3B 零空间和值域

本节概览

本节引入与每个线性映射都紧密相关的两个子空间——零空间（null space）和值域（range），并证明线性代数中最重要的定理之一：线性映射基本定理（ $dim V = dim null T + dim range T$ ）。这个定理将”空间大小”与”映射行为”联系起来，是后续秩-零化度定理、特征值理论等的基石。

逻辑链条：零空间 → 单射性 ⟺ null T = {0} → 值域 → 满射性 → 基本定理 → 维数推论 → 线性方程组理论

前置依赖：3A 线性映射所成的向量空间（定义 3.1、定理 3.10）、1C 子空间（三条件 1.34）、2B 基（扩充法 2.32）

核心主线：零空间度量”信息丢失”，值域度量”覆盖范围”，基本定理将两者统一

一、零空间与单射性

定义 3.11 零空间（null space）

对于 $T \in L (V, W)$ ， $T$ 的零空间记为 $null T$ ，是 $V$ 的子集，由被 $T$ 映射到 $0$ 的所有向量构成： $null T = {v \in V : T v = 0}$

例 3.12 零空间的实例

零映射： $null T = V$ （所有向量都映射为零）

线性泛函 $φ (z_{1}, z_{2}, z_{3}) = z_{1} + 2 z_{2} + 3 z_{3}$ ： $null φ = {(z_{1}, z_{2}, z_{3}) : z_{1} + 2 z_{2} + 3 z_{3} = 0}$ （超平面）

微分映射 $D p = p^{'}$ ： $null D$ = 常值函数构成的集合

乘 $x^{2}$ 映射 $(Tp) (x) = x^{2} p (x)$ ： $null T = {0}$ （只有零多项式满足 $x^{2} p (x) \equiv 0$ ）

后向移位 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, \dots)$ ： $null T = {(a, 0, 0, \dots) : a \in F}$

定理 3.13 零空间是子空间

假设 $T \in L (V, W)$ 。那么 $null T$ 是 $V$ 的子空间。

证明

由定理 3.10， $T (0) = 0$ ，所以 $0 \in null T$ 。

加法封闭： $u, v \in null T$ ⟹ $T (u + v) = T u + T v = 0 + 0 = 0$ 。

标量乘法封闭： $u \in null T$ ， $λ \in F$ ⟹ $T (λ u) = λ T u = λ 0 = 0$ 。 $■$

定义 3.14 单射（injective）

对于函数 $T : V \to W$ ，若 $T u = T v$ 蕴涵 $u = v$ ，则称 $T$ 是单射。

定理 3.15 单射 ⟺ 零空间等于 ${0}$

令 $T \in L (V, W)$ 。那么 $T$ 是单射当且仅当 $null T = {0}$ 。

证明思路

[ $(\Rightarrow)$ 单射 ⟹ null T = {0}]：设 $v \in null T$ ，则 $T v = 0 = T 0$ 。由单射得 $v = 0$ 。

[ $(\Leftarrow)$ null T = {0} ⟹ 单射]：设 $T u = T v$ ，则 $T (u - v) = 0$ ，所以 $u - v \in null T = {0}$ ，得 $u = v$ 。 $■$

定理 3.15 的实用价值

要判断线性映射是否为单射，只需检查零空间——这比直接验证”不同输入映射到不同输出”要简单得多（Lafayette College 讲义、Dartmouth Linear Algebra Refresher）。

二、值域与满射性

定义 3.16 值域（range）

对于 $T \in L (V, W)$ ， $T$ 的值域是 $W$ 的子集，由所有等于 $T v$ （其中 $v \in V$ ）的向量构成： $range T = {T v : v \in V}$

例 3.17 值域的实例

零映射： $range T = {0}$

$R^{2} \to R^{3}$ ： $T (x, y) = (2 x, 5 y, x + y)$ ， $range T = {(2 x, 5 y, x + y) : x, y \in R}$

微分映射 $D p = p^{'}$ ： $range D = P (R)$ （每个多项式都是某个多项式的导数）

定理 3.18 值域是子空间

如果 $T \in L (V, W)$ ，那么 $range T$ 是 $W$ 的子空间。

证明

$T (0) = 0$ ，所以 $0 \in range T$ 。

加法封闭： $w_{1}, w_{2} \in range T$ ⟹ 存在 $v_{1}, v_{2}$ 使 $T v_{i} = w_{i}$ ⟹ $T (v_{1} + v_{2}) = w_{1} + w_{2}$ 。

标量乘法封闭： $w \in range T$ ⟹ $T v = w$ ⟹ $T (λ v) = λ w$ 。 $■$

定义 3.19 满射（surjective）

如果函数 $T : V \to W$ 的值域等于 $W$ ，则称 $T$ 为满射。

例 3.20 满射取决于目标空间的选取

微分映射 $D \in L (P_{5} (R))$ ： $range D = P_{4} (R) \neq = P_{5} (R)$ ，不满射。

微分映射 $S \in L (P_{5} (R), P_{4} (R))$ ： $range S = P_{4} (R)$ ，满射。

同一个映射，目标空间不同，满射性可能不同。

零空间 vs 值域的对称性

零空间 $null T$ 值域 $range T$
定义 ${v \in V : T v = 0}$ ${T v : v \in V}$
所属空间 $V$ 的子空间 $W$ 的子空间
度量 ”信息丢失”的程度 ”覆盖范围”的大小
对应性质 $null T = {0}$ ⟺ 单射 $range T = W$ ⟺ 满射

	零空间 $null T$	值域 $range T$
定义	${v \in V : T v = 0}$	${T v : v \in V}$
所属空间	$V$ 的子空间	$W$ 的子空间
度量	”信息丢失”的程度	”覆盖范围”的大小
对应性质	$null T = {0}$ ⟺ 单射	$range T = W$ ⟺ 满射

三、线性映射基本定理

定理 3.21 线性映射基本定理

假设 $V$ 是有限维的且 $T \in L (V, W)$ 。那么 $range T$ 是有限维的，且 $dim V = dim null T + dim range T$

证明思路

[扩充零空间基为 V 的基]：

设 $u_{1}, \dots, u_{m}$ 是 $null T$ 的基（ $dim null T = m$ ）。由定理 2.32，扩充为 $V$ 的基： $u_{1}, \dots, u_{m}, v_{1}, \dots, v_{n}$ 于是 $dim V = m + n$ 。

[证明 $T v_{1}, \dots, T v_{n}$ 张成 range T]：

对任意 $v \in V$ ， $v = a_{1} u_{1} + \dots + a_{m} u_{m} + b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n}$ 。施加 $T$ ： $T v = b_{1} T v_{1} + \dots + b_{n} T v_{n}$ （含 $T u_{k}$ 的项消失，因为 $u_{k} \in null T$ ）

[证明 $T v_{1}, \dots, T v_{n}$ 线性无关]：

设 $c_{1} T v_{1} + \dots + c_{n} T v_{n} = 0$ ，则 $T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = 0$ 。所以 $c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n} \in null T$ ，可用 $u_{1}, \dots, u_{m}$ 表示。由 $u_{1}, \dots, u_{m}, v_{1}, \dots, v_{n}$ 线性无关，得所有 $c_{k} = 0$ 。 $■$

定理 3.21 的重要性

这是线性代数中最重要的定理之一（Duke University ILA 讲义）：

它建立了定义域维数、零空间维数和值域维数之间的精确关系

“零化度”（nullity）和”秩”（rank）之和恒等于定义域维数

它是后续所有维数计算的基础：特征空间维数、广义特征空间维数等

3.1 维数推论

定理 3.22 映到更低维空间不是单射

假设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间且 $dim V > dim W$ 。那么从 $V$ 到 $W$ 的线性映射一定不是单射。

证明

$dim null T = dim V - dim range T \geq dim V - dim W > 0$ 。所以 $null T$ 包含非零向量， $T$ 不是单射。 $■$

例 3.23 $F^{4} \to F^{3}$ 的线性映射不是单射

因为 $dim F^{4} = 4 > 3 = dim F^{3}$ ，由定理 3.22，任何从 $F^{4}$ 到 $F^{3}$ 的线性映射都不是单射——无需任何计算。

定理 3.24 映到更高维空间不是满射

假设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间且 $dim V < dim W$ 。那么从 $V$ 到 $W$ 的线性映射一定不是满射。

证明

$dim range T = dim V - dim null T \leq dim V < dim W$ 。所以 $range T \neq = W$ 。 $■$

3.2 线性方程组理论

定理 3.26 齐次线性方程组

未知数个数多于方程个数的齐次线性方程组具有非零解。

证明

将方程组表示为 $T : F^{n} \to F^{m}$ 。 $n$ 个未知数， $m$ 个方程。若 $n > m$ ，则 $dim F^{n} > dim F^{m}$ ，由定理 3.22， $T$ 不是单射，即 $null T \neq = {0}$ 。 $■$

定理 3.28 方程个数多于未知数个数的线性方程组

方程个数多于未知数个数的线性方程组当常数项取某些值时无解。

证明

同上， $m$ 个方程， $n$ 个未知数。若 $m > n$ ，则 $dim F^{n} < dim F^{m}$ ，由定理 3.24， $T$ 不是满射，即 $range T \neq = F^{m}$ 。 $■$

基本定理的"翻译"功能

线性映射基本定理将抽象的线性映射语言”翻译”为具体的线性方程组语言：

“单射” ⟺ “齐次方程组只有零解”

“满射” ⟺ “非齐次方程组对所有常数项都有解”

“基本定理” ⟺ “未知数个数 = 自由变量个数 + 主变量个数”

四、知识结构总览

graph TD
    A[3B 零空间和值域] --> B[零空间与单射性]
    A --> C[值域与满射性]
    A --> D[线性映射基本定理]
    B --> B1[定义3.11 零空间]
    B --> B2[定理3.13 是子空间]
    B --> B3[定义3.14 单射]
    B --> B4[定理3.15 单射等价零空间为零]
    C --> C1[定义3.16 值域]
    C --> C2[定理3.18 是子空间]
    C --> C3[定义3.19 满射]
    C --> C4[例3.20 满射依赖目标空间]
    D --> D1[定理3.21 基本定理]
    D --> D2[定理3.22 低维不单射]
    D --> D3[定理3.24 高维不满射]
    D --> D4[定理3.26 齐次方程组]
    D --> D5[定理3.28 非齐次方程组]
    B4 -.-> D1
    C3 -.-> D1
    D1 -.-> D2
    D1 -.-> D3
    D1 -.-> D4
    D1 -.-> D5

五、核心思想与证明技巧

核心思想

零空间 = “信息丢失”： $dim null T$ 度量了 $T$ 将多少维度的信息”压缩”为零。零空间越大，丢失的信息越多。

值域 = “有效覆盖”： $dim range T$ 度量了 $T$ 实际覆盖了目标空间的多少维度。值域越小，覆盖越少。

基本定理 = 守恒律： $dim V = dim null T + dim range T$ ——丢失的信息 + 保留的信息 = 原始信息。这是一个”守恒”关系。

单射 ⟺ 满射的维数条件： $dim V \leq dim W$ 是单射的必要条件， $dim V \geq dim W$ 是满射的必要条件。两者同时成立 ⟺ $dim V = dim W$ 。

证明技巧清单

证明子空间：用三条件（定理 3.13/3.18 的模式）——零向量、加法封闭、标量乘法封闭

基本定理的证明范式：取 null T 的基 → 扩充为 V 的基 → 证明像构成 range T 的基（MSU Math 20F 讲义、UPC Linear Maps 讲义）

利用基本定理做维数估计： $dim null T = dim V - dim range T \geq dim V - dim W$ （定理 3.22 的证明模式）

单射 ⟺ 线性无关的保持： $T$ 单射 ⟺ $T$ 将线性无关组映射为线性无关组（习题 9）

六、补充理解与易混淆点

6.1 基本定理的直觉

基本定理可以理解为”信息守恒”（Duke University ILA Rank Theorem、EECS 245 Notes）：

想象 $V$ 有 $dim V$ 个”信息通道”
$T$ 将其中 $dim null T$ 个通道”关闭”（映射为零）
剩余 $dim range T$ 个通道正常传输
关闭的 + 正常的 = 总通道数

直觉：你不能用更少的通道传输更多的信息。零空间和值域是"同一枚硬币的两面"。

来源：Duke University ILA Rank Theorem、EECS 245 Null Space and Rank-Nullity Theorem。

6.2 单射、满射与维数的关系

条件	单射？	满射？	双射？
$dim V < dim W$	可能	❌ 不可能	❌
$dim V = dim W$	⟺ $null T = {0}$	⟺ $range T = W$	⟺ 两者同时
$dim V > dim W$	❌ 不可能	可能	❌

注意： $dim V = dim W$ 时，单射和满射等价——这是一个非常有用的推论。

来源：Lafayette College Unit 3 Section 3 讲义、Dartmouth Linear Algebra Refresher。

6.3 常见误区

误区1："零空间大的映射不好"

❌ 错误认知： $null T$ 大说明 $T$ 是”差”的映射 ✅ 正确理解：零空间的大小取决于应用场景。在数据压缩中，我们希望零空间大（丢弃冗余信息）；在编码中，我们希望零空间小（保留所有信息）。零空间的大小是映射的性质，不是优劣的评判

误区2："值域等于目标空间就是满射"

❌ 错误认知： $range T$ “看起来很大”就是满射 ✅ 正确理解：满射要求 $range T = W$ ，即精确等于整个目标空间，而不是”差不多等于”。由基本定理， $dim range T \leq dim V$ ，所以如果 $dim V < dim W$ ，无论 $T$ 怎么定义都不可能满射（StudyX Rank-Nullity 习题分析）

误区3："秩-零化度定理中 n 是行数"

❌ 错误认知： $dim V = dim null T + dim range T$ 中的 $dim V$ 是矩阵的行数 ✅ 正确理解： $dim V$ 是定义域的维数，对应矩阵的列数（StudyX 习题分析）。这是最常见的计算错误——混淆了行数和列数

误区4："单射和满射互不相关"

❌ 错误认知：一个映射可以任意组合单射性和满射性 ✅ 正确理解：当 $dim V = dim W$ 时，单射 ⟺ 满射（由基本定理直接推出）。维数条件将两个性质紧密联系在一起（MSU Math 20F 讲义）

来源：Duke University ILA Rank Theorem、EECS 245 Notes、StudyX Rank-Nullity Analysis、MSU Math 20F Lecture 15、Hanspub 线性代数注记。

七、习题精选

本节习题

编号标题核心考点难度
1 构造零空间和值域基本定理 ⭐
2 复合映射的零化 range S ⊆ null T ⭐⭐
3 张成与线性无关 null/range 对应 ⭐⭐
5 range T = null T 基本定理 ⭐⭐
9 单射保持线性无关定理 3.15 ⭐⭐
12 零空间维数 → 满射基本定理 ⭐⭐
16 单射存在条件维数比较 ⭐⭐
19 单射的左逆存在性证明 ⭐⭐⭐
27 投影的直和分解 null P ⊕ range P ⭐⭐⭐

编号	标题	核心考点	难度
1	构造零空间和值域	基本定理	⭐
2	复合映射的零化	range S ⊆ null T	⭐⭐
3	张成与线性无关	null/range 对应	⭐⭐
5	range T = null T	基本定理	⭐⭐
9	单射保持线性无关	定理 3.15	⭐⭐
12	零空间维数 → 满射	基本定理	⭐⭐
16	单射存在条件	维数比较	⭐⭐
19	单射的左逆	存在性证明	⭐⭐⭐
27	投影的直和分解	null P ⊕ range P	⭐⭐⭐

习题 1：构造零空间和值域

习题 1

给出一例：满足 $dim null T = 3$ 且 $dim range T = 2$ 的线性映射 $T$ 。

查看解答

取 $V = F^{5}$ ， $W = F^{2}$ 。定义 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (x_{1} + x_{2}, x_{3} + x_{4})$ 。

$null T = {(a, - a, b, - b, c) : a, b, c \in F}$ ，基为 $(1, - 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, - 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)$ ， $dim null T = 3$ 。

$range T = F^{2}$ （取 $x_{1} = x_{3} = 1$ ，其余为 $0$ 得 $(1, 1)$ ；取 $x_{1} = 1, x_{3} = 0$ 得 $(1, 0)$ ）， $dim range T = 2$ 。

验证： $dim null T + dim range T = 3 + 2 = 5 = dim V$ 。✓ $■$

习题 2：复合映射的零化

习题 2

设 $S, T \in L (V)$ 使得 $range S \subseteq null T$ ，证明 $(ST)^{2} = 0$ 。

查看解答

证明：对任意 $v \in V$ ， $S v \in range S \subseteq null T$ ，所以 $T (S v) = 0$ ，即 $(ST) v = 0$ 。

因此 $ST = 0$ （零映射）， $(ST)^{2} = 0 \cdot 0 = 0$ 。 $■$

习题 5： $range T = null T$

习题 5

给出一例：使得 $range T = null T$ 的 $T \in L (R^{4})$ 。

查看解答

定义 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{3}, x_{4}, 0, 0)$ 。

$range T = {(a, b, 0, 0) : a, b \in R}$ ， $dim range T = 2$ 。

$null T = {(a, b, 0, 0) : a, b \in R}$ ， $dim null T = 2$ 。

所以 $range T = null T = {(a, b, 0, 0)}$ 。 $■$

习题 9：单射保持线性无关

习题 9

设 $T \in L (V, W)$ 是单射， $v_{1}, \dots, v_{n}$ 在 $V$ 中线性无关。证明 $T v_{1}, \dots, T v_{n}$ 在 $W$ 中线性无关。

查看解答

证明：设 $c_{1} T v_{1} + \dots + c_{n} T v_{n} = 0$ 。则 $T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = 0$ 。

所以 $c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n} \in null T = {0}$ （由定理 3.15）。

因此 $c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n} = 0$ ，由 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 线性无关得 $c_{1} = \dots = c_{n} = 0$ 。 $■$

习题 12：零空间维数 → 满射

习题 12

设 $T$ 是从 $F^{4}$ 到 $F^{2}$ 的线性映射，使得 $null T = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in F^{4} : x_{1} = 5 x_{2} 且 x_{3} = 7 x_{4}}$ 。证明 $T$ 是满射。

查看解答

$null T$ 由两个独立线性条件定义，所以 $dim null T = 4 - 2 = 2$ 。

由基本定理： $dim range T = dim F^{4} - dim null T = 4 - 2 = 2 = dim F^{2}$ 。

由推论 2.39， $range T = F^{2}$ ，所以 $T$ 是满射。 $■$

习题 16：单射存在条件

习题 16

设 $V$ 和 $W$ 都是有限维的。证明：存在从 $V$ 到 $W$ 的单的线性映射，当且仅当 $dim V \leq dim W$ 。

查看解答

( $\Leftarrow$ )：设 $dim V \leq dim W$ 。取 $V$ 的基 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 和 $W$ 中 $n$ 个线性无关向量 $w_{1}, \dots, w_{n}$ （由 $dim W \geq n$ ，这样的组存在）。由定理 3.4，定义 $T$ 使 $T v_{k} = w_{k}$ 。 $null T = {0}$ （因为 $w_{1}, \dots, w_{n}$ 线性无关），所以 $T$ 是单射。

( $\Rightarrow$ )：若存在单射 $T : V \to W$ ，则 $null T = {0}$ ，由基本定理 $dim V = dim range T \leq dim W$ 。 $■$

习题 19：单射的左逆

习题 19

设 $W$ 是有限维的， $T \in L (V, W)$ 。证明： $T$ 是单射，当且仅当存在 $S \in L (W, V)$ 使得 $ST$ 是 $V$ 上的恒等算子。

查看解答

( $\Leftarrow$ )：若 $ST = I_{V}$ ，设 $T u = T v$ ，则 $u = ST u = ST v = v$ ，所以 $T$ 是单射。

( $\Rightarrow$ )： $T$ 单射 ⟹ $null T = {0}$ ⟹ $dim V = dim range T$ 。取 $range T$ 的基 $T v_{1}, \dots, T v_{n}$ ，扩充为 $W$ 的基 $T v_{1}, \dots, T v_{n}, w_{1}, \dots, w_{k}$ 。

定义 $S \in L (W, V)$ 为： $S (T v_{j}) = v_{j}$ （ $j = 1, \dots, n$ ）， $S w_{j} = 0$ （ $j = 1, \dots, k$ ）。由定理 3.4， $S$ 存在。

对任意 $v \in V$ ， $v = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}$ ， $ST v = S (T (c_{1} v_{1} + \dots)) = S (c_{1} T v_{1} + \dots) = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n} = v$ 。 $■$

习题 27：投影的直和分解

习题 27

设 $P \in L (V)$ 且 $P^{2} = P$ 。证明 $V = null P \oplus range P$ 。

查看解答

证明：

$null P \cap range P = {0}$ ：设 $v \in null P \cap range P$ 。则 $P v = 0$ 且 $v = Pw$ （某个 $w$ ）。所以 $0 = P v = P (Pw) = P^{2} w = Pw = v$ 。

$V = null P + range P$ ：对任意 $v \in V$ ， $v = P v + (v - P v)$ 。 $P (P v) = P^{2} v = P v$ ，所以 $P v \in range P$ 。 $P (v - P v) = P v - P^{2} v = P v - P v = 0$ ，所以 $v - P v \in null P$ 。

因此 $V = null P \oplus range P$ 。 $■$

八、视频学习指南

视频资源

视频主题对应笔记模块平台
零空间与单射一、零空间与单射性 B站
值域与满射二、值域与满射性 B站
线性映射基本定理三、线性映射基本定理 B站
线性方程组理论三、线性方程组理论 B站

视频主题	对应笔记模块	平台
零空间与单射	一、零空间与单射性	B站
值域与满射	二、值域与满射性	B站
线性映射基本定理	三、线性映射基本定理	B站
线性方程组理论	三、线性方程组理论	B站

视频精要

暂无对应视频的详细精要。建议在学习时关注以下要点：

定理 3.15 将”单射”转化为”零空间为零”——极大简化了验证

基本定理的证明是”扩充基”的标准范式

定理 3.22/3.24 可以”不计算”就判断单射/满射性

定理 3.26/3.28 将抽象理论应用于具体的线性方程组

九、教材原文

零空间与值域

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3B 零空间和值域

3B 零空间和值域

一、零空间与单射性

二、值域与满射性

三、线性映射基本定理

3.1 维数推论

3.2 线性方程组理论

四、知识结构总览

五、核心思想与证明技巧

六、补充理解与易混淆点

6.1 基本定理的直觉

6.2 单射、满射与维数的关系

6.3 常见误区

七、习题精选

习题 1：构造零空间和值域

习题 2：复合映射的零化

习题 5： $range T = null T$

习题 9：单射保持线性无关

习题 12：零空间维数 → 满射

习题 16：单射存在条件

习题 19：单射的左逆

习题 27：投影的直和分解

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习题 2：复合映射的零化

习题 5：rangeT=nullT

习题 9：单射保持线性无关

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