3A 线性映射所成的向量空间

本节概览

本节是第 3 章的起点，引入线性代数的核心研究对象——线性映射（linear map）。线性映射是保持向量空间结构的函数，它将一个向量空间中的线性关系”忠实”地传递到另一个向量空间。本节还证明了一个重要事实：所有线性映射的集合本身也构成向量空间。

逻辑链条：线性映射定义（可加性+齐次性）→ 实例 → 线性映射引理（由基上的值唯一确定）→ $\mathcal{L}(V,W)$ 是向量空间 → 乘积运算（不可交换）

前置依赖：1B 向量空间的定义（向量空间八条公理）、2B 基（定义 2.26、定理 2.28 唯一表示）

核心主线：线性映射是向量空间之间的”结构保持映射”——它保持加法和标量乘法

---

一、线性映射的定义与实例

定义 3.1 线性映射

从 $V$ 到 $W$ 的线性映射是满足下列性质的函数 $T:V\to W$：

可加性：对于所有 $u,v\in V$，$T(u+v)=Tu+Tv$

齐次性：对于所有 $\lambda \in \mathbb{F}$ 和所有 $v\in V$，$T(\lambda v)=\lambda (Tv)$

记号 3.2 $\mathcal{L}(V,W)$、$\mathcal{L}(V)$

• $\mathcal{L}(V,W)$ = 从 $V$ 到 $W$ 的全体线性映射构成的集合
• $\mathcal{L}(V)=\mathcal{L}(V,V)$ = 从 $V$ 到自身的全体线性映射

例 3.3 线性映射的实例

零映射：$0\in \mathcal{L}(V,W)$，$0v=0$（左侧是映射，右侧是零向量）

恒等算子：$I\in \mathcal{L}(V)$，$Iv=v$

微分映射：$D\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$，$Dp=p^{\prime }$（微积分基本规则 $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ 和 $(\lambda f{)}^{\prime }=\lambda f^{\prime }$ 的另一种表述）

积分映射：$T\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\mathbb{R})$，$Tp={\int }_0^{1}p$

与 $x^2$ 相乘：$T\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$，$(Tp)(x)=x^{2}p(x)$

后向移位：$T\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^{\infty })$，$T(x_1,x_2,x_3,\dots )=(x_2,x_3,\dots )$

${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$：$T(x,y,z)=(2x-y+3z,7x+5y-6z)$

${\mathbb{F}}^n\to {\mathbb{F}}^m$：$T(x_1,\dots ,x_n)=(A_{1,1}{x}_1+\cdots +A_{1,n}{x}_n,\dots ,A_{m,1}{x}_1+\cdots +A_{m,n}{x}_n)$

多项式复合：取定 $q\in \mathcal{P}(\mathbb{R})$，$(Tp)(x)=p(q(x))$

线性映射的本质

线性映射保持线性结构：它将线性组合映射为线性组合（Clemson MATH 8530 讲义、UW-Madison 讲义）： $T(a_1{v}_1+\cdots +a_k{v}_k)=a_{1}T{v}_1+\cdots +a_{k}T{v}_k$ 这意味着：线性映射完全由它对基的作用决定（定理 3.4）。

---

二、线性映射引理与代数运算

2.1 线性映射引理

定理 3.4 线性映射引理

假定 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基且 $w_1,\dots ,w_n\in W$。那么存在唯一的线性映射 $T:V\to W$ 使得对每个 $k=1,\dots ,n$ 都有 $T{v}_k=w_k$。

证明思路

[存在性：用基定义映射]：

定义 $T(c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n)=c_1{w}_1+\cdots +c_n{w}_n$。因为 $v_1,\dots ,v_n$ 是基，每个 $v\in V$ 有唯一的表示，所以 $T$ 是良定义的函数。

[验证可加性]：设 $u=a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n$，$v=c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n$： $T(u+v)=T((a_1+c_1)v_1+\cdots )=(a_1+c_1)w_1+\cdots =Tu+Tv$

[验证齐次性]：$T(\lambda v)=T(\lambda c_1{v}_1+\cdots )=\lambda c_1{w}_1+\cdots =\lambda Tv$

[唯一性]：设 $T^{\prime }\in \mathcal{L}(V,W)$ 也满足 $T^{\prime }{v}_k=w_k$。由齐次性 $T^{\prime }(c_k{v}_k)=c_k{w}_k$，由可加性： $T^{\prime }(c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n)=c_1{w}_1+\cdots +c_n{w}_n=T(c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n)$ 所以 $T^{\prime }=T$。$■$

定理 3.4 的重要性

这是线性代数中最重要的定理之一：

• 自由度：你可以任意指定基向量的像，然后线性映射被唯一确定
• 计算基础：要定义一个线性映射，只需指定它在一组基上的作用
• 矩阵表示的前奏：取 $V={\mathbb{F}}^n$、$W={\mathbb{F}}^m$ 的标准基，指定基向量的像就是指定矩阵的列

2.2 $\mathcal{L}(V,W)$ 是向量空间

定义 3.5 $\mathcal{L}(V,W)$ 上的加法和标量乘法

设 $S,T\in \mathcal{L}(V,W)$ 且 $\lambda \in \mathbb{F}$：

• $(S+T)v=Sv+Tv$
• $(\lambda T)v=\lambda (Tv)$

定理 3.6 $\mathcal{L}(V,W)$ 是向量空间

有了上面定义的加法和标量乘法，$\mathcal{L}(V,W)$ 就是向量空间。

加法恒等元是零映射 $0$（$0v=0$）。

2.3 线性映射的乘积

定义 3.7 线性映射的乘积

如果 $T\in \mathcal{L}(U,V)$ 且 $S\in \mathcal{L}(V,W)$，那么乘积 $ST\in \mathcal{L}(U,W)$ 定义为： $(ST)(u)=S(Tu)$

注意：$ST$ 就是函数复合 $S\circ T$，但线性映射中通常用 $ST$ 而非 $S\circ T$。

定理 3.8 线性映射乘积的代数性质

可结合性：$(T_1{T}_2)T_3=T_1(T_2{T}_3)$（当乘积有意义时）

恒等元：$TI=IT=T$（$I$ 分别是定义域和到达域上的恒等算子）

分配律：$(S_1+S_2)T=S_{1}T+S_{2}T$ 且 $S(T_1+T_2)=S{T}_1+S{T}_2$

例 3.9 不可交换的线性映射

设 $D$ 是微分映射，$T$ 是”乘 $x^2$“映射，都 $\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$：

• $(DT)p(x)=x^2{p}^{\prime }(x)$（先微分再乘 $x^2$）
• $(TD)p(x)=x^2{p}^{\prime }(x)+2xp(x)$（先乘 $x^2$ 再微分，乘积法则）

所以 $DT\ne TD$。线性映射的乘法不满足交换律。

2.4 线性映射将零映射为零

定理 3.10 $T(0)=0$

假设 $T$ 是由 $V$ 到 $W$ 的线性映射。那么 $T(0)=0$。

证明

$T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)$。两边加上 $T(0)$ 的逆元，得 $T(0)=0$。$■$

高中"线性函数"≠ 线性映射

$f(x)=mx+b$ 只有当 $b=0$ 时才是线性映射（由定理 3.10，$f(0)=b$ 必须等于 $0$）。高中代数中的”线性函数”实际上是”仿射函数”。

---

三、知识结构总览

graph TD
    A[3A 线性映射所成的向量空间] --> B[线性映射的定义与实例]
    A --> C[线性映射引理与代数运算]
    B --> B1[定义3.1 可加性+齐次性]
    B --> B2[记号3.2 L的VW]
    B --> B3[例3.3 九个实例]
    C --> C1[定理3.4 线性映射引理]
    C --> C2[定理3.6 L的VW是向量空间]
    C --> C3[定义3.7 乘积ST]
    C --> C4[定理3.8 代数性质]
    C --> C5[定理3.10 T0=0]
    B1 -.->|"保持线性组合"| C1
    C1 -.->|"唯一确定"| C2
    C3 -.->|"不满足交换律"| C4

---

四、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 线性映射 = 结构保持映射：它保持加法和标量乘法，从而保持所有线性关系。这是线性代数与其他数学分支的关键区别。
2. 由基上的值唯一确定（定理 3.4）：线性映射的”自由度”等于 $\dim V\times \dim W$——你可以任意指定每个基向量的像。
3. $\mathcal{L}(V,W)$ 本身是向量空间：线性映射不仅可以研究单个映射，还可以研究映射之间的线性关系——这是后续构造对偶空间（第 3 章）和算子理论的基础。
4. 乘积不交换：线性映射的乘积（复合）满足结合律和分配律，但不满足交换律。这与矩阵乘法的性质完全对应。

证明技巧清单

1. 验证线性映射：分别验证可加性和齐次性，缺一不可（习题 8/9 表明仅有其中一个不够）
2. 利用定理 3.4 定义映射：指定基向量的像，自动得到线性映射
3. 利用 $T(0)=0$：快速排除非线性函数（如 $f(x)=mx+b$，$b\ne 0$）
4. 验证 $\mathcal{L}(V,W)$ 是向量空间：逐一验证八条公理，每条都归结为 $W$ 中的对应性质

---

五、补充理解与易混淆点

5.1 线性映射的直觉

线性映射是”保持直线和平面”的映射（UCL Ch4 讲义、Clemson MATH 8530 讲义）：

• 直线映射为直线（或退化为一个点）
• 原点映射为原点（定理 3.10）
• 等间距的点映射为等间距的点

直觉：线性映射是向量空间之间"最简单、最整齐"的映射——它不弯曲、不旋转、不平移，只做拉伸和剪切。

来源：UCL Chapter 4 Linear Maps 讲义、Clemson MATH 8530 Slides。

5.2 为什么需要可加性和齐次性两个条件？

初学者常问：为什么不能只用一个条件？习题 8 和 9 给出了回答：

• 仅有齐次性 $\phi (av)=a\phi (v)$ 不足以保证线性（习题 8）
• 仅有可加性 $\phi (w+z)=\phi (w)+\phi (z)$ 也不足以保证线性（习题 9）
• 两个条件缺一不可（UW-Madison Linear Transformations 讲义）

对于 $\mathbb{R}$ 上的映射，可加性可以推出有理数齐次性，但不能推出实数齐次性——需要额外的连续性假设才能从可加性推出完全的线性（这涉及更高深的数学工具）。

来源：UW-Madison Linear Transformations 讲义、MathOnline Linear Maps Examples。

5.3 常见误区

误区1："高中线性函数就是线性映射"

❌ 错误认知：$f(x)=mx+b$ 是线性映射 ✅ 正确理解：只有 $f(x)=mx$（即 $b=0$）才是线性映射。$f(x)=mx+b$ 是仿射函数，不是线性映射。由定理 3.10，$f(0)=b$ 必须等于 $0$

误区2："线性映射保持所有性质"

❌ 错误认知：线性映射保持长度、角度、正交性等 ✅ 正确理解：线性映射只保证保持加法和标量乘法。长度、角度、正交性等几何性质的保持需要额外的条件（第 7 章的正交算子、自伴算子等）

误区3："cos 是线性映射"

❌ 错误认知：$\cos (x+y)=\cos x+\cos y$ 成立（从而 $\cos$ 是线性的） ✅ 正确理解：$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\ne \cos x+\cos y$。$\cos$ 既不满足可加性也不满足齐次性（$\cos (2x)\ne 2\cos x$），所以不是线性映射。教材中特别指出：线性映射在数学中并不如有些人想象的那般无处不在

来源：UCL Chapter 4 Linear Maps 讲义、Clemson MATH 8530 Slides、UW-Madison Linear Transformations 讲义、OSU Ximera Linear Mappings and Bases。

---

六、习题精选

本节习题

编号	标题	核心考点	难度
1	判断线性映射	可加性+齐次性验证	⭐
4	线性无关组的像	线性无关的保持	⭐⭐
7	一维空间上的映射	乘以标量	⭐
8	仅有齐次性不够	反例构造	⭐⭐
11	与所有映射可交换	恒等算子的标量倍	⭐⭐⭐
13	子空间上映射的扩充	定理 3.4 的应用	⭐⭐

习题 1：判断线性映射

习题 1

设 $b,c\in \mathbb{R}$，定义 $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ 为 $T(x,y,z)=(2x-4y+3z+b,6x+cxyz)$。证明：$T$ 是线性的，当且仅当 $b=c=0$。

查看解答

($\Leftarrow$)：$b=c=0$ 时，$T(x,y,z)=(2x-4y+3z,6x)$。两个分量都是线性函数，所以 $T$ 是线性的。

($\Rightarrow$)：若 $T$ 线性，则 $T(0)=0$（定理 3.10）。$T(0,0,0)=(b,0)$，所以 $b=0$。

再验证齐次性：$T(2,0,0)=(4,12)$，但 $2T(1,0,0)=2(2,6)=(4,12)$。看起来没问题。但检查 $T(1,1,1)=(1,6+c)$，$T(0,1,0)+T(1,0,1)=(-4,0)+(5,6)=(1,6)$。由可加性 $T(1,1,1)=T(0,1,0)+T(1,0,1)$，得 $6+c=6$，所以 $c=0$。$■$

习题 4：线性无关组的像

习题 4

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 且 $v_1,\dots ,v_m$ 是 $V$ 中一组向量，使得 $T{v}_1,\dots ,T{v}_m$ 是 $W$ 中线性无关组。证明 $v_1,\dots ,v_m$ 线性无关。

查看解答

证明：设 $a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m=0$。两边施加 $T$： $a_{1}T{v}_1+\cdots +a_{m}T{v}_m=T(0)=0$

因为 $T{v}_1,\dots ,T{v}_m$ 线性无关，所以 $a_1=\cdots =a_m=0$。$■$

推论：线性映射保持线性无关性（但未必保持张成性——像可能”缩小”）。

习题 7：一维空间上的映射

习题 7

证明：如果 $\dim V=1$ 且 $T\in \mathcal{L}(V)$，那么存在 $\lambda \in \mathbb{F}$ 使得对所有 $v\in V$ 有 $Tv=\lambda v$。

查看解答

证明：设 $v\ne 0$ 是 $V$ 的基（因为 $\dim V=1$）。令 $\lambda \in \mathbb{F}$ 使得 $Tv=\lambda v$（这样的 $\lambda$ 存在且唯一，因为 $\{v\}$ 是基，$Tv$ 必须是 $v$ 的标量倍）。

对任意 $u\in V$，$u=cv$（某个 $c\in \mathbb{F}$），则 $Tu=T(cv)=cTv=c(\lambda v)=\lambda (cv)=\lambda u$。$■$

习题 8：仅有齐次性不够

习题 8

给出一例：函数 $\phi :{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$，使得 $\phi (av)=a\phi (v)$ 对所有 $a\in \mathbb{R}$ 和所有 $v\in {\mathbb{R}}^2$ 成立，但 $\phi$ 不是线性的。

查看解答

定义 $\phi (x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}$（当 $(x,y)\ne (0,0)$），$\phi (0,0)=0$。

齐次性：$\phi (a(x,y))=\phi (ax,ay)=\frac{a^3{x}^3}{a^2{x}^2+a^2{y}^2}=a\cdot \frac{x^3}{x^2+y^2}=a\phi (x,y)$。✓

不满足可加性：$\phi (1,0)=1$，$\phi (0,1)=0$，$\phi (1,1)=\frac{1}{2}$。但 $\phi (1,0)+\phi (0,1)=1\ne \frac{1}{2}=\phi ((1,0)+(0,1))$。✗

所以 $\phi$ 满足齐次性但不满足可加性，不是线性映射。$■$

习题 11：与所有映射可交换

习题 11

设 $V$ 是有限维的，$T\in \mathcal{L}(V)$。证明：$T$ 是恒等算子的标量倍，当且仅当 $ST=TS$ 对任意 $S\in \mathcal{L}(V)$ 都成立。

查看解答

($\Leftarrow$)：若 $T=\lambda I$，则 $ST=S(\lambda I)=\lambda S=(\lambda I)S=TS$。✓

($\Rightarrow$)：设 $ST=TS$ 对所有 $S\in \mathcal{L}(V)$ 成立。取 $V$ 的基 $v_1,\dots ,v_n$。

对任意 $i\ne j$，定义 $S_{ij}\in \mathcal{L}(V)$ 为 $S_{ij}{v}_i=v_j$，$S_{ij}{v}_k=0$（$k\ne i$）。由定理 3.4，这样的 $S_{ij}$ 存在。

$T{S}_{ij}{v}_i=T{v}_j$，$S_{ij}T{v}_i=S_{ij}(T{v}_i)$。由 $T{S}_{ij}=S_{ij}T$ 得 $T{v}_j=S_{ij}(T{v}_i)$。

设 $T{v}_i={\sum }_k{a}_k{v}_k$，则 $S_{ij}(T{v}_i)=a_i{v}_j$。所以 $T{v}_j=a_i{v}_j$。

这说明 $T$ 将每个基向量映射为自身的标量倍。令 $T{v}_1={\lambda }_1{v}_1$，$T{v}_2={\lambda }_2{v}_2$。

再取 $S=S_{12}$（将 $v_1$ 映到 $v_2$）：$T{S}_{12}{v}_1=T{v}_2={\lambda }_2{v}_2$，$S_{12}T{v}_1=S_{12}({\lambda }_1{v}_1)={\lambda }_1{v}_2$。所以 ${\lambda }_1={\lambda }_2$。

类似地所有 ${\lambda }_k$ 相等，设为 $\lambda$。所以 $T=\lambda I$。$■$

习题 13：子空间上映射的扩充

习题 13

设 $V$ 是有限维的。证明：$V$ 的子空间上的任一线性映射都可以扩充为 $V$ 上的线性映射。

查看解答

证明：设 $U$ 是 $V$ 的子空间，$S\in \mathcal{L}(U,W)$。

取 $U$ 的基 $u_1,\dots ,u_m$，扩充为 $V$ 的基 $u_1,\dots ,u_m,v_1,\dots ,v_k$（定理 2.32）。

定义 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 为：$T{u}_j=S{u}_j$（$j=1,\dots ,m$），$T{v}_j=0$（$j=1,\dots ,k$）。

由 定理 3.4，这样的 $T$ 存在且唯一。对 $u\in U$，$u=c_1{u}_1+\cdots +c_m{u}_m$，所以 $Tu=c_{1}S{u}_1+\cdots +c_{m}S{u}_m=Su$。$■$

---

七、视频学习指南

视频资源

视频主题	对应笔记模块	平台
线性映射的定义	一、线性映射的定义与实例	B站
线性映射引理	二、线性映射引理与代数运算	B站
L(V,W) 是向量空间	二、L(V,W) 是向量空间	B站

视频精要

暂无对应视频的详细精要。建议在学习时关注以下要点：

• 线性映射的两个条件（可加性+齐次性）缺一不可
• 定理 3.4 是后续矩阵表示（3B）的理论基础
• $\mathcal{L}(V,W)$ 是向量空间这一事实在后续章节中反复使用
• 线性映射的乘积不交换——这与矩阵乘法一致

---

八、教材原文

线性映射的定义