5.2 样本数据的整理与显示

本节概览

本节介绍样本数据的整理与图形显示方法，是描述统计的核心工具。主要包括：经验分布函数（理论工具）、频数频率表（数值整理）、直方图（连续数据图形化）、茎叶图（小数据集图形化）。

逻辑链条：原始数据 → 有序样本与经验分布函数 → 频数频率表（分组整理） → 直方图（图形显示） → 茎叶图（保留原始信息）

前置依赖：§5.1（总体与样本概念、经验分布函数定义与性质）、§2.4（二项分布）

核心主线：从杂乱的原始数据出发，通过有序化、分组、图形化等手段，揭示数据的分布特征（集中趋势、离散程度、分布形态），为后续的统计推断奠定基础。

---

一、经验分布函数的构造与应用

经验分布函数的定义和性质已在 §5.1 中详细讨论（定义5.1.4、经验分布函数三大性质及证明、格利文科定理）。本节重点放在构造方法和实际应用上。

有序样本

定义 5.2.1 — 有序样本

设 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是来自总体 $X$ 的样本观测值，将它们按从小到大排列：

$$x_{(1)}\le x_{(2)}\le \cdots \le x_{(n)}$$

称 $(x_{(1)},x_{(2)},\dots ,x_{(n)})$ 为有序样本（order statistics），其中 $x_{(k)}$ 称为第 $k$ 个次序统计量。

经验分布函数的构造步骤

回顾 定义 5.1.4，经验分布函数 $F_n(x)$ 的构造步骤为：

1. 排序：将原始数据从小到大排列得到有序样本
2. 分段：以每个 $x_{(k)}$ 为分段点
3. 计数：对任意 $x$，统计 $x_i\le x$ 的个数 $k$
4. 赋值：$F_n(x)=k/n$

例 5.2.1 — 饮料净重经验分布函数

某饮料厂抽查 5 瓶饮料的净重（ml），数据为：$351,347,355,344,351$。

解：

排序得有序样本：$x_{(1)}=344,x_{(2)}=347,x_{(3)}=351,x_{(4)}=351,x_{(5)}=355$

经验分布函数：

$$F_5(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<344\\ 0.2,& 344\le x<347\\ 0.4,& 347\le x<351\\ 0.8,& 351\le x<355\\ 1,& x\ge 355\end{array}$$

注意：$x=351$ 处有两个观测值，因此 $F_5(x)$ 在该处跳跃 $0.4$（而非 $0.2$）。

格利文科定理（回顾）

定理 5.2.1 — 格利文科定理（Glivenko-Cantelli Theorem）

设 $F_n(x)$ 是来自总体 $X\sim F(x)$ 的经验分布函数，则：

$$P\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|F_n(x)-F(x)|=0\right)=1$$

即 $F_n(x)$ 一致收敛到 $F(x)$（几乎必然）。

定理意义

格利文科定理保证了当样本量 $n$ 充分大时，经验分布函数 $F_n(x)$ 可以作为总体分布函数 $F(x)$ 的良好近似。这是经典非参数统计的基石——不需要假设总体分布的具体形式，直接用数据来估计分布。

详细证明见 §5.1 格利文科定理的证明思路。

---

二、频数频率表

当样本量较大时，逐点构造经验分布函数不够直观。频数频率表通过分组的方式对数据进行整理，是描述统计中最常用的数值整理方法。

分组步骤

定义 5.2.2 — 频数频率表

将样本数据按取值范围分成若干区间（组），统计落入每个区间的数据个数（频数），并计算频率和累计频率，所得表格称为频数频率表。

编制频数频率表的标准步骤：

第一步：确定组数 $k$

组数的选择取决于样本量 $n$，可参考以下经验规则：

样本量 $n$	推荐组数 $k$
$n\le 50$	5 ~ 6
$50<n\le 100$	7 ~ 10
$100<n\le 200$	9 ~ 13
$n>200$	12 ~ 20

也可以使用 Sturges 公式：$k\approx 1+3.322\lg n$（取整）。

第二步：确定组距 $d$

$$d=\frac{\text{最大值}-\text{最小值}}{k}$$

组距 $d$ 通常取整数或方便计算的值（如 5, 10, 50, 100 等），实际组距可能略大于计算值。

第三步：确定组限

确定每组的下限和上限 $a_0<a_1<\cdots <a_k$，使得：

• $a_0$ 略小于最小值
• $a_k$ 略大于最大值
• 每个区间为左开右闭 $(a_{j-1},a_j]$（或左闭右开，需统一）

第四步：统计频数、计算频率

对每组统计频数 $n_j$，计算频率 $f_j=n_j/n$ 和累计频率。

例 5.2.2 — 20名工人产量频数频率表

某车间 20 名工人的日产量（件）为：

$$\begin{gathered} 148,155,169,172,177,148,153,156,160,162, \\ 168,170,171,176,182,189,196,153,157,162 \end{gathered}$$

解：

第一步：$n=20$，取 $k=5$ 组。

第二步：$\text{max}=196$，$\text{min}=148$，$d=(196-148)/5=9.6$，取 $d=10$。

第三步：取 $a_0=147$，组限为 $(147,157],(157,167],(167,177],(177,187],(187,197]$。

第四步：统计得频数频率表：

组序	分组区间	组中值	频数	频率	累计频率
1	$(147,157]$	152	4	0.20	20%
2	$(157,167]$	162	8	0.40	60%
3	$(167,177]$	172	5	0.25	85%
4	$(177,187]$	182	2	0.10	95%
5	$(187,197]$	192	1	0.05	100%
合计	—	—	20	1.00	—

分组注意事项

• 组距 $d$ 应统一（等距分组），便于比较和绘图
• 组限的取法需统一（左开右闭或左闭右开），避免数据落在边界上时产生歧义
• 频数频率表的信息损失：分组后丢失了组内数据的具体值，只保留了”落在哪个区间”的信息

---

三、直方图

直方图是频数频率表的图形化表示，能直观展示数据的分布形态（集中趋势、离散程度、偏态等）。

三种直方图

定义 5.2.3 — 频数直方图

以分组区间为底边，以该组的频数为高的矩形所组成的图形。纵轴表示频数。

定义 5.2.4 — 频率直方图

以分组区间为底边，以该组的频率为高的矩形所组成的图形。纵轴表示频率。

定义 5.2.5 — 单位频率直方图

以分组区间为底边，以该组的频率/组距为高的矩形所组成的图形。纵轴表示频率密度。

三种直方图的核心区别

类型	纵轴含义	矩形面积	面积之和	与密度曲线关系
频数直方图	频数	频数 × 组距	$=n\cdot d$（无特殊意义）	—
频率直方图	频率	频率 × 组距	$=d$（无特殊意义）	—
单位频率直方图	频率/组距	频率	$=1$	逼近概率密度函数

关键结论：三种直方图的图形形状完全相同（因为等距分组，各组宽度一样，只是纵轴的”刻度”不同）。但只有单位频率直方图的矩形面积之和为 1，当 $n\to \infty$、组距 $d\to 0$ 时，其阶梯形折线逼近总体概率密度函数 $f(x)$。

直方图与条形图的区别

特征	直方图	条形图
数据类型	连续型数值数据	离散型/分类数据
横轴	数值区间（有实际含义）	类别标签（无顺序含义）
矩形间隔	无间隔（连续排列）	有间隔
矩形宽度	有实际含义（= 组距）	无实际含义（可任意调整）
矩形含义	面积表示频率（单位频率直方图）	高度表示频数

---

四、茎叶图

茎叶图（stem-and-leaf plot）是另一种数据展示方法，由 Tukey 于 1977 年提出。其最大特点是保留全部原始数据信息。

构造方法

定义 5.2.6 — 茎叶图

将每个数据分为”茎”（高位数字）和”叶”（低位数字）两部分，将茎按大小纵向排列，叶按大小横向排列在同一行中，所得图形称为茎叶图。

构造步骤：

1. 确定茎和叶：将数据分为两部分。例如两位数可取十位为茎、个位为叶；三位数可取百位和十位为茎、个位为叶
2. 列茎：将所有不同的茎按从小到大纵向排列
3. 添叶：对每个数据，将叶写在对应茎的行上，叶按从小到大排列

例 5.2.3 — 50名应聘人员成绩茎叶图

某公司招聘，50 名应聘人员的测试成绩为：

$$\begin{array}{rl}& 64,67,70,72,73,74,76,77,78,79,\\ & 80,81,81,82,83,84,85,86,86,87,\\ & 88,89,89,90,91,92,93,94,95,96,\\ & 97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,\\ & 107,108,110,112,115,118,120,125,128,133\end{array}$$

解：取十位及以上为茎，个位为叶：

茎 | 叶
---|----------------------------------
 6 | 4 7
 7 | 0 2 3 4 6 7 8 9
 8 | 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 9
 9 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8
11 | 0 2 5 8
12 | 0 5 8
13 | 3

从茎叶图可以看出：数据集中在 80~99 分之间，呈近似正态分布。

背靠背茎叶图

当需要比较两组样本的分布时，可以使用背靠背茎叶图：两组数据共用一个茎，分别向左右两侧展开叶。

例 5.2.4 — 两车间产量背靠背茎叶图

甲、乙两车间各 40 名工人的日产量数据如下（略），构造背靠背茎叶图比较两车间产量分布。

解：

   甲车间                    茎    乙车间
---------------------------|----|---------------------------
             8 7 5 3 2      34  |  1 3 5 6
           9 8 7 6 5 4 3    35  |  2 4 5 7 8 9
         8 7 6 5 5 4 3 2    36  |  0 1 3 4 5 6 7 8
       9 8 7 6 5 4 3 2 1    37  |  0 2 3 4 5 6 7 9
     9 8 7 6 5 4 3 2 1 0    38  |  1 3 4 5 6 7 8 9
   9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0    39  |  0 2 4 5 6 7 8
 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0        40  |  1 3 5 6 8 9
       8 7 6 5 4 3 2 1      41  |  0 2 4 7
         8 7 6 5 4          42  |  1 3 5
             8 7 5          43  |  2 4
             8 5            44  |  3
             7              45  |  5
             5              46  |

从背靠背茎叶图可以看出：甲车间产量集中在 3841 件，乙车间产量集中在 3740 件，甲车间整体产量略高于乙车间。

茎叶图的优缺点

优点：

• 保留全部原始数据信息（不像直方图那样丢失组内细节）
• 可以直观看出数据的分布形态（对称性、集中趋势、离群值）
• 背靠背茎叶图便于两组数据对比

缺点：

• 仅适用于中小样本（$n\le 100$ 左右）
• 数据过于分散时（取值范围大但数据少），茎叶图效果差
• 不适合多组数据同时比较（超过两组时图形复杂）

---

五、知识结构总览

graph TD
    A["5.2 样本数据的整理与显示"] --> B["有序样本"]
    A --> C["经验分布函数"]
    A --> D["频数频率表"]
    A --> E["直方图"]
    A --> F["茎叶图"]

    B --> C
    D --> E

    C --> C1["构造步骤"]
    C --> C2["格利文科定理"]

    D --> D1["确定组数"]
    D --> D2["确定组距"]
    D --> D3["确定组限"]
    D --> D4["统计频数"]

    E --> E1["频数直方图"]
    E --> E2["频率直方图"]
    E --> E3["单位频率直方图"]

    F --> F1["单组茎叶图"]
    F --> F2["背靠背茎叶图"]

---

六、核心思想与技巧

数据整理方法的选择

场景	推荐方法	理由
小样本（$n\le 30$）	经验分布函数 + 茎叶图	保留全部信息，不损失精度
中等样本（$30<n\le 100$）	频数频率表 + 直方图	分组整理兼顾直观性
大样本（$n>100$）	频数频率表 + 直方图	数据量大，分组整理更高效
两组数据对比	背靠背茎叶图	直观比较分布差异
需要估计总体分布	单位频率直方图	面积和为 1，逼近密度函数

分组数与组距的经验法则

• 组数太少 → 信息损失严重，分布形态被”抹平”
• 组数太多 → 每组频数过少，随机波动干扰判断
• Sturges 公式 $k\approx 1+3.322\lg n$ 给出了一个合理的起点
• 实际操作中可尝试多个 $k$ 值，选择最能反映数据分布特征的那个

---

七、补充理解与易混淆点

三种直方图纵轴含义混淆

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§5.2 p229-230 + 国家统计局《直方图》统计百科 + CSDN《掌握直方图:频数与频率的区别与应用详解》 + bookdown《统计考研复习参考》Ch5 + FineReport《直方图适合哪些数据分布》

误区1："直方图的纵轴就是频数"

❌ 错误解释：认为所有直方图的纵轴都表示频数，矩形高度直接代表数据个数。 ✅ 正确解释：直方图有三种类型，纵轴含义各不相同。频数直方图纵轴是频数，频率直方图纵轴是频率，单位频率直方图纵轴是”频率/组距”（频率密度）。只有单位频率直方图的矩形面积之和为 1，才能逼近概率密度曲线。三种直方图在等距分组下图形形状相同，但纵轴刻度和面积含义完全不同。

直方图与条形图混淆

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§5.2 p229 + 国家统计局《直方图》统计百科 + 原创力文档《直方图教学课件》 + book118《频数直方图复习知识清单》 + CSDN《python绘制直方图方法详解》

误区2："直方图就是竖起来的条形图"

❌ 错误解释：认为直方图和条形图本质相同，只是方向不同。 ✅ 正确解释：直方图用于连续型数值数据，横轴是数值区间，矩形之间无间隔，矩形的宽度有实际含义（= 组距），面积表示频率（单位频率直方图）。条形图用于离散型/分类数据，横轴是类别标签，条形之间有间隔，条形宽度无实际含义，高度表示频数。两者适用场景完全不同。

茎叶图适用条件误用

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§5.2 p231-232 + 习题解答本 p222-223 + 卡方核心笔记 + bookdown《统计考研复习参考》Ch5 + CSDN《数理统计-5.2样本数据的整理和显示》

误区3："茎叶图适用于任何数据集"

❌ 错误解释：认为茎叶图是万能的数据展示工具，可以替代直方图。 ✅ 正确解释：茎叶图仅适用于中小样本（通常 $n\le 100$），且数据不宜过于分散。当样本量很大或数据取值范围很宽时，茎叶图会变得非常冗长、难以阅读。此时应改用频数频率表 + 直方图。茎叶图的最大优势是保留全部原始数据信息，这是直方图做不到的。

---

八、习题精选

习题概览

编号	题目来源	知识点	难度
1	教材 5.2-1	经验分布函数构造	★★☆
2	教材 5.2-2	分组样本经验分布函数	★★★
3	教材 5.2-3	频率分布表与直方图	★★★
4	教材 5.2-4	频率分布表补充	★★☆
5	教材 5.2-5	频数分布表与直方图	★★★
6	教材 5.2-6	茎叶图构造	★★☆
7	2012兰州大学432（卡方4.1-4）：卡方分布自由度判定	统计量分布识别	★★★
8	2014兰州大学432（卡方4.1-6）：正态抽样定理证明	正态抽样分布	★★★★
9	2017中央财经大学432（卡方4.1-1）：统计量概念辨析	统计量概念辨析	★★★
10	2013兰州大学432（卡方4.1-2）：样本均值方差计算	样本数字特征	★★★

习题1 — 教材5.2-1：经验分布函数构造

设 10 名工人的产品数为：$149,156,160,138,149,153,153,169,156,156$。求经验分布函数 $F_{10}(x)$ 并作图。

查看解答

解：

排序得有序样本：

$$x_{(1)}=138,x_{(2)}=149,x_{(3)}=149,x_{(4)}=153,x_{(5)}=153,x_{(6)}=156,x_{(7)}=156,x_{(8)}=156,x_{(9)}=160,x_{(10)}=169$$

经验分布函数：

$$F_{10}(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<138\\ 0.1,& 138\le x<149\\ 0.3,& 149\le x<153\\ 0.5,& 153\le x<156\\ 0.8,& 156\le x<160\\ 0.9,& 160\le x<169\\ 1,& x\ge 169\end{array}$$

$\square$

习题2 — 教材5.2-2：分组样本的经验分布函数

设有分组样本如下表：

区间	$(38,48]$	$(48,58]$	$(58,68]$	$(68,78]$	$(78,88]$
频数	3	4	8	3	2

求经验分布函数 $F_{20}(x)$。

查看解答

解：

总频数 $n=3+4+8+3+2=20$。累计频率：

• $(38,48]$：累计频率 $=3/20=0.15$
• $(48,58]$：累计频率 $=7/20=0.35$
• $(58,68]$：累计频率 $=15/20=0.75$
• $(68,78]$：累计频率 $=18/20=0.90$
• $(78,88]$：累计频率 $=20/20=1.00$

$$F_{20}(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 38\\ 0.15,& 38<x\le 48\\ 0.35,& 48<x\le 58\\ 0.75,& 58<x\le 68\\ 0.90,& 68<x\le 78\\ 1.00,& x>78\end{array}$$

$\square$

习题3 — 教材5.2-3：频率分布表与直方图

某地区 30 名毕业生的起薪（元）为：

$$\begin{array}{rl}& 9300,9800,10500,11200,8900,10600,10100,9500,10700,11000,\\ & 9400,10800,9900,10300,10000,9600,10200,10900,10400,11300,\\ & 9700,11100,9200,11500,9000,11400,7800,7380,15720,12500\end{array}$$

试编制频率分布表（分 6 组）并画出直方图。

查看解答

解：

排序后：$\text{min}=7380$，$\text{max}=15720$。

组距 $d=(15720-7380)/6=1390$，取 $d=1400$。

取 $a_0=7350$，分组区间为：

组序	分组区间	组中值	频数	频率	累计频率
1	$(7350,8750]$	8050	2	0.067	6.7%
2	$(8750,10150]$	9450	10	0.333	40.0%
3	$(10150,11550]$	10850	14	0.467	86.7%
4	$(11550,12950]$	12250	2	0.067	93.3%
5	$(12950,14350]$	13650	1	0.033	96.7%
6	$(14350,15750]$	15050	1	0.033	100.0%
合计	—	—	30	1.000	—

直方图略（以分组区间为底边，以频数/频率/频率密度为高即可）。

$\square$

习题4 — 教材5.2-4：频率分布表补充

某企业 250 名职工上班所需时间（分钟）的频率分布表如下：

分组区间	$(0,30]$	$(30,60]$	$(60,90]$	$(90,120]$	$(120,150]$
频率	0.10	0.24	0.18	0.14	?

求：（1）空缺的频率；（2）上班时间不超过 60 分钟的职工人数。

查看解答

解：

（1）空缺频率 $=1-0.10-0.24-0.18-0.14=0.34$

（2）上班时间不超过 60 分钟的频率 $=0.10+0.24=0.34$

职工人数 $=250\times 0.34=85$ 人

$\square$

习题5 — 教材5.2-5：频数分布表与直方图

某图书馆 40 种刊物的月发行量（册）为：

$$\begin{array}{rl}& 353,552,673,887,1095,1263,1380,1456,1520,1601,\\ & 2335,2802,3012,3458,3689,3802,4102,4500,4789,5230,\\ & 5568,6102,6534,7200,7835,8234,8900,9650,10234,11023,\\ & 12045,13200,14567,14667,15234,16500,17800,18900,20100,22345\end{array}$$

试建立频数分布表并画直方图。

查看解答

解：

$\text{min}=353$，$\text{max}=22345$。

取组距 $d=1700$，则 $k\ge (22345-353)/1700=12.94$，取 $k=13$，$d=1700$。

取 $a_0=300$，分组区间为 $(300,2000],(2000,3700],\dots ,(22200,23900]$。

组序	分组区间	组中值	频数	频率
1	$(300,2000]$	1150	10	0.250
2	$(2000,3700]$	2850	5	0.125
3	$(3700,5400]$	4550	7	0.175
4	$(5400,7100]$	6250	5	0.125
5	$(7100,8800]$	7950	4	0.100
6	$(8800,10500]$	9650	4	0.100
7	$(10500,12200]$	11350	3	0.075
8	$(12200,13900]$	13050	1	0.025
9	$(13900,15600]$	14750	1	0.025
10	$(15600,17300]$	16450	0	0.000
11	$(17300,19000]$	18150	0	0.000
12	$(19000,20700]$	19850	0	0.000
13	$(20700,22400]$	21550	0	0.000

直方图略。

$\square$

习题6 — 教材5.2-6：茎叶图构造

32 名学生的数学成绩为：

$$\begin{array}{rl}& 345,348,352,356,358,362,365,368,370,372,\\ & 375,378,380,382,385,388,390,392,395,398,\\ & 400,405,408,412,415,418,420,425,430,435,\\ & 440,448\end{array}$$

试构造茎叶图。

查看解答

解：取百位和十位为茎，个位为叶：

茎 | 叶
---|----------------------------------
 34 | 5 8
 35 | 2 6 8
 36 | 2 5 8
 37 | 0 2 5 8
 38 | 0 2 5 8
 39 | 0 2 5 8
 40 | 0 5 8
 41 | 2 5 8
 42 | 0 5
 43 | 0 5
 44 | 0 8

数据集中在 370~400 之间，呈近似对称分布。

$\square$

习题7 — 2012兰州大学432（卡方4.1-4）：卡方分布自由度判定

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，判断下列统计量服从什么分布，并指出自由度： （1）${\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$；（2）$\frac{X_1^2+X_2^2}{X_3^2+X_4^2}$

查看解答

解：

（1）$X_i\sim N(0,1)$，故 $X_i^2\sim {\chi }^2(1)$。

由卡方分布的可加性（$X_1,\dots ,X_n$ 独立）：

$$\sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$$

（2）$X_1^2+X_2^2\sim {\chi }^2(2)$，$X_3^2+X_4^2\sim {\chi }^2(2)$，且两者独立。

由 $F$ 分布的定义：

$$\frac{(X_1^2+X_2^2)/2}{(X_3^2+X_4^2)/2}=\frac{X_1^2+X_2^2}{X_3^2+X_4^2}\sim F(2,2)$$

$\square$

习题8 — 2014兰州大学432（卡方4.1-6）：正态抽样定理证明

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$，$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$。证明： （1）$\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立； （2）$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$。

查看解答

证明：

第一步：构造正交矩阵

作正交变换 $Y=AX$，其中 $A$ 为正交矩阵，第一行为 $\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots ,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$，使得 $Y_1=\sqrt{n}\bar{X}$。

第二步：利用正交变换的性质

由于 $A$ 正交，$Y_1,Y_2,\dots ,Y_n$ 仍为独立正态随机变量，且：

$$Y_1\sim N(\sqrt{n}\mu ,{\sigma }^2),Y_i\sim N(0,{\sigma }^2),i=2,\dots ,n$$

第三步：分解偏差平方和

由正交变换保范数：

$$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2=\sum _{i=2}^n{Y}_i^2$$

因此 $\bar{X}=Y_1/\sqrt{n}$ 仅依赖于 $Y_1$，$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=2}^n{Y}_i^2$ 仅依赖于 $Y_2,\dots ,Y_n$。由独立性得 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。（结论 1）

第四步：证明卡方分布

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\sum _{i=2}^n\frac{Y_i^2}{{\sigma }^2}=\sum _{i=2}^n{\left(\frac{Y_i}{\sigma }\right)}^2$$

由于 $\frac{Y_i}{\sigma }\sim N(0,1)$（$i=2,\dots ,n$）且相互独立，故：

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

$\square$

习题9 — 2017中央财经432（卡方4.1-1）：统计量概念辨析

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，其中 $\mu$ 已知、${\sigma }^2$ 未知。判断下列哪些是统计量： （1）${\sum }_{i=1}^n{X}_i$；（2）${\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$；（3）$\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$；（4）$\bar{X}-\mu$

查看解答

解：

统计量的定义：样本的函数，且不含未知参数。

（1）${\sum }_{i=1}^n{X}_i$：不含未知参数 → ✅ 是统计量

（2）${\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$：$\mu$ 已知，不含未知参数 → ✅ 是统计量

（3）$\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$：${\sigma }^2$ 未知 → ❌ 不是统计量

（4）$\bar{X}-\mu$：$\mu$ 已知 → ✅ 是统计量

$\square$

习题10 — 2013兰州大学432（卡方4.1-2）：样本均值方差计算

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，$E(X)=\mu$，$\text{Var}(X)={\sigma }^2$。求： （1）$E(\bar{X})$ 和 $\text{Var}(\bar{X})$； （2）$E\left({\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\right)$。

查看解答

解：

（1）由期望的线性性和独立性：

$$E(\bar{X})=E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{1}{n}\cdot n\mu =\mu$$ $$\text{Var}(\bar{X})=\text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{1}{n^2}\cdot n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$$

（2）利用恒等式 ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2$：

$$E\left(\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\right)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i^2)-nE({\bar{X}}^2)$$ $$=n({\sigma }^2+{\mu }^2)-n\left(\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2\right)=n{\sigma }^2+n{\mu }^2-{\sigma }^2-n{\mu }^2=(n-1){\sigma }^2$$

$\square$

---

九、本节小结

本节介绍了描述统计中三种核心的数据整理与显示方法：

方法	适用场景	优点	局限
经验分布函数	小样本，需要精确分布估计	保留全部信息，有理论支撑（格利文科定理）	大样本时阶梯过多，不够直观
频数频率表 + 直方图	中大样本，需要观察分布形态	直观展示集中趋势、离散程度、偏态	分组后丢失组内信息，结果依赖分组方式
茎叶图	小样本（$n\le 100$），需要保留原始数据	保留全部数据信息，可做背靠背对比	大样本或数据分散时不适用

核心要点：

• 三种直方图（频数/频率/单位频率）图形形状相同，但纵轴含义和面积含义不同
• 只有单位频率直方图的面积和为 1，可逼近概率密度函数
• 数据整理方法的选择取决于样本量和分析目的

---

十、教材原文

以下为教材扫描版原文，可点击翻阅。

第五章 统计量及其分布/数据整理