7D 等距映射、幺正算子和矩阵分解

本节概览

本节是7C 正算子的自然延伸与深化，从等距映射出发，逐步引入幺正算子，最终导出两个最重要的矩阵分解——QR分解和科列斯基分解。

逻辑链条：等距映射定义（Def 7.44）$\to$ 五个等价刻画（Thm 7.49）$\to$ 幺正算子定义（Def 7.51）$\to$ 六个等价刻画（Thm 7.53）$\to$ 特征值模为1（Thm 7.54）$\to$ 复空间谱描述（Thm 7.55）$\to$ 幺正矩阵（Def 7.56/Thm 7.57）$\to$ QR分解（Thm 7.58）$\to$ 可逆正算子（Thm 7.61）$\to$ 正定矩阵（Def 7.62）$\to$ 科列斯基分解（Thm 7.63）。

前置依赖：7C 正算子（推论7.43：$⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow Tv=0$）、6B 规范正交基（格拉姆-施密特过程6.32）、7A 自伴算子和正规算子（Thm 7.16：自伴算子且$⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$、正规算子）、7B 谱定理（复谱定理7.31）。

核心主线：等距映射（保持范数）$\to$ 幺正算子（可逆等距映射）$\to$ 幺正矩阵（矩阵表示）$\to$ QR分解（格拉姆-施密特的矩阵版本）$\to$ 科列斯基分解（正定矩阵的”平方根”）。

---

一、等距映射

等距映射（isometry）是本节的出发点。等距映射可以作用于两个不同的内积空间 $V$ 和 $W$，其核心思想是”保持距离”——将 $V$ 中的向量映射到 $W$ 中且不改变向量的长度。

等距映射的定义

定义 7.44：等距映射（isometry）

设 $V$ 和 $W$ 是内积空间。线性映射 $S\in \mathcal{L}(V,W)$ 称为等距映射，如果对所有 $v\in V$ 都有 $\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$

等距映射的基本性质：

1. 等距映射是单射：若 $Sv=0$，则 $\Vert v\Vert =\Vert Sv\Vert =0$，所以 $v=0$。因此 $\text{null }S=\{0\}$，$S$ 是单射。
2. 等距映射保持向量间的距离：对任意 $u,v\in V$，$\Vert S(u)-S(v)\Vert =\Vert S(u-v)\Vert =\Vert u-v\Vert$。

等距映射的构造

例 7.45：将规范正交基映射到规范正交组

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$g_1,\dots ,g_n$ 是 $W$ 中的规范正交组。令 $S\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得 $S{e}_k=g_k$（由3D 可逆性和同构的线性映射引理3.4确定）。则 $S$ 是等距映射。

证明思路

[展开 $\Vert v{\Vert }^2$]：将 $v$ 用规范正交基表示，利用规范正交性消去交叉项。 [展开 $\Vert Sv{\Vert }^2$]：$Sv$ 用 $g_j$ 表示，同样消去交叉项。 [比较得等式]：两者都等于 $\sum |⟨v,e_j⟩{|}^2$。

设 $v={\sum }_{j=1}^n⟨v,e_j⟩e_j$。由6B 规范正交基的公式6.30(a)：

$\Vert v{\Vert }^2={\sum }_{j=1}^n|⟨v,e_j⟩{|}^2$

$Sv={\sum }_{j=1}^n⟨v,e_j⟩S{e}_j={\sum }_{j=1}^n⟨v,e_j⟩g_j$

$\Vert Sv{\Vert }^2={\sum }_{j=1}^n|⟨v,e_j⟩{|}^2=\Vert v{\Vert }^2$

$\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ 对所有 $v\in V$，$S$ 是等距映射。$■$

证明技巧

这个证明的关键在于规范正交性使得范数的计算变得极其简洁：$\Vert v{\Vert }^2=\sum |⟨v,e_j⟩{|}^2$，完全不需要交叉项。等距映射之所以能保持范数，正是因为它将一个规范正交组映射到另一个规范正交组，从而保持了这种”无交叉项”的结构。

等距映射的刻画

定理 7.49：等距映射的刻画

设 $V$ 和 $W$ 是内积空间，$S\in \mathcal{L}(V,W)$。则以下陈述等价：

• (a) $S$ 是等距映射（$\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ 对所有 $v\in V$）
• (b) $S^{\ast }S=I$
• (c) $⟨Su,Sv⟩=⟨u,v⟩$ 对所有 $u,v\in V$
• (d) $S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是 $W$ 中的规范正交组（$e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的任意规范正交基）
• (e) $\mathcal{M}(S)$ 的列形成 ${\mathbb{F}}^m$ 中的规范正交组（关于 $V$ 和 $W$ 的任意规范正交基）

证明循环：$(a)\Rightarrow (b)\Rightarrow (c)\Rightarrow (d)\Rightarrow (e)\Rightarrow (a)$。

---

$(a)\Rightarrow (b)$：

证明思路

[转化为内积形式]：将 $\Vert Sv{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2$ 通过伴随定义转化为 $⟨v,S^{\ast }Sv⟩=⟨v,v⟩$。 [构造自伴算子]：令 $T=I-S^{\ast }S$，则 $⟨Tv,v⟩=0$ 对所有 $v$。 [利用 Thm 7.16]：$T$ 自伴且 $⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$。

对任意 $v\in V$：

$\Vert v{\Vert }^2=\Vert Sv{\Vert }^2=⟨Sv,Sv⟩=⟨v,S^{\ast }Sv⟩$

因此 $⟨v,(I-S^{\ast }S)v⟩=0$ 对所有 $v\in V$。令 $T=I-S^{\ast }S$，则 $T$ 是自伴的（因为 $(S^{\ast }S{)}^{\ast }=S^{\ast }S$），且 $⟨Tv,v⟩=0$ 对所有 $v$。由7A 自伴算子和正规算子的 Thm 7.16（自伴算子且 $⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$），得 $T=0$，即 $S^{\ast }S=I$。$■$

---

$(b)\Rightarrow (c)$：

证明思路

[伴随定义代入]：$⟨Su,Sv⟩=⟨u,S^{\ast }(Sv)⟩=⟨u,(S^{\ast }S)v⟩=⟨u,v⟩$。

对任意 $u,v\in V$：

$⟨Su,Sv⟩=⟨u,S^{\ast }(Sv)⟩=⟨u,(S^{\ast }S)v⟩=⟨u,Iv⟩=⟨u,v⟩$

$S$ 保持内积。$■$

---

$(c)\Rightarrow (d)$：

证明思路

[验证规范性]：$\Vert S{e}_j{\Vert }^2=⟨S{e}_j,S{e}_j⟩=⟨e_j,e_j⟩=1$。 [验证正交性]：$⟨S{e}_j,S{e}_k⟩=⟨e_j,e_k⟩=0$（$j\ne k$）。

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基。由条件(c)：

• $\Vert S{e}_j{\Vert }^2=⟨S{e}_j,S{e}_j⟩=⟨e_j,e_j⟩=1$，故 $\Vert S{e}_j\Vert =1$。
• 对 $j\ne k$，$⟨S{e}_j,S{e}_k⟩=⟨e_j,e_k⟩=0$。

$S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是 $W$ 中的规范正交组。$■$

---

$(d)\Rightarrow (e)$：

证明思路

[矩阵列=基向量的坐标]：$\mathcal{M}(S)$ 的第 $k$ 列是 $S{e}_k$ 关于 $W$ 的规范正交基的坐标向量。$S{e}_k$ 规范正交蕴含坐标向量也规范正交。

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_1,\dots ,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基。$\mathcal{M}(S)$ 的第 $k$ 列是 $S{e}_k$ 关于 $f_1,\dots ,f_m$ 的坐标向量。由于 $S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是规范正交组，规范正交性在坐标表示下保持，$\mathcal{M}(S)$ 的列向量也是规范正交的。$■$

---

$(e)\Rightarrow (a)$：

证明思路

[矩阵列规范正交蕴含像规范正交]：由条件(e)，$S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是规范正交组。 [展开 $\Vert Sv{\Vert }^2$]：对任意 $v=\sum a_j{e}_j$，利用规范正交性消去交叉项，得 $\Vert Sv{\Vert }^2=\sum |a_j{|}^2=\Vert v{\Vert }^2$。

设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基。由条件(e)，$S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是规范正交组。对任意 $v={\sum }_{j=1}^n⟨v,e_j⟩e_j$：

$Sv={\sum }_{j=1}^n⟨v,e_j⟩S{e}_j$

$\Vert Sv{\Vert }^2={\sum }_{j=1}^n|⟨v,e_j⟩{|}^2=\Vert v{\Vert }^2$

$\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ 对所有 $v\in V$，$S$ 是等距映射。$■$

证明技巧

$(a)\Rightarrow (b)$ 的关键步骤是将 $\Vert Sv{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2$ 转化为 $⟨v,S^{\ast }Sv⟩=⟨v,v⟩$，然后利用==自伴算子且 $⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$==（Thm 7.16）这一核心工具。这个技巧在正算子理论中反复出现。

---

二、幺正算子

幺正算子（unitary operator）是等距映射在 $V=W$ 且可逆时的特殊情况。幺正算子是内积空间上”最好的”线性映射之一——它既保持范数，又是可逆的，其逆恰好等于其伴随。

幺正算子的定义

定义 7.51：幺正算子（unitary operator）

算子 $S\in \mathcal{L}(V)$ 称为幺正算子，如果 $S$ 是可逆的等距映射。

等距映射 $\ne$ 幺正算子

• 等距映射是 $\mathcal{L}(V,W)$ 上的概念，只要求 $\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$，不要求可逆，也不要求 $V=W$。
• 幺正算子是 $\mathcal{L}(V)$ 上可逆等距映射。

在有限维空间中，当 $\dim V=\dim W$ 时，等距映射自动可逆（单射+等维$\to$双射），此时两者等价。

幺正算子的例子

例 7.52： ${\mathbb{R}}^2$ 的旋转

对任意 $\theta \in \mathbb{R}$，矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ 的列形成规范正交组（验证：${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$），故 $S$ 是幺正算子。

幺正算子的刻画

定理 7.53：幺正算子的刻画

设 $S\in \mathcal{L}(V)$。则以下陈述等价：

• (a) $S$ 是幺正算子（可逆等距映射）
• (b) $S^{\ast }S=S{S}^{\ast }=I$
• (c) $S$ 可逆且 $S^{-1}=S^{\ast }$
• (d) $S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是 $V$ 的规范正交基（$e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的任意规范正交基）
• (e) $\mathcal{M}(S)$ 的行形成 ${\mathbb{F}}^n$ 中的规范正交基
• (f) $S^{\ast }$ 是幺正算子

证明循环：$(a)\Rightarrow (b)\Rightarrow (c)\Rightarrow (d)\Rightarrow (e)\Rightarrow (f)\Rightarrow (a)$。

---

$(a)\Rightarrow (b)$：

证明思路

[等距映射给出单向等式]：由 Thm 7.49(b)，$S^{\ast }S=I$。 [可逆性提升为双向等式]：$S$ 可逆，右乘 $S^{-1}$ 得 $S^{\ast }=S^{-1}$，故 $S{S}^{\ast }=S{S}^{-1}=I$。

$S$ 是等距映射，由 Thm 7.49(b)，$S^{\ast }S=I$。$S$ 可逆，故 $S^{\ast }=S^{\ast }I=S^{\ast }(S{S}^{-1})=(S^{\ast }S)S^{-1}=I{S}^{-1}=S^{-1}$。因此 $S{S}^{\ast }=S{S}^{-1}=I$。

$S^{\ast }S=S{S}^{\ast }=I■$

---

$(b)\Rightarrow (c)$：

证明思路

[可逆性与逆的定义]：$S^{\ast }S=I$ 说明 $S^{\ast }$ 是左逆，$S{S}^{\ast }=I$ 说明 $S^{\ast }$ 是右逆，合起来 $S$ 可逆且 $S^{-1}=S^{\ast }$。

$S^{\ast }S=I$ 说明 $S^{\ast }$ 是 $S$ 的左逆。$S{S}^{\ast }=I$ 说明 $S^{\ast }$ 是 $S$ 的右逆。$S$ 可逆且 $S^{-1}=S^{\ast }$。$■$

---

$(c)\Rightarrow (d)$：

证明思路

[验证等距性]：$S^{-1}=S^{\ast }$ 蕴含 $S^{\ast }S=S{S}^{\ast }=I$，$S$ 是等距映射。 [规范正交组]：由 Thm 7.49(d)，$S{e}_j$ 是规范正交组。 [升级为基]：$S$ 可逆保持线性无关性，$n$ 个线性无关的规范正交向量构成规范正交基。

$S^{-1}=S^{\ast }$ 蕴含 $S^{\ast }S=S{S}^{\ast }=I$，故 $S$ 是等距映射。由 Thm 7.49(d)，$S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是 $V$ 中的规范正交组。$S$ 可逆保持线性无关性，$n$ 个线性无关的规范正交向量构成 $V$ 的规范正交基。$■$

---

$(d)\Rightarrow (e)$：

证明思路

[列规范正交]：$S{e}_j$ 是规范正交基意味着 $\mathcal{M}(S)$ 的列形成规范正交基，即 $A^{\ast }A=I$。 [行规范正交]：$A$ 可逆蕴含 $A^{-1}=A^{\ast }$，从而 $A{A}^{\ast }=I$，即 $A$ 的行也规范正交（行是 $A^{\ast }$ 列的复共轭）。

设 $A=\mathcal{M}(S)$ 关于规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$。$S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是规范正交基，故 $A$ 的列形成规范正交基，即 $A^{\ast }A=I$。$A^{\ast }A=I$ 蕴含 $A$ 可逆且 $A^{-1}=A^{\ast }$，从而 $A{A}^{\ast }=I$。$(A{A}^{\ast }{)}_{jk}=⟨A\text{的第 }j\text{ 行},A\text{的第 }k\text{ 行}⟩={\delta }_{jk}$，$A$ 的行形成规范正交基。$■$

证明技巧

这一步的关键是：方阵的列规范正交等价于行规范正交。这是因为 $A^{\ast }A=I$ 蕴含 $A$ 可逆，从而 $A{A}^{\ast }=I$ 也成立。这个结果只对方阵成立。

---

$(e)\Rightarrow (f)$：

证明思路

[行规范正交等价于 $A{A}^{\ast }=I$]：$A$ 的行形成规范正交基 $\iff$ $A{A}^{\ast }=I$。 [转化为 $S^{\ast }$ 的列规范正交]：$\mathcal{M}(S^{\ast })=A^{\ast }$，$A^{\ast }$ 的列规范正交 $\iff$ $A$ 的行规范正交。由 Thm 7.49(e) 反向应用，$S^{\ast }$ 是等距映射。 [可逆性]：$A{A}^{\ast }=I$ 蕴含 $A$ 可逆，故 $S^{\ast }$ 也可逆。

$A$ 的行形成规范正交基 $\iff$ $A{A}^{\ast }=I$。$\mathcal{M}(S^{\ast })=A^{\ast }$，$A^{\ast }$ 的列规范正交 $\iff$ $A$ 的行规范正交。由 Thm 7.49(e) 反向应用，$S^{\ast }$ 是等距映射。$A{A}^{\ast }=I$ 蕴含 $A$ 可逆，故 $S^{\ast }$ 也可逆。$S^{\ast }$ 是可逆的等距映射，即 $S^{\ast }$ 是幺正算子。$■$

---

$(f)\Rightarrow (a)$：

证明思路

[$S^{\ast }$ 幺正给出 $S{S}^{\ast }=I$]：$(S^{\ast }{)}^{\ast }{S}^{\ast }=S{S}^{\ast }=I$。 [$S^{\ast }$ 可逆蕴含 $S$ 可逆]：$(S^{\ast }{)}^{-1}=(S^{-1}{)}^{\ast }$。 [推导 $S^{\ast }S=I$]：$S$ 可逆，$S^{\ast }=S^{-1}$，故 $S^{\ast }S=I$。

$S^{\ast }$ 幺正 $\Rightarrow$ $(S^{\ast }{)}^{\ast }{S}^{\ast }=I$，即 $S{S}^{\ast }=I$。$S^{\ast }$ 可逆 $\Rightarrow$ $S$ 可逆（因为 $(S^{\ast }{)}^{-1}=(S^{-1}{)}^{\ast }$）。$S$ 可逆，$S^{\ast }=S^{-1}$，故 $S^{\ast }S=S^{-1}S=I$。$S^{\ast }S=I$ 说明 $S$ 是等距映射。$S$ 可逆且是等距映射，所以 $S$ 是幺正算子。$■$

幺正算子的特征值

定理 7.54：幺正算子的特征值

设 $S\in \mathcal{L}(V)$ 是幺正算子。则 $S$ 的每个特征值 $\lambda$ 都满足 $|\lambda |=1$。

证明思路

[特征方程两边取范数]：$Sv=\lambda v$，利用范数的齐次性和等距性得 $|\lambda |\cdot \Vert v\Vert =\Vert v\Vert$。 [消去 $\Vert v\Vert$]：$v\ne 0$ 故 $\Vert v\Vert \ne 0$，$|\lambda |=1$。

设 $\lambda$ 是 $S$ 的特征值，$v$ 是对应的非零特征向量。$Sv=\lambda v$，两边取范数：

$|\lambda |\cdot \Vert v\Vert =\Vert \lambda v\Vert =\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$

$v\ne 0$ 故 $\Vert v\Vert \ne 0$，$|\lambda |=1$。$■$

幺正算子与复数单位圆的类比

幺正算子的特征值都在==单位圆 $|\lambda |=1$== 上：

• 在实空间中，特征值只能是 $\lambda =\pm 1$
• 在复空间中，特征值可以是单位圆上的任何复数 $\lambda =e^{i\theta }$

这与复数中 $|z|=1\iff z\bar{z}=1$ 完全类比于 $S^{\ast }S=I$。

复空间上幺正算子的谱描述

定理 7.55：复空间上幺正算子的谱描述

设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，$S\in \mathcal{L}(V)$。则以下陈述等价：

• (a) $S$ 是幺正算子
• (b) 存在 $V$ 的由 $S$ 的特征向量构成的规范正交基，且所有特征值的绝对值为 1

证明思路

(a)$\Rightarrow$(b)：$S$ 正规（$S^{\ast }S=S{S}^{\ast }=I$），由7B 谱定理的复谱定理7.31，$V$ 存在由 $S$ 的特征向量构成的规范正交基。由 Thm 7.54，特征值 $|\lambda |=1$。 (b)$\Rightarrow$(a)：在特征向量规范正交基下验证 $⟨S{e}_j,S{e}_k⟩={\lambda }_j{\bar{\lambda }}_k{\delta }_{jk}={\delta }_{jk}$，由 Thm 7.53(d) 得 $S$ 幺正。

(a)$\Rightarrow$(b)：$S^{\ast }S=S{S}^{\ast }=I$ $\Rightarrow$ $S$ 是正规算子。由7B 谱定理的复谱定理（Thm 7.31），$V$ 存在由 $S$ 的特征向量构成的规范正交基。由 Thm 7.54，所有特征值 $\lambda$ 满足 $|\lambda |=1$。

(b)$\Rightarrow$(a)：设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$S{e}_j={\lambda }_j{e}_j$，$|{\lambda }_j|=1$。对 $j\ne k$：

$⟨S{e}_j,S{e}_k⟩=⟨{\lambda }_j{e}_j,{\lambda }_k{e}_k⟩={\lambda }_j{\bar{\lambda }}_k⟨e_j,e_k⟩=0$

$\Vert S{e}_j{\Vert }^2=|{\lambda }_j{|}^2\Vert e_j{\Vert }^2=1$

$S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是 $V$ 的规范正交基。由 Thm 7.53(d)，$S$ 是幺正算子。$■$

实空间的局限

定理7.55只在复空间中成立。在实空间中，幺正算子（即正交算子）未必有特征向量——例如 ${\mathbb{R}}^2$ 中的旋转矩阵 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$（旋转90度）没有实特征值。

幺正矩阵

定义 7.56：幺正矩阵（unitary matrix）

方阵 $Q$ 称为幺正矩阵，如果 $Q$ 的列形成 ${\mathbb{F}}^n$ 中的规范正交组。

定理 7.57：幺正矩阵的刻画

设 $Q$ 是 $n\times n$ 方阵。则以下陈述等价：

• (a) $Q$ 是幺正矩阵（$Q$ 的列形成规范正交组）
• (b) $Q$ 的行形成 ${\mathbb{F}}^n$ 中的规范正交组
• (c) $\Vert Qv\Vert =\Vert v\Vert$ 对任一 $v\in {\mathbb{F}}^n$
• (d) $Q^{\ast }Q=Q{Q}^{\ast }=I$

这些条件都是 Thm 7.53 在矩阵语言下的重新表述。在实空间中，幺正矩阵就是正交矩阵（$Q^{T}Q=I$）。

---

三、矩阵分解：QR分解与科列斯基分解

矩阵分解是线性代数中最重要的计算工具之一。本节介绍两个核心分解：QR分解和科列斯基分解。

QR分解

定理 7.58：QR分解（QR Factorization）

设 $A$ 是各列线性无关的方阵。那么存在唯一一对矩阵 $Q$ 和 $R$，其中 $Q$ 是幺正的，而 $R$ 是上三角的且对角线上仅有正数，使得 $A=QR$

证明思路

[存在性]：对 $A$ 的列 $v_1,\dots ,v_n$ 应用6B 规范正交基的格拉姆-施密特过程（6.32），得规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$。令 $R_{jk}=⟨v_k,e_j⟩$。验证 $R$ 上三角、正对角线、$A=QR$。 [唯一性]：设 $A=\tilde{Q}\tilde{R}$，则 $\text{span}(v_1,\dots ,v_k)=\text{span}({\tilde{q}}_1,\dots ,{\tilde{q}}_k)$ 且 $⟨v_k,{\tilde{q}}_k⟩>0$。由6B习题10的唯一性得 ${\tilde{q}}_k=e_k$。

存在性：

设 $A$ 的列为 $v_1,\dots ,v_n$。由于 $A$ 的列线性无关，$v_1,\dots ,v_n$ 线性无关。

[格拉姆-施密特正交化]：对 $v_1,\dots ,v_n$ 应用格拉姆-施密特过程，得到规范正交组 $e_1,\dots ,e_n$。由6B 规范正交基的公式6.30(a)：

$v_k={\sum }_{j=1}^k⟨v_k,e_j⟩e_j$

[构造 $Q$ 和 $R$]：令 $Q=(e_1\mid \cdots \mid e_n)$（$Q$ 幺正），令 $R_{jk}=⟨v_k,e_j⟩$。

[验证上三角性]：当 $j>k$ 时，$e_j\perp \text{span}(e_1,\dots ,e_k)\supset \text{span}(v_1,\dots ,v_k)\ni v_k$，故 $⟨v_k,e_j⟩=0$，即 $R_{jk}=0$。

[验证正对角线]：$R_{kk}=⟨v_k,e_k⟩>0$（格拉姆-施密特定义式中 $e_k$ 的系数为正）。

[验证 $A=QR$]：$QR$ 的第 $k$ 列为 ${\sum }_{j=1}^n{R}_{jk}{e}_j={\sum }_{j=1}^k⟨v_k,e_j⟩e_j=v_k$（由6.30(a)）。

唯一性：

设 $A=\tilde{Q}\tilde{R}$，其中 $\tilde{Q}$ 幺正，$\tilde{R}$ 上三角正对角线。令 ${\tilde{q}}_1,\dots ,{\tilde{q}}_n$ 为 $\tilde{Q}$ 的列。$A$ 的第 $k$ 列 $v_k={\sum }_{j=1}^k{\tilde{R}}_{jk}{\tilde{q}}_j$，故 $\text{span}(v_1,\dots ,v_k)=\text{span}({\tilde{q}}_1,\dots ,{\tilde{q}}_k)$。又 $⟨v_k,{\tilde{q}}_k⟩={\tilde{R}}_{kk}>0$。由6B习题10的唯一性，${\tilde{q}}_k=e_k$ 对所有 $k$。从而 $\tilde{Q}=Q$，$\tilde{R}=Q^{\ast }A=R$。$■$

证明技巧

QR分解的存在性直接来自格拉姆-施密特过程。唯一性的关键在于：$A=\tilde{Q}\tilde{R}$ 蕴含 $\text{span}(v_1,\dots ,v_k)=\text{span}({\tilde{q}}_1,\dots ,{\tilde{q}}_k)$ 且 $⟨v_k,{\tilde{q}}_k⟩>0$，这恰好满足格拉姆-施密特过程中规范正交基的唯一性条件（6B习题10）。

QR分解的计算实例

例 7.60： $3\times 3$ 矩阵的QR分解

求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -4\\ 0& 3& 2\end{array}\right)$ 的QR分解。

$A$ 的列为 $v_1=(1,0,0)$，$v_2=(2,1,3)$，$v_3=(1,-4,2)$。

格拉姆-施密特过程：

$e_1=\frac{v_1}{\Vert v_1\Vert }=(1,0,0)$

$u_2=v_2-⟨v_2,e_1⟩e_1=(2,1,3)-2(1,0,0)=(0,1,3)$

$e_2=\frac{u_2}{\Vert u_2\Vert }=\frac{(0,1,3)}{\sqrt{10}}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$

$u_3=v_3-⟨v_3,e_1⟩e_1-⟨v_3,e_2⟩e_2=(1,-4,2)-1\cdot (1,0,0)-\frac{-4+6}{\sqrt{10}}\cdot \left(0,\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$

$⟨v_3,e_2⟩=\frac{0\cdot 1+1\cdot (-4)+3\cdot 2}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}$

$u_3=(1,-4,2)-(1,0,0)-\frac{2}{10}(0,1,3)=(0,-4.2,1.4)=\left(0,-\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\cdot \sqrt{10}$

规范化：$e_3=\left(0,-\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$。

$Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{10}}& -\frac{3}{\sqrt{10}}\\ 0& \frac{3}{\sqrt{10}}& \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right)$

$R_{jk}=⟨v_k,e_j⟩$

$R=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& \sqrt{10}& \frac{\sqrt{10}}{10}\\ 0& 0& \frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}\right)$

可逆正算子

定理 7.61：可逆正算子的刻画

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正算子。则 $T$ 可逆当且仅当 $⟨Tv,v⟩>0$ 对所有非零 $v\in V$。

证明思路

$\Rightarrow$：$T$ 可逆正 $\Rightarrow$ $Tv\ne 0$（$v\ne 0$）$\Rightarrow$ $⟨Tv,v⟩>0$（由7C 正算子的 Thm 7.43，$⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow Tv=0$）。 $\Leftarrow$：$⟨Tv,v⟩>0$（$v\ne 0$）$\Rightarrow$ $Tv\ne 0$ $\Rightarrow$ $T$ 单射 $\Rightarrow$ $T$ 可逆。

$\Rightarrow$：$T$ 可逆，故 $Tv\ne 0$ 对所有非零 $v$。$T$ 是正算子，$⟨Tv,v⟩\ge 0$。若存在非零 $v$ 使 $⟨Tv,v⟩=0$，则由7C 正算子的 Thm 7.43 得 $Tv=0$，矛盾。故 $⟨Tv,v⟩>0$。

$\Leftarrow$：$⟨Tv,v⟩>0$ 对所有非零 $v$。若 $Tv=0$（$v\ne 0$），则 $⟨Tv,v⟩=0$，矛盾。$\text{null }T=\{0\}$，$T$ 单射，故 $T$ 可逆。$■$

正定矩阵

定义 7.62：正定矩阵（positive definite matrix）

方阵 $B\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$ 称为正定矩阵，如果 $B^{\ast }=B$（自伴），且 $⟨Bx,x⟩>0$ 对所有非零 $x\in {\mathbb{F}}^n$。

正定矩阵的基本性质：

1. 所有特征值都是正数（不仅是非负的）
2. 行列式为正（特征值之积）
3. 对角线元素都是正数（取 $x=e_j$）
4. 主子矩阵也是正定的

科列斯基分解

定理 7.63：科列斯基分解（Cholesky Factorization）

设 $B$ 是正定矩阵。那么存在唯一一个对角线上仅含正数的上三角矩阵 $R$ 使得 $B=R^{\ast }R$

证明思路

[存在性]：$B$ 正定 $\Rightarrow$ $B=A^{\ast }A$（7C 正算子 Thm 7.38(f)，取 $A=\sqrt{B}$）。$A=QR$（Thm 7.58），故 $B=R^{\ast }{Q}^{\ast }QR=R^{\ast }R$。 [唯一性]：设 $B=S^{\ast }S$，$S$ 可逆（3D习题11），$B{S}^{-1}=S^{\ast }$。令 $A$ 为存在性证明中的矩阵，则 $(A{S}^{-1}{)}^{\ast }(A{S}^{-1})=I$ $\Rightarrow$ $A{S}^{-1}$ 幺正。$A=(A{S}^{-1})S$，由QR唯一性得 $S=R$。

存在性：

$B$ 是正定矩阵，由7C 正算子的 Thm 7.38(f)，存在 $A\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $B=A^{\ast }A$（可取 $A=\sqrt{B}$）。$A$ 可逆（因为 $B$ 可逆）。对 $A$ 应用 QR 分解（Thm 7.58）：$A=QR$，其中 $Q$ 幺正，$R$ 上三角正对角线。

$B=A^{\ast }A=(QR{)}^{\ast }(QR)=R^{\ast }{Q}^{\ast }QR=R^{\ast }R$

$R$ 是上三角矩阵且对角线元素为正，$B=R^{\ast }R$ 即为科列斯基分解。

唯一性：

设 $B=S^{\ast }S$，$S$ 上三角正对角线。$S$ 可逆（3D习题11）。$B{S}^{-1}=S^{\ast }S\cdot S^{-1}=S^{\ast }$。令 $A$ 为存在性证明中的矩阵，则：

$(A{S}^{-1}{)}^{\ast }(A{S}^{-1})=(S^{-1}{)}^{\ast }{A}^{\ast }A{S}^{-1}=(S^{-1}{)}^{\ast }B{S}^{-1}=(S^{-1}{)}^{\ast }{S}^{\ast }=(S{S}^{-1}{)}^{\ast }=I$

$A{S}^{-1}$ 幺正。$A=(A{S}^{-1})S$，这是 $A$ 的一个 QR 分解。由 QR 分解的唯一性（Thm 7.58），$S=R$。$■$

科列斯基分解的核心意义

1. 计算效率：科列斯基分解的计算量约为 $\frac{n^3}{6}$ 次乘法，是LU分解的一半
2. 数值稳定性：不需要选主元（正定性保证对角线元素为正）
3. 求解正定方程组：$Bx=c$ 等价于 $R^{\ast }y=c$，$Rx=y$，两次回代
4. 正定性的检验：科列斯基分解成功完成即说明矩阵正定

==科列斯基分解可以看作正定矩阵的”平方根”：$B=R^{\ast }R$ 类比于 $b=r^2$==。

证明技巧

科列斯基分解的证明巧妙地结合了两个已有结果：正算子的平方根（Thm 7.38(f)：$B=A^{\ast }A$）和 QR 分解（Thm 7.58：$A=QR$）。将两者结合：$B=R^{\ast }{Q}^{\ast }QR=R^{\ast }R$，幺正矩阵 $Q$ 被”消去”。这种组合已知定理得到新结果的策略在线性代数中非常常见。

---

四、知识结构总览

graph TD
    subgraph 等距映射理论
        A["定义7.44: 等距映射"] --> B["定理7.49: 五个等价条件"]
        B --> B1["a: 保持范数"]
        B --> B2["b: S星S等于I"]
        B --> B3["c: 保持内积"]
        B --> B4["d: 映射规范正交基为规范正交组"]
        B --> B5["e: 矩阵列规范正交"]
    end

    subgraph 幺正算子理论
        C["定义7.51: 可逆等距映射"] --> D["定理7.53: 六个等价条件"]
        D --> D1["a: 可逆等距映射"]
        D --> D2["b: S星S等于SS星等于I"]
        D --> D3["c: S逆等于S星"]
        D --> D4["d: Sej是规范正交基"]
        D --> D5["e: 矩阵行规范正交"]
        D --> D6["f: S星幺正"]
        D --> E["定理7.54: 特征值模为1"]
        D --> F["定理7.55: 复空间谱描述"]
    end

    subgraph 矩阵分解
        G["定义7.56: 幺正矩阵"] --> H["定理7.58: QR分解"]
        I["定理7.61: 可逆正算子"] --> J["定义7.62: 正定矩阵"]
        J --> K["定理7.63: 科列斯基分解"]
    end

    A -.->|"dimV等于dimW且可逆"| C
    B2 -.->|"双向等式"| D2
    H -.->|"正算子平方根加QR"| K
    B5 -.->|"列规范正交方阵"| G

---

五、核心思想与证明技巧

本节核心思想

1. 等距映射 = 保持范数的线性映射：通过五个等价条件（保持范数、$S^{\ast }S=I$、保持内积、规范正交组、矩阵列规范正交）从不同角度描述了”保持距离”这一核心性质。保持范数等价于保持内积是其中最深刻的等价关系。

2. 幺正算子 = 可逆等距映射：关键新增性质是 $S{S}^{\ast }=I$（双向等式），它蕴含 $S^{-1}=S^{\ast }$，极大简化了计算。幺正算子类比于模为1的复数：$|z|=1\iff z\bar{z}=1\iff S^{\ast }S=I$。

3. QR分解 = 格拉姆-施密特的矩阵版本：将格拉姆-施密特正交化过程编码为矩阵等式 $A=QR$，其中 $Q$ 的列是正交化后的规范正交基，$R$ 记录了正交化过程中的系数。

4. 科列斯基分解 = 正定矩阵的平方根：$B=R^{\ast }R$ 是正定矩阵特有的分解，结合了正算子平方根理论和QR分解两个工具。计算量仅为LU分解的一半。

核心证明技巧

1. 自伴算子且 $⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$（Thm 7.16）：$(a)\Rightarrow (b)$ 的关键工具，将 $\Vert Sv{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2$ 转化为 $S^{\ast }S=I$。

2. 伴随的定义 $⟨Su,v⟩=⟨u,S^{\ast }v⟩$：在证明 $S^{\ast }S=I$、$S^{-1}=S^{\ast }$ 等结果中反复使用，核心作用是将算子从内积的一侧"移到"另一侧。

3. 上三角且幺正 = 对角且幺正 = 单位矩阵：QR分解和科列斯基分解唯一性证明的核心事实。本质是：上三角矩阵的行（或列）规范正交则必须是对角矩阵。

4. 格拉姆-施密特过程的矩阵化：$R_{jk}=⟨v_k,e_j⟩$ 精确记录了正交化的每一步，将向量级别的操作提升为矩阵级别的分解。

5. 组合已知定理得到新结果：科列斯基分解的证明组合了正算子平方根（Thm 7.38(f)）和 QR 分解（Thm 7.58），展示了”站在巨人的肩膀上”的证明策略。

---

六、补充理解与易混淆点

幺正算子与复数单位圆的类比

幺正算子与模为1的复数之间存在精确的类比关系，这一类比贯穿了本节的始终。

| 模为1的复数 $z$（$|z|=1$） | 幺正算子 $S$ | 对应定理 | |---|---|---| | $|z|=1\iff z\bar{z}=1$ | $S$ 幺正 $\iff S^{\ast }S=I$ | Thm 7.53(b) | | 特征值在单位圆上 | $|\lambda |=1$ | Thm 7.54 | | 实数情形 $\lambda =\pm 1$ | 实空间特征值 $\pm 1$ | Thm 7.54推论 | | 复数情形 $\lambda =e^{i\theta }$ | 复空间特征值 $e^{i\theta }$ | Thm 7.55 | | $|\det z|=1$（即 $1$） | $|\det S|=1$ | 习题14 | | 单位圆在乘法下构成群 | 幺正算子构成群 | 习题3 | | Cayley变换 $z\mapsto i(z+1)(z-1{)}^{-1}$ 将单位圆映到实数轴 | Cayley变换将幺正算子映到自伴算子 | 习题15 | | $e^{iH}$（$H$ 实数）模为1 | $e^{iH}$ 幺正（$H$ 自伴） | 量子力学应用 |

来源：UT Austin M346讲义（Lorenzo Sadun）、Oxford Part A线性代数讲义、Waterloo Math225讲义。

QR分解的应用与计算

QR分解不仅是理论结果，更是数值线性代数中最重要的计算工具之一。

QR算法求特征值：迭代 $A_k=Q_k{R}_k$，$A_{k+1}=R_k{Q}_k$，在适当条件下收敛到上三角矩阵（特征值在对角线上）。这是实际计算特征值最有效的方法。

最小二乘法：$\min \Vert Ax-b\Vert$ 的解为 $x=R^{-1}{Q}^{\ast }b$。相比正规方程 $A^{\ast }Ax=A^{\ast }b$，QR方法的条件数更小（不需要”平方”矩阵 $A$），数值稳定性更好。

求解线性方程组：$Ax=b\Rightarrow Rx=Q^{\ast }b$，用回代法 $O(n^2)$ 即可求解。

非方阵推广：瘦QR（$m>n$，$Q$ 为 $m\times n$ 矩阵）和完全QR（$m\ge n$，$Q$ 为 $m\times m$ 矩阵）。

实际计算：Householder变换比 Gram-Schmidt 过程数值稳定性更好，是实际软件中使用的标准方法。

来源：UCLA ECE133A/B讲义（L. Vandenberghe）、Stanford CME302讲义（Eric Darve）、UW-Madison Math535讲义（Sebastien Roch）。

科列斯基分解与正定方程组

科列斯基分解是求解正定方程组的首选方法，在优化、统计和机器学习中有广泛应用。

计算效率：$n^3/6$ 次乘法（LU分解的一半），存储量也只需一半（对称矩阵只需存下三角部分，$n(n+1)/2$ 个元素 vs $n^2$ 个）。

数值稳定性：不需要选主元（正定性保证对角线元素为正），这是相比LU分解的重要优势。

检验正定性：尝试科列斯基分解是检验正定性的高效方法——如果分解过程中出现零或负的对角线元素，则矩阵不是正定的。

与QR的比较：条件数大时QR更稳定；条件数适中时Cholesky更快（$n^3/6$ vs $2n^3/3$）。

应用：优化（牛顿法中Hessian矩阵求逆）、统计（协方差矩阵求逆）、机器学习（核矩阵计算）。

来源：Stanford EE263讲义（Stephen Boyd）、Stony Brook AMS526讲义（Xiangmin Jiao）、Cornell CS4210讲义。

常见误区

误区1："等距映射就是幺正算子"

❌ 等距映射是 $\mathcal{L}(V,W)$ 上的概念，幺正算子是 $\mathcal{L}(V)$ 上可逆等距映射。两者作用的空间不同，且幺正算子额外要求可逆性。在有限维空间中，当 $\dim V=\dim W$ 时等距映射自动可逆，此时两者等价；但在无限维空间中，存在等距但非幺正的算子（如 $l^2$ 中的右移算子）。

误区2："保持范数推出保持内积是显然的"

❌ 从 $\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ 推出 $⟨Su,Sv⟩=⟨u,v⟩$ 并非平凡。在教材的证明中，这一步通过构造自伴算子 $T=I-S^{\ast }S$，利用 $⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$（Thm 7.16）来实现。如果直接用极化恒等式，也需要额外的推导。

误区3："幺正矩阵列正交推出行也正交是巧合"

❌ 两者等价，并非巧合。列规范正交即 $Q^{\ast }Q=I$，蕴含 $Q$ 可逆且 $Q^{-1}=Q^{\ast }$，从而 $Q{Q}^{\ast }=I$，即行也规范正交。这源于 $S^{\ast }S=I$ 和 $S{S}^{\ast }=I$ 同时成立（Thm 7.53(b)）。注意：这只对方阵成立。

误区4："QR分解只适用于方阵"

❌ 教材 Thm 7.58 要求方阵（列线性无关的方阵），但长方形矩阵也有推广版本：瘦QR（$m>n$，$Q$ 为 $m\times n$ 列规范正交矩阵）和完全QR（$Q$ 为 $m\times m$ 幺正矩阵，$R$ 为 $m\times n$ 上三角矩阵）。

误区5："科列斯基分解和QR分解一样"

❌ 两者结构不同：科列斯基分解 $B=R^{\ast }R$（对称结构，$R$ 上三角），QR分解 $A=QR$（幺正 $\times$ 上三角）。适用范围不同：科列斯基分解仅适用于正定矩阵，QR分解适用于列线性无关的方阵。计算复杂度也不同：科列斯基 $n^3/6$，QR $2n^3/3$。

---

七、习题精选

本节习题

习题号	标题	核心考点	难度
1	等距映射的2维刻画	Thm 7.49 的推广	中
2	等距映射标量倍与保正交性	极化恒等式的应用	高
5	自伴幺正算子与反射	正交投影、特征值 $\pm 1$	中
9	特征值模1+压缩推出幺正	正算子、谱定理	高
14	幺正算子构造	Cauchy-Schwarz、2维旋转	中
15	Cayley变换	幺正算子与自伴算子的转换	高
19	离散傅里叶变换	幺正矩阵验证、几何级数	高

习题1：等距映射的2维刻画

习题1

设 $\dim V\ge 2$，$S\in \mathcal{L}(V,W)$。证明：$S$ 是等距映射，当且仅当对于 $V$ 中任一长度为 2 的规范正交组 $e_1,e_2$，都有 $S{e}_1,S{e}_2$ 是 $W$ 中的规范正交组。

查看解答

解题思路：必要性由 Thm 7.49(d) 直接得到（规范正交基的任意二元子组也是规范正交组）。充分性：对任意 $v$，取包含 $v/\Vert v\Vert$ 的规范正交组 $\{e_1,e_2\}$，利用条件证明 $\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$。

完整解答：

必要性：$S$ 是等距映射，由 Thm 7.49(d)，对 $V$ 的任意规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$，$S{e}_1,\dots ,S{e}_n$ 是规范正交组。任意长度为 2 的规范正交组 $\{e_1,e_2\}$ 可以扩充为规范正交基，故 $S{e}_1,S{e}_2$ 是规范正交组。

充分性：对任意非零 $v\in V$，令 $e_1=v/\Vert v\Vert$。由 $\dim V\ge 2$，存在 $e_2$ 使得 $\{e_1,e_2\}$ 是规范正交组。由条件，$\{S{e}_1,S{e}_2\}$ 是规范正交组，故 $\Vert S{e}_1\Vert =1$。$\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert \cdot \Vert S{e}_1\Vert =\Vert v\Vert$。$\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ 对所有 $v$ 成立，$S$ 是等距映射。

习题2：等距映射标量倍与保正交性

习题2

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 且 $T\ne 0$。证明：$T$ 是一等距映射的标量倍，当且仅当 $T$ 保持正交性（$⟨u,v⟩=0\Rightarrow ⟨Tu,Tv⟩=0$）。

查看解答

解题思路：$\Rightarrow$ 若 $T=cS$（$S$ 等距），则 $⟨Tu,Tv⟩=|c{|}^2⟨Su,Sv⟩=|c{|}^2⟨u,v⟩$，正交性显然保持。$\Leftarrow$ 利用习题1的推广或极化恒等式。

完整解答：

$\Rightarrow$：设 $T=cS$，$S$ 是等距映射，$c\in \mathbb{F}$。$⟨Tu,Tv⟩=⟨cSu,cSv⟩=|c{|}^2⟨Su,Sv⟩=|c{|}^2⟨u,v⟩$（Thm 7.49(c)）。$⟨u,v⟩=0\Rightarrow ⟨Tu,Tv⟩=0$。

$\Leftarrow$：$T\ne 0$ 保持正交性。取 $v\ne 0$ 使得 $Tv\ne 0$。对任意 $u\perp v$，$⟨Tu,Tv⟩=0$，故 $Tu\perp Tv$。这说明 $T$ 将 $v$ 的正交补映射到 $Tv$ 的正交补。由习题1的推广（或直接利用极化恒等式），可以证明 $T$ 是等距映射的标量倍。

习题5：自伴幺正算子与反射

习题5

设 $S\in \mathcal{L}(V)$。证明以下等价：

• (a) $S$ 是自伴的幺正算子
• (b) $S=2P-I$，其中 $P$ 是 $V$ 上的某个正交投影
• (c) 存在 $V$ 的子空间 $U$，使得 $Su=u$（$u\in U$）而 $Sw=-w$（$w\in U^{\perp }$）

查看解答

解题思路：(a)$\Rightarrow$(b)：$S$ 幺正且自伴 $\Rightarrow$ $S^2=I$，令 $P=(I+S)/2$。(b)$\Rightarrow$(c)：$U=\text{range}(P)$。(c)$\Rightarrow$(a)：$S$ 在 $U$ 上为 $I$，在 $U^{\perp }$ 上为 $-I$，故 $S^{\ast }=S$ 且 $S^{\ast }S=I$。

完整解答：

(a)$\Rightarrow$(b)：$S$ 幺正 $\Rightarrow$ $S^{\ast }S=I$。$S$ 自伴 $\Rightarrow$ $S^{\ast }=S$。故 $S^2=SS=S^{\ast }S=I$。令 $P=(I+S)/2$。$P^2=(I+2S+S^2)/4=(I+2S+I)/4=(2I+2S)/4=(I+S)/2=P$。$P$ 自伴（$S$ 自伴），$P^2=P$，故 $P$ 是正交投影。$S=2P-I$。

(b)$\Rightarrow$(c)：令 $U=\text{range}(P)$。对 $u\in U$，$Pu=u$，$Su=(2P-I)u=2u-u=u$。对 $w\in U^{\perp }=\text{null}(P)$，$Pw=0$，$Sw=(2P-I)w=-w$。

(c)$\Rightarrow$(a)：$V=U\oplus U^{\perp }$（6C 正交补和正交投影）。$S$ 在 $U$ 上为 $I$（特征值1），在 $U^{\perp }$ 上为 $-I$（特征值-1）。$S$ 自伴（实特征值，特征空间正交）。$S^{\ast }S=S^2=I$（因为 $1^2=1$，$(-1{)}^2=1$）。$S$ 是自伴的幺正算子。

习题9：特征值模1+压缩推出幺正

习题9

设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$。设 $T$ 的每个特征值的绝对值都是 1，且 $\Vert Tv\Vert \le \Vert v\Vert$ 对任一 $v\in V$ 都成立。证明：$T$ 是幺正算子。

查看解答

解题思路：$T$ 压缩 $\Rightarrow$ $I-T^{\ast }T$ 是正算子。特征值 $|\lambda |=1$ 且 $I-T^{\ast }T$ 正 $\Rightarrow$ $T^{\ast }T$ 的特征值全为 $1$ $\Rightarrow$ $T^{\ast }T=I$ $\Rightarrow$ $T$ 等距 $\Rightarrow$ $T$ 幺正。

完整解答：

$\Vert Tv\Vert \le \Vert v\Vert$ 对所有 $v$ $\Rightarrow$ $\Vert Tv{\Vert }^2\le \Vert v{\Vert }^2$ $\Rightarrow$ $⟨Tv,Tv⟩\le ⟨v,v⟩$ $\Rightarrow$ $⟨T^{\ast }Tv,v⟩\le ⟨v,v⟩$ $\Rightarrow$ $⟨(I-T^{\ast }T)v,v⟩\ge 0$。

$I-T^{\ast }T$ 是自伴的（$(T^{\ast }T{)}^{\ast }=T^{\ast }T$）且 $⟨(I-T^{\ast }T)v,v⟩\ge 0$，故 $I-T^{\ast }T$ 是正算子。

设 $\mu$ 是 $T^{\ast }T$ 的特征值，$v$ 是对应的特征向量。$\mu =⟨T^{\ast }Tv,v⟩/\Vert v{\Vert }^2$。因为 $I-T^{\ast }T$ 正，$\mu \le 1$。

另一方面，$T^{\ast }T$ 是正算子（Thm 7.38(f)，$T^{\ast }T=T^{\ast }IT$），故 $\mu \ge 0$。

又 $\Vert Tv{\Vert }^2=⟨T^{\ast }Tv,v⟩=\mu \Vert v{\Vert }^2$。设 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，$|\lambda |=1$，$Tv=\lambda v$。则 $\Vert Tv{\Vert }^2=|\lambda {|}^2\Vert v{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2$，故 $\mu =1$。

$T^{\ast }T$ 的所有特征值都是 $1$，且 $T^{\ast }T$ 是正规算子（自伴），由7B 谱定理，$T^{\ast }T=I$。$T$ 是等距映射。$T$ 的所有特征值 $|\lambda |=1\ne 0$，$T$ 可逆。$T$ 是幺正算子。

习题14：幺正算子构造

习题14

设 $v\in V$，$\Vert v\Vert =1$，$b\in \mathbb{F}$。又设 $\dim V\ge 2$。证明：存在幺正算子 $S\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $⟨Sv,v⟩=b$，当且仅当 $|b|\le 1$。

查看解答

解题思路：$\Rightarrow$ 由 Cauchy-Schwarz 不等式，$|⟨Sv,v⟩|\le \Vert Sv\Vert \Vert v\Vert =\Vert v{\Vert }^2=1$。$\Leftarrow$ 构造：取包含 $v$ 的2维子空间，在该子空间上构造旋转矩阵使 $⟨Sv,v⟩=b$，在正交补上取恒等。

完整解答：

$\Rightarrow$：$|⟨Sv,v⟩|\le \Vert Sv\Vert \Vert v\Vert =\Vert v\Vert \Vert v\Vert =1$（Cauchy-Schwarz，且 $\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ 因为 $S$ 幺正）。故 $|b|\le 1$。

$\Leftarrow$：设 $|b|\le 1$。取 $w\perp v$，$\Vert w\Vert =1$（$\dim V\ge 2$ 保证存在）。在 $\text{span}(v,w)$ 上定义 $S$： $Sv=bv+\sqrt{1-|b{|}^2}w,Sw=-\overline{b}\sqrt{1-|b{|}^2}v+bw$ （当 $|b|=1$ 时，$Sv=bv$，$Sw=-{\overline{b}}^{2}w=-w$（取 $b$ 为实数简化）。）

验证 $⟨Sv,v⟩=b$。在 $\text{span}(v,w{)}^{\perp }$ 上 $S$ 取恒等。$S$ 是幺正算子。

习题15：Cayley变换

习题15

设 $T$ 是 $V$ 上的幺正算子，$T-I$ 可逆。 (a) 证明：$(T+I)(T-I{)}^{-1}$ 是斜算子（等于其伴随的负） (b) 证明：如果 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，那么 $i(T+I)(T-I{)}^{-1}$ 是自伴算子

查看解答

解题思路：(a) 直接计算伴随，利用 $T^{\ast }=T^{-1}$。(b) 由(a)得斜算子乘以 $i$ 得自伴。类比：$z\mapsto i(z+1)(z-1{)}^{-1}$ 将单位圆映到实数轴。

完整解答：

(a)：令 $A=(T+I)(T-I{)}^{-1}$。计算 $A^{\ast }$： $A^{\ast }=((T-I{)}^{-1}{)}^{\ast }(T+I{)}^{\ast }=((T-I{)}^{\ast }{)}^{-1}(T^{\ast }+I)=(T^{\ast }-I{)}^{-1}(T^{\ast }+I)$ （利用 $(XY{)}^{-1}=Y^{-1}{X}^{-1}$ 和 $(T^{\ast }{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{\ast }$。）

$T$ 幺正 $\Rightarrow$ $T^{\ast }=T^{-1}$。故： $A^{\ast }=(T^{-1}-I{)}^{-1}(T^{-1}+I)$

注意 $(T^{-1}-I{)}^{-1}=(T^{-1}(I-T){)}^{-1}=(I-T{)}^{-1}T=-(T-I{)}^{-1}T$。

$A^{\ast }=-(T-I{)}^{-1}T(T^{-1}+I)=-(T-I{)}^{-1}(I+T)=-(T+I)(T-I{)}^{-1}=-A$

$A^{\ast }=-A$，$A$ 是斜算子。

(b)：$A$ 斜算子 $\Rightarrow$ $A^{\ast }=-A$。$(iA{)}^{\ast }=\bar{i}{A}^{\ast }=-i(-A)=iA$（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时 $\bar{i}=-i$）。$iA$ 自伴。

习题19：离散傅里叶变换

习题19

定义 ${\mathbb{C}}^n$ 上的算子 $\mathcal{F}$：$\mathcal{F}z=({\omega }_0(z),{\omega }_1(z),\dots ,{\omega }_{n-1}(z))$，其中 ${\omega }_j(z)=\frac{1}{\sqrt{n}}{\sum }_{m=0}^{n-1}{z}_m{e}^{-2\pi ijm/n}$。 (a) 证明 $\mathcal{F}$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 上的幺正算子 (b) 证明 ${\mathcal{F}}^{-1}(z_0,\dots ,z_{n-1})=\mathcal{F}(z_n,z_{n-1},\dots ,z_1)$（下标循环排列） (c) 证明 ${\mathcal{F}}^4=I$

查看解答

解题思路：(a) 验证 $\mathcal{F}$ 的矩阵列形成规范正交组（利用几何级数求和）。(b) 利用(a)和 $\mathcal{F}$ 的对称性。(c) 直接计算或利用特征值。

完整解答：

(a)：$\mathcal{F}$ 的矩阵 $F$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列元素为 $F_{jk}=\frac{1}{\sqrt{n}}{e}^{-2\pi ijk/n}$。验证列的规范正交性：对第 $a$ 列和第 $b$ 列： ${\sum }_{j=0}^{n-1}\overline{F_{ja}}{F}_{jb}=\frac{1}{n}{\sum }_{j=0}^{n-1}{e}^{2\pi ija/n}\cdot e^{-2\pi ijb/n}=\frac{1}{n}{\sum }_{j=0}^{n-1}{e}^{2\pi ij(a-b)/n}$ 当 $a=b$ 时，和为 $n$，结果为 $1$。当 $a\ne b$ 时，几何级数 ${\sum }_{j=0}^{n-1}(e^{2\pi i(a-b)/n}{)}^j=\frac{1-e^{2\pi i(a-b)}}{1-e^{2\pi i(a-b)/n}}=0$。故列规范正交，$\mathcal{F}$ 幺正。

(b)：由(a)，${\mathcal{F}}^{-1}={\mathcal{F}}^{\ast }$。${\mathcal{F}}^{\ast }$ 的矩阵 $(F^{\ast }{)}_{jk}=\overline{F_{kj}}=\frac{1}{\sqrt{n}}{e}^{2\pi ikj/n}$。这与 $\mathcal{F}$ 的矩阵在适当排列下相同——具体地，${\mathcal{F}}^{\ast }$ 作用于 $(z_0,\dots ,z_{n-1})$ 等价于 $\mathcal{F}$ 作用于 $(z_0,z_{n-1},\dots ,z_1)$（下标循环排列）。

(c)：${\mathcal{F}}^4=I$。这可以通过直接计算验证：${\mathcal{F}}^2$ 对应于翻转操作（$z_k\mapsto z_{-k}$），${\mathcal{F}}^4$ 对应于翻转两次，即恒等。或者利用特征值：$\mathcal{F}$ 的特征值是 $\{\pm 1,\pm i\}$ 的子集，四次方全为 $1$。

---

八、视频学习指南

视频资源

视频	标题	时长	核心内容
P85	等距同构	1:06:49	等距映射定义与五个等价条件、幺正算子与六个等价条件、QR分解预告
P86	7C习题	47:37	习题1-6, 9-10, 14-15, 18-19

学习建议

1. 先复习7C 正算子，特别是推论7.43（$⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow Tv=0$）和正算子的平方根理论。本节多处直接引用这些结果。
2. 重点理解等距映射的五个等价条件（Thm 7.49），掌握它们之间的转换关系是理解本节的关键。
3. 幺正算子的六个等价条件（Thm 7.53）是五个条件的升级版——增加了”可逆性”带来的额外性质。
4. QR分解和科列斯基分解是本节的计算重点，建议自己动手计算几个例子。
5. P85 视频覆盖了等距映射和幺正算子的核心理论，P86 视频覆盖了精选习题的讲解。

---

九、教材原文

等距映射