第4章 多项式

本节概览

本章是连接第3章（线性映射）与第5章（特征值与不变子空间）的桥梁章节，系统讨论多项式的代数性质，为后续特征多项式、极小多项式等概念提供基础。

逻辑链条：复数与共轭 → 多项式零点与因式定理 → 带余除法 → 代数基本定理 → C上因式分解 → 共轭对 → R上因式分解

前置依赖：1A Rⁿ 和 Cⁿ（复数基础）、2C 维数（P^n(F)的维数）、2B 基（基与线性无关）、3A 线性映射所成的向量空间（线性映射）、3E 向量空间的积和商（商空间）

核心主线：从复数的基本代数性质出发，逐步建立多项式零点理论，最终证明复系数多项式可唯一分解为一次因式之积（代数封闭），实系数多项式可唯一分解为一次与不可约二次因式之积。

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一、复数与共轭

定义 4.1：实部与虚部

设 $z=a+bi$（$a,b\in \mathbb{R}$），则

• $z$ 的实部 $\text{Re}z=a$
• $z$ 的虚部 $\text{Im}z=b$

定义 4.2：复共轭与绝对值

设 $z=a+bi$（$a,b\in \mathbb{R}$），则

• $z$ 的复共轭 $\bar{z}=\text{Re}z-(\text{Im}z)i$
• $z$ 的绝对值 $|z|=\sqrt{(\text{Re}z{)}^2+(\text{Im}z{)}^2}$

例 4.3

设 $z=3+2i$，则：

• $\text{Re}z=3$，$\text{Im}z=2$
• $\bar{z}=3-2i$
• $|z|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$

性质 4.4：复共轭与绝对值的性质

设 $w,z\in \mathbb{C}$，则：

1. $z+\bar{z}=2\text{Re}z$
2. $z-\bar{z}=2(\text{Im}z)i$
3. $z\bar{z}=|z{|}^2$
4. $\overline{w+z}=\bar{w}+\bar{z}$ 且 $\overline{wz}=\bar{w}\bar{z}$
5. $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$
6. $|\text{Re}z|\le |z|$ 且 $|\text{Im}z|\le |z|$
7. $|\bar{z}|=|z|$
8. $|wz|=|w||z|$
9. $|w+z|\le |w|+|z|$（三角不等式）

证明思路：三角不等式

• 展开 $|w+z{|}^2$：$|w+z{|}^2=(w+z)(\bar{w}+\bar{z})=|w{|}^2+|z{|}^2+w\bar{z}+\bar{w}z$
• 提取实部：$w\bar{z}+\bar{w}z=2\text{Re}(w\bar{z})$
• 利用实部有界：$2\text{Re}(w\bar{z})\le 2|w\bar{z}|=2|w||z|$
• 配方完成：$|w+z{|}^2\le |w{|}^2+|z{|}^2+2|w||z|=(|w|+|z|{)}^2$ → 开方即得 ==$|w+z|\le |w|+|z|$==
• $■$

其中 ==$z\bar{z}=|z{|}^2$== 是连接复数代数运算与几何长度的核心恒等式，贯穿后续所有证明。

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二、多项式的零点

定义 4.5：多项式的零点/根

设 $p\in \mathcal{P}(F)$。如果 $\lambda \in F$ 满足 $p(\lambda )=0$，则称 $\lambda$ 是 $p$ 的一个零点（或根）。

定理 4.6：零点对应一次因式

设 $p\in \mathcal{P}(F)$，$\lambda \in F$，$m=\mathrm{deg}p\ge 1$。则 $p(\lambda )=0⟺\exists q\in \mathcal{P}(F),\mathrm{deg}q=m-1,p(z)=(z-\lambda )q(z)$

证明思路

• ($\Rightarrow$) 因式分解：$p(z)=p(z)-p(\lambda )=a_1(z-\lambda )+\cdots +a_m(z^m-{\lambda }^m)$
• 关键恒等式：$z^k-{\lambda }^k=(z-\lambda ){\sum }_{j=1}^k{\lambda }^{j-1}{z}^{k-j}$（对 $k$ 用求和公式）
• 提取公因子：每项都含 $(z-\lambda )$，得 $p(z)=(z-\lambda )q(z)$，其中 $\mathrm{deg}q=m-1$
• ($\Leftarrow$) 代入：$p(\lambda )=(\lambda -\lambda )q(\lambda )=0$
• $■$

定理 4.8：次数为 $m$ 表明最多有 $m$ 个零点

设 $p\in \mathcal{P}(F)$，$m=\mathrm{deg}p\ge 1$。则 $p$ 在 $F$ 中最多有 $m$ 个不同的零点。

证明思路

• 归纳基础：$m=1$ 时 $p(z)=a_0+a_{1}z$，唯一零点为 $-a_0/a_1$
• 归纳步骤：若 $p$ 有零点 $\lambda$，由定理 4.6 得 $p(z)=(z-\lambda )q(z)$，其中 $\mathrm{deg}q=m-1$。由归纳假设，$q$ 至多有 $m-1$ 个不同零点，加上 $\lambda$，$p$ 至多有 $m$ 个不同零点。
• $■$

推论：系数唯一性

若两组不同系数的多项式对所有 $z\in F$ 取值相同，则其差多项式非零却有无穷多零点，与定理 4.8 矛盾。因此多项式的系数由其在 $F$ 上的取值唯一确定。

参见 2C 维数 中关于 ${\mathcal{P}}^n(F)$ 的维数讨论。

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三、带余除法

定理 4.9：多项式的带余除法

设 $p,s\in \mathcal{P}(F)$，$s\ne 0$。则存在唯一的 $q,r\in \mathcal{P}(F)$ 使得 $p=sq+r\text{且}\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}s$

证明思路

• 平凡情形：若 $n=\mathrm{deg}p<m=\mathrm{deg}s$，取 $q=0$，$r=p$
• 构造基：考虑 ${\mathcal{P}}^n(F)$ 中的向量组 \{1, z, \ldots, z^{m-1}, s, zs, \ldots, z^{n-m}s}（式 4.10）
• 线性无关：组中每个多项式次数不同 → 线性无关
• 恰好是基：长度 $n+1=\dim {\mathcal{P}}^n(F)$ → 由 2B 基 中的定理 2.38，该组是 ${\mathcal{P}}^n(F)$ 的基
• 唯一表示：$p$ 在此基下的唯一线性组合 → 分离出 $r$（低次部分）和 $q$（$s$ 的倍数部分）
• 唯一性：源于基表示的唯一性
• $■$

==利用 ${\mathcal{P}}^n(F)$ 的基== 这一线性代数证法是 Axler 本书的特色——不需要任何计算，只需”不同次数的多项式线性无关”这一基本事实。参见 2B 基 和 2C 维数。

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四、复系数多项式的因式分解

定理 4.12：代数基本定理，版本一

每个不是常值的复系数多项式都在 $\mathbb{C}$ 中有零点。

证明思路

• 棣莫弗定理：$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^k=\cos k\theta +i\sin k\theta$ → 每个复数有 $k$ 次方根
• 连续函数取最小值：$|p(z)|\to \infty$（$|z|\to \infty$）→ $\exists \zeta$ 使 $|p(z)|$ 在 $\zeta$ 取全局最小值
• 反证法：假设 $p(\zeta )\ne 0$
• 构造 $q(z)$：$q(z)=p(z+\zeta )/p(\zeta )$，$q(0)=1$ 是全局最小值
• 展开 $q$：$q(z)=1+a_k{z}^k+\cdots +a_m{z}^m$（$a_k\ne 0$）
• 选取 $\beta$：${\beta }^k=-1/a_k$ → 取 $t=1/(2c)$ 使 $|q(t\beta )|<1$
• 矛盾：与 $|q|$ 的全局最小值为 $1$ 矛盾
• $■$

定理 4.13：代数基本定理，版本二

设 $p\in \mathcal{P}(\mathbb{C})$ 是非常数多项式，$\mathrm{deg}p=m$。则 $p$ 可以唯一地（不计因式顺序）表示为 $p(z)=c(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_m)$ 其中 $c,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{C}$。

证明思路

• 归纳基础：$m=1$ 时分解存在且唯一
• 存在性：由定理 4.12，$p$ 有零点 $\lambda$ → 由定理 4.6，$p(z)=(z-\lambda )q(z)$ → 归纳假设 $q$ 可分解
• 唯一性：$c$ 是 $z^m$ 的系数（唯一）→ 比较零点集 → 归约到 $m-1$ 次
• $■$

复数域是 代数封闭域——不需要引入更大的数域来求多项式的零点。定理 4.13 给出的 唯一分解 是后续特征多项式理论的基石。

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五、实系数多项式的因式分解

定理 4.14：实系数多项式的非实数零点成对出现

设 $p\in \mathcal{P}(\mathbb{C})$ 是实系数多项式，$\lambda \in \mathbb{C}$ 是 $p$ 的零点。则 $\bar{\lambda }$ 也是 $p$ 的零点。

证明思路

• 取共轭：$p(\lambda )=0$ → 对等式两边取共轭
• 利用共轭性质：${\bar{a}}_j=a_j$（实系数）→ $\sum a_j{\bar{\lambda }}^j=0$ → $p(\bar{\lambda })=0$
• $■$

定理 4.15：二次多项式的分解

设 $b,c\in \mathbb{R}$。则 $x^2+bx+c=(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)⟺b^2\ge 4c$

证明思路

• 配方法：$x^2+bx+c=(x+b/2{)}^2+c-b^2/4$
• $b^2<4c$：右侧恒正 → 无实零点 → 不可分解
• $b^2\ge 4c$：令 $d^2=b^2/4-c$ → $(x+b/2+d)(x+b/2-d)$
• $■$

定理 4.16：多项式在 $\mathbb{R}$ 上的分解

设 $p\in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ 是非常数多项式。则 $p$ 可以唯一地（不计因式顺序）表示为 $p(x)=c(x-{\lambda }_1)\cdots (x-{\lambda }_m)(x^2+b_{1}x+c_1)\cdots (x^2+b_{M}x+c_M)$ 其中 $c,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m,b_1,c_1,\dots ,b_M,c_M\in \mathbb{R}$，且每个二次因式满足 $b_k^2<4c_k$（即无实零点）。

证明思路

• 在 $\mathbb{C}$ 上分解：由定理 4.13 得到 $\mathbb{C}$ 上的分解
• 共轭对合并：$(x-\lambda )(x-\bar{\lambda })=x^2-2(\text{Re}\lambda )x+|\lambda {|}^2$
• 证明 $q$ 的系数为实数：$q(x)=p(x)/((x-\lambda )(x-\bar{\lambda }))$，对所有 $x\in \mathbb{R}$ 有 $q(x)\in \mathbb{R}$ → $\text{Im}{a}_j=0$（由定理 4.8）
• 归纳法完成存在性
• 唯一性：若 $\mathbb{R}$ 上有两个不同分解 → $\mathbb{C}$ 上也有两个 → 与定理 4.13 矛盾
• $■$

实数域不代数封闭——实系数多项式可能包含 不可约二次因式（判别式 $b^2-4c<0$），这正是实数域与复数域的本质区别。

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六、知识结构总览

graph TD
    A["复数与共轭<br/>Def 4.1-4.2 Prop 4.4"] --> B["多项式的零点<br/>Def 4.5 Thm 4.6 4.8"]
    B --> C["带余除法<br/>Thm 4.9"]
    C --> D["代数基本定理 v1<br/>Thm 4.12"]
    D --> E["C上因式分解<br/>Thm 4.13"]
    A --> F["非实零点成共轭对<br/>Thm 4.14"]
    F --> G["二次多项式分解<br/>Thm 4.15"]
    G --> H["R上因式分解<br/>Thm 4.16"]
    E --> H

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七、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 代数基本定理是多项式理论的基石——复数域是代数封闭域，每个非常数复系数多项式都可完全分解为一次因式的乘积
2. 因式分解的形式取决于系数域——$\mathbb{C}$ 只需一次因式，$\mathbb{R}$ 需一次加不可约二次因式
3. 共轭是连接 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 的桥梁——实系数多项式的非实零点成对出现
4. 带余除法的线性代数证法——巧妙利用 ${\mathcal{P}}^n(F)$ 的基，体现了线性代数的统一力量

证明技巧清单

1. $z^k-{\lambda }^k$ 的因式分解公式（定理 4.6 的关键步骤）：$z^k-{\lambda }^k=(z-\lambda ){\sum }_{j=1}^k{\lambda }^{j-1}{z}^{k-j}$
2. 构造特殊基证明带余除法（定理 4.9——利用不同次数的多项式线性无关）
3. 反证法 + 连续函数取最小值（定理 4.12——FTA 的经典证法）
4. 归纳法 + 因式定理的组合（定理 4.13——从存在一个零点到完全分解）
5. 共轭对合并为二次因式（定理 4.16——从 $\mathbb{C}$ 上的分解推导 $\mathbb{R}$ 上的分解）

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八、补充理解与易混淆点

八.1 代数基本定理为什么需要分析学？

FTA 的所有证明都需要分析学（连续性/拓扑/完备性），纯代数无法证明。反例：有理数域 $\mathbb{Q}$ 不满足 FTA（$x^2-2=0$ 在 $\mathbb{Q}$ 中无解）；实数域 $\mathbb{R}$ 也不满足（$x^2+1=0$ 在 $\mathbb{R}$ 中无解）。

剑桥大学 Timothy Gowers 的解释：代数只能告诉我们”引入根不会导致矛盾”，但无法证明根的存在；证明存在性需要分析学（如连续函数的介值定理）。Irish Mathematical Society 的 Anthony O’Farrell 指出：$\mathbb{C}$ 的完备性是 FTA 的本质要素。

来源：Timothy Gowers (Cambridge) “How to think of a proof of the FTA”、Anthony O’Farrell (Irish Math. Soc. Bulletin, 2025) “The Fundamental Theorem of Algebra”、科普中国”代数基本定理的证明方法研究”

八.2 带余除法的线性代数证法之美

传统证法：多项式长除法（归纳法，逐步消去最高次项）。Axler 的证法：构造 ${\mathcal{P}}^n(F)$ 的特殊基 $\{1,z,\dots ,z^{m-1},s,zs,\dots ,z^{n-m}s\}$。

为什么更深刻：不需要任何计算，只需”不同次数的多项式线性无关”这一基本事实。UCLA 数学圈讲义指出：这个证法虽然是”非构造性”的（不给出 $q$ 和 $r$ 的具体算法），但更清晰地揭示了除法的本质——不过是基下的坐标分解。

来源：UCLA Math Circle “The Fundamental Theorem of Algebra” 讲义、MIT 6.S897 “Algebra and Computation” Lecture 6

八.3 代数封闭域的层次结构

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ 的代数封闭性递进：$\mathbb{Q}$ 不封闭（$x^2-2$），$\mathbb{R}$ 不封闭（$x^2+1$），$\mathbb{C}$ 封闭（FTA）。$\mathbb{C}$ 是”包含 $\mathbb{R}$ 的最小代数封闭域”。代数数（algebraic numbers）= $\mathbb{Q}$ 上多项式的所有根的集合，构成一个代数封闭域。超越数（transcendental numbers）如 $\pi$ 和 $e$ 不满足任何整系数多项式。

来源：Newcastle University “Complex Roots of Polynomials”、Vaia “Undergraduate Algebra” Ch.9、博客园”复数为什么这么神奇”

常见误区

误区1："代数基本定理给出了求根方法"

❌ FTA 告诉我们如何求多项式的零点 ✅ FTA 仅是存在性定理，不提供构造性方法。二次多项式有求根公式，三次四次有复杂公式，但五次及以上不存在一般求根公式（Abel-Ruffini 定理）。实际应用中依赖数值方法。

误区2："实系数多项式一定有实数零点"

❌ 每个实多项式都能在 $\mathbb{R}$ 上分解为一次因式 ✅ $x^2+1$ 没有实零点。实系数多项式可能只有不可约二次因式（判别式 $b^2-4c<0$）。这正是实数域不代数封闭的体现。

误区3："多项式的次数等于零点的个数"

❌ 次数为 $m$ 的多项式恰好有 $m$ 个零点 ✅ 不同零点的个数 $\le$ 次数。只有计重数时，零点总数才等于次数。例如 $(z-1{)}^2(z-2)$ 有 2 个不同零点（1 和 2），但次数为 3。

误区4："共轭只是一种符号运算"

❌ $\bar{z}$ 只是形式上的记号，没有实际意义 ✅ 共轭有深刻的几何意义——关于实轴的反射。它保持所有域运算（$\bar{w}+\bar{z}=\overline{w+z}$，$\bar{w}\cdot \bar{z}=\overline{wz}$），且 $z\bar{z}=|z{|}^2$ 将代数运算与几何长度联系起来。

误区5："带余除法就是多项式长除法"

❌ 带余除法只有长除法这一种理解和证法 ✅ Axler 的证法利用==${\mathcal{P}}^n(F)$ 的基==，将除法问题转化为坐标分解问题。这种方法更深刻地揭示了除法的本质，体现了线性代数的统一力量，虽然不直接给出计算步骤。

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九、习题精选

推荐习题

编号	标题	核心考点	难度
1	共轭与绝对值的基本性质验证	4.4 全部性质	低
2	反向三角不等式	三角不等式应用	低
3	复线性泛函的实部刻画	共轭+线性泛函	中
4	多点插值多项式的存在唯一性	Lagrange插值	中
5	不同零点与导数的关系	零点重数	高
6	商空间 P(F)/U 的维数	商空间+多项式	高
7	互素多项式的 Bezout 恒等式	线性映射+多项式	高

习题1：共轭与绝对值的基本性质验证

习题1

设 $w,z\in \mathbb{C}$。验证下列等式和不等式：(a) $z+\bar{z}=2\text{Re}z$ (b) $z-\bar{z}=2(\text{Im}z)i$ (c) $z\bar{z}=|z{|}^2$ (d) $\bar{w}+\bar{z}=\overline{w+z}$ 且 $\bar{w}\bar{z}=\overline{wz}$ (e) $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$ (f) $|\text{Re}z|\le |z|$ 且 $|\text{Im}z|\le |z|$ (g) $|\bar{z}|=|z|$ (h) $|wz|=|w||z|$

查看解答

(a) $z+\bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2\text{Re}z$ ✓

(b) $z-\bar{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi=2(\text{Im}z)i$ ✓

(c) $z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z{|}^2$ ✓

(d) 直接展开即可验证 ✓

(e) $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z$ ✓

(f) $|\text{Re}z|=|a|\le \sqrt{a^2+b^2}=|z|$，同理 $|\text{Im}z|\le |z|$ ✓

(g) $|\bar{z}|=\sqrt{a^2+(-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}=|z|$ ✓

(h) $|wz{|}^2=wz\cdot \bar{w}\bar{z}=w\bar{w}\cdot z\bar{z}=|w{|}^2|z{|}^2\to |wz|=|w||z|$ ✓

习题2：反向三角不等式

习题2

证明：如果 $w,z\in \mathbb{C}$，那么 $||w|-|z||\le |w-z|$。

查看解答

由三角不等式：$|w|=|(w-z)+z|\le |w-z|+|z|\to |w|-|z|\le |w-z|$

同理：$|z|=|(z-w)+w|\le |z-w|+|w|=|w-z|+|w|\to |z|-|w|\le |w-z|$

因此 $||w|-|z||\le |w-z|$。□

习题3：复线性泛函的实部刻画

习题3

设 $V$ 是复向量空间且 $\phi \in V^{\prime }$。定义 $\sigma :V\to \mathbb{R}$ 为 $\sigma (v)=\text{Re}\phi (v)$ 对任一 $v\in V$ 成立。证明 $\phi (v)=\sigma (v)-i\sigma (iv)$ 对所有 $v\in V$ 成立。

查看解答

对任意 $v\in V$，设 $\phi (v)=a+bi$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$。

则 $\sigma (v)=\text{Re}\phi (v)=a$。

又 $\sigma (iv)=\text{Re}\phi (iv)=\text{Re}(i(a+bi))=\text{Re}(ai-b)=-b$。

因此 $\sigma (v)-i\sigma (iv)=a-i(-b)=a+bi=\phi (v)$。□

习题4：多点插值多项式的存在唯一性

习题7

设 $m$ 是一非负整数，$z_1,\dots ,z_{m+1}$ 是 $F$ 中的不同元素，$w_1,\dots ,w_{m+1}\in F$。证明：存在唯一的多项式 $p\in {\mathcal{P}}_m(F)$ 使得 $p(z_k)=w_k$ 对每个 $k=1,\dots ,m+1$ 成立。

查看解答

存在性（线性代数证法）：定义线性映射 $T:{\mathcal{P}}_m(F)\to F^{m+1}$ 为 $T(p)=(p(z_1),\dots ,p(z_{m+1}))$。$\dim {\mathcal{P}}_m(F)=m+1=\dim F^{m+1}$。只需证 $T$ 是单射（或满射）。

若 $T(p)=0$，则 $p$ 在 $m+1$ 个不同点取值为 $0$。由定理 4.8，$\mathrm{deg}p\le m$ 的多项式若有超过 $m$ 个零点，则 $p=0$。故 $T$ 是单射，也是满射。存在性得证。

唯一性：若 $p,q$ 都满足条件，则 $p-q$ 在 $m+1$ 个点为零且 $\mathrm{deg}(p-q)\le m$，故 $p-q=0$。□

习题5：不同零点与导数的关系

习题8

设 $p\in \mathcal{P}(\mathbb{C})$ 的次数为 $m$。证明：$p$ 有 $m$ 个不同零点，当且仅当 $p$ 和其导数 $p^{\prime }$ 没有共同的零点。

查看解答

($\Rightarrow$) 若 $p$ 有 $m$ 个不同零点 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$，则 $p(z)=c(z-{\lambda }_1)\cdots (z-{\lambda }_m)$。对 $p$ 求导： $p^{\prime }(z)=c{\sum }_{j=1}^m{\prod }_{k\ne j}(z-{\lambda }_k)$ 对每个 $j$，$p^{\prime }({\lambda }_j)=c{\prod }_{k\ne j}({\lambda }_j-{\lambda }_k)\ne 0$（因为各零点不同）。故 $p$ 和 $p^{\prime }$ 无共同零点。

($\Leftarrow$) 反证：若 $p$ 的不同零点个数 $<m$，则存在某个 $\lambda$ 使得 $(z-\lambda {)}^2$ 整除 $p$。于是 $p(\lambda )=0$ 且 $p^{\prime }(\lambda )=0$，矛盾。□

习题6：商空间 P(F)/U 的维数

习题13

设 $p\in \mathcal{P}(F)$（$p\ne 0$），令 $U=\{pq:q\in \mathcal{P}(F)\}$。(a) 证明 $\dim \mathcal{P}(F)/U=\mathrm{deg}p$。(b) 求 $\mathcal{P}(F)/U$ 的一个基。

查看解答

(a) 由带余除法（定理 4.9），每个 $f\in \mathcal{P}(F)$ 可唯一写成 $f=pq+r$，$\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}p$。因此每个陪集 $f+U=r+U$，其中 $r\in {\mathcal{P}}_{\mathrm{deg}p-1}(F)$。映射 $\phi :\mathcal{P}(F)/U\to {\mathcal{P}}_{\mathrm{deg}p-1}(F)$，$\phi (f+U)=r$ 是同构。故 $\dim \mathcal{P}(F)/U=\dim {\mathcal{P}}_{\mathrm{deg}p-1}(F)=\mathrm{deg}p$。

(b) $\mathcal{P}(F)/U$ 的一个基是 $\{1+U,z+U,z^2+U,\dots ,z^{\mathrm{deg}p-1}+U\}$。□

习题7：互素多项式的 Bezout 恒等式

习题14

设 $p,q\in \mathcal{P}(\mathbb{C})$ 是不为常值的多项式，且没有共同的零点。令 $m=\mathrm{deg}p$，$n=\mathrm{deg}q$。使用线性代数证明：存在 $r\in {\mathcal{P}}_{n-1}(\mathbb{C})$ 和 $s\in {\mathcal{P}}_{m-1}(\mathbb{C})$ 使得 $rp+sq=1$。

查看解答

(a) 定义 $T:{\mathcal{P}}_{n-1}(\mathbb{C})\times {\mathcal{P}}_{m-1}(\mathbb{C})\to {\mathcal{P}}_{m+n-1}(\mathbb{C})$ 为 $T(r,s)=rp+sq$。$\dim (\text{定义域})=n+m=\dim (\text{值域})$。若 $T(r,s)=0$，则 $rp=-sq$。若 $r\ne 0$，则 $p$ 的每个零点都是 $r$ 的零点（因为 $q$ 没有与 $p$ 共同的零点），但 $\mathrm{deg}r<n=\mathrm{deg}q$，矛盾。故 $r=0$，同理 $s=0$。$T$ 是单射。

(b) 定义域和值域维数相同，单射即满射。故 $T$ 是满射。

(c) 常数多项式 $1\in {\mathcal{P}}_{m+n-1}(\mathbb{C})$，由满射性，存在 $(r,s)$ 使得 $T(r,s)=1$，即 $rp+sq=1$。□

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十、视频学习指南

推荐视频资源

视频系列	讲者	主题	链接
Essence of Linear Algebra	3Blue1Brown	多项式与线性变换的几何直觉	YouTube
Complex Analysis	Dr. Peyam	代数基本定理的证明	YouTube
Abstract Algebra	Michael Penn	多项式环与因式分解	YouTube
Linear Algebra Done Right	Sheldon Axler	第4章配套讲解	YouTube

视频精要

• 3Blue1Brown 的视频帮助建立多项式与线性变换之间的几何直觉，适合初学者建立直观理解
• Dr. Peyam 对代数基本定理的证明讲解深入浅出，补充了本书未详细展开的分析学证明
• Michael Penn 的抽象代数系列从更高视角审视多项式环的结构，适合学有余力时拓展
• Axler 本人的视频讲解最贴近教材思路，推荐作为第一优先级观看

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十一、教材原文

多项式