1C 子空间

本节概览

本节引入子空间的概念——向量空间中”自洽”的子集，并研究子空间的两种组合方式：子空间的和与直和。

逻辑链条：子空间定义（三条件）→ 子空间的和（最小包含）→ 直和（唯一表示）

前置依赖：1B 向量空间的定义（向量空间的八条公理）、1A Rⁿ 和 Cⁿ（${\mathbb{F}}^n$ 的具体例子）

核心主线：从”一个向量空间”到”向量空间的子结构”——子空间是理解线性代数整体架构的关键

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一、子空间的定义

定义 1.33 子空间

如果 $V$ 的子集 $U$ 是与 $V$ 具有相同的加法恒等元、加法和标量乘法运算的向量空间，那么 $U$ 就称为 $V$ 的子空间。

定理 1.34 子空间的条件

当且仅当 $V$ 的子集 $U$ 满足以下三个条件时，$U$ 是 $V$ 的子空间：

1. 加法恒等元：$0\in U$
2. 对加法封闭：$u,w\in U$ 意味着 $u+w\in U$
3. 对标量乘法封闭：$a\in \mathbb{F}$ 且 $u\in U$ 意味着 $au\in U$

证明思路

[必要性]：如果 $U$ 是子空间，由向量空间定义直接得到三个条件。

[充分性]：假设三条件成立。条件 1 保证 $V$ 的加法恒等元在 $U$ 中。条件 2 保证加法在 $U$ 上有意义。条件 3 保证标量乘法在 $U$ 上有意义。由条件 3 和定理 1.32，$-u=(-1)u\in U$，所以每个元素都有逆元。八条公理中其余部分自动继承自 $V$（因为它们在更大的空间中成立）。$■$

实用技巧

验证三条件时，通常==先验证 $0\in U$==（最快的方法是取 $U$ 中的特殊元素或乘以 $0$）。如果 $0\notin U$，直接判定不是子空间，无需继续。

例 1.35 子空间举例

(a) ${\mathbb{F}}^4$ 中的条件子空间

当且仅当 $b=0$ 时，$\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{F}}^4:x_3=5x_4+b\}$ 是 ${\mathbb{F}}^4$ 的子空间。

验证：$b=0$ 时，$0=(0,0,0,0)$ 满足 $0=5\cdot 0$。加法和标量乘法的封闭性由线性条件保证。$b\ne 0$ 时，$(0,0,0,0)$ 不满足条件，故不是子空间。

(b) 连续函数构成子空间

定义在 $[0,1]$ 上的全体连续实值函数构成 ${\mathbb{R}}^{[0,1]}$ 的子空间。

关键事实：两个连续函数的和是连续的，连续函数的常数倍也是连续的。

(c) 可微函数构成子空间

定义在 $\mathbb{R}$ 上的全体可微实值函数构成 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ 的子空间。

(d) 边界条件子空间

当且仅当 $b=0$ 时，定义在 $(0,3)$ 上且满足 $f^{\prime }(2)=b$ 的全体可微函数构成 ${\mathbb{R}}^{(0,3)}$ 的子空间。

(e) 极限为零的序列

极限为 $0$ 的所有复数序列构成 ${\mathbb{C}}^{\infty }$ 的子空间。

${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间

• ${\mathbb{R}}^2$ 的子空间恰有：$\{0\}$、过原点的所有直线、${\mathbb{R}}^2$ 本身
• ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间恰有：$\{0\}$、过原点的所有直线、过原点的所有平面、${\mathbb{R}}^3$ 本身

子空间必须过原点——这是几何直觉的核心

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二、子空间的和

定义 1.36 子空间的和

假设 $V_1,\dots ,V_m$ 是 $V$ 的子空间。它们的和定义为： $V_1+\cdots +V_m=\{v_1+\cdots +v_m:v_1\in V_1,\dots ,v_m\in V_m\}$

例 1.37 ${\mathbb{F}}^3$ 的子空间之和

设 $U=\{(x,0,0)\in {\mathbb{F}}^3:x\in \mathbb{F}\}$，$W=\{(0,y,0)\in {\mathbb{F}}^3:y\in \mathbb{F}\}$。 则 $U+W=\{(x,y,0)\in {\mathbb{F}}^3:x,y\in \mathbb{F}\}$（$xy$-平面）。

例 1.38 ${\mathbb{F}}^4$ 的子空间之和

设 $U=\{(x,x,y,y)\in {\mathbb{F}}^4:x,y\in \mathbb{F}\}$，$W=\{(x,x,x,y)\in {\mathbb{F}}^4:x,y\in \mathbb{F}\}$。 则 $U+W=\{(x,x,y,z)\in {\mathbb{F}}^4:x,y,z\in \mathbb{F}\}$（前两个坐标相等的所有向量）。

定理 1.40 子空间的和是最小包含子空间

$V_1+\cdots +V_m$ 是最小的包含 $V_1,\dots ,V_m$ 的子空间。

证明思路

[三条件验证 + 最小性]：

1. $0=0+\cdots +0\in V_1+\cdots +V_m$
2. 加法封闭：$(v_1+\cdots +v_m)+(u_1+\cdots +u_m)=(v_1+u_1)+\cdots +(v_m+u_m)$
3. 标量乘法封闭：$a(v_1+\cdots +v_m)=a{v}_1+\cdots +a{v}_m$

最小性：每个 $V_k$ 都包含于和中（取其余为 $0$）。反之，任何包含所有 $V_k$ 的子空间必须包含它们的和（子空间对加法封闭）。$■$

类比集合论

子空间的和 $\leftrightarrow$ 子集的并集。子空间的直和 $\leftrightarrow$ 不相交并集。

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三、直和

定义 1.41 直和

如果 $V_1+\cdots +V_m$ 中的每个元素都能用 $v_1+\cdots +v_m$（其中各 $v_k\in V_k$）唯一地表示出来，则称此和为直和，记作 $V_1\oplus \cdots \oplus V_m$。

例 1.42 两个子空间的直和

设 $U=\{(x,y,0)\in {\mathbb{F}}^3:x,y\in \mathbb{F}\}$（$xy$-平面），$W=\{(0,0,z)\in {\mathbb{F}}^3:z\in \mathbb{F}\}$（$z$-轴）。 则 ${\mathbb{F}}^3=U\oplus W$。每个向量 $(x,y,z)$ 唯一地分解为 $(x,y,0)+(0,0,z)$。

例 1.43 坐标轴子空间的直和

设 $V_k$ 是 ${\mathbb{F}}^n$ 中除第 $k$ 个坐标外其余坐标均为 $0$ 的所有向量。则 ${\mathbb{F}}^n=V_1\oplus \cdots \oplus V_n$。

例 1.44 不是直和的反例

设 $V_1=\{(x,y,0)\}$，$V_2=\{(0,0,z)\}$，$V_3=\{(0,y,y)\}$。虽然 ${\mathbb{F}}^3=V_1+V_2+V_3$，但 ${\mathbb{F}}^3\ne V_1\oplus V_2\oplus V_3$，因为： $0=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,-1,-1)$ $0=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0)$ 零向量的表示不唯一。

定理 1.45 直和的条件

$V_1+\cdots +V_m$ 是直和，当且仅当用 $v_1+\cdots +v_m$（其中各 $v_k\in V_k$）表示 $0$ 的唯一方式是将每个 $v_k$ 都取 $0$。

证明思路

[必要性]：直和定义直接蕴含零向量的唯一表示。

[充分性]：假设零向量只有全零表示。设 $v=v_1+\cdots +v_m=u_1+\cdots +u_m$ 是两种表示，则 $0=(v_1-u_1)+\cdots +(v_m-u_m)$。由假设，每个 $v_k-u_k=0$，即 $v_k=u_k$，唯一性得证。$■$

定理 1.46 两个子空间的直和

$U+W$ 是直和 $\iff$ $U\cap W=\{0\}$。

证明思路

[$\Rightarrow$]：设 $v\in U\cap W$，则 $0=v+(-v)$（$v\in U$，$-v\in W$）。由直和的唯一性，$v=0$。

[$\Leftarrow$]：设 $0=u+w$（$u\in U$，$w\in W$），则 $u=-w\in W$，故 $u\in U\cap W=\{0\}$，即 $u=w=0$。由定理 1.45，$U+W$ 是直和。$■$

定理 1.46 仅适用于两个子空间

对于三个或更多子空间，$V_i\cap V_j=\{0\}$（对所有 $i\ne j$）不保证直和！例 1.44 就是反例：$V_1\cap V_2=V_1\cap V_3=V_2\cap V_3=\{0\}$，但 $V_1+V_2+V_3$ 不是直和。

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四、知识结构总览

graph TD
    A[1C 子空间] --> B[子空间的定义]
    A --> C[子空间的和]
    A --> D[直和]
    B --> B1[定义1.33]
    B --> B2[三条件 1.34]
    B --> B3[例子 1.35]
    C --> C1[定义1.36]
    C --> C2[计算实例]
    C --> C3[最小性 1.40]
    D --> D1[定义1.41 直和]
    D --> D2[正例 1.42 1.43]
    D --> D3[反例 1.44]
    D --> D4[判定条件 1.45]
    D --> D5[两子空间 1.46]
    B2 -.-> C1
    C1 -.-> D1

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五、核心思想与证明技巧

子空间的核心思想：继承而非重建

子空间不需要重新验证八条公理——它自动继承父空间的结合律、交换律、分配律等性质。我们只需要验证三个条件（含零向量、加法封闭、标量乘法封闭），其余公理”免费”获得。这就是子空间条件如此简洁的原因。

证明技巧清单

1. 验证子空间三条件：先验证 $0\in U$（最快的方法是取特殊元素或乘以 $0$），再验证加法和标量乘法的封闭性
2. 直和的唯一性论证：设两种表示相减得 $0$，利用零向量的唯一表示推出两种表示相同
3. 交集判别法（定理 1.46）：对两个子空间，只需验证 $U\cap W=\{0\}$ 即可判定直和
4. 反例构造：构造零向量的不同分解来证明”不是直和”（如例 1.44）

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六、补充理解与易混淆点

6.1 子空间的几何直觉

在 ${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{R}}^3$ 中，子空间有非常直观的几何形象：

向量空间	子空间	几何形象
${\mathbb{R}}^2$	$\{0\}$	原点
${\mathbb{R}}^2$	过原点的直线	一维子空间
${\mathbb{R}}^2$	${\mathbb{R}}^2$	二维子空间（自身）
${\mathbb{R}}^3$	$\{0\}$	原点
${\mathbb{R}}^3$	过原点的直线	一维子空间
${\mathbb{R}}^3$	过原点的平面	二维子空间
${\mathbb{R}}^3$	${\mathbb{R}}^3$	三维子空间（自身）

关键直觉：子空间必须过原点。不过原点的直线或平面不是子空间（因为不包含零向量）。

来源：JHU Subspaces 讲义、University of Texas Austin Linear Algebra 讲义。

6.2 子空间的和 vs 并集

子空间的并通常不是子空间，而和一定是子空间。

为什么并集不是子空间？

设 $U$ 是 $x$ 轴，$W$ 是 $y$ 轴。$U\cup W$ 包含 $(1,0)$ 和 $(0,1)$，但不包含 $(1,1)=(1,0)+(0,1)$。所以 $U\cup W$ 对加法不封闭，不是子空间。

而 $U+W={\mathbb{R}}^2$ 是子空间。

这就是为什么我们讨论”子空间的和”而不是”子空间的并集”。

来源：University of Florida Common Mistakes in Math Terminology、San Jose State University Vector Spaces 讲义。

6.3 直和 vs 普通和

性质	普通和 $U+W$	直和 $U\oplus W$
定义	所有 $u+w$ 的集合	同左 + 唯一表示
维数公式	$\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$	$\dim (U\oplus W)=\dim U+\dim W$
判定条件	自动成立	$U\cap W=\{0\}$
直觉	两个子空间可能有”重叠”	两个子空间”完全不重叠”

直和的本质是：子空间之间”没有冗余”——每个向量恰好有一种方式被分解。

来源：Statlect Direct Sum 讲解、UCL Linear Algebra 子空间章节。

6.4 常见误区

误区1：任何子集都是子空间

❌ 错误认知：向量空间的任何子集都是子空间 ✅ 正确理解：子集要成为子空间，必须满足三个条件。最常见的不满足情况是不过原点（如 $x+2y+3z=4$）或非线性条件（如 $x_1{x}_2{x}_3=0$）

误区2：有限个向量的集合是子空间

❌ 错误认知：$\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ 是子空间 ✅ 正确理解：有限个向量（除 $\{0\}$ 外）的集合永远不是子空间，因为它对标量乘法不封闭——$2v_1$ 不在集合中（除非 $v_1=0$）

误区3：两两交集为零就保证直和

❌ 错误认知：如果 $V_i\cap V_j=\{0\}$ 对所有 $i\ne j$ 成立，则 $V_1+\cdots +V_m$ 是直和 ✅ 正确理解：这只对两个子空间成立（定理 1.46）。三个或更多子空间时，例 1.44 给出了反例：虽然两两交集为零，但零向量有多种分解方式

误区4：子空间等于基的集合

❌ 错误认知：子空间就是一组基向量 ✅ 正确理解：子空间是一个集合（无限多个向量的集合），而基是子空间中一组线性无关且张成整个子空间的有限向量。子空间不是基，基也不是子空间

来源：University of Florida Common Mistakes in Math Terminology、Purdue University Q&A、Fiveable Linear Algebra 学习指南。

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七、习题精选

本节习题

编号	标题	核心考点	难度
1	判断子空间	三条件验证	⭐
3	导数条件子空间	微积分 + 线性条件	⭐⭐
5	${\mathbb{R}}^2$ 与 ${\mathbb{C}}^2$	数域的区别	⭐⭐
10	交集是子空间	子空间交集的性质	⭐⭐
12	并集是子空间的条件	并集何时为子空间	⭐⭐⭐
14	子空间之和的计算	符号描述与自然语言	⭐⭐

习题 1：判断子空间

习题 1

对于 ${\mathbb{F}}^3$ 的下列各子集，判断其是否为 ${\mathbb{F}}^3$ 的子空间： (a) $\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{F}}^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ (b) $\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{F}}^3:x_1+2x_2+3x_3=4\}$ (c) $\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{F}}^3:x_1{x}_2{x}_3=0\}$ (d) $\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{F}}^3:x_1=5x_3\}$

查看解答

(a) 是子空间。 $0=(0,0,0)$ 满足 $0+0+0=0$。加法封闭：若 $x_1+2x_2+3x_3=0$ 且 $y_1+2y_2+3y_3=0$，则 $(x_1+y_1)+2(x_2+y_2)+3(x_3+y_3)=0$。标量乘法封闭类似。

(b) 不是子空间。 $0=(0,0,0)$ 不满足 $0+0+0=4$。

(c) 不是子空间。 虽然包含 $0$，但对加法不封闭。例如 $(1,1,0)$ 和 $(1,0,1)$ 都满足 $x_1{x}_2{x}_3=0$，但 $(2,1,1)$ 不满足 $2\cdot 1\cdot 1=2\ne 0$。

(d) 是子空间。 类似 (a)，$x_1=5x_3$ 是齐次线性条件。

习题 3：导数条件子空间

习题 3

证明在区间 $(-4,4)$ 上的满足 $f^{\prime }(-1)=3f(2)$ 的可微实值函数 $f$ 的集合是 ${\mathbb{R}}^{(-4,4)}$ 的子空间。

查看解答

证明：设 $S=\{f\in {\mathbb{R}}^{(-4,4)}:f^{\prime }(-1)=3f(2)\}$。

1. 零向量：零函数 $f(x)=0$ 满足 $f^{\prime }(-1)=0=3\cdot 0=3f(2)$，故 $0\in S$。
2. 加法封闭：若 $f,g\in S$，则 $(f+g{)}^{\prime }(-1)=f^{\prime }(-1)+g^{\prime }(-1)=3f(2)+3g(2)=3(f+g)(2)$，故 $f+g\in S$。
3. 标量乘法封闭：若 $f\in S$，$a\in \mathbb{R}$，则 $(af{)}^{\prime }(-1)=a{f}^{\prime }(-1)=a\cdot 3f(2)=3(af)(2)$，故 $af\in S$。

由定理 1.34，$S$ 是子空间。$■$

习题 5：${\mathbb{R}}^2$ 与 ${\mathbb{C}}^2$

习题 5

${\mathbb{R}}^2$ 是不是复向量空间 ${\mathbb{C}}^2$ 的子空间？

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不是。 虽然 ${\mathbb{R}}^2\subset {\mathbb{C}}^2$（实数对是复数对的特例），但 ${\mathbb{R}}^2$ 对 $\mathbb{C}$ 上的标量乘法不封闭。例如 $(1,0)\in {\mathbb{R}}^2$，但 $i(1,0)=(i,0)\notin {\mathbb{R}}^2$。

子空间的标量乘法必须使用与父空间相同的域。${\mathbb{C}}^2$ 的标量域是 $\mathbb{C}$，而 ${\mathbb{R}}^2$ 的标量域是 $\mathbb{R}$，两者不同。

习题 10：交集是子空间

习题 10

设 $V_1$ 和 $V_2$ 是 $V$ 的子空间，证明：交集 $V_1\cap V_2$ 是 $V$ 的子空间。

查看解答

证明：

1. $0\in V_1$ 且 $0\in V_2$，故 $0\in V_1\cap V_2$。
2. 若 $u,v\in V_1\cap V_2$，则 $u,v\in V_1$ 且 $u,v\in V_2$。由 $V_1$ 和 $V_2$ 的封闭性，$u+v\in V_1$ 且 $u+v\in V_2$，故 $u+v\in V_1\cap V_2$。
3. 若 $u\in V_1\cap V_2$ 且 $a\in \mathbb{F}$，则 $au\in V_1$ 且 $au\in V_2$，故 $au\in V_1\cap V_2$。

由定理 1.34，$V_1\cap V_2$ 是子空间。$■$

习题 12：并集是子空间的条件

习题 12

证明：$V$ 的两个子空间的并集是 $V$ 的子空间，当且仅当其中一个包含于另一个。

查看解答

证明：

($\Leftarrow$)：若 $U\subseteq W$，则 $U\cup W=W$，是子空间。

($\Rightarrow$)：设 $U\cup W$ 是子空间，但 $U⊈W$ 且 $W⊈U$。取 $u\in U\setminus W$ 和 $w\in W\setminus U$。由子空间条件，$u+w\in U\cup W$。若 $u+w\in U$，则 $w=(u+w)+(-u)\in U$（因为 $U$ 是子空间），矛盾。类似地 $u+w\in W$ 也会导致 $u\in W$，矛盾。$■$

习题 14：子空间之和的计算

习题 14

设 $U=\{(x,-x,2x)\in {\mathbb{F}}^3:x\in \mathbb{F}\}$，$W=\{(x,x,2x)\in {\mathbb{F}}^3:x\in \mathbb{F}\}$。用符号和自然语言描述 $U+W$。

查看解答

解：取 $u=(a,-a,2a)\in U$ 和 $w=(b,b,2b)\in W$，则 $u+w=(a+b,-a+b,2a+2b)$

令 $s=a+b$，$t=-a+b$，则 $a=\frac{s-t}{2}$，$b=\frac{s+t}{2}$，且 $2a+2b=2s$。

所以 $U+W=\{(s,t,2s)\in {\mathbb{F}}^3:s,t\in \mathbb{F}\}$。

自然语言描述：${\mathbb{F}}^3$ 中第三个坐标等于第一个坐标的两倍的所有向量。

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八、视频学习指南

视频资源

视频主题	对应笔记模块	平台
子空间的定义与三条件	一、子空间的定义	B站
子空间的和与直和	二、三	B站
直和的判定与反例	三、直和	B站

视频精要

暂无对应视频的详细精要。建议在学习时关注以下要点：

• 理解为什么子空间必须过原点（几何直觉）
• 掌握”三条件”验证的标准化流程
• 理解直和”唯一表示”的数学含义和几何直觉
• 注意定理 1.46 只适用于两个子空间的特殊情况

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九、教材原文

子空间