2.5 常用连续分布

本节概览

本节介绍概率论中最重要的五大连续分布：正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布和贝塔分布。这些分布描述了不同场景下连续随机变量的统计规律性，是后续统计推断的理论基础。

逻辑链条：均匀分布（最基本连续分布）→ 指数分布（等待时间）→ 伽马分布（指数分布推广）→ 贝塔分布（区间上的分布）→ 正态分布（中心极限定理的终极形态）→ 分布间的关系与汇总

前置依赖：§2.1（密度函数、分布函数）、§2.2（期望、线性性）、§2.3（方差）、§1.4（条件概率）

核心主线：五大连续分布各有适用场景。正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 是自然界最常见的分布，由中心极限定理保证；指数分布 $Exp(\lambda )$ 描述事件间隔时间，具有独特的无记忆性；伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 是指数分布的自然推广；贝塔分布 $Be(a,b)$ 描述 $(0,1)$ 区间上的随机比例。

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一、正态分布

正态分布是概率论中最重要的连续分布，也是整个统计学的基石。它由高斯（Gauss）在研究天文观测误差时系统提出，因此又称高斯分布。

物理背景

正态分布的物理背景源于高斯误差理论。高斯在研究天文观测数据时发现：

1. 观测误差是由大量微小独立的随机因素叠加而成的；
2. 这些因素中，正误差和负误差出现的可能性相等；
3. 小误差出现的概率大于大误差出现的概率；
4. 极大误差出现的概率趋近于零。

这就是著名的误差公理。数学上，当大量独立同分布的随机变量相加时，由中心极限定理保证，其和的分布趋近于正态分布。

生活中的正态分布：身高、体重、考试成绩、测量误差、分子运动速度等，都近似服从正态分布。

正态分布的定义

定义 2.5.1 — 正态分布

若连续随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},-\infty <x<+\infty$$

其中 $\mu \in \mathbb{R}$，$\sigma >0$ 为参数，则称 $X$ 服从参数为 $(\mu ,{\sigma }^2)$ 的正态分布，记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

参数的含义：

• $\mu$：位置参数（均值），决定密度曲线的中心位置。$\mu$ 越大，曲线越靠右。
• ${\sigma }^2$：尺度参数（方差），决定密度曲线的形状。${\sigma }^2$ 越小，曲线越集中（高而窄）；${\sigma }^2$ 越大，曲线越分散（矮而宽）。

密度函数的验证：

需要验证 $p(x)\ge 0$ 且 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x)dx=1$。

非负性显然成立（指数函数和分母均为正）。归一性的验证需要计算积分：

$$I={\int }_{-\infty }^{+\infty }\exp \left\{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}dx$$

令 $t=\frac{x-\mu }{\sigma }$，则 $dx=\sigma dt$：

$$I=\sigma {\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-t^2/2}dt$$

利用著名的概率积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-t^2/2}dt=\sqrt{2\pi }$，得 $I=\sigma \sqrt{2\pi }$。

因此 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot \sigma \sqrt{2\pi }=1$。 $\square$

密度函数的图像特征

正态分布的密度曲线具有以下重要特征：

1. 对称性：关于 $x=\mu$ 对称，即 $p(\mu +x)=p(\mu -x)$。
2. 单峰性：在 $x=\mu$ 处取得最大值 $p(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$。
3. 渐近性：当 $x\to \pm \infty$ 时，$p(x)\to 0$，曲线以 $x$ 轴为渐近线。
4. 拐点：在 $x=\mu \pm \sigma$ 处有拐点。

标准正态分布

标准正态分布

当 $\mu =0$，$\sigma =1$ 时的正态分布称为标准正态分布，记为 $N(0,1)$。其密度函数和分布函数分别记为

$$\phi (u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-u^2/2},-\infty <u<+\infty$$ $$\Phi (u)={\int }_{-\infty }^u\phi (t)dt={\int }_{-\infty }^u\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-t^2/2}dt$$

标准正态分布的重要性质：

1. 对称性：$\phi (-u)=\phi (u)$，即密度函数是偶函数。
2. 分布函数的对称关系：$\Phi (-u)=1-\Phi (u)$。
   • 推导：由密度函数的对称性，
   $$\Phi (-u)={\int }_{-\infty }^{-u}\phi (t)dt={\int }_u^{+\infty }\phi (t)dt=1-{\int }_{-\infty }^u\phi (t)dt=1-\Phi (u)$$
3. $\Phi (0)=0.5$：由对称性直接得出。

标准化定理

定理 2.5.1 — 标准化定理

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $U=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$。

证明

证明：需要证明 $U$ 的密度函数为 $\phi (u)$。

[变量代换法]：设 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)$，则 $U$ 的分布函数为

$$F_U(u)=P(U\le u)=P\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\le u\right)=P(X\le \mu +\sigma u)=F_X(\mu +\sigma u)$$

对 $u$ 求导，得 $U$ 的密度函数：

$$p_U(u)=\frac{d}{du}{F}_U(u)=\frac{d}{du}{F}_X(\mu +\sigma u)=p_X(\mu +\sigma u)\cdot \sigma$$

将 $X$ 的密度函数代入：

$$p_U(u)=\sigma \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{(\mu +\sigma u-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{u^2}{2}\right\}=\phi (u)$$

因此 $U\sim N(0,1)$。 $\square$

标准化定理的意义在于：任何正态分布的概率计算都可以转化为标准正态分布的计算，只需查标准正态分布表即可。

概率计算公式

利用标准化定理，可以推导出正态分布的概率计算公式：

（1）单侧概率：

$$P(X\le c)=P\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{c-\mu }{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{c-\mu }{\sigma }\right)P(X>c)=1-\Phi \left(\frac{c-\mu }{\sigma }\right)$$

（2）区间概率：

$$P(a<X\le b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$$

（3）对称区间概率：

$$P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )=\Phi (k)-\Phi (-k)=2\Phi (k)-1$$

3σ原则

3σ原则

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$$P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )=2\Phi (k)-1$$

特别地：

• $k=1$：$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )=2\Phi (1)-1\approx 68.27\%$
• $k=2$：$P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )=2\Phi (2)-1\approx 95.45\%$
• $k=3$：$P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )=2\Phi (3)-1\approx 99.73\%$

证明

证明：由标准化定理，

$$P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )=P\left(-k<\frac{X-\mu }{\sigma }<k\right)=\Phi (k)-\Phi (-k)$$

[对称性]：由 $\Phi (-k)=1-\Phi (k)$，

$$\Phi (k)-\Phi (-k)=\Phi (k)-(1-\Phi (k))=2\Phi (k)-1$$

查标准正态分布表：$\Phi (1)\approx 0.8413$，$\Phi (2)\approx 0.9772$，$\Phi (3)\approx 0.9987$。

代入即得三个概率值。 $\square$

3σ原则的实际意义：正态随机变量几乎肯定落在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 内，落在该区间外的概率不到 $0.3\%$。这是质量控制中”3σ准则”的理论基础。

正态分布的期望和方差

定理 2.5.2 — 正态分布的期望和方差

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则

$$E(X)=\mu ,\text{Var}(X)={\sigma }^2$$

证明

证明：利用标准化定理，设 $U=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，则 $X=\mu +\sigma U$。

[标准化+线性性]：

第一步：计算 $E(U)$。

$$E(U)={\int }_{-\infty }^{+\infty }u\cdot \phi (u)du=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }u{e}^{-u^2/2}du$$

注意到被积函数 $u{e}^{-u^2/2}$ 是奇函数，积分区间关于原点对称，因此

$$E(U)=0$$

第二步：计算 $E(X)$。

$$E(X)=E(\mu +\sigma U)=\mu +\sigma E(U)=\mu +\sigma \cdot 0=\mu$$

第三步：计算 $E(U^2)$。

$$E(U^2)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{u}^2\cdot \phi (u)du=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{u}^2{e}^{-u^2/2}du$$

利用分部积分，令 $v=u$，$dw=u{e}^{-u^2/2}du$，则 $dv=du$，$w=-e^{-u^2/2}$：

$$E(U^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left[-u{e}^{-u^2/2}{|}_{-\infty }^{+\infty }+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-u^2/2}du\right]$$

第一项在 $u\to \pm \infty$ 时趋于 $0$（指数衰减比多项式增长快）。第二项：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-u^2/2}du=\sqrt{2\pi }$$

因此 $E(U^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \sqrt{2\pi }=1$。

第四步：计算 $\text{Var}(X)$。

$$\text{Var}(U)=E(U^2)-[E(U){]}^2=1-0=1$$

$\text{Var}(X)=\text{Var}(\mu +\sigma U)={\sigma }^2\text{Var}(U)={\sigma }^2\cdot 1={\sigma }^2$ $\square$

这验证了参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 确实是正态分布的期望和方差。

例题

例 2.5.1 — 正态分布概率计算

设 $X\sim N(108,9)$（即 $\mu =108$，${\sigma }^2=9$，$\sigma =3$），求 $P(102<X<117)$。

解：利用标准化公式：

$$P(102<X<117)=\Phi \left(\frac{117-108}{3}\right)-\Phi \left(\frac{102-108}{3}\right)=\Phi (3)-\Phi (-2)$$

由对称性 $\Phi (-2)=1-\Phi (2)$：

$$=\Phi (3)-(1-\Phi (2))=\Phi (3)+\Phi (2)-1$$

查标准正态分布表：$\Phi (2)\approx 0.9772$，$\Phi (3)\approx 0.9987$。

$$P(102<X<117)\approx 0.9987+0.9772-1=0.9759$$

即 $P(102<X<117)\approx 0.9759$。

例 2.5.2 — 正态分布分位数

设 $X\sim N(0,1)$，求 $a$ 使得 $P(X<a)=0.95$。

解：由标准正态分布函数的定义，

$$P(X<a)=\Phi (a)=0.95$$

查标准正态分布表，$\Phi (1.645)\approx 0.95$，因此 $a\approx 1.645$。

这里 $a=1.645$ 称为标准正态分布的==上 $0.05$ 分位数==，记为 $u_{0.05}=1.645$。

常用分位数：

• $u_{0.05}=1.645$（单侧 $95\%$）
• $u_{0.025}=1.96$（双侧 $95\%$）
• $u_{0.005}=2.576$（双侧 $99\%$）

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二、均匀分布

均匀分布是最简单的连续分布，描述的是随机变量在某区间上”均匀”取值的情形。

均匀分布的定义

定义 2.5.2 — 均匀分布

若连续随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

其中 $a<b$ 为参数，则称 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上服从均匀分布，记为 $X\sim U(a,b)$。

直观理解：$X$ 落在 $(a,b)$ 内任何等长子区间上的概率相同。就像向线段 $(a,b)$ 上随机投点，每个点被投中的概率密度相同。

验证归一性：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x)dx={\int }_a^b\frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot (b-a)=1✓$$

均匀分布的分布函数

由 §2.1 中分布函数的定义 $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}p(t)dt$：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le a\\ \frac{x-a}{b-a},& a<x<b\\ 1,& x\ge b\end{array}$$

分布函数在 $(a,b)$ 上是线性增长的，从 $0$ 单调递增到 $1$。

均匀分布的期望和方差

定理 2.5.3 — 均匀分布的期望和方差

若 $X\sim U(a,b)$，则

$$E(X)=\frac{a+b}{2},\text{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

证明

证明：

[直接积分法]：

期望：

$$E(X)={\int }_a^{b}x\cdot \frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_a^b=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{b^2-a^2}{2}=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}$$

方差：先计算 $E(X^2)$：

$$E(X^2)={\int }_a^b{x}^2\cdot \frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_a^b=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3(b-a)}=\frac{b^2+ab+a^2}{3}$$

因此：

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{b^2+ab+a^2}{3}-\frac{(a+b{)}^2}{4}$$

通分（公分母为 $12$）： $=\frac{4(b^2+ab+a^2)-3(a^2+2ab+b^2)}{12}=\frac{4b^2+4ab+4a^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}=\frac{a^2-2ab+b^2}{12}=\frac{(b-a{)}^2}{12}$ $\square$

直观理解：

• 期望 $\frac{a+b}{2}$：区间的中点，符合”均匀”的直觉。
• 方差 $\frac{(b-a{)}^2}{12}$：区间越长，分散程度越大。

例题

例 2.5.3 — 均匀分布应用

某公共汽车站每隔 15 分钟一班，乘客到达车站的时刻是随机的。求乘客等候时间不超过 5 分钟的概率。

解：设乘客到达时刻为 $X$（分钟），则 $X\sim U(0,15)$。

等候时间不超过 5 分钟，意味着乘客在班车到达前 5 分钟内到达。由于班车在 $t=0,15,30,\dots$ 到达，乘客等候时间 $T=15-X$（若 $X$ 落在某一个 15 分钟区间内）。

等候时间不超过 5 分钟：$T\le 5$，即 $15-X\le 5$，即 $X\ge 10$。

$$P(X\ge 10)={\int }_{10}^{15}\frac{1}{15}dx=\frac{15-10}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$$

因此乘客等候时间不超过 5 分钟的概率为 $\frac{1}{3}$。

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三、指数分布

指数分布是描述等待时间和寿命的最重要的连续分布，在排队论、可靠性理论中有着广泛应用。

指数分布的定义

定义 2.5.3 — 指数分布

若连续随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$$

其中 $\lambda >0$ 为参数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X\sim Exp(\lambda )$。

参数的含义：$\lambda$ 是速率参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。$\lambda$ 越大，事件发生越频繁，等待时间越短。

验证归一性：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }p(x)dx={\int }_0^{+\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=-e^{-\lambda x}{|}_0^{+\infty }=0-(-1)=1✓$$

指数分布的分布函数

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}p(t)dt=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\end{array}$$

推导：当 $x\ge 0$ 时，

$$F(x)={\int }_0^x\lambda e^{-\lambda t}dt=-e^{-\lambda t}{|}_0^x=-e^{-\lambda x}+1=1-e^{-\lambda x}$$

指数分布的期望和方差

定理 2.5.4 — 指数分布的期望和方差

若 $X\sim Exp(\lambda )$，则

$$E(X)=\frac{1}{\lambda },\text{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

证明

证明：

[分部积分法]：

期望：

$$E(X)={\int }_0^{+\infty }x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx$$

令 $u=x$，$dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$，则 $du=dx$，$v=-e^{-\lambda x}$：

$$E(X)=-x{e}^{-\lambda x}{|}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\lambda x}dx$$

第一项：${\lim }_{x\to +\infty }x{e}^{-\lambda x}=0$（指数衰减比多项式增长快），在 $x=0$ 处为 $0$。

第二项：${\int }_0^{+\infty }{e}^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$。

因此 $E(X)=0+\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{\lambda }$。

方差：先计算 $E(X^2)$：

$$E(X^2)={\int }_0^{+\infty }{x}^2\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx$$

两次分部积分（或利用伽马函数，见下节）：

$$E(X^2)=\frac{2}{{\lambda }^2}$$

因此： $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}$ $\square$

直观理解：

• 期望 $E(X)=\frac{1}{\lambda }$：如果事件平均每小时发生 $\lambda$ 次，则平均等待时间为 $\frac{1}{\lambda }$ 小时。
• 标准差 $\sqrt{\text{Var}(X)}=\frac{1}{\lambda }=E(X)$：标准差等于均值，说明指数分布的离散程度相对较大。

无记忆性

定理 2.5.5 — 指数分布的无记忆性

若 $X\sim Exp(\lambda )$，则对任意 $s>0$，$t>0$，有

$$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$$

证明

证明：

[条件概率+分布函数]：

由条件概率公式：

$$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}$$

利用指数分布的尾部概率 $P(X>x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}$： $=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=\frac{e^{-\lambda s}\cdot e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$ $\square$

无记忆性的含义：如果一件产品已经工作了 $s$ 小时仍未损坏，那么它再工作 $t$ 小时的概率，与一件新产品工作 $t$ 小时的概率相同。换句话说，过去的"历史"不会影响未来的"寿命"。

生活类比：就像掷骰子——无论你已经掷了多少次没有出现 6 点，下一次掷出 6 点的概率始终是 $\frac{1}{6}$。指数分布的”等待”也具有这种”不记仇”的特性。

与泊松过程的关系

在参数为 $\lambda$ 的泊松过程中，两次相邻事件之间的时间间隔服从 $Exp(\lambda )$ 分布。这是指数分布最重要的物理背景之一。

例如：某服务台顾客到达服从参数为 $\lambda$ 的泊松过程，则相邻两位顾客到达的时间间隔 $T\sim Exp(\lambda )$。

例题

例 2.5.4 — 指数分布无记忆性应用

某电子元件的寿命 $X\sim Exp(0.01)$（单位：小时）。已知该元件已正常工作了 200 小时，求它再正常工作 100 小时的概率。

解：由无记忆性，

$$P(X>200+100\mid X>200)=P(X>100)=e^{-0.01\times 100}=e^{-1}\approx 0.3679$$

注意：这个概率与元件已经工作了 200 小时这一事实无关！这正是无记忆性的体现。

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四、伽马分布

伽马分布是指数分布的自然推广，也是卡方分布的理论基础。

伽马函数

伽马函数

称函数

$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx,\alpha >0$$

为伽马函数。

伽马函数的基本性质：

性质 1：$\Gamma (1)=1$

$$\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=-e^{-x}{|}_0^{+\infty }=1$$

性质 2：递推公式 $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$

$$\Gamma (\alpha +1)={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-x}dx$$

分部积分：令 $u=x^{\alpha }$，$dv=e^{-x}dx$，则 $du=\alpha x^{\alpha -1}dx$，$v=-e^{-x}$：

$$=-x^{\alpha }{e}^{-x}{|}_0^{+\infty }+\alpha {\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx=0+\alpha \Gamma (\alpha )=\alpha \Gamma (\alpha )$$

推论：当 $\alpha =n$（正整数）时，$\Gamma (n+1)=n!$。因此伽马函数是阶乘的推广。

性质 3：$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

$$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)={\int }_0^{+\infty }{x}^{-1/2}{e}^{-x}dx$$

令 $x=\frac{t^2}{2}$，则 $dx=tdt$，$x^{-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{t}$：

$$={\int }_0^{+\infty }\frac{\sqrt{2}}{t}{e}^{-t^2/2}tdt=\sqrt{2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2/2}dt=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2\pi }}{2}=\sqrt{\pi }$$

其中利用了概率积分 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2/2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{2}$。

伽马分布的定义

定义 2.5.4 — 伽马分布

若连续随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

其中 $\alpha >0$，$\lambda >0$ 为参数，则称 $X$ 服从参数为 $(\alpha ,\lambda )$ 的伽马分布，记为 $X\sim Ga(\alpha ,\lambda )$。

参数的含义：

• $\alpha$：形状参数，决定密度曲线的形状。$\alpha \le 1$ 时单调递减，$\alpha >1$ 时呈单峰状。
• $\lambda$：速率参数（尺度参数的倒数），与指数分布中的 $\lambda$ 含义相同。

验证归一性：

$${\int }_0^{+\infty }\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}dx$$

令 $t=\lambda x$，则 $dx=dt/\lambda$：

$$=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{+\infty }{\left(\frac{t}{\lambda }\right)}^{\alpha -1}{e}^{-t}\frac{dt}{\lambda }=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot \frac{1}{{\lambda }^{\alpha }}{\int }_0^{+\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt=\frac{\Gamma (\alpha )}{\Gamma (\alpha )}=1✓$$

伽马分布的期望和方差

定理 2.5.6 — 伽马分布的期望和方差

若 $X\sim Ga(\alpha ,\lambda )$，则

$$E(X)=\frac{\alpha }{\lambda },\text{Var}(X)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$$

证明

证明：

[伽马函数递推]：

期望：

$$E(X)={\int }_0^{+\infty }x\cdot \frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}dx=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-\lambda x}dx$$

令 $t=\lambda x$：

$$=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{+\infty }{\left(\frac{t}{\lambda }\right)}^{\alpha }{e}^{-t}\frac{dt}{\lambda }=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot \frac{1}{{\lambda }^{\alpha +1}}{\int }_0^{+\infty }{t}^{\alpha }{e}^{-t}dt=\frac{1}{\lambda \Gamma (\alpha )}\cdot \Gamma (\alpha +1)$$

由递推公式 $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$：

$$=\frac{\alpha \Gamma (\alpha )}{\lambda \Gamma (\alpha )}=\frac{\alpha }{\lambda }$$

方差：类似地计算 $E(X^2)$：

$$E(X^2)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha +1}{e}^{-\lambda x}dx=\frac{\Gamma (\alpha +2)}{{\lambda }^2\Gamma (\alpha )}=\frac{(\alpha +1)\alpha \Gamma (\alpha )}{{\lambda }^2\Gamma (\alpha )}=\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\lambda }^2}$$

因此： $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\lambda }^2}-\frac{{\alpha }^2}{{\lambda }^2}=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$ $\square$

伽马分布的特例

特例 1：当 $\alpha =1$ 时，$Ga(1,\lambda )=Exp(\lambda )$。

验证：$\Gamma (1)=1$，密度函数变为

$$p(x)=\frac{{\lambda }^1}{\Gamma (1)}{x}^0{e}^{-\lambda x}=\lambda e^{-\lambda x},x>0$$

这正是指数分布 $Exp(\lambda )$ 的密度函数。

特例 2：卡方分布。当 $\alpha =\frac{n}{2}$，$\lambda =\frac{1}{2}$ 时，$Ga\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)$ 就是自由度为 $n$ 的卡方分布，记为 ${\chi }^2(n)$。

卡方分布的密度函数为：

$$p(x)=\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}{x}^{n/2-1}{e}^{-x/2},x>0$$

卡方分布在统计推断中极为重要，是假设检验和区间估计的核心工具。

与泊松过程的关系

在参数为 $\lambda$ 的泊松过程中，==第 $n$ 次事件发生的等待时间== $T_n\sim Ga(n,\lambda )$。

当 $n=1$ 时，$T_1\sim Ga(1,\lambda )=Exp(\lambda )$，即第一次事件发生的等待时间服从指数分布。

这说明伽马分布是指数分布在”等待第 $n$ 次事件”场景下的自然推广。

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五、贝塔分布

贝塔分布描述的是 $(0,1)$ 区间上的随机变量，常用于建模比例、概率等有界量。

贝塔函数

贝塔函数

称函数

$$B(a,b)={\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx,a>0,b>0$$

为贝塔函数。

贝塔函数与伽马函数的关系：

$$B(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}$$

这个关系非常重要，它将贝塔函数的计算转化为伽马函数的计算。

贝塔分布的定义

定义 2.5.5 — 贝塔分布

若连续随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1},& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

其中 $a>0$，$b>0$ 为参数，则称 $X$ 服从参数为 $(a,b)$ 的贝塔分布，记为 $X\sim Be(a,b)$。

参数的含义：

• $a$：控制密度函数在 $x$ 接近 $1$ 时的行为。$a$ 越大，密度越集中在 $1$ 附近。
• $b$：控制密度函数在 $x$ 接近 $0$ 时的行为。$b$ 越大，密度越集中在 $0$ 附近。
• 当 $a=b$ 时，密度函数关于 $x=0.5$ 对称。

验证归一性：

$${\int }_0^1\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot B(a,b)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot \frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}=1✓$$

贝塔分布的期望和方差

定理 2.5.7 — 贝塔分布的期望和方差

若 $X\sim Be(a,b)$，则

$$E(X)=\frac{a}{a+b},\text{Var}(X)=\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$$

证明

证明：

[贝塔函数性质]：

期望：

$$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot \frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\int }_0^1{x}^a(1-x{)}^{b-1}dx$$

积分部分正是 $B(a+1,b)$：

$$=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot B(a+1,b)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot \frac{\Gamma (a+1)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b+1)}$$

利用 $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$ 和 $\Gamma (a+b+1)=(a+b)\Gamma (a+b)$：

$$=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot \frac{a\Gamma (a)\Gamma (b)}{(a+b)\Gamma (a+b)}=\frac{a}{a+b}$$

方差：类似地计算 $E(X^2)$：

$$E(X^2)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot B(a+2,b)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot \frac{\Gamma (a+2)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b+2)}$$

利用 $\Gamma (a+2)=(a+1)a\Gamma (a)$ 和 $\Gamma (a+b+2)=(a+b+1)(a+b)\Gamma (a+b)$：

$$=\frac{(a+1)a}{(a+b+1)(a+b)}$$

因此：

$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}-\frac{a^2}{(a+b{)}^2}$$

通分： $=\frac{a(a+1)(a+b)-a^2(a+b+1)}{(a+b{)}^2(a+b+1)}=\frac{a(a^2+ab+a+b)-a^3-a^{2}b-a^2}{(a+b{)}^2(a+b+1)}=\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$ $\square$

贝塔分布的特例

特例：当 $a=1$，$b=1$ 时，$Be(1,1)=U(0,1)$。

验证：$\Gamma (1)=1$，$\Gamma (2)=1$，密度函数变为

$$p(x)=\frac{\Gamma (2)}{\Gamma (1)\Gamma (1)}{x}^0(1-x{)}^0=\frac{1}{1\cdot 1}\cdot 1\cdot 1=1,0<x<1$$

这正是 $(0,1)$ 上的均匀分布。因此均匀分布是贝塔分布的特例。

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六、各分布间的关系与汇总

分布关系图

graph TB
    A[均匀分布] -->|特例 Be1,1| B[贝塔分布]
    C[指数分布] -->|特例 Ga1,λ| D[伽马分布]
    D -->|特例 χ²n| E[卡方分布]
    C -->|无记忆性| F[泊松过程间隔]
    D -->|第n次等待时间| F
    G[正态分布] -->|中心极限定理| H[大量独立因素叠加]
    E -->|统计推断| I[假设检验与区间估计]
    B -->|贝叶斯推断| J[先验分布]
    C -->|寿命建模| K[可靠性理论]
    D -->|求和| L[独立指数分布之和]
    G -->|标准化| M[标准正态分布]

全分布汇总表

离散分布汇总

分布名称	记号	分布列/密度	期望	方差
二点分布	$b(1,p)$	$P(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k}$，$k=0,1$	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$b(n,p)$	$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布	$P(\lambda )$	$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布	$Ge(p)$	$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$，$k=1,2,\dots$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
超几何分布	$H(n,M,N)$	$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$	$\frac{nM}{N}$	$\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$
负二项分布	$Nb(r,p)$	$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r-1}\right)p^r(1-p{)}^{k-r}$	$\frac{r}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$

连续分布汇总

分布名称	记号	密度函数	期望	方差
均匀分布	$U(a,b)$	$p(x)=\frac{1}{b-a}$，$a<x<b$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布	$Exp(\lambda )$	$p(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，$x\ge 0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
伽马分布	$Ga(\alpha ,\lambda )$	$p(x)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}$，$x>0$	$\frac{\alpha }{\lambda }$	$\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$
卡方分布	${\chi }^2(n)$	$p(x)=\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}{x}^{n/2-1}{e}^{-x/2}$，$x>0$	$n$	$2n$
贝塔分布	$Be(a,b)$	$p(x)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}$，$0<x<1$	$\frac{a}{a+b}$	$\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$
正态分布	$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$\mu$	${\sigma }^2$
标准正态	$N(0,1)$	$\phi (u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-u^2/2}$	$0$	$1$

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七、知识结构总览

graph LR
    A[2.5 常用连续分布] --> B[正态分布]
    A --> C[均匀分布]
    A --> D[指数分布]
    A --> E[伽马分布]
    A --> F[贝塔分布]

    B --> B1[标准化定理]
    B --> B2[三σ原则]
    B --> B3[期望与方差]

    C --> C1[分布函数]
    C --> C2[期望与方差]

    D --> D1[无记忆性]
    D --> D2[泊松过程]

    E --> E1[伽马函数]
    E --> E2[卡方分布特例]

    F --> F1[贝塔函数]
    F --> F2[均匀分布特例]

    D -->|Ga1,λ| E
    E -->|χ²n| G[卡方分布]
    C -->|Be1,1| F

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八、核心思想与证明技巧

核心思想

标准化思想

正态分布的标准化定理是本节最重要的技巧。其核心思想是：通过线性变换将一般正态分布转化为标准正态分布，从而利用标准正态分布表进行概率计算。

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)\stackrel{U=\frac{X-\mu }{\sigma }}{\to }U\sim N(0,1)$$

这种思想在统计推断中反复出现：t分布、F分布的构造都依赖于标准化。

无记忆性思想

指数分布的无记忆性是其最独特的性质。在离散分布中，几何分布是唯一具有无记忆性的分布；在连续分布中，指数分布是唯一具有无记忆性的分布。

无记忆性的本质是条件分布与原始分布相同：

$$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$$

这意味着”已经等待了 $s$ 时间”这个信息对未来的等待时间没有任何影响。

分布族谱思想

五大连续分布并非孤立存在，而是构成一个有机的”家族”：

• 指数分布是伽马分布的特例（$\alpha =1$）
• 卡方分布是伽马分布的特例（$\alpha =n/2$，$\lambda =1/2$）
• 均匀分布是贝塔分布的特例（$a=b=1$）
• 正态分布是中心极限定理下的极限分布

理解这些关系，有助于构建完整的概率论知识网络。

证明技巧

分部积分法

在计算指数分布和伽马分布的期望方差时，分部积分法是最基本的工具。关键在于合理选择 $u$ 和 $dv$：

• 计算 $E(X)$ 时：令 $u=x$，$dv=p(x)dx$
• 计算 $E(X^2)$ 时：令 $u=x^2$，$dv=p(x)dx$

边界项 ${\left[-x^n{e}^{-\lambda x}\right]}_0^{+\infty }$ 通常为零，因为指数衰减比多项式增长快。

变量代换法

在验证归一性、计算期望方差时，变量代换 $t=\lambda x$ 是常用技巧，它可以将含参数 $\lambda$ 的积分转化为伽马函数的标准形式。

利用对称性

标准正态分布密度函数是偶函数，这一性质在概率计算中极为有用：

$$\Phi (-u)=1-\Phi (u){\int }_{-\infty }^{+\infty }u\phi (u)du=0$$

和分解法

虽然本节未直接使用和分解法，但它是计算正态分布期望方差的关键：将 $X=\mu +\sigma U$ 分解，利用期望的线性性简化计算。这一方法在§2.4中计算二项分布期望方差时已经使用过。

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九、补充理解与易混淆点

正态分布就是钟形曲线分布

来源：教材 §2.5 课后讨论题 + 陈希孺《概率论》第三章 + Stack Exchange + MIT OCW 18.05 + Wikipedia 正态分布词条

误区分析

❌ 认为”只要密度曲线是钟形的，就一定是正态分布”。

✅ 钟形只是正态分布的必要条件，而非充分条件。许多其他分布（如 t 分布、Logistic 分布、Laplace 分布）的密度曲线也呈钟形，但它们不是正态分布。

正态分布的密度函数具有特定的解析形式 $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$，其判定需要验证密度函数的具体形式，而非仅凭形状判断。

标准差越小正态分布越矮

来源：教材 §2.5 密度函数图像分析 + Ross《概率论》第五章 + Casella & Berger 第四章 + 3Blue1Brown 视频 + 跨考考研复习指南

误区分析

❌ 认为”标准差 $\sigma$ 越小，正态分布的密度曲线越矮”。

✅ 事实恰恰相反：$\sigma$ 越小，密度曲线越高越窄。这是因为密度曲线下的总面积必须等于 $1$（归一性），$\sigma$ 越小意味着数据越集中，密度函数的峰值就越高。

具体地，密度函数的最大值为 $p(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$，显然 $\sigma$ 越小，$p(\mu )$ 越大。

指数分布的无记忆性意味着过去不影响未来

来源：教材 §2.5 无记忆性定理 + Ross《概率模型》+ MIT OCW 6.041 + Stack Exchange + 《应用随机过程》教材

误区分析

❌ 笼统地认为”指数分布的无记忆性意味着过去完全不影响未来”，将其推广到所有场景。

✅ 无记忆性的成立需要严格的数学条件：

1. 随机变量必须服从指数分布（连续情形）或几何分布（离散情形），这是唯一具有无记忆性的分布；
2. 无记忆性描述的是条件概率 $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$，而非一般性的”过去不影响未来”；
3. 在实际应用中，无记忆性要求事件发生的过程具有独立增量性（如泊松过程），现实中很多寿命问题并不严格满足这一条件（如机器磨损会随时间累积）。

伽马分布就是卡方分布

来源：教材 §2.5 伽马与卡方关系 + Casella & Berger 伽马分布族 + Wackerly 卡方分布推导 + 跨考考研复习指南 + Wikipedia

误区分析

❌ 将伽马分布与卡方分布等同起来。

✅ 卡方分布 ${\chi }^2(n)$ 是伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 当 $\alpha =n/2$，$\lambda =1/2$ 时的特例。伽马分布是一个更广泛的分布族：

• $Ga(1,\lambda )=Exp(\lambda )$（指数分布）
• $Ga(n/2,1/2)={\chi }^2(n)$（卡方分布）
• 一般的 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 包含上述所有特例

混淆两者的关系，类似于将”矩形”等同于”正方形”——正方形是矩形的特例，但矩形不都是正方形。

均匀分布是最简单的连续分布

来源：教材 §2.5 均匀与贝塔关系 + Gelman《贝叶斯数据分析》+ Robert《贝叶斯选择》+ Stack Exchange + 陈希孺《概率论》

误区分析

❌ 认为均匀分布是”最基本”的连续分布，与其他分布没有深层联系。

✅ 均匀分布 $U(0,1)$ 实际上是贝塔分布 $Be(1,1)$ 的特例。更重要的是，均匀分布在概率论中扮演着基础性角色：

1. 概率积分变换：任何连续分布都可以通过均匀分布生成（逆变换法）；
2. 贝叶斯统计中，均匀分布常被用作”无信息先验”；
3. 随机数生成：计算机生成各种分布的随机数，第一步都是生成 $U(0,1)$ 均匀随机数。

因此，均匀分布的”简单”只是表面上的，它在理论中的地位极为重要。

正态分布的期望和方差可以直接看出来

来源：教材 §2.5 定理2.5.2证明 + Feller《概率论》正态矩计算 + MIT OCW 18.05 + 跨考考研复习指南 + 3Blue1Brown 视频

误区分析

❌ 认为”正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的期望就是 $\mu$、方差就是 ${\sigma }^2$，这是显然的，不需要证明”。

✅ 虽然 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 确实是正态分布的期望和方差，但这一结论需要严格的数学证明。证明的关键步骤包括：

1. 利用标准化变换 $U=\frac{X-\mu }{\sigma }$ 将问题归结为标准正态分布；
2. 利用奇函数的对称性证明 $E(U)=0$；
3. 利用分部积分证明 $E(U^2)=1$；
4. 利用期望的线性性和方差的性质还原到一般正态分布。

这些证明技巧在概率论中反复出现，掌握它们对后续学习至关重要。

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十、习题精选

习题概览

编号	题目来源	知识点	难度
1	教材 2.5-1	正态分布标准化计算	基础
2	教材 2.5-3	正态分布概率区间	基础
3	教材 2.5-7	均匀分布概率计算	基础
4	教材 2.5-10	指数分布无记忆性验证	中等
5	教材 2.5-15	伽马函数性质证明	中等
6	教材 2.5-18	贝塔分布期望方差推导	中等
7	2015 南开大学 432	正态分布与方程判别式	进阶
8	2014 东北师范大学 432	均匀分布与方程判别式	进阶
9	2022 上海财经大学 432	概率积分变换	进阶
10	2015 北京师范大学 432	指数分布无记忆性与 Gamma 分布	进阶

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教材习题

1. 教材 2.5-1：正态分布标准化计算

设 $X\sim N(3,4)$，求下列概率： （1）$P(2<X\le 5)$ （2）$P(X>0)$ （3）$P(|X|>1)$

查看解答

$X\sim N(3,4)$，即 $\mu =3$，$\sigma =2$。

（1）

$$P(2<X\le 5)=\Phi \left(\frac{5-3}{2}\right)-\Phi \left(\frac{2-3}{2}\right)=\Phi (1)-\Phi (-0.5)=\Phi (1)-(1-\Phi (0.5))$$ $$=0.8413-(1-0.6915)=0.8413-0.3085=0.5328$$

（2）

$$P(X>0)=1-\Phi \left(\frac{0-3}{2}\right)=1-\Phi (-1.5)=1-(1-\Phi (1.5))=\Phi (1.5)\approx 0.9332$$

（3）

$$P(|X|>1)=P(X>1)+P(X<-1)$$ $$P(X>1)=1-\Phi \left(\frac{1-3}{2}\right)=1-\Phi (-1)=\Phi (1)\approx 0.8413$$ $$P(X<-1)=\Phi \left(\frac{-1-3}{2}\right)=\Phi (-2)=1-\Phi (2)\approx 0.0228$$ $$P(|X|>1)\approx 0.8413+0.0228=0.8641$$

2. 教材 2.5-3：正态分布概率区间

设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，已知 $P(X\le -1.6)=0.036$，$P(X\le 5.9)=0.758$。求 $\mu$ 和 $\sigma$。

查看解答

由标准化公式：

$$P(X\le -1.6)=\Phi \left(\frac{-1.6-\mu }{\sigma }\right)=0.036$$ $$P(X\le 5.9)=\Phi \left(\frac{5.9-\mu }{\sigma }\right)=0.758$$

查标准正态分布表：

• $\Phi (z)=0.036$ 对应 $z\approx -1.80$
• $\Phi (z)=0.758$ 对应 $z\approx 0.70$

因此：

$$\frac{-1.6-\mu }{\sigma }=-1.80\cdots (1)$$ $$\frac{5.9-\mu }{\sigma }=0.70\cdots (2)$$

由 (1)：$-1.6-\mu =-1.80\sigma$，即 $\mu =1.80\sigma -1.6$

代入 (2)：$\frac{5.9-(1.80\sigma -1.6)}{0.70}=\sigma$

$$5.9-1.80\sigma +1.6=0.70\sigma$$ $$7.5=2.50\sigma$$ $$\sigma =3$$ $$\mu =1.80\times 3-1.6=5.4-1.6=3.8$$

因此 $\mu =3.8$，$\sigma =3$。

3. 教材 2.5-7：均匀分布概率计算

设 $X\sim U(0,5)$，求方程 $4t^2+4Xt+X+2=0$ 有实根的概率。

查看解答

二次方程 $4t^2+4Xt+X+2=0$ 有实根的条件是判别式非负：

$$\Delta =(4X{)}^2-4\times 4\times (X+2)\ge 0$$ $$16X^2-16(X+2)\ge 0$$ $$X^2-X-2\ge 0$$ $$(X-2)(X+1)\ge 0$$

由于 $X\sim U(0,5)$，$X>0$，因此只需 $X-2\ge 0$，即 $X\ge 2$。

$$P(X\ge 2)={\int }_2^5\frac{1}{5}dx=\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}=0.6$$

4. 教材 2.5-10：指数分布无记忆性验证

设 $X\sim Exp(\lambda )$，证明：对任意 $s,t>0$，$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$，并利用此结果计算：已知某元件已工作了 500 小时，求它再工作 300 小时的概率（设 $\lambda =0.002$）。

查看解答

证明（见定理 2.5.5）：

$$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$$

计算：

$$P(X>500+300\mid X>500)=P(X>300)=e^{-0.002\times 300}=e^{-0.6}\approx 0.5488$$

5. 教材 2.5-15：伽马函数性质证明

证明：$\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{4^n\cdot n!}\sqrt{\pi }$，其中 $n$ 为非负整数。

查看解答

证明：对 $n$ 用数学归纳法。

基础步（$n=0$）：

$$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$$

右边：$\frac{0!}{4^0\cdot 0!}\sqrt{\pi }=\sqrt{\pi }$。成立。

归纳步：假设 $\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{4^n\cdot n!}\sqrt{\pi }$ 成立。

由递推公式：

$$\Gamma \left((n+1)+\frac{1}{2}\right)=\left(n+\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)$$ $$=\frac{2n+1}{2}\cdot \frac{(2n)!}{4^n\cdot n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n+1)(2n)!}{2\cdot 4^n\cdot n!}\sqrt{\pi }$$

注意到 $(2n+1)(2n)!=(2n+1)!$，且 $2\cdot 4^n=2\cdot 4^n$，$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$：

$$=\frac{(2n+1)!}{2\cdot 4^n\cdot n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n+1)!\cdot (n+1)}{2\cdot 4^n\cdot n!\cdot (n+1)}\sqrt{\pi }$$

另一种方式：直接验证

$$\frac{(2(n+1))!}{4^{n+1}\cdot (n+1)!}=\frac{(2n+2)!}{4^{n+1}\cdot (n+1)!}=\frac{(2n+2)(2n+1)!}{4\cdot 4^n\cdot (n+1)\cdot n!}=\frac{2(n+1)(2n+1)!}{4\cdot 4^n\cdot (n+1)\cdot n!}=\frac{(2n+1)!}{2\cdot 4^n\cdot n!}$$

因此归纳步成立。 $\square$

6. 教材 2.5-18：贝塔分布期望方差推导

设 $X\sim Be(a,b)$，利用贝塔函数与伽马函数的关系，推导 $E(X)$ 和 $\text{Var}(X)$。

查看解答

推导（见定理 2.5.7）：

期望：

$$E(X)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\int }_0^1{x}^a(1-x{)}^{b-1}dx=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot B(a+1,b)$$ $$=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot \frac{\Gamma (a+1)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b+1)}=\frac{\Gamma (a+b)\cdot a\Gamma (a)\cdot \Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)\cdot (a+b)\Gamma (a+b)}=\frac{a}{a+b}$$

方差：

$$E(X^2)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot B(a+2,b)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\cdot \frac{\Gamma (a+2)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b+2)}$$ $$=\frac{(a+1)a}{(a+b+1)(a+b)}$$ $$\text{Var}(X)=\frac{(a+1)a}{(a+b+1)(a+b)}-\frac{a^2}{(a+b{)}^2}=\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$$

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考研真题

7. 2015 南开大学 432：正态分布与方程判别式

设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，方程 $y^2+4y+X=0$ 无实根的概率为 $\frac{1}{2}$，求 $\mu$。

查看解答

方程 $y^2+4y+X=0$ 的判别式为

$$\Delta =16-4X$$

无实根的条件是 $\Delta <0$，即 $16-4X<0$，即 $X>4$。

由题意 $P(X>4)=\frac{1}{2}$。

由于 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，正态分布关于 $\mu$ 对称，因此

$$P(X>\mu )=\frac{1}{2}$$

由 $P(X>4)=P(X>\mu )=\frac{1}{2}$，得 $\mu =4$。

注意：此题不需要知道 $\sigma$ 的值，因为正态分布的中位数等于均值。

8. 2014 东北师范大学 432：均匀分布与方程判别式

设 $X\sim U(1,6)$，求方程 $y^2+Xy+1=0$ 有实根的概率。

查看解答

方程 $y^2+Xy+1=0$ 的判别式为

$$\Delta =X^2-4$$

有实根的条件是 $\Delta \ge 0$，即 $X^2\ge 4$，即 $X\ge 2$ 或 $X\le -2$。

由于 $X\sim U(1,6)$，$X>0$，因此只需 $X\ge 2$。

$$P(X\ge 2)=\frac{6-2}{6-1}=\frac{4}{5}$$

9. 2022 上海财经大学 432：概率积分变换

设 $U\sim U(0,1)$，求函数 $g(u)$ 使得 $Y=g(U)\sim Exp\left(\frac{1}{2}\right)$。

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方法：逆变换法（概率积分变换）。

设 $Y\sim Exp\left(\frac{1}{2}\right)$，则 $Y$ 的分布函数为

$$F_Y(y)=1-e^{-y/2},y\ge 0$$

逆变换法的原理：若 $U\sim U(0,1)$，令 $Y=F_Y^{-1}(U)$，则 $Y\sim Exp\left(\frac{1}{2}\right)$。

令 $F_Y(y)=u$：

$$1-e^{-y/2}=u$$ $$e^{-y/2}=1-u$$ $$-\frac{y}{2}=\ln (1-u)$$ $$y=-2\ln (1-u)$$

因此 $g(u)=-2\ln (1-u)$。

验证：由于 $U\sim U(0,1)$，则 $1-U\sim U(0,1)$，因此也可以写成 $g(u)=-2\ln u$。

10. 2015 北京师范大学 432：指数分布无记忆性与 Gamma 分布

某银行有两个窗口，王芳和李先生分别到达。设两个窗口的服务时间相互独立，均服从 $Exp(1)$（单位：小时）。 （1）求王芳比李先生先离开的概率； （2）求王芳最后离开的概率； （3）求李先生最后离开的概率。

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设王芳所在窗口的服务时间为 $X\sim Exp(1)$，李先生所在窗口的服务时间为 $Y\sim Exp(1)$，$X$ 与 $Y$ 独立。

（1）王芳比李先生先离开的概率

$$P(X<Y)={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^y{f}_X(x)f_Y(y)dxdy={\int }_0^{+\infty }{e}^{-y}\left({\int }_0^y{e}^{-x}dx\right)dy$$ $$={\int }_0^{+\infty }{e}^{-y}(1-e^{-y})dy={\int }_0^{+\infty }{e}^{-y}dy-{\int }_0^{+\infty }{e}^{-2y}dy=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

直观理解：由对称性，$P(X<Y)=P(Y<X)$，而 $P(X=Y)=0$（连续分布），因此 $P(X<Y)=\frac{1}{2}$。

（2）王芳最后离开的概率

“王芳最后离开”等价于 $X>Y$，即王芳的服务时间比李先生长。

$$P(X>Y)=P(Y<X)=\frac{1}{2}$$

（3）李先生最后离开的概率

“李先生最后离开”等价于 $Y>X$。

$$P(Y>X)=\frac{1}{2}$$

注：如果题目改为三个窗口（王芳、李先生、张三），则每人最后离开的概率均为 $\frac{1}{3}$（由对称性）。更一般地，$n$ 个独立同分布的指数分布随机变量，每个成为最大值的概率均为 $\frac{1}{n}$。

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十一、教材原文

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第二章 随机变量及其分布/常用连续分布