5.A 不变子空间、特征值和特征向量

本节概览

本节是第 5 章的起点，引入了算子理论中最核心的概念——不变子空间、特征值和特征向量，并建立了多项式作用于算子的理论框架。整个逻辑链条为：

算子定义 $\to$ 不变子空间 $\to$ 一维不变子空间 $⟹$ 特征值/特征向量 $\to$ 等价条件 $\to$ 线性无关性 $\to$ 特征值个数上界 $\to$ 算子的幂 $T^m$ $\to$ 多项式作用于算子 $p(T)$ $\to$ 乘积性质 $\to$ $p(T)$ 的不变性

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一、不变子空间

1.1 算子

定义 5.1：算子（operator）

从一个向量空间到其本身的线性映射称为算子。即 $T\in \mathcal{L}(V)$。

学习注解

算子就是 $T\in \mathcal{L}(V)=\mathcal{L}(V,V)$。算子理论比一般线性映射理论更丰富，因为算子可以”自乘为幂”——这是特征值理论的基础。

研究动机：若 $V=V_1\oplus \cdots \oplus V_m$（各 $V_k$ 非零），则理解 $T$ 的作用只需理解各 $T{|}_{V_k}$ 的作用——而 $V_k$ 比 $V$ 更小，所以更简单。

1.2 不变子空间的定义

定义 5.2：不变子空间（invariant subspace）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。$V$ 的子空间 $U$ 称为在 $T$ 下是不变的，若对每个 $u\in U$ 均有 $Tu\in U$。

学习注解

等价表述：$U$ 在 $T$ 下不变 $⟺$ $T{|}_U$ 是 $U$ 上的算子（即 $T$ 将 $U$ 映射到 $U$ 自身）。

研究不变子空间的动机：如果 $V=V_1\oplus \cdots \oplus V_m$ 且每个 $V_k$ 都在 $T$ 下不变，那么要理解 $T$ 的作用，只需理解每个 $T{|}_{V_k}$ 的作用——而 $V_k$ 比 $V$ 更小，所以更简单。

1.3 不变子空间的实例

例 5.3-5.4：不变子空间

微分算子：$Dp=p^{\prime }$。${\mathcal{P}}_4(\mathbb{R})$ 在 $D$ 下不变，因为求导不升高次数。

四个平凡不变子空间（对任意 $T\in \mathcal{L}(V)$）：

• $\{0\}$：$Tu=0\in \{0\}$
• $V$：$Tu\in V$
• $\text{null}T$：$Tu=0\in \text{null}T$
• $\text{range}T$：$Tu\in \text{range}T$

学习注解

$\text{null}T$ 和 $\text{range}T$ 不一定提供”非平凡”的不变子空间——当 $T$ 可逆时，$\text{null}T=\{0\}$ 且 $\text{range}T=V$。稍后将证明：如果 $\dim V>1$（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）或 $\dim V>2$（$\mathbb{F}=\mathbb{R}$），则 $T$ 一定有非平凡不变子空间。

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二、特征值和特征向量

2.1 特征值的定义

定义 5.5：特征值（eigenvalue）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。称数 $\lambda \in \mathbb{F}$ 为 $T$ 的特征值，若存在 $v\in V$ 使得 $v\ne 0$ 且 $Tv=\lambda v$。

学习注解

• 要求 $v\ne 0$ 是必要的，因为 $T0=\lambda 0$ 对所有 $\lambda$ 成立。
• “eigenvalue” 一半德文一半英文，德文前缀 “eigen” 意为”自身的”——特征值刻画了算子”固有的”标量倍行为。
• $V$ 有在 $T$ 下不变的一维子空间 $⟺$ $T$ 有特征值。

2.2 成为特征值的等价条件

定理 5.7：成为特征值的等价条件

设 $V$ 是有限维的，$T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $\lambda \in \mathbb{F}$。那么以下等价：

• (a) $\lambda$ 是 $T$ 的特征值
• (b) $T-\lambda I$ 不是单射
• (c) $T-\lambda I$ 不是满射
• (d) $T-\lambda I$ 不可逆

学习注解

证明思路

分两步建立等价链：(a) 与 (b) 通过特征值定义直接变形；(b)、(c)、(d) 则利用有限维空间中单射、满射、可逆的三者等价。

[(a) ⟺ (b) 特征值定义变形]： $Tv=\lambda v⟺(T-\lambda I)v=0$，有非零解 $⟺$ $T-\lambda I$ 不是单射。

[(b) ⟺ (c) ⟺ (d) 有限维三者等价]： 由 3.65（有限维等维数下，单射 $⟺$ 满射 $⟺$ 可逆）。$■$

关键洞察：条件 (d) 是最实用的——判断 $\lambda$ 是否为特征值，只需计算 $\det (T-\lambda I)$ 是否为零（下一节将展开）。

2.3 特征向量的定义

定义 5.8：特征向量（eigenvector）

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $\lambda \in \mathbb{F}$ 是 $T$ 的特征值。满足 $v\ne 0$ 且 $Tv=\lambda v$ 的向量 $v\in V$ 称为 $T$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。

学习注解

等价表述：$v\ne 0$ 是 $T$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量 $⟺$ $v\in \text{null}(T-\lambda I)$。

特征向量的几何意义：$Tv=\lambda v$ 意味着 $T$ 将 $v$ 映射到 $v$ 所在的直线上（可能拉伸或反向）。所以特征向量确定了算子的”不变方向”。

例 5.9：旋转算子的特征值

$T(w,z)=(-z,w)$（逆时针旋转 $90°$）。

• $\mathbb{F}=\mathbb{R}$：没有特征值！旋转 $90°$ 不会将任何非零向量映射到自身的标量倍。
• $\mathbb{F}=\mathbb{C}$：特征值为 $\lambda =i$ 和 $\lambda =-i$。对应特征向量分别为 $(w,-wi)$ 和 $(w,wi)$。

这个例子深刻说明了：同一个算子在不同数域上可能有完全不同的特征值结构。复数域”更大”，所以能提供更多的特征值。

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三、特征向量的线性无关性

3.1 不同特征值对应的特征向量线性无关

定理 5.11：线性无关的特征向量

设 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么分别对应于 $T$ 的不同特征值的特征向量构成的每个组都线性无关。

学习注解

证明思路 $m$ 使 $m$ 个对应互异特征值的特征向量线性相关，用 $T-{\lambda }_{m}I$ 作用消去第 $m$ 个向量，得到 $m-1$ 个向量线性相关，与 $m$ 的最小性矛盾。

反证法 + 最小反例。假设存在最小正整数

[假设最小反例]： 假设结论不成立，取最小的正整数 $m$ 使得对应于互异特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 的特征向量 $v_1,\dots ,v_m$ 线性相关（$m\ge 2$）。

存在非零 $a_1,\dots ,a_m$ 使得 $a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m=0$。

[用 $T-{\lambda }_{m}I$ 消去第 $m$ 个向量]： 将 $T-{\lambda }_{m}I$ 作用于上式： $a_1({\lambda }_1-{\lambda }_m)v_1+\cdots +a_{m-1}({\lambda }_{m-1}-{\lambda }_m)v_{m-1}=0$

[导出矛盾]： 因为特征值互异，各系数非零，所以 $v_1,\dots ,v_{m-1}$ 线性相关——与 $m$ 的最小性矛盾。$■$

证明的核心技巧：用 $T-{\lambda }_{m}I$ 作用可以”消去”第 $m$ 个向量，将 $m$ 个向量的线性相关”降维”为 $m-1$ 个向量的线性相关。

3.2 特征值个数的上界

定理 5.12：特征值个数不超过维数

设 $V$ 是有限维的。那么 $V$ 上的每个算子最多有 $\dim V$ 个互异特征值。

学习注解

证明思路 $n$ 维空间中线性无关组的大小不超过 $\dim V$（2.22），两者结合即得上界。

不同特征值对应的特征向量线性无关（5.11），而

[由 5.11 得线性无关]： 设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ 是 $T$ 的互异特征值，$v_1,\dots ,v_m$ 是对应的特征向量。由 5.11，$v_1,\dots ,v_m$ 线性无关。

[由 2.22 得维数上界]： 由 2.22，$m\le \dim V$。$■$

直觉：$n$ 维空间中最多有 $n$ 个线性无关的向量，而不同特征值对应的特征向量线性无关，所以最多有 $n$ 个不同特征值。

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四、多项式作用于算子

4.1 算子的幂

记号 5.13： $T^m$

设 $T\in \mathcal{L}(V)$，$m$ 是正整数。

• $T^m=\underset{m\text{个}}{\underbrace{T\cdots T}}$
• $T^0=I$（恒等算子）
• 若 $T$ 可逆，$T^{-m}=(T^{-1}{)}^m$

学习注解

你应验证：$T^m{T}^n=T^{m+n}$ 且 $(T^m{)}^n=T^{mn}$。算子可以取幂，这是算子区别于一般线性映射的关键。

4.2 多项式作用于算子

记号 5.14： $p(T)$

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $p(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_m{z}^m$。那么 $p(T)=a_{0}I+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_m{T}^m$

例 5.15：多项式作用于微分算子

$Dq=q^{\prime }$，$p(x)=7-3x+5x^2$。则 $p(D)=7I-3D+5D^2$，于是 $p(D)q=7q-3q^{\prime }+5q^{\prime \prime }$

学习注解

核心思想：将多项式 $p$ 中的变量 $z$ 替换为算子 $T$。常数项 $a_0$ 变成 $a_{0}I$（因为 $a_0=a_0{z}^0$，所以 $z^0$ 变成 $T^0=I$）。

映射 $p\mapsto p(T)$ 是从 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 到 $\mathcal{L}(V)$ 的线性映射。

4.3 乘积性质

定理 5.17：乘积性质

设 $p,q\in \mathcal{P}(\mathbb{F})$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$。那么

• (a) $(pq)(T)=p(T)q(T)$
• (b) $p(T)q(T)=q(T)p(T)$

学习注解

证明思路 $pq=qp$，由 (a) 直接推出。

(a) 将多项式乘积展开后直接逐项验证；(b) 利用标量乘法可交换性

[(a) 展开验证]： 设 $p(z)=\sum a_j{z}^j$，$q(z)=\sum b_k{z}^k$。则 $(pq)(T)={\sum }_{j,k}{a}_j{b}_k{T}^{j+k}={\sum }_{j,k}(a_j{T}^j)(b_k{T}^k)=p(T)q(T)$

[(b) 标量乘法可交换]： $p(T)q(T)=(pq)(T)=(qp)(T)=q(T)p(T)$。$■$

关键洞察：性质 (b) 表明，对单个算子的多项式取乘积时，顺序无关紧要——因为标量的乘法是可交换的。但 $ST\ne TS$（一般情况），所以对不同算子的多项式不能交换。

4.4 $p(T)$ 的零空间和值域在 $T$ 下不变

定理 5.18： $p(T)$ 的零空间和值域在 $T$ 下不变

设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 且 $p\in \mathcal{P}(\mathbb{F})$。那么 $\text{null}p(T)$ 和 $\text{range}p(T)$ 在 $T$ 下不变。

学习注解

证明思路 $p(T)$ 与 $T$ 的可交换性 $p(T)T=Tp(T)$（定理 5.17），分别验证零空间和值域中元素经 $T$ 作用后仍在原集合内。

利用

[零空间的不变性]： 设 $u\in \text{null}p(T)$，则 $p(T)u=0$。于是 $p(T)(Tu)=p(T)T(u)=Tp(T)(u)=T(0)=0$ 其中关键步骤是 $p(T)T=Tp(T)$（因为 $z$ 和 $T$ 在乘积中可交换位置）。故 $Tu\in \text{null}p(T)$。$■$

[值域的不变性]： 设 $u=p(T)v\in \text{range}p(T)$。则 $Tu=Tp(T)v=p(T)(Tv)\in \text{range}p(T)$。$■$

这个定理极其重要：它说明了算子的多项式的零空间和值域都是不变子空间。下一节将利用这个结论证明”复向量空间上的每个算子都有特征值”。

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五、知识结构总览

graph TD
    A["定义5.1: 算子 T∈L(V)"] --> B["定义5.2: 不变子空间<br/>Tu∈U 对所有 u∈U"]
    B --> C["一维不变子空间"]
    C --> D["定义5.5: 特征值 λ<br/>Tv=λv, v≠0"]
    D --> E["定义5.8: 特征向量<br/>v∈null(T-λI)"]
    D --> F["定理5.7: 等价条件<br/>λ是特征值 ⟺ T-λI不可逆"]
    E --> G["定理5.11: 不同特征值对应的<br/>特征向量线性无关"]
    G --> H["定理5.12: 特征值个数 ≤ dim V"]
    A --> I["记号5.13: Tᵐ (算子的幂)"]
    I --> J["记号5.14: p(T)<br/>多项式作用于算子"]
    J --> K["定理5.17: (pq)(T)=p(T)q(T)<br/>p(T)q(T)=q(T)p(T)"]
    K --> L["定理5.18: null p(T) 和<br/>range p(T) 在 T 下不变"]
    L --> M["下一节: 复向量空间上<br/>每个算子都有特征值"]

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六、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 不变子空间是简化算子的工具：如果 $V=V_1\oplus \cdots \oplus V_m$ 且每个 $V_k$ 在 $T$ 下不变，那么理解 $T$ 归结为理解每个 $T{|}_{V_k}$——“分而治之”。
2. 特征值 = 一维不变子空间的”拉伸因子”：$Tv=\lambda v$ 意味着 $T$ 在 $\text{span}(v)$ 上的作用就是乘以 $\lambda$。特征值揭示了算子的”固有标量行为”。
3. 不同特征值对应的特征向量线性无关：这是特征值理论中最基本的线性代数结论之一，直接推出特征值个数不超过维数。
4. 多项式作用于算子：$p(T)$ 将多项式理论与算子理论连接起来。关键性质 $(pq)(T)=p(T)q(T)$ 依赖于标量乘法的可交换性。

证明技巧清单

• 消去法（5.11）：用 $T-{\lambda }_{m}I$ 作用消去第 $m$ 个向量，将 $m$ 个向量的问题降为 $m-1$ 个
• 等价条件链（5.7）：特征值 $⟺$ 非单射 $⟺$ 非满射 $⟺$ 不可逆（利用 3.65）
• 交换性论证（5.18）：$p(T)T=Tp(T)$，因为 $z$ 和 $T$ 在乘积中可交换
• 反例构造：旋转 $90°$ 在 $\mathbb{R}$ 上无特征值，在 $\mathbb{C}$ 上有——说明数域的选择至关重要

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七、补充理解与易混淆点

7.1 不变子空间的直觉理解

Note

不变子空间是”在算子作用下封闭”的子空间——算子将子空间中的向量仍然映射到该子空间内。这意味着我们可以将算子”限制”在这个子空间上，得到一个维数更低的算子。这是简化复杂算子的基本策略。

7.2 特征值与特征向量的几何意义

Note

特征向量是”只被拉伸/压缩、不被旋转”的向量——算子作用在特征向量上，只改变其长度（可能反向），不改变其方向。特征值就是拉伸/压缩的倍数。如果存在一组特征向量构成基，算子在该基下的矩阵就是对角矩阵。

7.3 常见误区

误区1：每个算子都有特征值

❌ 错误认知：所有线性算子都有特征值 ✅ 正确理解：在实数域上，不是所有算子都有特征值（例如 ${\mathbb{R}}^2$ 上的旋转 $90°$ 没有实特征值）。在复数域上，由代数基本定理，每个算子都有特征值

误区2：特征向量只有一个方向

❌ 错误认知：每个特征值只对应一个特征向量 ✅ 正确理解：每个特征值对应一个特征空间（所有满足 $Tv=\lambda v$ 的向量），特征空间的维数（几何重数）可以大于1

误区3：不变子空间必须由特征向量张成

❌ 错误认知：不变子空间一定是某些特征空间的直和 ✅ 正确理解：不变子空间不一定要由特征向量张成。例如幂零算子的不变子空间链中，许多不变子空间不包含特征向量（除了零空间）

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八、习题精选

推荐习题

• 习题 1：$U\subseteq \text{null}T\Rightarrow$ $U$ 不变；$\text{range}T\subseteq U\Rightarrow$ $U$ 不变（不变子空间的两个充分条件）
• 习题 5：$T(x,y)=(-3y,x)$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上求特征值（类似旋转，但角度不同）
• 习题 8：投影 $P^2=P$ 的特征值只有 $0$ 和 $1$（投影算子的特征值刻画）
• 习题 9：微分算子 $D$ 的特征值和特征向量（==$e^{\lambda x}$ 是特征函数==）
• 习题 13：$T$ 和 $S^{-1}TS$ 特征值相同（相似变换不改变特征值）
• 习题 21：可逆算子的特征值 $\lambda \ne 0$，且 ${\lambda }^{-1}$ 是 $T^{-1}$ 的特征值
• 习题 23：$ST$ 和 $TS$ 特征值相同（即使 $ST\ne TS$）
• 习题 26：每个非零向量都是特征向量 $\Rightarrow$ $T$ 是恒等算子的标量倍（对角化的极端情况）
• 习题 34：$v_1,\dots ,v_m$ 线性无关 $⟺$ 存在 $T$ 使它们是对应不同特征值的特征向量（5.11 的逆命题）
• 习题 39：$T$ 有特征值 $⟺$ 存在 $\dim V-1$ 维不变子空间（==一维不变子空间 = 特征向量==）

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九、视频学习指南

暂无对应视频，建议通过阅读教材原文和本笔记学习。

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十、教材原文

线性代数