2B 基

本节概览

本节将 2A 中两个核心概念——张成和线性无关——融合为一个统一的概念：基（basis）。基是线性代数中最重要的概念之一，它为向量空间的每个元素赋予了唯一的”坐标”，从而使得抽象的向量空间可以用具体的数组来表示。

逻辑链条：基的定义（张成 + 无关）→ 判定准则（唯一表示）→ 张成组含基（削减法）→ 无关组可扩充 → 子空间直和分解

前置依赖：2A 张成空间和线性无关性（张成空间、线性无关、长度比较定理）、1C 子空间（直和）

核心主线：基 = “恰好合适”的向量组——不大不小，唯一地描述整个空间

---

一、基的定义与判定

定义 2.26 基

$V$ 中向量组 $v_1,\dots ,v_n$ 称为 $V$ 的基，如果 $v_1,\dots ,v_n$ 线性无关且 $\text{span}(v_1,\dots ,v_n)=V$。

基的双重含义

• 线性无关：没有冗余（“不多”）
• 张成：覆盖整个空间（“不少”）
• 两者结合：恰好描述整个空间（“正好”）

例 2.27 基的例子

(a) $(1,0,\dots ,0),(0,1,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)$ 是 ${\mathbb{F}}^n$ 的基（标准基）

(b) $(1,2),(3,5)$ 是 ${\mathbb{F}}^2$ 的基——行列式 $1\cdot 5-2\cdot 3=-1\ne 0$

(c) $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 是 ${\mathbb{F}}^3$ 的子空间 $\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ 的基吗？不是——这三个向量不满足 $x+y+z=0$，不在该子空间中

(d) $(1,-1,0),(1,0,-1)$ 是 $\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ 的基

(e) $1,z,\dots ,z^m$ 是 ${\mathcal{P}}_m(\mathbb{F})$ 的基

(f) $1,(z-1),(z-1{)}^2,\dots ,(z-1{)}^m$ 也是 ${\mathcal{P}}_m(\mathbb{F})$ 的基——同一空间可以有不同的基

(g) $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 没有有限基——它是无限维的

定理 2.28 基的判定准则

$V$ 中向量组 $v_1,\dots ,v_n$ 是 $V$ 的基，当且仅当 $V$ 中的每个向量 $v$ 都能唯一地表示为 $v_1,\dots ,v_n$ 的线性组合。

证明思路

[$(\Rightarrow )$ 基 ⟹ 唯一表示]： 张成保证存在性，线性无关保证唯一性。设 $v=a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n=c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n$，则 $(a_1-c_1)v_1+\cdots +(a_n-c_n)v_n=0$。由线性无关得 $a_k=c_k$。

[$(\Leftarrow )$ 唯一表示 ⟹ 基]：

• 张成：每个 $v$ 都能表示为线性组合，所以 $\text{span}(v_1,\dots ,v_n)=V$
• 线性无关：$0$ 的表示唯一（只有全零系数），所以线性无关。$■$

坐标的直觉

定理 2.28 告诉我们：选定基之后，$V$ 中的每个向量都有唯一的”坐标” $(a_1,\dots ,a_n)$。这就是为什么基是连接抽象向量空间和具体数组之间的桥梁（Texas A&M MATH 323 讲义、BU MA 242 讲义）。

---

二、基的存在性与扩充

2.1 张成组包含基（削减法）

定理 2.30 张成组包含基

有限维向量空间中的每个张成向量组都可以缩减为 $V$ 的基。

证明思路

[逐步剔除冗余向量]：

设 $v_1,\dots ,v_n$ 张成 $V$。从后往前扫描：

[步骤 1]：若 $v_n\in \text{span}(v_1,\dots ,v_{n-1})$，则移除 $v_n$（由线性相关性引理，张成空间不变）

[步骤 $k$]：继续检查 $v_{n-k+1}$ 是否在剩余向量的张成空间中

[终止]：当无法再移除任何向量时，剩余的组既张成 $V$ 又线性无关——即基。$■$

削减法的直觉

从”太多”的向量开始，逐步移除冗余的，直到”恰好合适”。就像雕塑——从一块石头开始，逐步削去多余的部分。

2.2 有限维向量空间的基

推论 2.31 有限维向量空间的基

每个有限维向量空间都有基。

证明

由定义 2.9，有限维意味着存在某个张成组。由定理 2.30，这个张成组可以缩减为基。

2.3 线性无关组可扩充为基

定理 2.32 线性无关组可扩充为基

有限维向量空间 $V$ 中的每个线性无关向量组都可以被扩充成 $V$ 的基。

证明思路

[逐步添加向量]：

设 $u_1,\dots ,u_m$ 线性无关。取 $V$ 的一个基 $w_1,\dots ,w_n$。

[步骤 1]：若 $m=n$，则 $u_1,\dots ,u_m$ 已经是基（由定理 2.22，长度相等的线性无关组也是张成组）。

[步骤 2]：若 $m<n$，则 $u_1,\dots ,u_m$ 不能张成 $V$。取 $w\in V\setminus \text{span}(u_1,\dots ,u_m)$，令 $u_{m+1}=w$。新组 $u_1,\dots ,u_{m+1}$ 仍线性无关（习题 13）。

[终止]：重复直到长度为 $n$。$■$

扩充法的直觉

从”太少”的向量开始，逐步添加新的独立向量，直到”恰好合适”。就像画画——先勾勒轮廓，再逐步补充细节。

2.4 子空间的直和分解

定理 2.33 子空间直和分解

设 $V$ 是有限维的，$U_1,\dots ,U_m$ 是 $V$ 的子空间，使得 $V=U_1+\cdots +U_m$。则存在 $V$ 的基使得每个基向量恰好属于某个 $U_j$。

证明思路

[分别取基再合并]：

对每个 $U_j$，取一个基 $B_j$。令 $B=B_1\cup \cdots \cup B_m$。

• $B$ 张成 $V$：因为每个 $U_j$ 的基张成 $U_j$，而 $U_1+\cdots +U_m=V$
• 将 $B$ 缩减为基（定理 2.30）：缩减后的基中每个向量都来自某个 $B_j$，即属于某个 $U_j$。$■$

定理 2.33 的意义

这个定理保证了：当我们把 $V$ 分解为子空间的和时，总可以找到一组”整齐”的基来反映这种分解。这是后续特征空间分解（第 5 章）和谱定理（第 7 章）的理论基础。

---

三、知识结构总览

graph TD
    A[2B 基] --> B[基的定义与判定]
    A --> C[基的存在性与扩充]
    B --> B1[定义2.26 基]
    B --> B2[例2.27 七个例子]
    B --> B3[定理2.28 唯一表示]
    C --> C1[定理2.30 张成组含基]
    C --> C2[推论2.31 有限维必有基]
    C --> C3[定理2.32 无关组可扩充]
    C --> C4[定理2.33 子空间直和分解]
    B1 -.->|"张成+无关"| B3
    C1 -.->|"削减法"| C2
    C3 -.->|"扩充法"| C2
    C4 -.->|"第5章特征分解"| D[后续应用]
    B3 -.->|"第3章坐标表示"| D

---

四、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 基 = 张成 + 线性无关：基同时满足”覆盖整个空间”和”没有冗余”两个条件。这是 2A 中两个核心概念的完美融合。
2. 唯一表示 = 坐标系统：定理 2.28 表明，基为向量空间建立了一套”坐标系”。选定基后，每个向量对应唯一的坐标数组——这是矩阵表示（第 3 章）和坐标变换的基础。
3. 削减法 vs 扩充法：定理 2.30（从张成组中剔除冗余）和定理 2.32（向线性无关组中添加向量）是构造基的两个互补方法。
4. 基不唯一：例 2.27(f) 表明同一空间可以有多种基。不同基给出不同的坐标表示，但描述的是同一个空间。

证明技巧清单

1. 证明”是基”的标准流程：先证张成（或线性无关），再用定理 2.22 的长度比较证另一个
2. 唯一表示 ⟺ 基（定理 2.28）：张成保证存在性，线性无关保证唯一性——这个模式在后续章节反复出现
3. 削减法（定理 2.30）：利用线性相关性引理逐步移除冗余向量
4. 扩充法（定理 2.32）：利用 2A 习题 13 的结论逐步添加独立向量

---

五、补充理解与易混淆点

5.1 基的几何直觉

在 ${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{R}}^3$ 中，基有非常直观的几何含义（Texas A&M MATH 323 讲义、UNL Bases and Dimension 讲义）：

空间	基	几何含义
${\mathbb{R}}^2$	两个不共线向量	确定一个平面坐标系
${\mathbb{R}}^3$	三个不共面向量	确定一个空间坐标系
${\mathbb{R}}^n$	$n$ 个线性无关向量	确定 $n$ 维坐标系

直觉：基就像一组"坐标轴"——它们确定了空间的"方向"和"尺度"。选定基之后，每个向量都可以用这组坐标轴上的”投影”来唯一描述。

来源：Texas A&M MATH 323 讲义、UNL Bases and Dimension 讲义。

5.2 为什么基不唯一？

例 2.27(f) 展示了 ${\mathcal{P}}_m(\mathbb{F})$ 的两组不同基：$\{1,z,\dots ,z^m\}$ 和 $\{1,(z-1),\dots ,(z-1{)}^m\}$。这就像：

• 用”标准坐标轴”描述平面 vs 用”旋转后的坐标轴”描述平面
• 两种描述方式不同（坐标值不同），但描述的是同一个空间

这种”同一空间、不同基”的思想是坐标变换（第 3 章）和相似性（第 5 章）的基础。

来源：BU MA 242 Lecture 15 讲义。

5.3 常见误区

误区1："基就是张成空间"

❌ 错误认知：只要向量组张成 $V$，它就是基 ✅ 正确理解：基同时需要张成和线性无关。仅张成的组可能包含冗余向量（Numerade Elementary Linear Algebra 注解）。例如 $(1,0),(2,0),(0,1)$ 张成 ${\mathbb{R}}^2$，但不是基——$(2,0)$ 是冗余的

误区2："基是子空间/向量空间"

❌ 错误认知：基本身是一个子空间或向量空间 ✅ 正确理解：基是一个向量组（一组向量），不是子空间。子空间对加法和标量乘法封闭，而基向量组一般不封闭——两个基向量的和通常不是基向量（UFL Common Mistakes 讲义）

误区3："基的矩阵就是基"

❌ 错误认知：基 $\{v_1,\dots ,v_n\}$ 和矩阵 $[v_1\cdots v_n]$ 是同一个东西 ✅ 正确理解：基是一组向量，矩阵是这些向量的一种排列方式。基的概念不依赖于矩阵表示——在抽象向量空间中，基向量甚至可能不是数组（UFL Common Mistakes 讲义）

来源：University of Florida Common Mistakes in Math Terminology、Numerade Elementary Linear Algebra、ERIC “Misconceptions in Linear Independence” 教育研究论文、CSDN 线性空间基的判定综合试题解析。

---

六、习题精选

本节习题

编号	标题	核心考点	难度
1	验证基	基的判定	⭐
3	求基	削减法/扩充法	⭐⭐
7	扩充为基	定理 2.32	⭐⭐
8	缩减为基	定理 2.30	⭐⭐
10	子空间直和分解	定理 2.33	⭐⭐⭐

习题 1：验证基

习题 1

(a) 证明 $(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)$ 是 $\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{F}}^4:x_1+x_3=0,x_2+x_4=0\}$ 的基。

(b) 证明 $(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)$ 是 $\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{F}}^4:x_1=x_2+x_3+x_4\}$ 的基。

查看解答

(a) 设 $U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_3=0,x_2+x_4=0\}$，即 $x_3=-x_1,x_4=-x_2$。

$U=\{(x_1,x_2,-x_1,-x_2)\}=x_1(1,0,-1,0)+x_2(0,1,0,-1)$

所以 $(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)$ 张成 $U$。它们只有两个向量且不成比例，故线性无关。因此是 $U$ 的基。$■$

(b) 设 $W=\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1=x_2+x_3+x_4\}$。

$W=\{(x_2+x_3+x_4,x_2,x_3,x_4)\}=x_2(1,1,0,0)+x_3(1,0,1,0)+x_4(1,0,0,1)$

所以这三个向量张成 $W$。验证线性无关：设 $a(1,1,0,0)+b(1,0,1,0)+c(1,0,0,1)=0$，则 $(a+b+c,a,b,c)=(0,0,0,0)$，得 $a=b=c=0$。$■$

习题 3：求基

习题 3

求 $\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{F}}^4:x_1=x_2=x_3=x_4\}$ 的一个基。

查看解答

条件 $x_1=x_2=x_3=x_4$ 意味着向量形如 $(t,t,t,t)=t(1,1,1,1)$。

所以 $\{(1,1,1,1)\}$ 是一个基（长度为 $1$ 的线性无关组，张成该子空间）。$■$

习题 7：扩充为基

习题 7

将 $(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)$ 扩充为 ${\mathbb{F}}^4$ 的基。

查看解答

当前组有 $2$ 个线性无关向量，需要扩充到 $4$ 个。

添加 $(1,0,0,0)$：检查 $(1,0,-1,0),(0,1,0,-1),(1,0,0,0)$ 是否线性无关。设 $a(1,0,-1,0)+b(0,1,0,-1)+c(1,0,0,0)=0$，则 $(a+c,b,-a,-b)=(0,0,0,0)$，得 $a=b=c=0$。✓

添加 $(0,0,1,0)$：检查四个向量是否线性无关。设 $a(1,0,-1,0)+b(0,1,0,-1)+c(1,0,0,0)+d(0,0,1,0)=0$，则 $(a+c,b,-a+d,-b)=(0,0,0,0)$，得 $a=b=c=d=0$。✓

所以 $(1,0,-1,0),(0,1,0,-1),(1,0,0,0),(0,0,1,0)$ 是 ${\mathbb{F}}^4$ 的一个基。$■$

习题 8：缩减为基

习题 8

将 $(1,2,3,4),(0,1,2,3),(0,0,1,2),(0,0,0,1),(1,1,1,1)$ 缩减为 ${\mathbb{F}}^4$ 的基。

查看解答

这 5 个向量张成 ${\mathbb{F}}^4$（前 4 个已经是上三角矩阵的行，行列式为 $1\ne 0$，所以前 4 个就是基）。

验证第 5 个向量是否冗余：$(1,1,1,1)=a(1,2,3,4)+b(0,1,2,3)+c(0,0,1,2)+d(0,0,0,1)$

由上三角结构：$a=1,b=-1,c=0,d=0$。验证：$(1,2,3,4)-(0,1,2,3)=(1,1,1,1)$。✓

所以移除 $(1,1,1,1)$ 后，前 4 个向量构成 ${\mathbb{F}}^4$ 的基。$■$

习题 10：子空间直和分解

习题 10

设 $U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{F}}^4:x_1=x_2=x_3=x_4\}$，$W=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{F}}^4:x_1+x_2+x_3+x_4=0\}$。求 $U\cap W$，并判断 $U+W={\mathbb{F}}^4$ 是否成立。

查看解答

$U\cap W$：同时满足 $x_1=x_2=x_3=x_4=t$ 和 $4t=0$。

• 若 $\text{char}\mathbb{F}\ne 2$，则 $t=0$，$U\cap W=\{0\}$
• 若 $\text{char}\mathbb{F}=2$，则 $4t=0$ 恒成立，$U\cap W=U=\{(t,t,t,t)\}$

$U+W={\mathbb{F}}^4$：$U$ 的基为 $\{(1,1,1,1)\}$，$W$ 的基为 $\{(1,-1,0,0),(1,0,-1,0),(1,0,0,-1)\}$。合并后四个向量线性无关（当 $\text{char}\mathbb{F}\ne 2$），故 $U+W={\mathbb{F}}^4$。

因此当 $\text{char}\mathbb{F}\ne 2$ 时，${\mathbb{F}}^4=U\oplus W$。$■$

---

七、视频学习指南

视频资源

视频主题	对应笔记模块	平台
基的定义与判定	一、基的定义与判定	B站
削减法与扩充法	二、基的存在性与扩充	B站
坐标与基变换	四、核心思想（坐标系统）	B站

视频精要

暂无对应视频的详细精要。建议在学习时关注以下要点：

• 基的双重条件（张成 + 无关）缺一不可
• 定理 2.28 的唯一表示是”坐标”概念的理论基础
• 削减法（定理 2.30）和扩充法（定理 2.32）是构造基的两大工具
• 定理 2.33 的子空间直和分解是后续特征分解的前奏

---

八、教材原文

基