5B 最小多项式

本节概览

本节是5A的延续，首先证明复向量空间上的每个算子都有特征值（利用代数基本定理），然后引入最小多项式这一核心概念——它是”消灭”算子T的次数最低的首一多项式。最后，利用最小多项式证明奇数维实向量空间上的算子也有特征值。

逻辑链条：有限维→v,Tv,…,Tⁿv线性相关→存在多项式使p(T)=0→最小多项式→特征值=最小多项式的零点→q(T)=0 ⟺ p|q→可逆性判定→偶数维零空间→奇数维特征值

前置依赖：5A 不变子空间、特征值和特征向量（算子、特征值、p(T)的定义）、第4章 多项式（代数基本定理、带余除法、首一多项式、因式分解）、3B 零空间和值域（零空间的基本定理 3.21）、2C 维数（维数公式）

核心主线：最小多项式是算子的”DNA”——它编码了算子的所有特征值信息，决定了算子的可逆性，并为后续可对角化判据和 Cayley-Hamilton 定理奠定基础。

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一、复向量空间上特征值的存在性

定理 5.19：复向量空间上的每个算子都有特征值

设 $V$ 是有限维复向量空间，$T\in \mathcal{L}(V)$，则 $T$ 至少有一个特征值。

证明思路

选取非零向量：取 $v\in V$，$v\ne 0$。

构造向量组：$v,Tv,T^{2}v,\dots ,T^{n}v$（其中 $n=\dim V$）。

线性相关：$n+1$ 个向量在 $n$ 维空间中线性相关 $\Rightarrow$ $\exists a_0,\dots ,a_n$ 不全为零使 $a_{0}v+a_{1}Tv+\cdots +a_n{T}^{n}v=0$。

构造多项式：令 $p(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_n{z}^n$，则 $p(T)v=0$。

因式分解：由 第4章 多项式 定理 4.13，$p(z)=c(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_m)$。

存在零点：$p(T)v=c(T-{\lambda }_{1}I)\cdots (T-{\lambda }_{m}I)v=0$ $\Rightarrow$ $\exists j$ 使 $(T-{\lambda }_{j}I)\cdots (T-{\lambda }_{m}I)v\ne 0$ 但 $(T-{\lambda }_{j}I)$ 使其为零。

关键引理：若 $(T-\lambda I)w=0$ 且 $w\ne 0$，则 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，$w$ 是特征向量。

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例 5.20：无限维空间上的无特征值算子

$T:\mathcal{P}(\mathbb{C})\to \mathcal{P}(\mathbb{C})$，$Tp=zp$（乘以 $z$）。

若 $Tp=\lambda p$，则 $zp=\lambda p$ $\Rightarrow$ $(z-\lambda )p=0$ $\Rightarrow$ $p=0$（矛盾）。

有限维是关键假设。

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二、最小多项式

定义 5.21：首一多项式（monic polynomial）

最高次项系数为 $1$ 的多项式称为首一多项式。

定理 5.22：最小多项式的存在性、唯一性和次数上界

设 $V$ 是有限维的，$T\in \mathcal{L}(V)$，则存在唯一的首一多项式 $p\in \mathcal{P}(\mathbb{F})$ 使得

• (a) $p(T)=0$
• (b) $\mathrm{deg}p\le \dim V$
• (c) 若 $q(T)=0$，则 $p\mid q$

证明思路

存在性：取 $v_1,\dots ,v_n$ 为 $V$ 的基。对每个 $v_j$，由 5.19 的证明方法，存在 $p_j$ 使 $p_j(T)v_j=0$ 且 $\mathrm{deg}{p}_j\le n$。令 $p=p_1{p}_2\cdots p_n$，则 $p(T)v_j=0$ 对所有 $j$ 成立 $\Rightarrow$ $p(T)=0$。$\mathrm{deg}p\le n^2$。再取首一化。

唯一性：若 $p_1,p_2$ 都满足条件，由带余除法（第4章 多项式 定理 4.9），$p_1=q_2{p}_2+r$，$\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}{p}_2$。若 $r\ne 0$，首一化后得到次数更低的多项式，矛盾。故 $r=0$，$p_1=q_2{p}_2$。对称地 $p_2\mid p_1$。两者首一 $\Rightarrow$ $p_1=p_2$。

次数上界：由存在性证明中的构造，$\mathrm{deg}p\le \dim V$（教材使用更精细的构造）。

$■$

定义 5.24：最小多项式（minimal polynomial）

满足定理 5.22 的唯一首一多项式称为 $T$ 的最小多项式。

例 5.26： ${\mathbb{F}}_5$ 上算子的最小多项式计算

$T\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}_5^3)$，$T(x_1,x_2,x_3)=(x_3,x_2,x_1)$。

计算 $T^2,T^3$ $\Rightarrow$ $T^3=I$ $\Rightarrow$ 最小多项式为 $z^3-1$。

定理 5.27：特征值即最小多项式的零点

$\lambda \in \mathbb{F}$ 是 $T$ 的特征值 $⟺$ $p(\lambda )=0$。

证明思路

($\Rightarrow$)：若 $Tv=\lambda v$，则 $p(T)v=p(\lambda )v=0$（因为 $p(T)=0$）。$v\ne 0$ $\Rightarrow$ $p(\lambda )=0$。

($\Leftarrow$)：若 $p(\lambda )=0$，由因式定理 $p(z)=(z-\lambda )q(z)$。$0=p(T)=(T-\lambda I)q(T)$。若 $T-\lambda I$ 可逆，则 $q(T)=0$，与 $p$ 是最小多项式矛盾（$\mathrm{deg}q<\mathrm{deg}p$）。故 $T-\lambda I$ 不可逆，由 5A 不变子空间、特征值和特征向量 定理 5.7，$\lambda$ 是特征值。

$■$

例 5.28：无法确切求出特征值的算子

说明即使知道特征值存在（复数域），也不一定能用代数公式求出。

定理 5.29： $q(T)=0$ 的充要条件

$q(T)=0⟺p\mid q$（$p$ 是最小多项式）。

证明思路

($\Leftarrow$)：若 $q=pr$，则 $q(T)=p(T)r(T)=0\cdot r(T)=0$。

($\Rightarrow$)：由带余除法 $q=sp+r$，$\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}p$。$r(T)=q(T)-s(T)p(T)=0-0=0$。若 $r\ne 0$，首一化后次数低于 $p$，矛盾。故 $r=0$，$p\mid q$。

$■$

定理 5.31：受限算子的最小多项式

$U$ 是 $T$ 的不变子空间，$q$ 是 $T{|}_U$ 的最小多项式，则 $q\mid p$（$p$ 是 $T$ 的最小多项式）。

证明思路

$p(T)=0$ $\Rightarrow$ $p(T){|}_U=0$ $\Rightarrow$ $p(T{|}_U)=0$ $\Rightarrow$ 由 5.29，$q\mid p$。$■$

定理 5.32：可逆性判定

$T$ 不可逆 $⟺$ 最小多项式 $p$ 的常数项为 $0$。

证明思路

($\Rightarrow$)：$T$ 不可逆 $\Rightarrow$ $0$ 是 $T$ 的特征值（5.7）$\Rightarrow$ $p(0)=0$（5.27）$\Rightarrow$ 常数项为 $0$。

($\Leftarrow$)：$p(0)=0$ $\Rightarrow$ $p(z)=zq(z)$ $\Rightarrow$ $0=p(T)=Tq(T)$。若 $T$ 可逆，则 $q(T)=0$，$\mathrm{deg}q<\mathrm{deg}p$，矛盾。故 $T$ 不可逆。

$■$

最小多项式、首一多项式、特征值即最小多项式的零点、==q(T)=0 ⟺ p|q==

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三、奇数维实向量空间上的特征值

定理 5.33：偶数维的零空间

$V$ 是偶数维实向量空间，$T\in \mathcal{L}(V)$，若 $T$ 没有特征值，则 $\dim \text{null}(T^2+I)$ 是偶数。

证明思路

定义 $S$：$S=\text{null}(T^2+I)$，假设 $T$ 没有特征值。

$S$ 在 $T$ 下不变：若 $u\in S$，则 $(T^2+I)(Tu)=T(T^2+I)u=T(0)=0$，故 $Tu\in S$。

$T{|}_S$ 没有特征值：若 $T{|}_S$ 有特征值 $\lambda$，则 $T$ 也有特征值 $\lambda$，矛盾。

$T{|}_S$ 不可逆：若 $T{|}_S$ 可逆，则 $-I=T^2{|}_S$ 可逆，矛盾。

构造正交分解：定义 $S$ 上的内积 $⟨u,v⟩=⟨u,v⟩+⟨Tu,Tv⟩$（正定）。

$T{|}_S$ 是斜对称的：$⟨Tu,v⟩+⟨u,Tv⟩=⟨Tu,v⟩+⟨T^{2}u,Tv⟩=\cdots =0$。

取标准正交基：$T{|}_S$ 的矩阵是斜对称的 $\Rightarrow$ 行列式 $\ge 0$ $\Rightarrow$ $\dim S$ 是偶数。

$■$

定理 5.34：奇数维向量空间上的算子总有特征值

$V$ 是奇数维实向量空间，$T\in \mathcal{L}(V)$，则 $T$ 至少有一个特征值。

证明思路

反证法：假设 $T$ 没有特征值。

由 5.33：$\dim \text{null}(T^2+I)$ 是偶数。

考虑商空间：$W=V/\text{null}(T^2+I)$，$T/W$ 是 $W$ 上的算子。

$T/W$ 没有特征值：若 $T/W$ 有特征值 $\lambda$，则 $T$ 也有特征值 $\lambda$（类似 5A 习题 38 的证法）。

归纳法：$\dim W<\dim V$ 且 $\dim W$ 是奇数 $\Rightarrow$ 由归纳假设 $T/W$ 有特征值 $\Rightarrow$ 矛盾。

$■$

奇数维实向量空间总有特征值

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四、最小多项式的计算与应用

计算方法一：线性方程组法

• 求 $T,T^2,\dots ,T^n$ 的矩阵表示
• 设 $p(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_n{z}^n$，解 $p(T)=0$ 对应的线性方程组
• 取次数最低的首一解

计算方法二：快速向量法

• 取一个”好”的向量 $v$，计算 $v,Tv,T^{2}v,\dots ,T^{n}v$
• 找到最小的 $m$ 使 $T^{m}v$ 可由前面的向量线性表示
• 所得多项式是 $T$ 的最小多项式的因子（不一定就是最小多项式）
• 若运气好（$v$ 是”循环向量”），则恰好得到最小多项式

定理 5.29 的应用

验证 $p(T)=0$ 只需检查 $p$ 是否被最小多项式整除。

定理 5.31 的应用

受限算子的最小多项式整除原算子的最小多项式。

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五、知识结构总览

graph TD
    A["复向量空间特征值存在性<br/>Thm 5.19"] --> B["首一多项式<br/>Def 5.21"]
    A --> C["最小多项式<br/>Def 5.24 Thm 5.22"]
    C --> D["特征值即零点<br/>Thm 5.27"]
    C --> E["qT=0等价于p整除q<br/>Thm 5.29"]
    C --> F["可逆性判定<br/>Thm 5.32"]
    C --> G["受限算子<br/>Thm 5.31"]
    D --> H["偶数维零空间<br/>Thm 5.33"]
    H --> I["奇数维总有特征值<br/>Thm 5.34"]

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六、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 最小多项式是算子的"DNA"——编码了所有特征值信息，次数 $\le \dim V$
2. 特征值的存在性依赖域的选择——$\mathbb{C}$ 上总有（FTA），$\mathbb{R}$ 上仅奇数维保证
3. $p(T)=0$ 的条件等价于整除关系——将算子方程转化为多项式整除
4. 最小多项式具有”遗传性”——受限算子的最小多项式整除原算子的

证明技巧清单

1. 利用 $v,Tv,\dots ,T^{n}v$ 线性相关构造消灭多项式（定理 5.19）
2. 带余除法证明唯一性和整除关系（定理 5.22, 5.29）
3. 因式定理 + 反证法证明特征值等价条件（定理 5.27）
4. 构造正定内积证明斜对称性（定理 5.33——本节最技巧性的证明）
5. 商空间上的归纳法（定理 5.34）

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七、补充理解与易混淆点

最小多项式与特征多项式的关系

• 最小多项式 $p_T$ 整除特征多项式 ${\chi }_T$（Cayley-Hamilton 定理：${\chi }_T(T)=0$ $\Rightarrow$ 由 5.29，$p_T\mid {\chi }_T$）
• 两者有相同的零点集合（即相同的特征值），但重数可能不同
• $p_T$ 的重数是”指数”（nilpotent index），${\chi }_T$ 的重数是”代数重数”
• 当且仅当 $p_T={\chi }_T$ 时，$T$ 的每个特征值只对应一个 Jordan 块
• 来源：Keith Conrad (UPenn) “The Minimal Polynomial and Some Applications”、UIUC (Dylan Chiu) “The Minimal Polynomial”、IUPUI “Notes on Connections between Polynomials, Matrices, and Vectors”

为什么有限维是关键假设

• 定理 5.19 和 5.22 都要求 $V$ 有限维
• 无限维反例：乘法算子 $Tp=zp$ 在 $\mathcal{P}(\mathbb{C})$ 上没有特征值，也不存在非零多项式 $p$ 使 $p(T)=0$
• 有限维保证了 $v,Tv,\dots ,T^{n}v$ 必然线性相关，从而存在消灭多项式
• 无限维算子理论需要泛函分析工具（谱理论）
• 来源：Brown University “Sylvester Formula” 教材、CSDN”线性变换最小多项式”博客

最小多项式与可对角化

• $T$ 可对角化 $⟺$ 最小多项式 $p_T$ 在 $\mathbb{F}$ 上可分解为不同的一次因式之积
• 即 $p_T(z)=(z-{\lambda }_1)(z-{\lambda }_2)\cdots (z-{\lambda }_k)$，其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ 互不相同
• 这比”有 $n$ 个线性无关的特征向量”更容易验证——只需检查最小多项式
• 这是后续 5D 节可对角化算子的核心判据
• 来源：Keith Conrad (UPenn) “The Minimal Polynomial and Some Applications”、Virginia Tech “Rational and Jordan Canonical Form” 教材、CSDN”最小多项式与可对角化”博客

误区1："最小多项式就是特征多项式"

❌ 最小多项式和特征多项式是同一个多项式 ✅ 最小多项式 $p_T$ 整除特征多项式 ${\chi }_T$，$\mathrm{deg}{p}_T\le \mathrm{deg}{\chi }_T=\dim V$。两者零点相同但重数可能不同。例如恒等算子 $I_3$ 的最小多项式是 $z-1$（1次），特征多项式是 $(z-1{)}^3$（3次）。

误区2："实算子一定有实特征值"

❌ 所有实向量空间上的算子都有特征值 ✅ 仅奇数维保证有实特征值（定理 5.34）。偶数维可能没有，如 ${\mathbb{R}}^2$ 上的旋转算子 $T(w,z)=(-z,w)$ 没有实特征值。

误区3："最小多项式的次数等于 $\dim V$"

❌ $\mathrm{deg}{p}_T=\dim V$ 总是成立 ✅ $\mathrm{deg}{p}_T\le \dim V$，等号不一定成立。恒等算子 $I$ 的最小多项式是 $z-1$（1次），远小于 $\dim V$。最小多项式的次数等于最大 Jordan 块的大小之和。

误区4：" $p(T)=0$ 只有当 $p$ 是最小多项式时成立"

❌ 只有最小多项式能使 $p(T)=0$ ✅ $p(T)=0$ 当且仅当==最小多项式整除 $p$==（定理 5.29）。例如若最小多项式是 $z^2-1$，则 $(z^2-1)(z+1)=z^3+z^2-z-1$ 也满足 $p(T)=0$。

误区5："无限维空间上的算子也有特征值"

❌ 所有算子（包括无限维）都有特征值 ✅ 无限维空间上的算子可以没有特征值。例如 $\mathcal{P}(\mathbb{C})$ 上的乘法算子 $Tp=zp$：若 $Tp=\lambda p$，则 $(z-\lambda )p=0$ $\Rightarrow$ $p=0$，不存在非零的特征向量。最小多项式的存在性也依赖有限维假设。

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八、习题精选

推荐习题

编号	标题	核心考点	难度
1	$T^2$ 的特征值与 $T$ 的特征值	特征值与算子幂	低
2	$p(T)$ 的特征值	多项式作用于算子	中
3	旋转算子的最小多项式	最小多项式计算	低
4	$2\times 2$ 矩阵的最小多项式	迹与行列式	中
5	$T^{-1}$ 的最小多项式	可逆算子	中
6	$\{q(T):q\in \mathcal{P}(\mathbb{F})\}$ 的维数	最小多项式次数	高
7	商算子的最小多项式	不变子空间	高

习题1：$T^2$ 的特征值与 $T$ 的特征值

习题1

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。证明：$T^2$ 的特征值恰好是 $T$ 的特征值的平方。

查看解答

($\subseteq$) 若 $\lambda$ 是 $T^2$ 的特征值，则 $T^{2}v=\lambda v$（$v\ne 0$）。设 $p(z)=z^2-\lambda$。由定理 5.27，$p$ 的零点 $\pm \sqrt{\lambda }$ 中至少有一个是 $T$ 的特征值（在代数封闭域上）。更直接地：在 $\mathbb{C}$ 上，$z^2-\lambda =(z-\sqrt{\lambda })(z+\sqrt{\lambda })$，由 5.19 的证明，$\sqrt{\lambda }$ 或 $-\sqrt{\lambda }$ 是 $T$ 的特征值，其平方为 $\lambda$。

($\supseteq$) 若 $\mu$ 是 $T$ 的特征值，则 $Tv=\mu v$ $\Rightarrow$ $T^{2}v={\mu }^{2}v$ $\Rightarrow$ ${\mu }^2$ 是 $T^2$ 的特征值。

习题2：$p(T)$ 的特征值

习题2

设 $T\in \mathcal{L}(V)$，$p\in \mathcal{P}(\mathbb{F})$。证明：$p(T)$ 的特征值恰好是 $p(\lambda )$，其中 $\lambda$ 遍历 $T$ 的特征值。

查看解答

($\supseteq$) 若 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，$Tv=\lambda v$，则 $p(T)v=p(\lambda )v$（因为 $T^{k}v={\lambda }^{k}v$）。故 $p(\lambda )$ 是 $p(T)$ 的特征值。

($\subseteq$) 设 $\mu$ 是 $p(T)$ 的特征值。由定理 5.27，$\mu$ 是 $p(T)$ 的最小多项式的零点。在 $\mathbb{C}$ 上，$p(z)-\mu$ 可因式分解为 $(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_m)$。由 5.19 的证明方法，某个 ${\lambda }_j$ 是 $T$ 的特征值，且 $p({\lambda }_j)=\mu$。

习题3：旋转算子的最小多项式

习题3

设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^2)$ 定义为 $T(x,y)=(-y,x)$。求 $T$ 的最小多项式。

查看解答

计算 $T^2(x,y)=T(-y,x)=(-x,-y)=-(x,y)$。故 $T^2=-I$，即 $T^2+I=0$。

因此 $z^2+1$ 是一个消灭多项式。因为 $T$ 不是标量算子（$T\ne cI$），最小多项式的次数 $\ge 2$。故最小多项式为 $z^2+1$。

习题4：$2\times 2$ 矩阵的最小多项式

习题4

设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^2)$。用 $T$ 的迹和行列式表示 $T$ 的最小多项式。

查看解答

设 $T$ 的迹为 $\tau$，行列式为 $\delta$。$T$ 的特征多项式为 $z^2-\tau z+\delta$。

由 Cayley-Hamilton 定理（或直接验证），$T^2-\tau T+\delta I=0$，故 $z^2-\tau z+\delta$ 是消灭多项式。

情形1：$T=\lambda I$（标量算子），最小多项式为 $z-\lambda =z-\tau /2$。

情形2：$T$ 不是标量算子，则最小多项式次数 $\ge 2$，故最小多项式为 $z^2-\tau z+\delta$。

习题5：$T^{-1}$ 的最小多项式

习题5

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 可逆，$p$ 是 $T$ 的最小多项式。定义 $q(z)=z^{\mathrm{deg}p}\cdot p(1/z)$。证明：$q$ 是 $T^{-1}$ 的最小多项式。

查看解答

设 $p(z)=z^m+a_{m-1}{z}^{m-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$，其中 $m=\mathrm{deg}p$。

因为 $T$ 可逆，由定理 5.32，$a_0\ne 0$。

$q(z)=z^m\cdot p(1/z)=1+a_{m-1}z+\cdots +a_1{z}^{m-1}+a_0{z}^m$。

首一化：$\tilde{q}(z)=q(z)/a_0=z^m+(a_1/a_0)z^{m-1}+\cdots +(a_{m-1}/a_0)z+1/a_0$。

验证 $\tilde{q}(T^{-1})=0$：$p(T)=0$ $\Rightarrow$ $T^m+a_{m-1}{T}^{m-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}I=0$。两边乘以 $T^{-m}$：$I+a_{m-1}{T}^{-1}+\cdots +a_1{T}^{-(m-1)}+a_0{T}^{-m}=0$，即 $q(T^{-1})=0$。

次数最低性：若存在更低次数的多项式 $r$ 使 $r(T^{-1})=0$，则用类似方法可构造更低次数的 $s$ 使 $s(T)=0$，与 $p$ 是最小多项式矛盾。故 $\tilde{q}$ 是 $T^{-1}$ 的最小多项式。

习题6：$\{q(T):q\in \mathcal{P}(\mathbb{F})\}$ 的维数

习题6

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。证明：$\dim \{q(T):q\in \mathcal{P}(\mathbb{F})\}=\mathrm{deg}p$，其中 $p$ 是 $T$ 的最小多项式。

查看解答

设 $p(z)=z^m+a_{m-1}{z}^{m-1}+\cdots +a_0$，$m=\mathrm{deg}p$。

上界：$\{q(T):q\in \mathcal{P}(\mathbb{F})\}=\text{span}\{I,T,T^2,\dots ,T^{m-1}\}$。因为对任意 $q$，由带余除法 $q=sp+r$，$\mathrm{deg}r<m$，$q(T)=s(T)p(T)+r(T)=r(T)\in \text{span}\{I,T,\dots ,T^{m-1}\}$。故 $\dim \le m$。

下界：若 $c_{0}I+c_{1}T+\cdots +c_{m-1}{T}^{m-1}=0$，令 $r(z)=c_0+c_{1}z+\cdots +c_{m-1}{z}^{m-1}$，则 $r(T)=0$。由定理 5.29，$p\mid r$。但 $\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}p$，故 $r=0$。因此 $I,T,\dots ,T^{m-1}$ 线性无关，$\dim \ge m$。

综上 $\dim =m=\mathrm{deg}p$。$\square$

习题7：商算子的最小多项式

习题7

设 $V$ 是有限维的，$T\in \mathcal{L}(V)$，$U$ 是 $V$ 的在 $T$ 下不变的子空间。证明：$T$ 的最小多项式整除（$T/U$ 的最小多项式）与（$T{|}_U$ 的最小多项式）之积。

查看解答

设 $p_1$ 是 $T{|}_U$ 的最小多项式，$p_2$ 是 $T/U$ 的最小多项式，$p$ 是 $T$ 的最小多项式。

由定理 5.31，$p_1\mid p$ 且 $p_2\mid p$。

考虑 $(p_1{p}_2)(T)=p_1(T)p_2(T)$。对任意 $v\in V$：

• $p_2(T)v\in U$（因为 $(T/U{)}^{\mathrm{deg}{p}_2}=0$ 意味着 $p_2(T)v\in U$）
• $p_1(T)$ 将 $U$ 映为零（因为 $p_1(T{|}_U)=0$）

故 $p_1(T)p_2(T)v=0$ 对所有 $v\in V$，即 $(p_1{p}_2)(T)=0$。

由定理 5.29，$p\mid p_1{p}_2$。$\square$

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九、视频学习指南

视频资源

资源	主题	链接
3Blue1Brown	特征值与特征向量直觉	Essence of Linear Algebra 第14集
Dr. Peyam	Minimal Polynomial 完整讲解	Minimal Polynomial
Michael Penn	Minimal Polynomial 计算实例	Minimal Polynomial Examples
Zach Star	特征值的几何直觉	Eigenvalues and Eigenvectors
线性代数的艺术	最小多项式与可对角化	Minimal Polynomial and Diagonalization

视频精要

• 3Blue1Brown 提供特征值的几何直觉，适合入门理解”特征值就是变换中方向不变的拉伸因子”
• Dr. Peyam 的最小多项式讲解覆盖了从定义到计算的全过程，证明严谨，适合配合教材学习
• Michael Penn 提供大量计算实例，适合学完理论后巩固计算能力
• 建议学习顺序：先看 3Blue1Brown 建立直觉 $\to$ 阅读教材和本笔记 $\to$ 看 Dr. Peyam 的证明补充 $\to$ 用 Michael Penn 的视频练手

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十、教材原文

最小多项式