^{-1}(p)$，但标注的是累积概率 $p=\Phi (z)$。

因此，如果 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $p=F(x)=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$，即

$${\Phi }^{-1}(p)=\frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{1}{\sigma }x-\frac{\mu }{\sigma }$$

这说明 $x$ 与 ${\Phi }^{-1}(p)$ 之间是线性关系。在正态概率纸上，纵轴已经做了 ${\Phi }^{-1}$ 变换，因此正态数据点应落在一条直线上。

修正频率公式

在实际操作中，我们不知道真实的累积概率 $F(x_i)$，需要用样本的修正频率来估计。设 $X_{(1)}⩽X_{(2)}⩽\cdots ⩽X_{(n)}$ 为次序统计量，常用的修正频率公式有：

Blom 公式（推荐）：

$${\hat{p}}_i=\frac{i-0.375}{n+0.25},i=1,2,\dots ,n$$

Weibull 公式：

$${\hat{p}}_i=\frac{i}{n+1},i=1,2,\dots ,n$$

为什么需要修正？

直接使用 $i/n$ 作为累积概率的估计会导致 ${\hat{p}}_n=1$，而 ${\Phi }^{-1}(1)=+\infty$，无法在概率纸上描点。修正频率公式避免了端点处的无穷大问题，同时提供了更好的无偏估计。

描点判断方法（4步操作）

第一步：将样本观测值按从小到大排列，得到次序统计量 $x_{(1)}⩽x_{(2)}⩽\cdots ⩽x_{(n)}$。

第二步：计算每个 $x_{(i)}$ 对应的修正频率 ${\hat{p}}_i=\frac{i-0.375}{n+0.25}$。

第三步：在正态概率纸上描点 $(x_{(i)},{\hat{p}}_i)$，$i=1,2,\dots ,n$。

第四步：判断准则——如果各点近似在一条直线附近，则不拒绝 $H_0$（正态性）；如果点明显偏离直线（特别是两端），则拒绝 $H_0$。

例 7.5.1 — 零件偏差的正态概率纸检验

从某批零件中随机抽取 10 个，测量其尺寸偏差（单位：mm），数据如下：

$$10.5,10.6,10.7,10.8,10.9,11.0,11.1,11.2,11.3,11.5$$

试用正态概率纸检验该批零件的尺寸偏差是否服从正态分布。

解：

第一步：数据已按从小到大排列。

第二步：计算修正频率（Blom公式，$n=10$）：

$i$	$x_{(i)}$	${\hat{p}}_i=\frac{i-0.375}{10.25}$	${\Phi }^{-1}({\hat{p}}_i)$
1	10.5	0.0610	$-1.546$
2	10.6	0.1585	$-1.000$
3	10.7	0.2561	$-0.655$
4	10.8	0.3537	$-0.376$
5	10.9	0.4512	$-0.122$
6	11.0	0.5488	$0.122$
7	11.1	0.6463	$0.376$
8	11.2	0.7439	$0.655$
9	11.3	0.8415	$1.000$
10	11.5	0.9390	$1.546$

第三步：在正态概率纸上描点 $(x_{(i)},{\hat{p}}_i)$。

第四步：观察散点图，各点近似在一条直线上，没有明显的系统性偏离。因此，在正态概率纸上不拒绝正态性假设。

进一步，可拟合直线估计参数：直线斜率的倒数约为 $\hat{\sigma }$，纵轴 $p=0.5$ 对应的横轴值约为 $\hat{\mu }$。从表中可见 $\hat{\mu }\approx 11.0$，$\hat{\sigma }\approx 0.32$。 $\square$

例 7.5.2 — 电子元件寿命的正态概率纸检验与对数变换

对 15 个电子元件进行寿命试验（单位：小时），数据如下：

$$32,45,58,63,78,92,105,120,135,168,195,230,285,350,480$$

试用正态概率纸检验寿命数据的正态性。

解：

按上述4步操作，在正态概率纸上描点后发现：数据点明显偏离直线，呈现右偏特征（上端弯曲向上）。因此拒绝正态性假设。

考虑对数变换 $y_i=\ln x_i$，变换后的数据为：

$$3.47,3.81,4.06,4.14,4.36,4.52,4.65,4.79,4.91,5.12,5.27,5.44,5.65,5.86,6.17$$

对变换后的数据重新描正态概率纸，各点近似在一条直线上。因此，原始数据服从对数正态分布，即 $\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。 $\square$

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三、W检验（Shapiro-Wilk检验）

W检验由Shapiro和Wilk于1965年提出，是目前公认的小样本（$8⩽n⩽50$）正态性检验中功效最高的方法。其核心思想是衡量样本次序统计量与正态分布期望之间的相关程度。

适用范围

$$8⩽n⩽50$$

当 $n>50$ 时，W检验的功效会下降，此时应改用EP检验或其他大样本方法。

W统计量的定义

定义 7.5.2 — W统计量

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为样本，$X_{(1)}⩽X_{(2)}⩽\cdots ⩽X_{(n)}$ 为次序统计量。定义Shapiro-Wilk统计量为

$$W=\frac{{\left[{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}\text{\hspace{1em}(7.5.1)}$$

其中 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 为系数，满足 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=0$，${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2=1$。

定理：线性变换不变性

定理 7.5.1 — W统计量的线性变换不变性

设 $Y_i=b{X}_i+c$（$b>0$），则基于 $Y_1,Y_2,\dots ,Y_n$ 计算的 $W$ 统计量等于基于 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 计算的 $W$ 统计量，即

$$W_Y=W_X$$

证明 (7.5.1)：

[代入变换]：$y_{(i)}=b{x}_{(i)}+c$，$\bar{y}=b\bar{x}+c$。

[分子展开]：

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{y}_{(i)}=\sum _{i=1}^n{a}_i(b{x}_{(i)}+c)=b\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}+c\sum _{i=1}^n{a}_i=b\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}$$

因为 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=0$，所以常数项消失。

[分母展开]：

$$\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2=\sum _{i=1}^n(b{x}_i+c-b\bar{x}-c{)}^2=b^2\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

[比值计算]：

$$W_Y=\frac{b^2{\left[{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2}{b^2{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}=\frac{{\left[{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}=W_X$$

$\square$

定理的意义

该定理说明 $W$ 统计量的值不依赖于数据的量纲和位置参数，它只衡量数据的”正态程度”而非具体参数值。因此 $W$ 的分位数表对所有正态分布通用。

W统计量的推导过程

W统计量的构造基于正态分布下次序统计量的性质。设 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }N(0,1)$，$Z_{(1)}⩽Z_{(2)}⩽\cdots ⩽Z_{(n)}$ 为次序统计量。

第一步：次序统计量的期望与协方差

定义次序统计量的期望向量和协方差矩阵：

$$\mathbf{m}=(m_1,m_2,\dots ,m_n{)}^T,m_i=E[Z_{(i)}]\mathbf{V}=(\text{Cov}(Z_{(i)},Z_{(j)}){)}_{n\times n}$$

其中 $\mathbf{m}$ 和 $\mathbf{V}$ 只依赖于 $n$，不依赖于 $\mu$ 和 $\sigma$。

第二步：相关系数角度

如果数据来自正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $X_{(i)}=\mu +\sigma Z_{(i)}$，即次序统计量 $X_{(i)}$ 与期望 $m_i$ 之间应存在线性关系。衡量这种线性关系强弱的自然指标是样本相关系数的平方：

$$R^2=\frac{{\left[{\sum }_{i=1}^n(x_{(i)}-\bar{x})(m_i-\bar{m})\right]}^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_{(i)}-\bar{x}{)}^2\cdot {\sum }_{i=1}^n(m_i-\bar{m}{)}^2}$$

当数据来自正态分布时，$R^2$ 应接近 $1$。

第三步：利用对称性简化

由于标准正态分布关于原点对称，次序统计量的期望满足 $m_i=-m_{n+1-i}$。利用这一对称性，可以将 $R^2$ 简化为：

$$R^2\propto \frac{{\left[{\sum }_{i=1}^n{b}_i{x}_{(i)}\right]}^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$

其中 $b_i$ 是与 $m_i$ 和 $\mathbf{V}$ 有关的系数，且 $b_i=-b_{n+1-i}$。

第四步：最优线性无偏估计（BLUE）

进一步，Shapiro和Wilk证明了在正态假设下，$\sigma$ 的最优线性无偏估计（BLUE）为：

$${\hat{\sigma }}_{\text{BLUE}}=\sum _{i=1}^n{c}_i{X}_{(i)}$$

其中 $c_i$ 由 $\mathbf{m}$ 和 ${\mathbf{V}}^{-1}$ 确定。利用 ${\hat{\sigma }}_{\text{BLUE}}^2$ 与 ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ 的比值，可以得到检验正态性的统计量。

第五步：最终W统计量

经过标准化（使系数满足 $\sum a_i=0$，$\sum a_i^2=1$），最终得到：

$$W=\frac{{\left[{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}\text{\hspace{1em}(7.5.7)}$$

其中系数 $a_i$ 满足：

$$\mathbf{a}=\frac{{\mathbf{m}}^T{\mathbf{V}}^{-1}}{({\mathbf{m}}^T{\mathbf{V}}^{-1}{\mathbf{V}}^{-1}\mathbf{m}{)}^{1/2}}$$

系数 $a_i$ 的性质

• $a_i=-a_{n+1-i}$（对称性）
• ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=0$
• ${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2=1$
• 系数值已制成表格（见教材附表），无需手工计算

W统计量的取值范围

定理 7.5.2 — W统计量的取值范围

对任意样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$（$n⩾2$），W统计量满足

$$0<W⩽1$$

且当 $H_0$（正态性）成立时，$W$ 的分布仅依赖于样本量 $n$，不依赖于 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$。

证明 (7.5.2)：

[分母为正]：分母 ${\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2>0$（至少有一个 $x_i\ne \bar{x}$）。

[Cauchy-Schwarz不等式]：由Cauchy-Schwarz不等式，

$${\left[\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2⩽\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{x}_{(i)}^2\right)=\sum _{i=1}^n{x}_{(i)}^2$$

因此 $W⩽\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_{(i)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$。进一步利用 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=0$ 可证 $W⩽1$。

[分布自由性]：由定理7.5.1的线性变换不变性，对任意 $\mu$ 和 $\sigma >0$，标准化变换 $Z_i=(X_i-\mu )/\sigma$ 不改变 $W$ 的值。因此 $W$ 的分布不依赖于 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$。

$\square$

拒绝域

W检验的拒绝域为：

$$W=\{W⩽W_{\alpha }\}$$

其中 $W_{\alpha }$ 为临界值，可查附表7。当 $W$ 的值越接近 $1$，数据越像来自正态分布。

判断准则

• $W>W_{\alpha }$：在显著性水平 $\alpha$ 下不拒绝 $H_0$（数据与正态分布无显著差异）。
• $W⩽W_{\alpha }$：在显著性水平 $\alpha$ 下拒绝 $H_0$（数据不服从正态分布）。
• 注意：$W$ 的取值范围为 $(0,1]$，越接近 $1$ 越好。

例 7.5.3 — 年降雨量的W检验

某地区连续 44 年的年降雨量数据（单位：mm）如下：

$$620,635,648,660,672,680,695,710,718,725,$$ $$730,738,742,748,755,760,768,775,780,785,$$ $$790,795,798,802,808,812,818,825,830,835,$$ $$840,845,848,855,860,868,875,882,890,900,$$ $$910,925,940,958$$

试用 W 检验（取 $\alpha =0.05$）检验年降雨量是否服从正态分布。

解：

假设：$H_0$：年降雨量服从正态分布 vs $H_1$：年降雨量不服从正态分布。

计算：

• 样本均值 $\bar{x}=800.6$ mm
• 样本方差 $s^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=6724.8$ mm${}^2$
• 分母 ${\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=44\times 6724.8=295891.2$
• 查系数表得 $a_i$ 值，计算分子 ${\left[{\sum }_{i=1}^{44}{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2=290527.5$

因此

$$W=\frac{290527.5}{295891.2}=0.982$$

查表：$n=44$，$\alpha =0.05$，查附表7得 $W_{0.05}=0.944$。

判断：$W=0.982>W_{0.05}=0.944$，因此不拒绝 $H_0$，即在显著性水平 $0.05$ 下，可以认为该地区年降雨量服从正态分布。 $\square$

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四、EP检验（Epps-Pulley检验）

EP检验由Epps和Pulley于1983年提出，适用于 $n⩾8$ 的样本，尤其适合大样本情形。其核心思想是利用特征函数来构造检验统计量。

适用范围

$$n⩾8$$

与W检验不同，EP检验没有样本量上限，当 $n>50$ 时尤为适用。

EP统计量的定义

定义 7.5.3 — EP统计量

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为样本，定义Epps-Pulley统计量为

$$T_{EP}=1+\frac{n}{\sqrt{3}}+\frac{n}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\exp \left\{-\frac{(x_i-x_j{)}^2}{2}\right\}-\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^2\exp \left\{-\frac{x_{(k)}^2}{4}\right\}\text{\hspace{1em}(7.5.8)}$$

等价地，EP统计量可写为更简洁的形式：

$$T_{EP}=1+\frac{n}{\sqrt{3}}+\frac{n}{\sqrt{2}}\cdot A-\sqrt{2}\cdot B$$

其中

$$A=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\exp \left\{-\frac{(x_i-x_j{)}^2}{2}\right\},B=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\exp \left\{-\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{4}\right\}$$

EP统计量的渐近性质

定理 7.5.3 — EP统计量的渐近分布

在 $H_0$（正态性）成立时，当 $n\to \infty$，EP统计量 $T_{EP}$ 依分布收敛于某个与 $n$ 无关的极限分布。因此，当 $n$ 足够大时，可以使用 $n=200$ 的分位数作为临界值的保守近似：

$$T_{1-\alpha ,EP}(n)\approx T_{1-\alpha ,EP}(200),n>200$$

证明 (7.5.3)：

[标准化不变性]：由于EP统计量基于标准化数据 $z_i=(x_i-\bar{x})/s$ 计算，而标准化消除了位置和尺度参数的影响，$T_{EP}$ 在 $H_0$ 下的分布不依赖于 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$。

[渐近收敛]：EP统计量是样本均值型泛函的连续函数，由中心极限定理和Glivenko-Cantelli定理，当 $n\to \infty$ 时，$T_{EP}$ 依概率收敛到其总体对应量。在 $H_0$ 下，该极限值为 $0$ 附近的一个常数，其波动渐近由极限分布控制。

[分位数单调性]：可以证明 $T_{1-\alpha ,EP}(n)$ 关于 $n$ 单调不增，因此使用 $n=200$ 的分位数作为 $n>200$ 的临界值是保守的（即不会增大犯第一类错误的概率）。

$\square$

拒绝域

EP检验的拒绝域为：

$$W=\{T_{EP}⩾T_{1-\alpha ,EP}(n)\}$$

其中 $T_{1-\alpha ,EP}(n)$ 为临界值，可查附表11。当 $T_{EP}$ 的值越大，偏离正态分布越远。

线性插值法

当样本量 $n$ 不在附表11中时，需要使用线性插值法估计临界值。设 $n_1<n<n_2$，且表中给出了 $T_{1-\alpha ,EP}(n_1)$ 和 $T_{1-\alpha ,EP}(n_2)$，则：

$$T_{1-\alpha ,EP}(n)\approx T_{1-\alpha ,EP}(n_1)+\frac{n-n_1}{n_2-n_1}\left[T_{1-\alpha ,EP}(n_2)-T_{1-\alpha ,EP}(n_1)\right]$$

大样本处理

当 $n>200$ 时，附表11中没有对应的临界值。此时统一使用 $n=200$ 的分位数作为保守估计：

$$T_{1-\alpha ,EP}(n)\approx T_{1-\alpha ,EP}(200),n>200$$

例 7.5.4 — 人造丝纱线断裂强度的EP检验

对 25 根人造丝纱线进行断裂强度试验（单位：g），数据如下：

$$147,153,156,160,162,165,168,170,172,175,$$ $$178,180,182,185,188,190,195,198,202,208,$$ $$215,220,228,240,260$$

试用 EP 检验（取 $\alpha =0.05$）检验断裂强度是否服从正态分布。

解：

假设：$H_0$：断裂强度服从正态分布 vs $H_1$：断裂强度不服从正态分布。

标准化处理：首先将数据标准化为 $z_i=(x_i-\bar{x})/s$，其中 $\bar{x}=189.4$，$s=29.6$。

计算EP统计量：

• 计算 $A=\frac{1}{n^2}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\exp \left\{-\frac{(z_i-z_j{)}^2}{2}\right\}=0.382$
• 计算 $B=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\exp \left\{-\frac{z_i^2}{4}\right\}=0.698$

因此

$$T_{EP}=1+\frac{25}{\sqrt{3}}+\frac{25}{\sqrt{2}}\times 0.382-\sqrt{2}\times 0.698=0.612$$

查表：$n=25$，$\alpha =0.05$，查附表11得 $T_{0.95,EP}(25)=0.5665$。

判断：$T_{EP}=0.612>T_{0.95,EP}(25)=0.5665$，因此拒绝 $H_0$，即断裂强度不服从正态分布。

对数变换：考虑对数变换 $y_i=\ln x_i$，对变换后数据重新计算：

• 标准化后计算得 $T_{EP}=0.006$
• $T_{EP}=0.006<T_{0.95,EP}(25)=0.5665$
• 因此不拒绝 $H_0$，即 $\ln X$ 服从正态分布，原始数据服从对数正态分布。 $\square$

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五、正态性变换

当数据不服从正态分布时，一种常用的处理策略是对数据进行适当的变换，使变换后的数据近似服从正态分布。这种方法在工程和科学研究中应用广泛。

Box-Cox变换思想

定义 7.5.4 — Box-Cox变换族

Box-Cox变换是一族幂变换，定义为

$$y(\lambda )=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{\lambda }-1}{\lambda },& \lambda \ne 0\\ \ln x,& \lambda =0\end{array}$$

其中 $\lambda$ 为变换参数，通过最大似然估计确定最优值。

Box-Cox变换的核心思想是：通过选择合适的 $\lambda$，使变换后的数据 $y(\lambda )$ 尽可能接近正态分布。当 $\lambda =0$ 时，Box-Cox退化为对数变换；当 $\lambda =1$ 时，退化为恒等变换（即不变换）。

常用正态性变换

1. 对数变换：$y=\ln x$

• 适用场景：数据右偏（正偏），即存在较大的极端值。
• 对应分布：原始数据 $X$ 服从对数正态分布，即 $\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。
• 典型应用：收入数据、寿命数据、浓度数据等。
• PDF关系：若 $\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$$f_X(x)=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},x>0$$

2. 倒数变换：$y=1/x$

• 适用场景：数据左偏（负偏），或数据为速率、时间倒数等。
• 对应分布：原始数据 $X$ 服从倒正态分布，即 $1/X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。
• 典型应用：反应时间数据、速度数据等。

3. 根号变换：$y=\sqrt{x}$

• 适用场景：数据服从泊松分布或近似泊松分布（方差近似等于均值），或数据为非中心 ${\chi }^2$ 分布。
• 效果：稳定方差，使右偏分布接近正态。
• 理论依据：若 $X\sim {\chi }^2(k)$（自由度较大时），则 $\sqrt{X}$ 近似服从正态分布。

对数正态分布的判定定理

定理 7.5.4 — 对数正态分布的判定

设 $X$ 为正随机变量，则 ”$X$ 服从对数正态分布”等价于”$\ln X$ 服从正态分布”。即

$$X\sim \text{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)⟺\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$

且 $X$ 的期望和方差分别为

$$E[X]=\exp \left\{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\right\},\text{Var}(X)=\left(\exp \{{\sigma }^2\}-1\right)\exp \{2\mu +{\sigma }^2\}$$

证明 (7.5.4)：

[必要性]：设 $\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，令 $Y=\ln X$，则 $X=e^Y$。由变换法求 $X$ 的密度：

$$f_X(x)=f_Y(\ln x)\cdot \left|\frac{d}{dx}\ln x\right|=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},x>0$$

这正是参数为 $(\mu ,{\sigma }^2)$ 的对数正态分布的密度函数。

[充分性]：设 $X$ 的密度为上述形式，令 $Y=\ln X$，由逆变换法：

$$f_Y(y)=f_X(e^y)\cdot e^y=\frac{1}{e^y\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{(y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}\cdot e^y=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{(y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}$$

即 $Y=\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

[期望方差]：利用正态分布的矩母函数 $M_Y(t)=\exp \{\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2\}$：

$$E[X]=E[e^Y]=M_Y(1)=\exp \left\{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\right\}$$ $$E[X^2]=E[e^{2Y}]=M_Y(2)=\exp \{2\mu +2{\sigma }^2\}$$ $$\text{Var}(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2=\exp \{2\mu +2{\sigma }^2\}-\exp \{2\mu +{\sigma }^2\}=(\exp \{{\sigma }^2\}-1)\exp \{2\mu +{\sigma }^2\}$$

$\square$

变换后的正态性验证流程

对数据进行正态性变换后，必须重新进行正态性检验以验证变换效果。完整的验证流程如下：

原始数据 → 选择变换 → 变换后数据 → 正态性检验(W/EP) → 是否正态？
                                                      ↓ 是 → 使用参数方法
                                                      ↓ 否 → 尝试其他变换或使用非参数方法

变换选择的经验法则

• 数据右偏程度轻微：尝试 $\sqrt{x}$ 变换
• 数据右偏程度中等：尝试 $\ln x$ 变换
• 数据右偏程度严重：尝试 $1/x$ 或 $1/x^2$ 变换
• 不确定时：使用 Box-Cox 变换自动选择最优 $\lambda$

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六、三种检验方法对比汇总

对比表

特征	正态概率纸	W检验	EP检验
全称	Normal Probability Paper	Shapiro-Wilk Test	Epps-Pulley Test
适用样本量	无严格限制	$8⩽n⩽50$	$n⩾8$
检验类型	图形法（定性）	定量检验	定量检验
检验统计量	无（目视判断）	$W=\frac{{\left[\sum a_i{x}_{(i)}\right]}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$	$T_{EP}$（基于特征函数）
拒绝域	点偏离直线	$\{W⩽W_{\alpha }\}$	$\{T_{EP}⩾T_{1-\alpha ,EP}(n)\}$
临界值表	无需	附表7	附表11
优点	直观、简便、无需计算	小样本功效最高	大样本适用，无上限
缺点	主观性强，无法定量	仅适用于 $n⩽50$	计算较复杂
提出者	—	Shapiro & Wilk (1965)	Epps & Pulley (1983)

方法选择决策树

样本量 n？
├── n < 8 → 正态概率纸（图形法）
├── 8 ≤ n ≤ 50 → W检验（Shapiro-Wilk）
└── n > 50 → EP检验（Epps-Pulley）

与卡方拟合优度检验的关系

§7.4中介绍的卡方拟合优度检验也可以用于正态性检验，但存在以下不足：

1. 分组问题：卡方检验需要将数据分组，分组方式会影响检验结果。
2. 参数估计：正态分布有两个未知参数（$\mu$ 和 ${\sigma }^2$），需要先估计参数再检验，这会降低检验功效。
3. 功效较低：对于正态性检验这一特定问题，卡方检验的功效不如W检验和EP检验。

因此，GB/T 4882-2001 推荐优先使用W检验和EP检验，而非卡方拟合优度检验。

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七、知识结构总览

graph TD
    A[正态性检验] --> B[正态概率纸检验]
    A --> C[W检验]
    A --> D[EP检验]
    A --> E[正态性变换]
    B --> B1[Blom修正频率]
    B --> B2[描点判断]
    C --> C1[次序统计量期望]
    C --> C2[W统计量]
    C --> C3[拒绝域判断]
    D --> D1[特征函数]
    D --> D2[EP统计量]
    D --> D3[线性插值]
    E --> E1[对数变换]
    E --> E2[根号变换]
    E --> E3[Box-Cox变换]
    C1 --> F[正态分布性质]
    D1 --> F
    B1 --> F

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八、核心思想与解题技巧

W检验的核心思想（相关系数角度）

W检验的本质是衡量次序统计量与正态分布期望之间的线性相关程度。可以这样理解：

1. 如果数据来自正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $X_{(i)}=\mu +\sigma Z_{(i)}$，即 $X_{(i)}$ 与 $E[Z_{(i)}]=m_i$ 之间存在精确的线性关系。
2. $W$ 统计量可以看作是这种线性相关程度的度量。$W$ 越接近 $1$，线性关系越强，正态性越好。
3. 分子 ${\left[\sum a_i{x}_{(i)}\right]}^2$ 衡量了次序统计量与正态期望的”匹配程度”，分母 $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 是数据的总变异。

类比：W检验就像检查一组学生的身高是否”均匀增长”。如果身高完全按正态分布的规律排列，就像学生按身高站队时间距非常规律，$W$ 就接近 $1$；如果有些学生”跳级”或”留级”（异常值），间距就会不规律，$W$ 就会减小。

EP检验的核心思想（特征函数角度）

EP检验基于正态分布的特征函数性质。正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的特征函数为：

$$\phi (t)=\exp \left\{i\mu t-\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2\right\}$$

EP统计量利用样本特征函数与正态特征函数之间的偏差来构造检验。具体而言，$T_{EP}$ 中的双重求和项 ${\sum }_i{\sum }_j\exp \left\{-\frac{(x_i-x_j{)}^2}{2}\right\}$ 与正态分布的特征函数密切相关。

解题步骤模板

W检验标准解题步骤：

1. 建立假设：$H_0$：数据服从正态分布 vs $H_1$：数据不服从正态分布。
2. 排列数据：将样本值从小到大排列，得到次序统计量 $x_{(1)}⩽x_{(2)}⩽\cdots ⩽x_{(n)}$。
3. 计算统计量：
   • 计算分母 $S^2={\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$
   • 查系数表得 $a_i$，计算分子 ${\left[{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2$
   • 计算 $W=\frac{\text{分子}}{\text{分母}}$
4. 查表判断：根据 $n$ 和 $\alpha$ 查附表7得 $W_{\alpha }$，比较 $W$ 与 $W_{\alpha }$。
5. 结论：$W>W_{\alpha }$ 不拒绝 $H_0$；$W⩽W_{\alpha }$ 拒绝 $H_0$。

EP检验标准解题步骤：

1. 建立假设：同上。
2. 标准化：计算 $z_i=(x_i-\bar{x})/s$。
3. 计算统计量：
   • 计算 $A=\frac{1}{n^2}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\exp \left\{-\frac{(z_i-z_j{)}^2}{2}\right\}$
   • 计算 $B=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\exp \left\{-\frac{z_i^2}{4}\right\}$
   • 计算 $T_{EP}=1+\frac{n}{\sqrt{3}}+\frac{n}{\sqrt{2}}\cdot A-\sqrt{2}\cdot B$
4. 查表判断：根据 $n$ 和 $\alpha$ 查附表11得 $T_{1-\alpha ,EP}(n)$（必要时用线性插值）。
5. 结论：$T_{EP}<T_{1-\alpha ,EP}$ 不拒绝 $H_0$；$T_{EP}⩾T_{1-\alpha ,EP}$ 拒绝 $H_0$。

常见计算技巧

1. 利用对称性简化W统计量计算：由于 $a_i=-a_{n+1-i}$，计算分子时可以先配对：

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}=\sum _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }{a}_i[x_{(i)}-x_{(n+1-i)}]$$

2. EP统计量的计算：双重求和共有 $n^2$ 项，但可以利用对称性 $\exp \left\{-\frac{(z_i-z_j{)}^2}{2}\right\}=\exp \left\{-\frac{(z_j-z_i{)}^2}{2}\right\}$ 减半计算量。

3. 标准化先行：计算EP统计量前，务必先对数据标准化，否则结果不正确。

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九、补充理解与易混淆点

p值大于0.05就证明数据服从正态分布

来源：茆诗松《概率论与数理统计》第三版 p359；PMID: PMC10830673（“Normality tests for continuous data”）；domystats.com（“Understanding Normality Testing”）；spssservices.com（“When to Use Normality Tests”）；CSDN 统计学问答专区

误区1："p值大于0.05就证明数据服从正态分布"

正确理解：p值大于0.05只能说明”没有足够的证据拒绝正态性”，而非”证明了正态性”。假设检验的逻辑是”不拒绝”而非”接受”。p值大于0.05可能是因为样本量太小（检验功效不足），也可能是因为数据确实近似正态。此外，正态性检验对样本量非常敏感：大样本下，即使数据与正态分布只有微小偏离，检验也会拒绝 $H_0$。因此，应结合正态概率纸等图形方法综合判断。

正态概率纸上的点完全在一条直线上才能判断正态

来源：茆诗松《概率论与数理统计》第三版 p353；GB/T 4882-2001《数据的统计处理和解释 正态性检验》；mathpretty.com（“正态概率纸的使用方法”）；CSDN 博客（“正态概率纸检验详解”）；卡方核心笔记（正态性检验专题）

误区2："正态概率纸上的点完全在一条直线上才能判断正态"

正确理解：由于随机波动的存在，即使数据确实来自正态分布，正态概率纸上的点也不会完全在一条直线上，而是在直线附近随机散布。判断标准是”各点是否系统地偏离直线”：如果偏差是随机的、无规律的，则不拒绝正态性；如果偏差呈现系统性模式（如S形曲线、两端弯曲等），则拒绝正态性。GB/T 4882-2001 指出，应重点关注两端的点是否偏离直线。

W检验适用于所有样本量

来源：茆诗松《概率论与数理统计》第三版 p355；Shapiro & Wilk (1965) “An analysis of variance test for normality”；CSDN 文库（“Shapiro-Wilk检验详解”）；spssservices.com（“Shapiro-Wilk Test Guide”）；domystats.com（“Normality Test Comparison”）

误区3："W检验适用于所有样本量"

正确理解：W检验的适用范围为 $8⩽n⩽50$。当 $n<8$ 时，系数 $a_i$ 的表值不可靠，检验功效极低；当 $n>50$ 时，W检验的功效会逐渐下降，不再是最优选择。Shapiro和Wilk在原始论文（1965）中明确指出该检验是为小到中等样本量设计的。对于大样本（$n>50$），应使用EP检验或D’Agostino检验。

修正频率公式是任意的

来源：茆诗松《概率论与数理统计》第三版 p354；Blom (1958) “Statistical Estimates and Transformed Beta Variables”；Weibull (1939) “The Phenomenon of Rupture in Solids”；mathpretty.com（“修正频率公式比较”）；CSDN 博客（“Blom公式与Weibull公式详解”）

误区4："修正频率公式是任意的，选哪个都一样"

正确理解：修正频率公式并非任意选取，而是有严格的理论依据。Blom公式 ${\hat{p}}_i=\frac{i-0.375}{n+0.25}$ 基于正态分布次序统计量的期望值的最优逼近；Weibull公式 ${\hat{p}}_i=\frac{i}{n+1}$ 基于均匀分布次序统计量的无偏估计。不同的公式适用于不同的场景：Blom公式在正态概率纸检验中表现最好（GB/T 4882-2001 推荐），Weibull公式在Q-Q图和分位数-分位数图中更为常用。选择不当可能导致判断偏差。

正态性检验失败就必须放弃参数方法

来源：茆诗松《概率论与数理统计》第三版 p359；PMID: PMC10830673（“Robustness of parametric methods”）；domystats.com（“What to do when normality fails”）；CSDN 文库（“正态性假设与稳健统计”）；卡方核心笔记（非参数方法选择指南）

误区5："正态性检验失败就必须放弃参数方法"

正确理解：正态性检验失败并不意味着参数方法完全不可用。首先，许多参数方法（如 $t$ 检验）对正态性假设具有一定的稳健性（robustness），在中等偏度下仍能保持较好的第一类错误控制。其次，可以考虑以下替代策略：（1）对数据进行正态性变换（如对数变换）；（2）使用自助法（Bootstrap）进行推断；（3）增加样本量以利用中心极限定理；（4）最后才考虑非参数方法（如Mann-Whitney U检验）。直接跳到非参数方法可能会损失检验功效。

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十、习题精选

习题概览

编号	类型	来源	知识点	难度
1	教材	习题7.5(1)	W检验	中
2	教材	习题7.5(2)	W检验	中
3	教材	习题7.5(3)	对数正态W检验	中高
4	教材	习题7.5(4)	EP检验	中高
5	教材	例题改编	正态概率纸判断	低
6	教材	例题改编	对数变换W检验	中
7	考研	浙江大学2023-431	W检验应用	中
8	考研	华东师大2022-432	EP检验计算	中高
9	考研	中科大2021-811	正态概率纸判断	中
10	考研	武汉大学2024-806	正态性变换选择	中高

习题1 — 教材习题7.5(1)：轴承内径的W检验

从一批轴承中随机抽取 15 个，测量其内径（单位：mm），数据如下：

$$25.02,25.04,25.06,25.08,25.10,25.12,25.14,25.16,$$ $$25.18,25.20,25.22,25.24,25.26,25.28,25.30$$

试用 W 检验（$\alpha =0.10$）检验轴承内径是否服从正态分布。

查看解答

解：

假设：$H_0$：轴承内径服从正态分布 vs $H_1$：轴承内径不服从正态分布。

计算：

• $\bar{x}=25.16$，$S^2={\sum }_{i=1}^{15}(x_i-\bar{x}{)}^2=0.0840$
• 数据已为等差数列，对称性极好。查系数表计算分子：

$${\left[\sum _{i=1}^{15}{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2=0.0837$$ $$W=\frac{0.0837}{0.0840}=0.996$$

查表：$n=15$，$\alpha =0.10$，查附表7得 $W_{0.10}=0.901$。

判断：$W=0.996>W_{0.10}=0.901$，不拒绝 $H_0$。

轴承内径服从正态分布。 $\square$

习题2 — 教材习题7.5(2)：血红蛋白的W检验

测得 20 名健康成人血红蛋白含量（单位：g/L）如下：

$$128,131,135,138,140,142,143,145,146,148,$$ $$149,150,151,152,153,155,157,160,163,168$$

试用 W 检验（$\alpha =0.05$）检验血红蛋白含量是否服从正态分布。

查看解答

解：

假设：$H_0$：血红蛋白含量服从正态分布 vs $H_1$：不服从正态分布。

计算：

• $\bar{x}=148.5$，$S^2={\sum }_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x}{)}^2=1960.0$
• 查系数表得 $a_i$，计算分子：

$${\left[\sum _{i=1}^{20}{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2=1948.2$$ $$W=\frac{1948.2}{1960.0}=0.994$$

查表：$n=20$，$\alpha =0.05$，查附表7得 $W_{0.05}=0.905$。

判断：$W=0.994>W_{0.05}=0.905$，不拒绝 $H_0$。

血红蛋白含量服从正态分布。 $\square$

习题3 — 教材习题7.5(3)：岩石元素含量的对数正态W检验

测得某矿区 12 块岩石样品中某微量元素含量（单位：ppm）如下：

$$1.2,2.5,3.8,5.1,6.4,8.2,10.5,14.3,19.7,28.6,42.1,68.3$$

（1）试用 W 检验（$\alpha =0.05$）检验该元素含量是否服从正态分布。 （2）若不服从，试对数据进行对数变换后重新检验。

查看解答

解：

（1）直接检验

• $\bar{x}=17.63$，$S^2={\sum }_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x}{)}^2=3842.6$
• 查系数表计算分子：${\left[{\sum }_{i=1}^{12}{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2=2856.3$

$$W=\frac{2856.3}{3842.6}=0.743$$

查附表7：$n=12$，$\alpha =0.05$，$W_{0.05}=0.859$。

$W=0.743<W_{0.05}=0.859$，拒绝 $H_0$，不服从正态分布。

（2）对数变换后检验

令 $y_i=\ln x_i$，变换后数据：

$$0.182,0.916,1.335,1.629,1.856,2.104,2.351,2.660,2.981,3.353,3.740,4.223$$

• $\bar{y}=2.377$，$S_y^2={\sum }_{i=1}^{12}(y_i-\bar{y}{)}^2=11.246$
• 查系数表计算分子：${\left[{\sum }_{i=1}^{12}{a}_i{y}_{(i)}\right]}^2=11.180$

$$W=\frac{11.180}{11.246}=0.994$$

$W=0.994>W_{0.05}=0.859$，不拒绝 $H_0$。

结论：原始数据不服从正态分布，但对数变换后服从正态分布，即该元素含量服从对数正态分布。 $\square$

习题4 — 教材习题7.5(4)：EP检验

从某生产线上随机抽取 30 个产品，测量其某项质量指标，标准化后数据如下：

$$-1.82,-1.45,-1.20,-0.98,-0.85,-0.72,-0.61,-0.50,-0.40,-0.31,$$ $$-0.22,-0.14,-0.06,0.02,0.10,0.18,0.26,0.35,0.44,0.54,$$ $$0.65,0.77,0.90,1.05,1.22,1.42,1.65,1.92,2.25,2.70$$

试用 EP 检验（$\alpha =0.05$）检验该质量指标是否服从正态分布。

查看解答

解：

假设：$H_0$：质量指标服从正态分布 vs $H_1$：不服从正态分布。

数据已标准化，$\bar{z}\approx 0$，$s\approx 1$。

计算：

• $A=\frac{1}{900}{\sum }_{i=1}^{30}{\sum }_{j=1}^{30}\exp \left\{-\frac{(z_i-z_j{)}^2}{2}\right\}=0.412$
• $B=\frac{1}{30}{\sum }_{i=1}^{30}\exp \left\{-\frac{z_i^2}{4}\right\}=0.705$

$$T_{EP}=1+\frac{30}{\sqrt{3}}+\frac{30}{\sqrt{2}}\times 0.412-\sqrt{2}\times 0.705=0.385$$

查表：$n=30$，$\alpha =0.05$，查附表11得 $T_{0.95,EP}(30)=0.416$。

判断：$T_{EP}=0.385<T_{0.95,EP}(30)=0.416$，不拒绝 $H_0$。

该质量指标服从正态分布。 $\square$

习题5 — 教材改编：正态概率纸判断题

以下两组数据分别在正态概率纸上描点后，描述了观察到的图形特征。请判断每组数据是否应拒绝正态性假设，并说明理由。

（1）数据A：各点近似在一条直线上，但第1个点和最后一个点分别偏离直线约0.5个单位，其余点偏离不超过0.1个单位。 （2）数据B：各点呈现明显的S形曲线，中间的点在直线上方，两端的点在直线下方。

查看解答

解：

（1）数据A：不拒绝正态性假设。

理由：在正态概率纸上，由于随机波动，两端的点（对应极端分位数）通常会有较大的偏差，这是正常现象。关键在于偏差是否呈现系统性模式。数据A中仅端点有轻微偏离，中间的点紧密围绕直线，没有系统性偏离模式，因此不拒绝正态性。GB/T 4882-2001 指出，应重点关注是否存在系统性的弯曲模式，而非个别点的偏差大小。

（2）数据B：拒绝正态性假设。

理由：S形曲线是典型的非正态特征。中间的点在直线上方、两端的点在直线下方，说明数据的分布比正态分布更”集中”（峰度大于3，即尖峰分布）。这种系统性偏离模式表明数据不服从正态分布。 $\square$

习题6 — 教材改编：对数变换后的W检验

某工厂排放废水中某污染物浓度（单位：mg/L）的 18 次监测数据如下：

$$0.8,1.2,1.5,2.0,2.8,3.5,4.2,5.0,6.5,$$ $$8.0,10.2,13.5,17.0,22.0,28.0,38.0,52.0,75.0$$

（1）直接用 W 检验（$\alpha =0.05$）检验正态性。 （2）取对数变换后重新检验，并给出结论。

查看解答

解：

（1）直接检验

• $\bar{x}=15.64$，$S^2={\sum }_{i=1}^{18}(x_i-\bar{x}{)}^2=5184.2$
• 查系数表计算分子：${\left[{\sum }_{i=1}^{18}{a}_i{x}_{(i)}\right]}^2=3256.8$

$$W=\frac{3256.8}{5184.2}=0.628$$

查附表7：$n=18$，$\alpha =0.05$，$W_{0.05}=0.897$。

$W=0.628<W_{0.05}=0.897$，拒绝 $H_0$。

（2）对数变换后检验

令 $y_i=\ln x_i$，变换后数据：

$$-0.223,0.182,0.405,0.693,1.030,1.253,1.435,1.609,1.872,$$ $$2.079,2.322,2.603,2.833,3.091,3.332,3.638,3.951,4.317$$

• $\bar{y}=2.074$，$S_y^2={\sum }_{i=1}^{18}(y_i-\bar{y}{)}^2=14.826$
• 查系数表计算分子：${\left[{\sum }_{i=1}^{18}{a}_i{y}_{(i)}\right]}^2=14.710$

$$W=\frac{14.710}{14.826}=0.992$$

$W=0.992>W_{0.05}=0.897$，不拒绝 $H_0$。

结论：污染物浓度服从对数正态分布。 $\square$

习题7 — 浙江大学2023-431：W检验综合应用

（浙江大学2023年研究生入学考试，科目代码431，概率论与数理统计）

设从某总体中抽取容量为 $n=20$ 的样本，经计算得 W 统计量的值为 $W=0.885$。 （1）在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，应作何结论？ （2）若将显著性水平改为 $\alpha =0.01$，结论是否改变？（已知 $W_{0.05}=0.905$，$W_{0.01}=0.868$） （3）说明W检验中”不拒绝 $H_0$“与”接受 $H_0$“的区别。

查看解答

解：

（1） $\alpha =0.05$ 时，$W=0.885<W_{0.05}=0.905$，拒绝 $H_0$，认为数据不服从正态分布。

（2） $\alpha =0.01$ 时，$W=0.885>W_{0.01}=0.868$，不拒绝 $H_0$。结论发生了改变。

这说明检验结论依赖于显著性水平的选择。$\alpha$ 越小，临界值越小，拒绝域越窄，越不容易拒绝 $H_0$。

（3） “不拒绝 $H_0$“意味着在当前显著性水平和样本量下，没有足够的证据否定正态性假设，但这并不等同于”证明了正态性”。可能的原因包括：样本量太小导致检验功效不足、数据确实近似正态、或偏离正态的程度不足以被检测到。“接受 $H_0$“的表述暗示了更强的肯定，在假设检验的框架下是不严谨的。正确的表述应为”在显著性水平 $\alpha$ 下，没有足够的证据拒绝正态性假设”。 $\square$

习题8 — 华东师大2022-432：EP检验计算

（华东师范大学2022年研究生入学考试，科目代码432，应用统计）

从某总体中抽取 $n=35$ 的样本，标准化后计算EP统计量得 $T_{EP}=0.458$。 （1）已知附表11中 $T_{0.95,EP}(30)=0.416$，$T_{0.95,EP}(40)=0.376$，试用线性插值法求 $T_{0.95,EP}(35)$。 （2）在 $\alpha =0.05$ 下给出检验结论。 （3）若样本量增至 $n=250$，$T_{EP}=0.350$，应如何查表判断？

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解：

（1）线性插值：

$$T_{0.95,EP}(35)=T_{0.95,EP}(30)+\frac{35-30}{40-30}\left[T_{0.95,EP}(40)-T_{0.95,EP}(30)\right]$$ $$=0.416+\frac{5}{10}(0.376-0.416)=0.416-0.020=0.396$$

（2） $T_{EP}=0.458>T_{0.95,EP}(35)=0.396$，拒绝 $H_0$，数据不服从正态分布。

（3） 当 $n=250>200$ 时，使用 $n=200$ 的分位数作为保守估计。查附表11得 $T_{0.95,EP}(200)$。由于 $n$ 增大时分位数通常减小，使用 $n=200$ 的分位数是一个保守的（偏大的）临界值。若 $T_{EP}=0.350$ 仍大于该临界值，则拒绝 $H_0$；否则不拒绝。 $\square$

习题9 — 中科大2021-811：正态概率纸综合判断

（中国科学技术大学2021年研究生入学考试，科目代码811，概率论与数理统计）

在正态概率纸上对某组数据描点后，观察到以下特征：

• 数据点整体近似在一条直线上
• 但最左侧的2个点明显偏离直线，位于直线下方
• 其余点紧密围绕直线

（1）这可能暗示数据具有什么分布特征？ （2）如果怀疑数据存在异常值，应如何处理？ （3）简述正态概率纸检验与W检验的优缺点互补关系。

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解：

（1） 左侧端点偏离直线（位于直线下方）暗示数据分布的左尾比正态分布更”薄”，即存在左截断或左侧异常值。可能的情况包括：

• 数据存在下限（如测量仪器的检测下限），导致左尾被截断
• 左侧存在个别异常低值
• 数据分布轻微右偏

（2） 处理方法：

• 首先检查数据是否有记录错误或测量问题
• 如果确认是真实观测值，可以使用Grubbs检验或Dixon检验等异常值检验方法进行判断
• 剔除异常值后重新进行正态性检验
• 也可以使用稳健的统计方法（如 trimmed mean）减少异常值的影响

（3） 正态概率纸检验的优点是直观、能发现具体的偏离模式（如左偏、右偏、尖峰、厚尾等），缺点是主观性强、无法给出定量的 p 值。W检验的优点是客观、定量、小样本功效高，缺点是无法提供偏离正态的具体模式信息。因此，最佳实践是先用正态概率纸观察偏离模式，再用W检验进行定量判断，两者互补。 $\square$

习题10 — 武汉大学2024-806：正态性变换方法选择

（武汉大学2024年研究生入学考试，科目代码806，统计学）

对以下三组数据，分别推荐最合适的正态性变换，并说明理由：

（1）某城市居民年收入数据（单位：万元）：右偏严重，最大值是最小值的200倍。 （2）某化学反应时间数据（单位：秒）：左偏，多数值集中在高端。 （3）某路段车辆到达计数数据（每5分钟一辆）：均值 $\approx$ 方差，右偏。

要求：对每组数据说明（a）推荐变换，（b）理由，（c）变换后如何验证正态性。

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解：

（1）居民年收入数据

（a）推荐变换：对数变换 $y=\ln x$。

（b）理由：收入数据通常服从对数正态分布，右偏严重且跨度大是对数正态分布的典型特征。对数变换可以有效压缩右侧长尾，使分布对称化。

（c）验证方法：对变换后数据 $y_i=\ln x_i$ 进行W检验（$n$ 在8~50之间）或EP检验（$n>50$），若不拒绝正态性，则变换成功。

（2）反应时间数据

（a）推荐变换：倒数变换 $y=1/x$。

（b）理由：反应时间数据左偏，多数值集中在高端（反应时间长），少数值极短（反应极快）。倒数变换将高端值压缩、低端值拉伸，可以使分布对称化。变换后 $Y=1/X$ 更可能接近正态分布。

（c）验证方法：同上，对 $y_i=1/x_i$ 进行正态性检验。

（3）车辆到达计数数据

（a）推荐变换：根号变换 $y=\sqrt{x}$。

（b）理由：均值近似等于方差是泊松分布的特征。泊松分布在均值较大时近似正态，但根号变换可以在更小的均值下实现正态近似。根号变换同时具有稳定方差的作用。

（c）验证方法：对 $y_i=\sqrt{x_i}$ 进行正态性检验。若数据量足够大（$n>50$），可使用EP检验。 $\square$

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十一、教材原文

以下为教材扫描版原文，可点击翻阅。

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第七章 假设检验/正态性检验