第 7 章 内积空间上的算子 — 章节汇总

全章概览

第 7 章是线性代数的”皇冠”——它将第 6 章建立的内积空间理论与第 5 章的算子理论深度融合，利用内积的几何结构对算子进行精细分类和分解。本章以伴随算子为起点，依次建立自伴算子、正规算子的理论，通过谱定理实现规范正交对角化，再引入正算子的平方根理论、等距映射与幺正算子，最终以奇异值分解（SVD）作为全章乃至全书的高潮。

逻辑链条：伴随 $T^{\ast }$（7.1）→ 自伴算子 $T=T^{\ast }$（7.10）→ 正规算子 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$（7.18）→ 实谱定理（7.29）→ 复谱定理（7.31）→ 正算子与平方根（7.347.43）→ 等距映射与幺正算子（7.447.57）→ QR分解（7.58）→ 科列斯基分解（7.63）→ 奇异值分解（7.70）

核心主线：伴随是内积空间中的”对偶”→ 自伴/正规算子是”最好的”算子类 → 谱定理实现规范正交对角化 → 正算子/幺正算子是谱定理的两大应用方向 → SVD 是对任意线性映射的终极分解

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一、全章知识框架思维导图

graph TB
    A["第7章 内积空间上的算子"] --> B["7A 自伴算子和正规算子"]
    A --> C["7B 谱定理"]
    A --> D["7C 正算子"]
    A --> E["7D 等距映射、幺正算子和矩阵分解"]
    A --> F["7E 奇异值分解与推论"]
    B -->|"伴随定义7.1"| B1["T*: 伴随算子"]
    B -->|"T=T*"| B2["自伴算子 7.10"]
    B -->|"TT*=T*T"| B3["正规算子 7.18"]
    B1 --> B2
    B2 --> B3
    B3 -->|"最小多项式7.27"| C
    B3 -->|"规范正交对角化"| C1["实谱定理 7.29"]
    B3 -->|"规范正交对角化"| C2["复谱定理 7.31"]
    C --> C1
    C --> C2
    C1 -->|"特征值非负"| D
    C2 -->|"特征值非负"| D
    D -->|"唯一正平方根7.39"| D1["sqrt(T)"]
    D -->|"T=R*R 7.38"| E
    D1 -->|"可逆正算子7.61"| E1["正定矩阵 7.62"]
    E -->|"等距映射7.44"| E2["幺正算子 7.51"]
    E2 -->|"QR分解7.58"| E3["矩阵分解"]
    E1 -->|"科列斯基分解7.63"| E3
    D -->|"T*T正算子"| F
    E2 -->|"等距映射刻画"| F
    F -->|"SVD 7.70"| F1["任意映射的终极分解"]

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二、全章核心知识点与重点公式汇总

7.1 自伴算子和正规算子（7A 自伴算子和正规算子）

定理/定义	内容	编号
==伴随== $T^{\ast }$	$⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$，由里斯表示定理保证存在唯一性	7.1
$T^{\ast }$ 是线性映射	$T^{\ast }\in \mathcal{L}(W,V)$	7.4
伴随的6条性质	$(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$，$(\lambda T{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{T}^{\ast }$，$(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$，$(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$，$(I_V{)}^{\ast }=I_V$，$\text{null}{T}^{\ast }=(\text{range}T{)}^{\perp }$	7.5-7.6
==共轭转置== $A^{\ast }$	规范正交基下 $\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T{)}^{\ast }$	7.7, 7.9
==自伴算子==	$T=T^{\ast }$，类比于”实数”	7.10
自伴算子特征值为实	$\lambda \in \mathbb{R}$（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时非平凡）	7.12
$⟨Tv,v⟩=0\forall v\Rightarrow T=0$	复空间极化恒等式（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）	7.13
$⟨Tv,v⟩\in \mathbb{R}\forall v\iff T$ 自伴	复空间判定准则（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）	7.14
自伴且 $⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$	实空间版本（需自伴假设）	7.16
==正规算子==	$T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$，自伴 $\Rightarrow$ 正规但反之不然	7.18
$\Vert Tv\Vert =\Vert T^{\ast }v\Vert \forall v\iff T$ 正规	范数等价刻画	7.20
正规算子5条性质	$\text{null}T=\text{null}{T}^{\ast }$，$\text{range}T=\text{range}{T}^{\ast }$，$\text{range}T=(\text{null}T{)}^{\perp }$，$T-\lambda I$ 正规，$T,T^{\ast }$ 特征向量相同	7.21
正规算子正交特征向量	不同特征值对应的特征向量正交	7.22
实部虚部可交换	$T=A+iB$，$A,B$ 自伴可交换 $\iff T$ 正规（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）	7.23

7.2 谱定理（7B 谱定理）

定理/定义	内容	编号
可逆二次表达式	$T$ 自伴，$b^2<4c$ $\Rightarrow$ $T^2+bT+cI$ 可逆	7.26
自伴算子最小多项式	仅含实线性因子 $(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_m)$，${\lambda }_j\in \mathbb{R}$	7.27
==实谱定理==	$\mathbb{F}=\mathbb{R}$：$T$ 自伴 $\iff$ 存在规范正交基使 $\mathcal{M}(T)$ 为对角矩阵 $\iff$ $V$ 有规范正交的特征向量基	7.29
==复谱定理==	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$：$T$ 正规 $\iff$ 存在规范正交基使 $\mathcal{M}(T)$ 为对角矩阵 $\iff$ $V$ 有规范正交的特征向量基	7.31

7.3 正算子（7C 正算子）

定理/定义	内容	编号
==正算子==	$T$ 自伴且 $⟨Tv,v⟩\ge 0$（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时自伴条件可省）	7.34
平方根	$R^2=T$	7.36
==正算子六个等价刻画==	(a) 正算子 (b) 自伴且特征值非负 (c) 规范正交基下非负对角矩阵 (d) 有正平方根 (e) 有自伴平方根 (f) $T=R^{\ast }R$	7.38
==唯一正平方根==	每个正算子有唯一的正平方根 $\sqrt{T}$	7.39
$\sqrt{T}$ 记号	$T$ 的唯一正平方根记为 $\sqrt{T}$	7.40
$⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow Tv=0$	正算子的确定性条件	7.43

7.4 等距映射、幺正算子和矩阵分解（7D 等距映射、幺正算子和矩阵分解）

定理/定义	内容	编号
==等距映射==	$\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ 对所有 $v\in V$	7.44
等距映射5个等价刻画	(a) 保范数 (b) $S^{\ast }S=I$ (c) 保内积 (d) 规范正交基映射到规范正交组 (e) 矩阵列规范正交	7.49
==幺正算子==	可逆的等距映射（$S^{-1}=S^{\ast }$）	7.51
幺正算子6个等价刻画	(a) 可逆等距 (b) $S^{\ast }S=S{S}^{\ast }=I$ (c) 保内积且可逆 (d) 规范正交基映射到规范正交基 (e) 矩阵列规范正交 (f) 矩阵行规范正交	7.53
幺正算子特征值	$	\lambda
复空间幺正谱描述	幺正 $\iff$ 特征值 $	\lambda
==幺正矩阵==	$A^{\ast }A=I$（实空间中即正交矩阵 $Q^{T}Q=I$）	7.56, 7.57
==QR分解==	列线性无关的方阵 $A=QR$，$Q$ 幺正，$R$ 上三角正对角线，且分解唯一	7.58
可逆正算子	$T$ 可逆正 $\iff$ $⟨Tv,v⟩>0$（$v\ne 0$）	7.61
==正定矩阵==	$⟨Bv,v⟩>0$（$v\ne 0$），即 $B$ 可逆正	7.62
==科列斯基分解==	正定矩阵 $B=R^{\ast }R$，$R$ 上三角正对角线，且分解唯一	7.63

7.5 奇异值分解与推论（7E 奇异值分解与推论）

定理/定义	内容	编号
$T^{\ast }T$ 的性质	(a) 正算子 (b) $\text{null}{T}^{\ast }T=\text{null}T$ (c) $\text{range}{T}^{\ast }T=\text{range}{T}^{\ast }$ (d) $\dim \text{range}T=\dim \text{range}{T}^{\ast }=\dim \text{range}{T}^{\ast }T$	7.64
==奇异值==	$T^{\ast }T$ 的特征值的非负平方根（按重数计）	7.65
正奇异值个数	$=\dim \text{range}T=\text{rank}T$	7.68
等距映射的奇异值刻画	所有奇异值 $=1$ $\iff$ 等距映射	7.69
==奇异值分解（SVD）==	$Tv=s_1⟨v,e_1⟩f_1+\cdots +s_r⟨v,e_r⟩f_r$，$e_j$ 和 $f_j$ 规范正交，$s_j>0$	7.70
伴随和伪逆的SVD	$T^{\ast }v=\sum s_j⟨v,f_j⟩e_j$；$T^{+}w=\sum \frac{⟨w,f_j⟩}{s_j}{e}_j$	7.75
==矩阵SVD==	$A=BD{C}^{\ast }$，$B,C$ 幺正，$D$ 对角（奇异值）	7.80

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三、章节学习脉络梳理

3.1 第一层：伴随——内积空间中的”对偶”（7A）

核心问题：如何利用内积定义算子的”转置”？

• 伴随 $T^{\ast }$ 的定义（7.1）：$⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$，存在性和唯一性由里斯表示定理保证
• 伴随是线性映射（7.4）：$(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$，$(\lambda T{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{T}^{\ast }$
• 伴随的6条代数性质（7.5）：注意 $(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$（顺序反转！），以及 $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$
• 零空间与值域的对偶关系（7.6）：$\text{null}{T}^{\ast }=(\text{range}T{)}^{\perp }$，$\text{range}{T}^{\ast }=(\text{null}T{)}^{\perp }$
• 共轭转置（7.7, 7.9）：规范正交基下 $\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T{)}^{\ast }$，这是对偶映射 $\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$ 在内积空间中的升级版

关键收获：伴随是第 3 章对偶映射在内积空间中的”几何化身”——里斯表示定理将 $V^{\prime }$ 与 $V$ 自然等同，使得 $T^{\prime }:W^{\prime }\to V^{\prime }$ 变为 $T^{\ast }:W\to V$。伴随的核心作用是”将算子从内积的一侧移到另一侧”。

3.2 第二层：自伴算子与正规算子——“最好的”算子类（7A）

核心问题：哪些算子拥有最丰富的结构？

• 自伴算子（7.10）：$T=T^{\ast }$，类比于实数。实空间中矩阵对称，复空间中矩阵厄米
• 自伴算子特征值为实（7.12）：复空间中非平凡，实空间中自动成立
• 极化恒等式技巧（7.13, 7.16）：$⟨Tv,v⟩=0\forall v\Rightarrow T=0$，这是全章最常用的证明工具
• 正规算子（7.18）：$T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$，自伴蕴含正规但反之不然（如旋转矩阵）
• 范数等价刻画（7.20）：$\Vert Tv\Vert =\Vert T^{\ast }v\Vert$ $\iff$ $T$ 正规
• 正规算子5条性质（7.21）：零空间相同、值域相同、$T-\lambda I$ 正规、特征向量相同
• 正交特征向量（7.22）：不同特征值对应的特征向量自动正交——谱定理的基石
• 实部虚部可交换（7.23）：$T=A+iB$，正规性等价于实部虚部可交换

关键收获：自伴算子和正规算子是内积空间中”行为最好”的算子类。正规性保证了对角化的可能性，而自伴性进一步保证了特征值为实。这两类算子是谱定理的主角。

3.3 第三层：谱定理——全章的核心定理（7B）

核心问题：哪些算子可以”完美对角化”（规范正交基下对角化）？

• 引理7.26：自伴算子与可逆二次表达式——配方法在算子层面的推广
• 引理7.27：自伴算子最小多项式仅含实线性因子——排除不可约二次因子的关键
• 实谱定理（7.29）：$\mathbb{F}=\mathbb{R}$，$T$ 自伴 $\iff$ 规范正交对角化。证明链：7.27（最小多项式分裂）$\to$ 6.37（上三角化）$\to$ 自伴使上三角=转置 $\to$ 对角矩阵
• 复谱定理（7.31）：$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，$T$ 正规 $\iff$ 规范正交对角化。证明链：舒尔定理 $\to$ 上三角矩阵 $\to$ 逐行用 $\Vert T{e}_j\Vert =\Vert T^{\ast }{e}_j\Vert$ 消去非对角元素
• 统一视角：$T$ 规范正交对角化 $\iff$ $T$ 正规且特征多项式在 $\mathbb{F}$ 上分裂

关键收获：谱定理是线性代数中最重要的定理之一，它将算子分解为互相正交的一维不变子空间的直和。实谱定理的证明需要先处理实多项式的不可约二次因子（引理7.26、7.27），而复谱定理的证明更直接（舒尔定理+逐行消去）。

3.4 第四层：正算子——“非负实数”的算子类比（7C）

核心问题：自伴算子中哪些类比于非负实数？

• 正算子定义（7.34）：$T$ 自伴且 $⟨Tv,v⟩\ge 0$，复空间中自伴条件可省
• 六个等价刻画（7.38）：从定义、特征值、矩阵、平方根、分解等多角度刻画正算子
• 唯一正平方根（7.39）：每个正算子有唯一的正平方根 $\sqrt{T}$——本节最重要的结果
• $⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow Tv=0$（7.43）：正算子的确定性条件，证明中反复使用 $⟨R^{\ast }Rv,v⟩=\Vert Rv{\Vert }^2$

关键收获：正算子是非负实数在算子世界中的精确类比。六个等价刻画提供了多角度理解，唯一正平方根定理是后续极分解和SVD的理论基础。谱定理的”分而治之”模式（在每个特征空间上操作再拼回来）在此节中得到典型体现。

3.5 第五层：等距映射与幺正算子——“保距变换”（7D）

核心问题：哪些映射”保持距离”和”保持结构”？

• 等距映射（7.44）：$\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$，保持范数（因而保持距离）
• 等距映射5个等价刻画（7.49）：保范数 $\iff$ $S^{\ast }S=I$ $\iff$ 保内积 $\iff$ 规范正交基映射到规范正交组
• 幺正算子（7.51）：可逆等距映射，$S^{-1}=S^{\ast }$
• 幺正算子6个等价刻画（7.53）：在等距映射基础上增加可逆性带来的额外性质
• 特征值模为1（7.54）：幺正算子的特征值在单位圆上
• QR分解（7.58）：格拉姆-施密特的矩阵版本，$A=QR$ 唯一分解
• 正定矩阵与科列斯基分解（7.62, 7.63）：正定矩阵 $B=R^{\ast }R$，$R$ 上三角正对角线

关键收获：等距映射和幺正算子分别是模为1的复数和单位圆在算子世界中的类比。QR分解是格拉姆-施密特过程的矩阵化身，科列斯基分解是正算子平方根理论与QR分解的组合产物。

3.6 第六层：奇异值分解——全章的高潮（7E）

核心问题：如何对任意线性映射（不要求方阵、不要求可对角化）进行”终极分解”？

• $T^{\ast }T$ 的性质（7.64）：正算子、零空间相同、值域维数相同——SVD理论的基石
• 奇异值定义（7.65）：$T^{\ast }T$ 的特征值的非负平方根
• 正奇异值个数 = $\text{rank}T$（7.68）
• SVD定理（7.70）：$Tv=\sum s_j⟨v,e_j⟩f_j$，$e_j,f_j$ 规范正交，$s_j>0$
• 伴随和伪逆的SVD（7.75）：$T^{\ast }$ 和 $T^{+}$ 的SVD形式
• 矩阵SVD（7.80）：$A=BD{C}^{\ast }$，$B,C$ 幺正，$D$ 对角

关键收获：SVD 是特征值分解在非方阵和非可对角化情形下的完美推广。其核心洞察是通过 $T^{\ast }T$ 将任意映射”自伴随化”为正算子，从而利用谱定理。SVD 的应用遍及数据科学、信号处理、数值线性代数等几乎所有需要矩阵分解的领域。

3.7 五节之间的深层联系

3.7.1 谱定理——全章的枢纽

谱定理（7.29 和 7.31）是全章最核心的定理，它串联了几乎所有重要结果：

• 推出正算子的规范正交对角化（7.38(b)$\Rightarrow$(c)），从而构造唯一正平方根（7.39）
• 推出幺正算子的谱描述（7.55），特征值在单位圆上
• 推出 $T^{\ast }T$ 的规范正交对角化（7.64(a) 是正算子），从而定义奇异值（7.65）并证明 SVD（7.70）
• QR 分解的存在性依赖格拉姆-施密特过程（6.32），而唯一性依赖幺正矩阵的性质（7.57）

3.7.2 伴随——全章的理论地基

7A 的伴随理论为全章提供了基本语言：

• 自伴算子 $T=T^{\ast }$ 和正规算子 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$ 的定义都依赖于伴随
• $⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$（7.13, 7.16）是全章使用频率最高的证明工具
• $T^{\ast }T$ 是正算子（7.64(a)）是 SVD 理论的起点
• 共轭转置 $\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T{)}^{\ast }$（7.9）是所有矩阵形式结果的桥梁

3.7.3 正算子——连接谱定理与SVD的桥梁

7C 的正算子理论起到了承上启下的作用：

• 承上：正算子是自伴算子的子类，其理论直接依赖谱定理
• 启下：$T^{\ast }T$ 是正算子（7.64(a)），正算子的谱分解是 SVD 证明的起点
• 唯一正平方根（7.39）是科列斯基分解（7.63）和极分解的理论基础

3.7.4 全章核心线索图

graph TD
    A["伴随 T*<br/>7A"] --> B["自伴算子<br/>7A"]
    A --> C["正规算子<br/>7A"]
    B --> D["实谱定理 7.29<br/>7B"]
    C --> D
    C --> E["复谱定理 7.31<br/>7B"]
    D --> F["正算子<br/>7C"]
    E --> F
    F --> G["等距映射/幺正算子<br/>7D"]
    F --> H["QR/科列斯基分解<br/>7D"]
    F --> I["T*T 正算子<br/>7E"]
    I --> J["SVD 7.70<br/>7E"]
    G -.->|"等距映射刻画"| J

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四、补充理解与跨章展望

4.1 第 7 章的核心方法论

第 7 章建立的方法论在后续学习和应用中反复使用：

1. “自伴随化”策略：将任意算子 $T$ 转化为自伴算子 $T^{\ast }T$，从而利用谱定理。这是 SVD 理论的核心洞察——$T^{\ast }T$ 是正算子，其特征值非负，可以用谱定理对角化。这一策略在泛函分析（自伴算子的谱理论）、微分方程（Sturm-Liouville 理论）中广泛使用。

2. “极化恒等式”技巧：从 $⟨Tv,v⟩=0$ 推出 $T=0$，这是全章使用频率最高的证明工具。其本质是将二次型信息转化为双线性型信息。MIT 18.700 讲义中强调这是”内积空间中最基本的恒等式之一”。

3. “分而治之”模式：谱定理将算子限制到各个特征空间上，在每个特征空间上做简单操作（取平方根、取函数值），然后通过直和拼回来。这一模式在正算子平方根（7.39）、函数演算、泛函分析中的谱测度理论中反复出现。

4. “组合已知定理”策略：科列斯基分解（7.63）的证明组合了正算子平方根（7.38(f)）和 QR 分解（7.58），SVD 的证明组合了谱定理和等距映射理论。这种”站在巨人的肩膀上”的策略是高等数学中构造新结果的典型方法。

来源：MIT 18.700 线性代数讲义、UC Berkeley EE 127 讲义、UCSB Math 108B Notes on Spectral Theorem。

4.2 第 7 章与前后章节的关联地图

第 7 章概念	前置章节中的来源	后续/应用中的深化
伴随 $T^{\ast }$	第 3 章：对偶映射 $T^{\prime }$，$\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$	泛函分析：无界算子的伴随、自伴扩张
里斯表示定理	第 6 章：规范正交基、线性泛函表示	泛函分析：Riesz 表示定理的一般形式
自伴算子	第 5 章：特征值理论	量子力学：可观测量由自伴算子表示
正规算子	第 5 章：可对角化算子	泛函分析：正规算子的谱分解
实谱定理	第 4 章：实多项式分解（4.16）	主成分分析（PCA）：协方差矩阵的对角化
复谱定理	第 4 章：代数基本定理（4.13）	量子力学：可观测量测量值的完备性
正算子	第 6 章：正交投影 $P_U$	机器学习：核方法、正定核函数
唯一正平方根	第 3 章：线性映射引理（3.4）	矩阵分析：矩阵函数 $f(A)$ 的定义
等距映射	第 6 章：格拉姆-施密特（6.32）	信号处理：正交变换（DFT、DCT）
幺正算子	第 6 章：规范正交基	量子计算：量子门都是幺正算子
QR 分解	第 6 章：格拉姆-施密特过程	数值线性代数：QR 算法求特征值
科列斯基分解	第 7 章：正算子平方根 + QR	数值优化：牛顿法中的 Hessian 分解
SVD	第 7 章：谱定理 + 等距映射	数据科学：推荐系统、图像压缩、降维

4.3 为什么第 7 章是全书的集大成者？

第 7 章将前 6 章的所有核心工具汇聚在一起：

• 内积空间（第 6 章）提供了几何框架——内积、范数、正交性、规范正交基
• 算子理论（第 5 章）提供了代数框架——特征值、特征向量、可对角化性、最小多项式
• 多项式理论（第 4 章）提供了分析工具——代数基本定理、实多项式分解
• 线性映射（第 3 章）提供了基本语言——矩阵表示、零空间、值域、对偶
• 向量空间（第 1-2 章）提供了基础——维数、基、直和

第 7 章的终极成果——奇异值分解——是线性代数中”最后的定理”。它不要求方阵、不要求可对角化、不要求特征值存在，适用于任意有限维线性映射。SVD 的广泛应用（从数据科学到量子力学）证明了线性代数作为”数据的语言”的核心地位。

来源：MIT 18.700 线性代数讲义、UC Berkeley EE 127 讲义、UCSB Math 108B Notes、Princeton CHM 502 量子力学讲义、Caltech Ph106a Normal Modes 讲义。

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五、全章总复习题

使用说明

以下复习题覆盖第 7 章全部五节的核心知识点。建议在不查阅笔记的情况下独立完成，然后对照答案自评。每题标注了考查的节次和知识点。

A. 伴随与自伴算子（7A）

A1. 设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ 关于标准基的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 6\\ 3& 6& 7\end{array}\right)$。判断 $T$ 是否自伴，并说明理由。

查看解答

矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 6\\ 3& 6& 7\end{array}\right)$ 满足 $A=A^T$（对称矩阵）。

由定理 7.9，规范正交基（标准基是规范正交基）下 $\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T{)}^{\ast }$。

在实空间中，共轭转置 $A^{\ast }=A^T=A$，所以 $\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T)$，即 $T^{\ast }=T$。

因此 $T$ 是自伴算子。$■$

A2. 设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正规算子，$\lambda \in \mathbb{F}$。证明 $\text{null}(T-\lambda I)=\text{null}(T^{\ast }-\bar{\lambda }I)$。

查看解答

由定理 7.21(d)，$T$ 正规 $\Rightarrow$ $T-\lambda I$ 正规。

由定理 7.21(a)，正规算子的零空间等于其伴随的零空间：

$\text{null}(T-\lambda I)=\text{null}(T-\lambda I{)}^{\ast }$

由 7.5(b) 和 7.5(c)：$(T-\lambda I{)}^{\ast }=T^{\ast }-\bar{\lambda }I$。

因此 $\text{null}(T-\lambda I)=\text{null}(T^{\ast }-\bar{\lambda }I)$。$■$

B. 谱定理（7B）

B1. 设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ 是自伴算子，其特征值为 $2,3,5$。求 $T$ 关于某个规范正交基的矩阵。

查看解答

由实谱定理（7.29），$T$ 关于某个规范正交基的矩阵为对角矩阵。

设 $e_1,e_2,e_3$ 是对应的规范正交特征向量（$T{e}_j={\lambda }_j{e}_j$），则

$\mathcal{M}(T,(e_1,e_2,e_3))=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$

注意：规范正交基的具体选取不唯一（特征空间内可以旋转），但对角矩阵的形式唯一（特征值的排列顺序可以不同）。$■$

B2. 设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{C}}^2)$ 满足 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$ 且 $\dim \text{null}T=0$。证明 $T$ 可逆，并描述 $T$ 关于某个规范正交基的矩阵。

查看解答

$T$ 正规（$T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$），$\dim \text{null}T=0$。

由复谱定理（7.31），$V={\mathbb{C}}^2$ 存在由 $T$ 的特征向量构成的规范正交基 $e_1,e_2$。

设 $T{e}_1={\lambda }_1{e}_1$，$T{e}_2={\lambda }_2{e}_2$。因为 $\text{null}T=\{0\}$，所以 ${\lambda }_1\ne 0$ 且 ${\lambda }_2\ne 0$。

$\mathcal{M}(T,(e_1,e_2))=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$

${\lambda }_1,{\lambda }_2\ne 0$，故矩阵可逆，$T$ 可逆。$■$

C. 正算子（7C）

C1. 设 $T$ 是正算子。证明 $T$ 和 $-T$ 都正当且仅当 $T=0$。

查看解答

($\Leftarrow$)：$T=0$ 时，$T$ 和 $-T$ 都是零算子，显然都是正算子。

($\Rightarrow$)：$T$ 正 $\Rightarrow$ $⟨Tv,v⟩\ge 0$；$-T$ 正 $\Rightarrow$ $⟨-Tv,v⟩\ge 0$，即 $⟨Tv,v⟩\le 0$。

两者结合得 $⟨Tv,v⟩=0$ 对所有 $v\in V$ 成立。

由定理 7.43，$Tv=0$ 对所有 $v$，即 $T=0$。$■$

C2. 设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正算子，$S\in \mathcal{L}(V,W)$。证明 $S^{\ast }TS$ 是 $W$ 上的正算子。

查看解答

$T$ 正，由定理 7.38(f)，存在 $R\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $T=R^{\ast }R$（可取 $R=\sqrt{T}$）。

则 $S^{\ast }TS=S^{\ast }{R}^{\ast }RS=(RS{)}^{\ast }(RS)$。

由 7.38(f)$\Rightarrow$(a)，$(RS{)}^{\ast }(RS)$ 是 $W$ 上的正算子。

因此 $S^{\ast }TS$ 是正算子。$■$

D. 等距映射与幺正算子（7D）

D1. 设 $S\in \mathcal{L}(V)$ 是等距映射。证明 $S$ 是幺正算子当且仅当 $S$ 可逆。

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($\Rightarrow$)：幺正算子定义（7.51）即为可逆的等距映射，故 $S$ 可逆。

($\Leftarrow$)：$S$ 是等距映射，由定理 7.49(b)，$S^{\ast }S=I$。$S$ 可逆，故 $S^{\ast }=S^{\ast }I=S^{\ast }(S{S}^{-1})=(S^{\ast }S)S^{-1}=I{S}^{-1}=S^{-1}$。因此 $S{S}^{\ast }=I$，$S$ 是幺正算子。$■$

D2. 对矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 进行 QR 分解。

查看解答

$A$ 的列：$v_1=(1,1{)}^T$，$v_2=(1,0{)}^T$。

格拉姆-施密特：

• $e_1=\frac{v_1}{\Vert v_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1{)}^T$
• $⟨v_2,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$v_2-⟨v_2,e_1⟩e_1=(1,0{)}^T-\frac{1}{2}(1,1{)}^T=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{)}^T$
• $e_2=\frac{(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{)}^T}{\Vert (\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{)}^T\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1{)}^T$

$Q=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

验证 $R$ 上三角正对角线，$A=QR$。$■$

E. 奇异值分解（7E）

E1. 设 $T\in \mathcal{L}({\mathbb{F}}^3,{\mathbb{F}}^2)$，$T(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,x_2+x_3)$。求 $T$ 的奇异值。

查看解答

关于标准基：$\mathcal{M}(T)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$。

$\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$（实空间中 $A^{\ast }=A^T$）。

$T^{\ast }T$ 的矩阵：$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$。

$T^{\ast }T$ 的特征值：$\det (T^{\ast }T-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 1& 0\\ 1& 2-\lambda & 1\\ 0& 1& 1-\lambda \end{array}\right)$

$=(1-\lambda )[(2-\lambda )(1-\lambda )-1]-1\cdot [(1-\lambda )-0]$

$=(1-\lambda )({\lambda }^2-3\lambda +1)-(1-\lambda )=(1-\lambda )({\lambda }^2-3\lambda )=(1-\lambda )\lambda (\lambda -3)$

特征值：${\lambda }_1=3$，${\lambda }_2=1$，${\lambda }_3=0$。

奇异值：$s_1=\sqrt{3}$，$s_2=\sqrt{1}=1$，$s_3=\sqrt{0}=0$。

正奇异值：$\sqrt{3}$ 和 $1$。$■$

E2. 设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是正规算子。证明 $T$ 的奇异值等于 $T$ 的特征值的绝对值。

查看解答

$T$ 正规，由复谱定理（7.31），$V$ 存在规范正交基 $e_1,\dots ,e_n$ 使得 $T{e}_j={\lambda }_j{e}_j$。

$T^{\ast }{e}_j={\bar{\lambda }}_j{e}_j$（由 7.21(e)）。

$T^{\ast }T{e}_j=T^{\ast }({\lambda }_j{e}_j)={\lambda }_j{T}^{\ast }{e}_j={\lambda }_j{\bar{\lambda }}_j{e}_j=|{\lambda }_j{|}^2{e}_j$。

所以 $T^{\ast }T$ 的特征值为 $|{\lambda }_1{|}^2,\dots ,|{\lambda }_n{|}^2$。

$T$ 的奇异值为 $\sqrt{|{\lambda }_1{|}^2},\dots ,\sqrt{|{\lambda }_n{|}^2}=|{\lambda }_1|,\dots ,|{\lambda }_n|$。$■$

F. 跨节综合题

F1. 设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 满足 $T^{\ast }=-T$（反自伴算子）。证明 $T$ 的特征值都是纯虚数或零。

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设 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，$v$ 是对应的特征向量（$v\ne 0$）。

$Tv=\lambda v$，取伴随得 $v^{\ast }{T}^{\ast }=\bar{\lambda }{v}^{\ast }$。

$T^{\ast }=-T$，所以 $-v^{\ast }T=\bar{\lambda }{v}^{\ast }$，即 $⟨Tu,v⟩=-\bar{\lambda }⟨u,v⟩$。

取 $u=v$：$⟨Tv,v⟩=\lambda \Vert v{\Vert }^2$。

另一方面，$⟨Tv,v⟩=⟨v,T^{\ast }v⟩=⟨v,-Tv⟩=-⟨v,\lambda v⟩=-\bar{\lambda }\Vert v{\Vert }^2$。

所以 $\lambda \Vert v{\Vert }^2=-\bar{\lambda }\Vert v{\Vert }^2$，即 $\lambda =-\bar{\lambda }$，$\lambda +\bar{\lambda }=0$。

因此 $2\mathrm{Re}(\lambda )=0$，$\mathrm{Re}(\lambda )=0$，$\lambda$ 是纯虚数或零。$■$

F2. 设 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是可逆算子。证明存在幺正算子 $S$ 和正算子 $P$ 使得 $T=SP$（极分解）。

查看解答

构造：令 $P=\sqrt{T^{\ast }T}$（$T^{\ast }T$ 是正算子，由 7.64(a)；$\sqrt{T^{\ast }T}$ 由 7.39 定义）。

$P$ 是正算子（7.39 保证 $\sqrt{T^{\ast }T}$ 是正算子）。

定义 $S:V\to V$，$Sv=Pv\mapsto Tv$，即 $S(Tv)=Tv$ 对值域中的向量成立。

更精确地：对 $v\in V$，令 $S(Pv)=Tv$。

$S$ 是等距映射：$\Vert S(Pv){\Vert }^2=\Vert Tv{\Vert }^2=⟨Tv,Tv⟩=⟨v,T^{\ast }Tv⟩=⟨v,P^{2}v⟩=⟨Pv,Pv⟩=\Vert Pv{\Vert }^2$。

$S$ 可逆：$T$ 可逆 $\Rightarrow$ $T^{\ast }T$ 可逆 $\Rightarrow$ $P$ 可逆 $\Rightarrow$ $S$ 可逆。

因此 $S$ 是幺正算子（可逆的等距映射），$T=SP$。$■$

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六、各节笔记索引

节	笔记链接	核心主题
7A	7A 自伴算子和正规算子	伴随 $T^{\ast }$、自伴算子、正规算子、特征值为实、正交特征向量
7B	7B 谱定理	实谱定理（7.29）、复谱定理（7.31）、规范正交对角化
7C	7C 正算子	正算子、六个等价刻画（7.38）、唯一正平方根（7.39）
7D	7D 等距映射、幺正算子和矩阵分解	等距映射、幺正算子、QR分解（7.58）、科列斯基分解（7.63）
7E	7E 奇异值分解与推论	奇异值、奇异值分解（7.70）、矩阵SVD（7.80）

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七、全章核心公式

必须熟记的公式与定理

1. ==伴随的定义==（定义 7.1）：$⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$
2. 伴随的代数性质（命题 7.5）：$(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$，$(\lambda T{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{T}^{\ast }$，$(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$，$(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$
3. 零空间与值域的对偶（命题 7.6）：$\text{null}{T}^{\ast }=(\text{range}T{)}^{\perp }$，$\text{range}{T}^{\ast }=(\text{null}T{)}^{\perp }$
4. 共轭转置（定理 7.9）：$\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T{)}^{\ast }$（规范正交基下）
5. ==自伴算子特征值为实==（定理 7.12）：$\lambda \in \mathbb{R}$
6. ==$⟨Tv,v⟩=0\forall v\Rightarrow T=0$==（定理 7.13/7.16）：全章最常用的证明工具
7. ==正规算子正交特征向量==（定理 7.22）：不同特征值对应的特征向量正交
8. ==实谱定理==（定理 7.29）：$T$ 自伴 $\iff$ 规范正交基下对角矩阵（$\mathbb{F}=\mathbb{R}$）
9. ==复谱定理==（定理 7.31）：$T$ 正规 $\iff$ 规范正交基下对角矩阵（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$）
10. ==正算子六个等价刻画==（定理 7.38）：正算子 $\iff$ 特征值非负 $\iff$ 有正平方根 $\iff$ $T=R^{\ast }R$
11. ==唯一正平方根==（定理 7.39）：$\sqrt{T}$ 唯一存在
12. ==等距映射刻画==（定理 7.49）：$\Vert Sv\Vert =\Vert v\Vert$ $\iff$ $S^{\ast }S=I$ $\iff$ 保内积
13. ==幺正算子刻画==（定理 7.53）：可逆等距 $\iff$ $S^{\ast }S=S{S}^{\ast }=I$ $\iff$ $S^{-1}=S^{\ast }$
14. ==QR分解==（定理 7.58）：$A=QR$，$Q$ 幺正，$R$ 上三角正对角线，唯一
15. ==科列斯基分解==（定理 7.63）：正定 $B=R^{\ast }R$，$R$ 上三角正对角线，唯一
16. ==SVD==（定理 7.70）：$Tv={\sum }_{j=1}^r{s}_j⟨v,e_j⟩f_j$，$s_j>0$，$e_j,f_j$ 规范正交
17. 矩阵SVD（定理 7.80）：$A=BD{C}^{\ast }$，$B,C$ 幺正，$D$ 对角

易错提醒

• 伴随 $(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$，顺序反转（与对偶映射 $(ST{)}^{\prime }=T^{\prime }{S}^{\prime }$ 一致）
• $(\lambda T{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{T}^{\ast }$，标量取共轭（不是 $\lambda T^{\ast }$）
• 定理 7.13（$⟨Tv,v⟩=0\Rightarrow T=0$）只在复空间成立；实空间需要自伴假设（7.16）
• 定理 7.14（$⟨Tv,v⟩\in \mathbb{R}\iff T$ 自伴）只在复空间成立
• 自伴蕴含正规，但正规不蕴含自伴（如旋转矩阵）
• 实谱定理需要”自伴”条件（不是”正规”），因为实空间中正规算子可能没有实特征值
• 正算子对应非负实数，不是正实数；可逆正算子（正定矩阵）才对应正实数
• $\sqrt{T}$ 是唯一的正平方根，但正算子可以有无穷多个非正平方根
• QR 分解要求方阵且列线性无关（教材版本），长方形矩阵有推广版本
• 奇异值 $\ge 0$（非负平方根），不可能为负
• SVD 中的 $e_j$ 是 $T^{\ast }T$ 的特征向量，$f_j$ 是 $T{T}^{\ast }$ 的特征向量，两者通过 $f_j=T{e}_j/s_j$ 关联

内积空间上的算子