7.1 假设检验的基本思想与概念

相关笔记：6.1 点估计的概念与无偏性 | 6.6 区间估计 | 5.4 三大抽样分布 | 4.4 中心极限定理

本节概览

本节系统介绍假设检验的基本思想与核心概念。假设检验是统计推断的两大核心问题之一（另一类是参数估计），其核心逻辑是：对总体参数提出某种假设，然后根据样本信息判断该假设是否合理。判断的基本准则是小概率事件在一次试验中几乎不发生——如果原假设成立时样本观测值出现的概率很小，我们就倾向于拒绝原假设。这一节将依次建立原假设与备择假设、拒绝域与检验统计量、两类错误、显著性水平、p 值等核心概念，并以正态总体均值检验为例展示完整检验流程。

逻辑链条：问题提出 → 原假设与备择假设 → 拒绝域与检验统计量 → 两类错误与功效函数 → 显著性水平与显著性检验 → p值 → 正态总体均值检验

前置依赖：§6.6（置信区间与假设检验的对偶性）、§5.4（正态分布、${\chi }^2$ 分布、$t$ 分布及分位数）、§4.4（大样本近似）、§6.1（统计量与抽样分布）

核心主线：假设检验的本质是一种”反证法”式的统计推断——先假定原假设成立，再看样本数据是否提供了足够的”矛盾证据”来推翻它。关键概念包括：原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$ 的设定、拒绝域的构造、两类错误的权衡、显著性水平 $\alpha$ 的选取、以及 p 值的统一度量。

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一、假设检验问题的提出

统计推断的两大问题

在前面的第六章中，我们系统地学习了参数估计问题——用样本信息去估计总体分布中的未知参数（点估计和区间估计）。统计推断的另一大类核心问题是假设检验（hypothesis testing）：根据样本信息，对关于总体的某个假设做出”接受”或”拒绝”的判断。

参数估计 vs 假设检验：

• 参数估计：参数 $\theta$ 是什么？（回答”是多少”的问题）
• 假设检验：参数 $\theta$ 是否等于某个特定值？（回答”是不是”的问题）

法庭审判类比

假设检验的思想可以用法庭审判来类比，这是理解其核心逻辑的最佳方式：

法庭审判	假设检验
被告	原假设 $H_0$（无罪推定）
原告	备择假设 $H_1$
证据	样本数据
判决定罪	拒绝 $H_0$
判决无罪	不拒绝 $H_0$
冤枉好人	第一类错误（弃真）
放走坏人	第二类错误（取伪）
证明标准	显著性水平 $\alpha$

核心类比要点：

1. 无罪推定：被告在被证明有罪之前被假定为无罪——同样，$H_0$ 在被足够证据推翻之前被假定为成立。
2. 举证责任在原告：原告需要提供充分的证据来证明被告有罪——同样，拒绝 $H_0$ 需要样本提供足够的”矛盾证据”。
3. “证据不足”不等于”无罪”：法庭判决”无罪”只是说证据不足以定罪，不等于证明被告确实无罪——同样，“不拒绝 $H_0$“只是说样本没有提供足够的证据来拒绝它，不等于证明了 $H_0$ 为真。

假设检验的典型问题

假设检验问题的一般提法是：对总体分布的某个未知方面提出一个假设，然后根据样本信息判断是否应该拒绝这个假设。

典型例子：

• 某工厂声称其产品的平均寿命为 1000 小时，我们抽取 25 件产品进行检验，判断该说法是否可信。
• 某种新药是否比旧药更有效？
• 某批产品的次品率是否超过 5%？

这些问题共同的特点是：我们需要根据有限的样本信息，对关于总体的某个命题做出判断。

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二、原假设与备择假设

原假设与备择假设的定义

定义 7.1.1 — 原假设与备择假设

设总体 $X$ 的分布函数 $F(x;\theta )$ 含有未知参数 $\theta \in \Theta$，$\Theta$ 为参数空间。将参数空间 $\Theta$ 划分为两个互不相交的子集 ${\Theta }_0$ 和 ${\Theta }_1$，使得 $\Theta ={\Theta }_0\cup {\Theta }_1$ 且 ${\Theta }_0\cap {\Theta }_1=\varnothing$。

• 原假设（null hypothesis）：$H_0:\theta \in {\Theta }_0$
• 备择假设（alternative hypothesis）：$H_1:\theta \in {\Theta }_1$

假设检验问题就是根据样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$，在 $H_0$ 和 $H_1$ 之间做出选择：是接受 $H_0$，还是拒绝 $H_0$（从而接受 $H_1$）。

要点解读：

• $H_0$ 和 $H_1$ 是互斥且穷尽的：$\theta$ 要么属于 ${\Theta }_0$，要么属于 ${\Theta }_1$，没有第三种可能。
• 原假设 $H_0$ 通常是我们想要检验的命题，或者说是我们希望推翻的命题。
• 备择假设 $H_1$ 是我们在 $H_0$ 被拒绝时转而接受的命题。

参数空间的划分

参数空间 $\Theta$ 被划分为两个部分：

$$\Theta ={\Theta }_0\cup {\Theta }_1,{\Theta }_0\cap {\Theta }_1=\varnothing$$

• ${\Theta }_0$：原假设对应的参数取值范围
• ${\Theta }_1$：备择假设对应的参数取值范围

三种检验类型

根据 ${\Theta }_0$ 和 ${\Theta }_1$ 的不同划分方式，假设检验可以分为三种基本类型：

检验类型	原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域位置
双边检验	$H_0:\theta ={\theta }_0$	$H_1:\theta \ne {\theta }_0$	双侧
右边检验	$H_0:\theta ⩽{\theta }_0$	$H_1:\theta >{\theta }_0$	右侧
左边检验	$H_0:\theta ⩾{\theta }_0$	$H_1:\theta <{\theta }_0$	左侧

说明：

• 双边检验：关心参数是否偏离某个特定值，不关心偏离的方向。例如：检验某批零件的平均直径是否等于 10mm。
• 右边检验：关心参数是否大于某个特定值。例如：检验新工艺是否提高了产品寿命。
• 左边检验：关心参数是否小于某个特定值。例如：检验某材料的杂质含量是否低于安全标准。

原假设的设立原则

原假设 $H_0$ 的设立不是随机的，需要遵循以下原则：

1. 保护原假设原则：$H_0$ 代表”维持现状”或”没有效应”的保守立场。拒绝 $H_0$ 需要充分的证据，类似于法庭上的”无罪推定”。
2. 等号放在 $H_0$ 中：在单边检验中，等号始终放在原假设中（即 $H_0:\theta ⩽{\theta }_0$ 或 $H_0:\theta ⩾{\theta }_0$），这样可以在边界点 $\theta ={\theta }_0$ 处计算检验统计量的分布。
3. 后果严重的一方放 $H_0$：如果犯某一类错误的后果特别严重，应将这类错误对应的状态设为 $H_0$，因为 $H_0$ 被拒绝需要更强的证据。

例 7.1.1 — 判断检验类型

判断以下假设检验的类型：

(1) 某食品厂声称其袋装食品的平均重量为 500g。质检部门想检验该说法是否属实。

• $H_0:\mu =500$，$H_1:\mu \ne 500$ → 双边检验

(2) 某种新型电池的标称使用寿命为 100 小时。消费者协会想检验该电池的实际使用寿命是否低于标称值。

• $H_0:\mu ⩾100$，$H_1:\mu <100$ → 左边检验

(3) 某工厂采用新工艺后，声称产品强度有所提高。检验新工艺是否确实提高了产品强度。

• $H_0:\mu ⩽{\mu }_0$，$H_1:\mu >{\mu }_0$ → 右边检验

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三、拒绝域与检验统计量

拒绝域的定义

定义 7.1.2 — 拒绝域

设样本空间为 $\mathcal{X}$，将样本空间划分为两个互不相交的区域：

• 拒绝域（rejection region / 临界域）$R$：当样本观测值 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in R$ 时，拒绝 $H_0$。
• 接受域 $R^c=\mathcal{X}\setminus R$：当样本观测值 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in R^c$ 时，不拒绝 $H_0$。

检验的决策规则可以简洁地表述为：

$$\text{若 }(x_1,\dots ,x_n)\in R,\text{ 则拒绝 }{H}_0;\text{若 }(x_1,\dots ,x_n)\in R^c,\text{ 则不拒绝 }{H}_0.$$

直观理解：拒绝域 $R$ 就是”如果样本落在这个区域，就说明数据与原假设严重矛盾”的区域。拒绝域的构造是假设检验的核心——它决定了检验的优劣。

检验统计量的定义

定义 7.1.3 — 检验统计量

在构造拒绝域时，通常不是直接在样本空间中划分区域，而是选择一个适当的统计量 $T=T(X_1,X_2,\dots ,X_n)$，利用 $T$ 的取值来构造拒绝域。这个统计量称为检验统计量（test statistic）。

拒绝域可以表示为检验统计量取值的某个集合：

$$R=\{(x_1,\dots ,x_n):T(x_1,\dots ,x_n)\in W\}$$

其中 $W$ 是检验统计量取值空间的一个子集。

检验统计量的选择原则：

1. 检验统计量应能敏感地反映参数偏离 $H_0$ 的程度。
2. 在 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量的分布应当是已知或可以确定的。
3. 检验统计量应充分利用样本中的相关信息。

拒绝域的构造思想

拒绝域的构造遵循以下逻辑：

1. 确定检验统计量 $T$：选择一个在 $H_0$ 下分布已知的统计量。
2. 确定拒绝方向：根据备择假设 $H_1$ 的方向，确定拒绝域应在检验统计量分布的哪一端（或两端）。
3. 确定临界值：根据显著性水平 $\alpha$，确定拒绝域的边界（临界值）。

三种检验类型的拒绝域方向：

检验类型	拒绝域方向	直觉
双边检验 $H_1:\theta \ne {\theta }_0$	两侧极端值	$\theta$ 偏大或偏小都不支持 $H_0$
右边检验 $H_1:\theta >{\theta }_0$	右侧极端值	$\theta$ 偏大才不支持 $H_0$
左边检验 $H_1:\theta <{\theta }_0$	左侧极端值	$\theta$ 偏小才不支持 $H_0$

临界值

临界值（critical value）是拒绝域与接受域的分界点，通常记为 $c$。临界值的确定依赖于：

• 检验统计量在 $H_0$ 下的分布
• 显著性水平 $\alpha$
• 检验的类型（双边、左边、右边）

例 7.1.2 — 构造拒绝域

设 $X_1,X_2,\dots ,X_{25}$ 是来自正态总体 $N(\mu ,4)$ 的样本，要检验

$$H_0:\mu =10\text{vs}{H}_1:\mu \ne 10.$$

取检验统计量为样本均值 $\bar{X}$。在 $H_0$ 成立时，

$$\bar{X}\sim N\left(10,\frac{4}{25}\right)=N(10,0.16).$$

对给定的显著性水平 $\alpha =0.05$，查标准正态分布表得 $u_{0.975}=1.96$，则拒绝域为

$$R=\left\{(x_1,\dots ,x_{25}):\left|\frac{\bar{x}-10}{2/5}\right|>1.96\right\}=\left\{(x_1,\dots ,x_{25}):|\bar{x}-10|>0.784\right\}.$$

即当样本均值 $\bar{x}$ 与 10 的偏差超过 0.784 时，拒绝 $H_0$。

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四、两类错误与功效函数

第一类错误（弃真错误）

定义 7.1.4 — 第一类错误

当原假设 $H_0$ 实际上成立时，由于样本的随机性，检验结果却拒绝了 $H_0$，这种错误称为第一类错误（Type I error），也称弃真错误。

第一类错误的概率为

$$\alpha (\theta )=P_{\theta }(X\in R),\theta \in {\Theta }_0.$$

直观理解：第一类错误就是”冤枉好人”——$H_0$ 本来是真的，却被错误地拒绝了。

第二类错误（取伪错误）

定义 7.1.5 — 第二类错误

当原假设 $H_0$ 实际上不成立（即 $H_1$ 成立）时，检验结果却没有拒绝 $H_0$，这种错误称为第二类错误（Type II error），也称取伪错误。

第二类错误的概率为

$$\beta (\theta )=P_{\theta }(X\in R^c),\theta \in {\Theta }_1.$$

直观理解：第二类错误就是”放走坏人”——$H_0$ 本来是假的，却没有被拒绝。

两类错误的决策矩阵

	$H_0$ 为真	$H_1$ 为真
不拒绝 $H_0$	正确决策（概率 $1-\alpha$）	第二类错误（概率 $\beta$）
拒绝 $H_0$	第一类错误（概率 $\alpha$）	正确决策（概率 $1-\beta$）

功效函数

定义 7.1.6 — 功效函数

设 $R$ 为某个检验的拒绝域，则函数

$$g(\theta )=P_{\theta }(X\in R),\theta \in \Theta$$

称为该检验的功效函数（power function）。功效函数在 $\theta \in {\Theta }_0$ 上的值就是第一类错误的概率，在 $\theta \in {\Theta }_1$ 上的值就是正确拒绝 $H_0$ 的概率（即检验的功效）。

功效函数的直观含义：

• $g(\theta )$ 表示当真实参数为 $\theta$ 时，检验拒绝 $H_0$ 的概率。
• 当 $\theta \in {\Theta }_0$ 时，$g(\theta )$ 越小越好（第一类错误概率越小越好）。
• 当 $\theta \in {\Theta }_1$ 时，$g(\theta )$ 越大越好（正确拒绝 $H_0$ 的概率越大越好）。

两类错误的概率关系

由功效函数的定义，两类错误的概率可以统一表示为：

$$\alpha (\theta )=g(\theta ),\theta \in {\Theta }_0\text{（第一类错误概率）}\beta (\theta )=1-g(\theta ),\theta \in {\Theta }_1\text{（第二类错误概率）}$$

两类错误的矛盾关系：在样本量 $n$ 固定的条件下，减少第一类错误的概率必然导致第二类错误的概率增大，反之亦然。这一矛盾关系是假设检验中无法回避的根本问题，也是我们需要引入显著性水平和 Neyman-Pearson 原则的原因。

例 7.1.3 — 计算两类错误概率

设 $X_1,X_2,\dots ,X_{16}$ 是来自正态总体 $N(\mu ,1)$ 的样本，检验问题为

$$H_0:\mu =0\text{vs}{H}_1:\mu =1.$$

采用检验统计量 $\bar{X}$，拒绝域为 $R=\{\bar{x}>c\}$，其中 $c$ 为临界值。

计算第一类错误概率（当 $H_0$ 成立，即 $\mu =0$ 时）：

$$\alpha =P_0(\bar{X}>c)=1-\Phi \left(\frac{c-0}{1/4}\right)=1-\Phi (4c).$$

计算第二类错误概率（当 $H_1$ 成立，即 $\mu =1$ 时）：

$$\beta =P_1(\bar{X}⩽c)=\Phi \left(\frac{c-1}{1/4}\right)=\Phi (4c-4).$$

数值例子：若取 $c=0.824$，则

$$\alpha =1-\Phi (4\times 0.824)=1-\Phi (3.296)\approx 1-0.9995=0.0005,$$ $$\beta =\Phi (4\times 0.824-4)=\Phi (-0.704)\approx \mathrm{0.241.}$$

可以看到，当 $\alpha$ 很小时，$\beta$ 相对较大。若要同时减小两类错误，需要增大样本量。

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五、显著性水平与显著性检验

显著性水平的定义

定义 7.1.7 — 显著性水平

给定一个小正数 $\alpha \in (0,1)$（通常取 $\alpha =0.05$ 或 $\alpha =0.01$），如果某个检验满足

$$\underset{\theta \in {\Theta }_0}{\sup }{P}_{\theta }(X\in R)⩽\alpha ,$$

即第一类错误的概率不超过 $\alpha$，则称 $\alpha$ 为该检验的显著性水平（significance level），称该检验为水平为 $\alpha$ 的检验。

要点解读：

• 显著性水平 $\alpha$ 是我们对第一类错误概率所设定的上限。
• 常用的显著性水平：$\alpha =0.10,0.05,0.01$。
• $\alpha$ 越小，对拒绝 $H_0$ 的要求越严格（需要更强的证据）。

Neyman-Pearson 原则

Neyman-Pearson 原则

在控制第一类错误概率不超过显著性水平 $\alpha$ 的前提下，选择使第二类错误概率尽可能小（即使功效函数在 ${\Theta }_1$ 上尽可能大）的检验。这一原则由 Neyman 和 Pearson 于 1928 年提出，是现代假设检验理论的基石。

Neyman-Pearson 原则的核心思想：

1. 优先控制第一类错误：因为 $H_0$ 代表”维持现状”，错误地拒绝它通常后果更严重（类比：冤枉好人的后果比放走坏人更严重，因为前者破坏了制度的公信力）。
2. 在约束下最优化：在第一类错误概率 $⩽\alpha$ 的约束下，寻找使功效最大的检验。

水平 $\alpha$ 的检验

水平 $\alpha$ 的检验

一个检验称为水平为 $\alpha$ 的检验，如果

$$g(\theta )=P_{\theta }(X\in R)⩽\alpha ,\forall \theta \in {\Theta }_0.$$

如果存在 ${\theta }_0\in {\Theta }_0$ 使得 $g({\theta }_0)=\alpha$，则称该检验为精确水平 $\alpha$ 的检验。

例 7.1.4 — 给定显著性水平构造检验

设 $X_1,X_2,\dots ,X_9$ 是来自正态总体 $N(\mu ,4)$ 的样本，在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下检验

$$H_0:\mu =5\text{vs}{H}_1:\mu >5.$$

第一步：选择检验统计量。在 $H_0$ 下，

$$u=\frac{\bar{X}-5}{2/\sqrt{9}}=\frac{\bar{X}-5}{2/3}\sim N(0,1).$$

第二步：确定拒绝域。这是右边检验，拒绝域应在右侧：

$$R=\left\{(x_1,\dots ,x_9):\frac{\bar{x}-5}{2/3}>u_{1-\alpha }\right\}.$$

查标准正态分布表，$u_{0.95}=1.645$，故

$$R=\left\{(x_1,\dots ,x_9):\frac{\bar{x}-5}{2/3}>1.645\right\}=\left\{(x_1,\dots ,x_9):\bar{x}>6.097\right\}.$$

第三步：做出判断。若实际观测到 $\bar{x}=6.5$，则

$$u=\frac{6.5-5}{2/3}=2.25>1.645,$$

样本落入拒绝域，故在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下拒绝 $H_0$，认为 $\mu >5$。

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六、p值

p值的定义

定义 7.1.8 — p值

设 $T(X_1,\dots ,X_n)$ 为检验统计量，$t_{\text{obs}}$ 为其观测值。p 值（p-value）定义为在 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量取到至少与观测值一样极端的概率：

• 双边检验：$p=P_{H_0}(|T|⩾|t_{\text{obs}}|)$
• 右边检验：$p=P_{H_0}(T⩾t_{\text{obs}})$
• 左边检验：$p=P_{H_0}(T⩽t_{\text{obs}})$

p 值也称为观测到的显著性水平（observed significance level）。

p值的直观理解

p 值回答的问题是：如果原假设 $H_0$ 是真的，那么观察到当前样本（或更极端样本）的概率有多大？

• p 值很小：说明在 $H_0$ 成立的前提下，当前样本（或更极端样本）出现的概率很低。根据”小概率事件在一次试验中几乎不发生”的原则，我们有理由怀疑 $H_0$ 的正确性，倾向于拒绝 $H_0$。
• p 值很大：说明在 $H_0$ 成立的前提下，当前样本出现的概率并不低，样本与 $H_0$ 并不矛盾，没有充分理由拒绝 $H_0$。

类比：p 值就像法庭上”证据的证明力”——p 值越小，证据越有力，越能证明被告有罪。

p值决策准则

$$\text{p 值}⩽\alpha ⟹\text{拒绝 }{H}_0\text{p 值}>\alpha ⟹\text{不拒绝 }{H}_0$$

p值与显著性水平的关系

p 值与显著性水平 $\alpha$ 的关系可以总结如下：

p 值范围	结论	证据力度
$p⩽0.01$	高度显著，拒绝 $H_0$	极强证据
$0.01<p⩽0.05$	显著，拒绝 $H_0$	强证据
$0.05<p⩽0.10$	边缘显著	弱证据
$p>0.10$	不显著，不拒绝 $H_0$	无充分证据

p 值的优势：p 值比简单的”拒绝/不拒绝”二元决策提供了更丰富的信息。它告诉我们在哪个显著性水平下 $H_0$ 刚好被拒绝，使读者可以根据自己的判断标准做出决策。

例 7.1.5 — 计算 p 值

承例 7.1.4，已知 $\bar{x}=6.5$，检验统计量观测值

$$u_{\text{obs}}=\frac{6.5-5}{2/3}=\mathrm{2.25.}$$

这是右边检验，p 值为

$$p=P_{H_0}(U⩾2.25)=1-\Phi (2.25)=1-0.9878=\mathrm{0.0122.}$$

由于 $p=0.0122<0.05=\alpha$，拒绝 $H_0$。

进一步，由于 $p=0.0122<0.01$ 不成立（$0.0122>0.01$），所以在 $\alpha =0.01$ 的水平下不拒绝 $H_0$。这说明 p 值提供了比固定 $\alpha$ 更精细的信息。

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七、正态总体均值的检验（${\sigma }^2$已知）

$u$ 检验的定理

定理 7.1.1 — ${\sigma }^2$ 已知时 $\mu$ 的 $u$ 检验

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，其中 ${\sigma }^2={\sigma }_0^2$ 已知。检验问题为

$$H_0:\mu ={\mu }_0\text{vs}{H}_1:\mu \ne {\mu }_0.$$

在 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量

$$u=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{{\sigma }_0/\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$

对给定的显著性水平 $\alpha$，拒绝域为

$$R=\left\{|u|>u_{1-\alpha /2}\right\}.$$

$u$ 检验统计量

$$u=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{{\sigma }_0/\sqrt{n}}$$

检验统计量的构造逻辑：

• 分子 $\bar{X}-{\mu }_0$：度量样本均值与假设均值的偏差。
• 分母 ${\sigma }_0/\sqrt{n}$：标准误差，对偏差进行标准化。
• 在 $H_0$ 下，$u\sim N(0,1)$，分布完全已知。

三种检验的拒绝域汇总

检验类型	原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域
双边检验	$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$	$
右边检验	$\mu ⩽{\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	$u>u_{1-\alpha }$
左边检验	$\mu ⩾{\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	$u<u_{\alpha }=-u_{1-\alpha }$

证明

证明：以双边检验为例。

第一步：构造检验统计量。在 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 下，由 §5.4 的正态总体抽样定理，

$$\bar{X}\sim N\left({\mu }_0,\frac{{\sigma }_0^2}{n}\right),$$

标准化得

$$u=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{{\sigma }_0/\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$

第二步：确定拒绝域。对给定的 $\alpha$，取标准正态分布的双侧 $\alpha /2$ 分位数：

$$P\left(|u|>u_{1-\alpha /2}\right)=\alpha .$$

因此，当 $|u|>u_{1-\alpha /2}$ 时，样本与 $H_0$ 矛盾，拒绝 $H_0$。

第三步：验证等价性。$|u|>u_{1-\alpha /2}$ 等价于

$$\bar{X}-{\mu }_0>u_{1-\alpha /2}\cdot \frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}\text{或}\bar{X}-{\mu }_0<-u_{1-\alpha /2}\cdot \frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}},$$

即样本均值 $\bar{X}$ 与 ${\mu }_0$ 的偏差过大。

$\square$

例 7.1.6 — 正态总体均值检验的完整步骤

某工厂生产的灯泡寿命（单位：小时）服从正态分布 $N(\mu ,400)$。按规定，灯泡的平均寿命应不低于 1000 小时。现从一批产品中随机抽取 25 只，测得平均寿命 $\bar{x}=990$ 小时。在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，检验该批灯泡的平均寿命是否达标。

第一步：建立假设。

$$H_0:\mu ⩾1000\text{vs}{H}_1:\mu <1000.$$

（将”达标”放在 $H_0$ 中，因为拒绝”达标”需要充分证据。）

第二步：选择检验统计量。

$$u=\frac{\bar{X}-1000}{20/\sqrt{25}}=\frac{\bar{X}-1000}{4}.$$

在 $H_0$ 的边界点 $\mu =1000$ 下，$u\sim N(0,1)$。

第三步：确定拒绝域。 左边检验，$\alpha =0.05$，$u_{0.95}=1.645$，拒绝域为

$$R=\{u<-1.645\}.$$

第四步：计算检验统计量并做判断。

$$u_{\text{obs}}=\frac{990-1000}{4}=-\mathrm{2.5.}$$

由于 $-2.5<-1.645$，$u_{\text{obs}}$ 落入拒绝域，故拒绝 $H_0$。

第五步：计算 p 值。

$$p=P_{H_0}(U⩽-2.5)=\Phi (-2.5)=1-\Phi (2.5)=1-0.9938=\mathrm{0.0062.}$$

p 值 $=0.0062<0.05$，进一步确认拒绝 $H_0$。在 $\alpha =0.01$ 的水平下，$p=0.0062<0.01$，仍然拒绝 $H_0$。

结论：在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，有充分证据认为该批灯泡的平均寿命低于 1000 小时，未达到标准。

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八、知识结构总览

graph TB
    假设检验 --> 原假设与备择假设
    假设检验 --> 拒绝域与检验统计量
    假设检验 --> 两类错误
    假设检验 --> 显著性检验
    假设检验 --> p值
    假设检验 --> 正态均值检验

    原假设与备择假设 --> 双边检验
    原假设与备择假设 --> 单边检验
    原假设与备择假设 --> 参数空间划分

    拒绝域与检验统计量 --> 检验统计量
    拒绝域与检验统计量 --> 临界值
    拒绝域与检验统计量 --> 接受域

    两类错误 --> 第一类错误
    两类错误 --> 第二类错误
    两类错误 --> 功效函数

    显著性检验 --> 显著性水平
    显著性检验 --> 内曼皮尔逊原则

    p值 --> 观测显著性水平
    p值 --> 决策准则

    正态均值检验 --> u检验统计量
    正态均值检验 --> 三种拒绝域

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九、核心思想与解题技巧

假设检验的解题步骤（五步法）

假设检验五步法

第一步：建立假设。根据问题的实际背景，合理设立原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$。

第二步：选择检验统计量。根据总体分布和待检验参数，选择在 $H_0$ 下分布已知的检验统计量。

第三步：确定拒绝域。根据检验类型（双边/左边/右边）和显著性水平 $\alpha$，确定拒绝域的形式和临界值。

第四步：计算并判断。将样本数据代入检验统计量，计算观测值，判断是否落入拒绝域。

第五步：计算 p 值（可选但推荐）。计算 p 值，给出更精细的结论。

常见题型总结

题型	关键步骤	注意事项
判断检验类型	分析 $H_1$ 的方向	等号始终在 $H_0$ 中
构造拒绝域	确定检验统计量分布→查分位数	注意单边/双边的分位数取法
计算两类错误	分别在 $H_0$ 和 $H_1$ 下计算概率	注意 $\alpha$ 和 $\beta$ 的定义域
计算功效函数	$g(\theta )=P_{\theta }(X\in R)$	对所有 $\theta \in \Theta$ 计算
计算 p 值	在 $H_0$ 下计算尾部概率	区分双边/左边/右边
正态均值检验	$u$ 检验统计量→查标准正态表	确认 ${\sigma }^2$ 是否已知

置信区间与假设检验的对偶性

假设检验与置信区间之间存在深刻的对偶关系：

置信区间与假设检验的对偶性

设 $\theta$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为 $[{\hat{\theta }}^L,{\hat{\theta }}^U]$，则

$$\text{在水平 }\alpha \text{ 下拒绝 }{H}_0:\theta ={\theta }_0⟺{\theta }_0\notin [{\hat{\theta }}^L,{\hat{\theta }}^U].$$

即：${\theta }_0$ 不在置信区间内等价于拒绝 $H_0:\theta ={\theta }_0$。

直观理解：置信区间给出了参数 $\theta$ 的”合理范围”，如果 ${\theta }_0$ 不在这个范围内，说明 ${\theta }_0$ 与数据不太一致，应该拒绝 $H_0$。

对偶性示例：对正态总体 $N(\mu ,{\sigma }_0^2)$，$\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[\bar{X}-u_{1-\alpha /2}\cdot \frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}},\bar{X}+u_{1-\alpha /2}\cdot \frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}\right]$$

而 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 的拒绝域为

$$|\bar{X}-{\mu }_0|>u_{1-\alpha /2}\cdot \frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}$$

两者完全等价：${\mu }_0$ 不在置信区间中 $⟺$ $|\bar{X}-{\mu }_0|>u_{1-\alpha /2}\cdot {\sigma }_0/\sqrt{n}$。

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十、补充理解与易混淆点

误区一：“不拒绝$H_0$就是接受$H_0$”

误区描述

很多初学者认为”不拒绝 $H_0$“等价于”接受 $H_0$，证明 $H_0$ 为真”。这是对假设检验逻辑的根本误解。

正确理解：“不拒绝 $H_0$“仅仅意味着当前样本没有提供足够的证据来拒绝 $H_0$，并不代表 $H_0$ 就是正确的。这就像法庭判决”无罪”只是说证据不足以定罪，不等于证明被告确实没有犯罪。

在统计学中，我们通常说”不拒绝 $H_0$“而不是”接受 $H_0$“，就是为了强调这一区别。如果需要”接受”某个假设，应该通过功效分析（power analysis）来验证检验确实有足够的能力检测到实际存在的差异。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.1 + 卡方训练营核心笔记 + Penn State STAT 500 - Hypothesis Testing + Khan Academy - Significance Tests + Wikipedia - Statistical Hypothesis Testing

误区二：“p值就是原假设成立的概率”

误区描述

这是一个极其常见且严重的误解。p 值不是原假设 $H_0$ 成立的概率 $P(H_0|\text{data})$，而是在 $H_0$ 成立的前提下观察到当前数据（或更极端数据）的概率 $P(\text{data or more extreme}|H_0)$。

这两个概率有本质区别：

• $P(\text{data}|H_0)$：条件概率，以 $H_0$ 为条件（这是 p 值的定义）
• $P(H_0|\text{data})$：后验概率，以数据为条件（这是贝叶斯统计的范畴）

根据贝叶斯公式，两者之间的关系还依赖于先验概率 $P(H_0)$。即使 p 值很小（如 0.05），如果 $H_0$ 的先验概率很高，$H_0$ 成立的后验概率可能仍然相当大。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.1 + 卡方训练营核心笔记 + Penn State STAT 500 - P-value Interpretation + Wikipedia - P-value Misuse + Khan Academy - P-values

误区三：“显著性水平越小越好”

误区描述

有人认为 $\alpha$ 取得越小（如 0.001），检验就越”严格”、越好。实际上，$\alpha$ 的选择是在两类错误之间做权衡：$\alpha$ 减小会导致 $\beta$ 增大（在样本量固定的条件下）。

如果 $\alpha$ 取得太小：

• 第一类错误概率确实降低了（“冤枉好人”的概率减小了）
• 但第二类错误概率增大了（“放走坏人”的概率增大了）
• 检验的功效降低了，可能无法检测到实际存在的显著差异

正确的做法是根据问题的实际背景来选择 $\alpha$：

• 当第一类错误的后果特别严重时（如药品安全性检验），应取较小的 $\alpha$
• 当第二类错误的后果特别严重时（如疾病筛查），可以适当增大 $\alpha$
• 一般的科学研究中，$\alpha =0.05$ 是最常用的选择

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.1 + 卡方训练营核心笔记 + Penn State STAT 500 - Type I and Type II Errors + Khan Academy - Type I and II Errors + Wikipedia - Type I and Type II Errors

误区四：“假设检验能证明原假设为真”

误区描述

假设检验的逻辑本质是反证法（更准确地说是”概率反证法”）：假设 $H_0$ 成立，如果样本数据与 $H_0$ 矛盾（即 p 值很小），则拒绝 $H_0$。但反过来，如果样本数据不与 $H_0$ 矛盾（p 值较大），不能得出”$H_0$ 为真”的结论。

这是因为：

• “不拒绝 $H_0$“可能仅仅是因为样本量不够大，检验的功效不足，无法检测到实际存在的差异
• “不拒绝 $H_0$“也可能是因为差异确实不存在，但检验本身无法区分这两种情况

如果要”证明”某个效应存在，应该通过功效分析确保检验有足够的统计功效（通常要求功效 $⩾0.80$），或者报告效应量的置信区间。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.1 + 卡方训练营核心笔记 + Penn State STAT 500 - Power of a Test + Wikipedia - Statistical Power + Khan Academy - Statistical Power

误区五：“双边检验一定比单边检验好”

误区描述

有人认为双边检验”更全面”、“更保守”，因此总是优于单边检验。实际上，检验类型的选择应该基于实际问题的需要，而非主观偏好。

两者的比较：

• 双边检验：对两个方向都敏感，但每个方向的检验功效较低（因为 $\alpha$ 被分到了两侧）
• 单边检验：只对一个方向敏感，但在该方向上的检验功效更高（因为 $\alpha$ 集中在一侧）

如果实际问题只关心参数是否大于（或小于）某个值，使用单边检验更合适——它在关注的方向上有更高的功效。但如果事先没有方向性的预期，或者两个方向的偏离都有实际意义，则应使用双边检验。

关键原则：检验类型必须在看到数据之前确定，不能先看数据再选择检验类型（这会导致严重的 p 值操纵问题）。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.1 + 卡方训练营核心笔记 + Penn State STAT 500 - One-sided vs Two-sided Tests + Khan Academy - Hypothesis Testing + Wikipedia - One- and Two-tailed Tests

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十一、习题精选

习题概览

题号	知识点	来源	难度
1	原假设与备择假设的设立	教材7.1-1	★★☆
2	两类错误的概念判断	教材7.1-2	★★☆
3	功效函数的计算	教材7.1-3	★★★
4	正态总体均值检验	教材7.1-4	★★★
5	p 值的计算与决策	教材7.1-5	★★★
6	两类错误概率的计算	教材7.1-6	★★★
7	检验统计量与拒绝域	卡方（浙江大学2012）	★★★
8	p 值与显著性水平	卡方（复旦大学2015）	★★★
9	功效函数与两类错误	卡方（上海交通大学2013）	★★★★
10	正态总体均值检验综合	卡方（浙江大学2016）	★★★★

习题 1（教材7.1-1）

对以下每种情况，写出合适的原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$，并指出检验类型（双边、左边或右边）。

(1) 某种零件的长度标准为 10cm，检验一批零件的平均长度是否符合标准。 (2) 某品牌灯泡声称平均寿命至少为 1500 小时，消费者协会要检验这一说法。 (3) 某化肥厂声称其新化肥能使小麦亩产提高至少 50 斤，农业部门进行检验。

查看解答

(1) 关心平均长度是否偏离 10cm，两个方向都有意义。

$$H_0:\mu =10\text{vs}{H}_1:\mu \ne 10\text{（双边检验）}$$

(2) 消费者协会关心的是寿命是否低于 1500 小时（虚假宣传）。

$$H_0:\mu ⩾1500\text{vs}{H}_1:\mu <1500\text{（左边检验）}$$

注意：等号放在 $H_0$ 中，$H_0$ 代表”厂家的说法成立”。

(3) 农业部门关心的是亩产是否确实提高了至少 50 斤。

$$H_0:\mu ⩽{\mu }_0+50\text{vs}{H}_1:\mu >{\mu }_0+50\text{（右边检验）}$$

其中 ${\mu }_0$ 为使用旧化肥时的平均亩产。

习题 2（教材7.1-2）

指出以下各种情况中，哪一个是第一类错误，哪一个是第二类错误。

某药厂声称其新药的治愈率不低于 80%。卫生部门进行检验：

• 情况 A：新药实际治愈率为 85%，但检验结果拒绝了”治愈率不低于 80%“的假设。
• 情况 B：新药实际治愈率为 70%，但检验结果没有拒绝”治愈率不低于 80%“的假设。

查看解答

设 $H_0:p⩾0.80$（药厂的说法成立），$H_1:p<0.80$。

情况 A：$H_0$ 实际成立（$p=0.85⩾0.80$），但被拒绝了。 → 这是第一类错误（弃真错误）：好的药被错误地否定了。

情况 B：$H_0$ 实际不成立（$p=0.70<0.80$），但没有被拒绝。 → 这是第二类错误（取伪错误）：不合格的药被放行了。

习题 3（教材7.1-3）

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu ,1)$ 的样本，检验问题为

$$H_0:\mu =0\text{vs}{H}_1:\mu =1.$$

采用拒绝域 $R=\{\bar{x}>c\}$。

(1) 求该检验的功效函数 $g(\mu )$。 (2) 当 $n=25$，$c=0.5$ 时，计算 $\alpha$ 和 $\beta$。

查看解答

(1) 功效函数 $g(\mu )=P_{\mu }(\bar{X}>c)$。

在参数为 $\mu$ 时，$\bar{X}\sim N(\mu ,1/n)$，标准化得

$$\frac{\bar{X}-\mu }{1/\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$

因此

$$g(\mu )=P_{\mu }(\bar{X}>c)=1-\Phi \left(\frac{c-\mu }{1/\sqrt{n}}\right)=1-\Phi (\sqrt{n}(c-\mu )).$$

(2) 当 $n=25$，$c=0.5$ 时：

第一类错误概率（$\mu =0$）：

$$\alpha =g(0)=1-\Phi (5\times (0.5-0))=1-\Phi (2.5)=1-0.9938=\mathrm{0.0062.}$$

第二类错误概率（$\mu =1$）：

$$\beta =1-g(1)=1-[1-\Phi (5\times (0.5-1)\left)\right]=\Phi (-2.5)=1-\Phi (2.5)=\mathrm{0.0062.}$$

注意：这里 $\alpha =\beta$，因为 $c=0.5$ 恰好是 $\mu =0$ 和 $\mu =1$ 的中点，拒绝域关于这两个假设对称。

习题 4（教材7.1-4）

某纺织厂生产的纱线强度服从正态分布 $N(\mu ,0.4^2)$。从一批产品中抽取 16 根纱线，测得平均强度 $\bar{x}=2.55$。在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，检验该批纱线的平均强度是否为 2.5。

(1) 建立假设并给出检验统计量。 (2) 确定拒绝域并做出判断。 (3) 计算检验的 p 值。

查看解答

(1) 建立假设：关心平均强度是否偏离 2.5，两个方向都有意义。

$$H_0:\mu =2.5\text{vs}{H}_1:\mu \ne \mathrm{2.5.}$$

检验统计量：

$$u=\frac{\bar{X}-2.5}{0.4/\sqrt{16}}=\frac{\bar{X}-2.5}{0.1}.$$

在 $H_0$ 下，$u\sim N(0,1)$。

(2) 确定拒绝域并判断。 双边检验，$\alpha =0.05$，$u_{0.975}=1.96$，拒绝域为 $\{|u|>1.96\}$。

计算检验统计量观测值：

$$u_{\text{obs}}=\frac{2.55-2.5}{0.1}=\mathrm{0.5.}$$

由于 $|0.5|=0.5<1.96$，$u_{\text{obs}}$ 未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

(3) 计算 p 值。 双边检验的 p 值：

$$p=2\times P_{H_0}(U⩾|u_{\text{obs}}|)=2\times [1-\Phi (0.5)]=2\times (1-0.6915)=\mathrm{0.6170.}$$

p 值 $=0.6170\gg 0.05$，远大于显著性水平，没有证据拒绝 $H_0$。

习题 5（教材7.1-5）

某公司声称其生产的某种元件的平均电阻为 $50\Omega$。从一批产品中抽取 10 件，测得样本均值 $\bar{x}=50.8\Omega$。已知电阻服从正态分布，标准差 $\sigma =1.2\Omega$。

(1) 在 $\alpha =0.05$ 下检验 $H_0:\mu =50$ vs $H_1:\mu \ne 50$。 (2) 在 $\alpha =0.10$ 下重新检验，结论是否改变？ (3) 计算并解释 p 值。

查看解答

检验统计量：

$$u=\frac{\bar{X}-50}{1.2/\sqrt{10}}=\frac{\bar{X}-50}{1.2/3.162}=\frac{\bar{X}-50}{0.3795}.$$

观测值：

$$u_{\text{obs}}=\frac{50.8-50}{0.3795}=\frac{0.8}{0.3795}=\mathrm{2.108.}$$

(1) $\alpha =0.05$，$u_{0.975}=1.96$。 $|u_{\text{obs}}|=2.108>1.96$，落入拒绝域，拒绝 $H_0$。

(2) $\alpha =0.10$，$u_{0.95}=1.645$。 $|u_{\text{obs}}|=2.108>1.645$，仍然拒绝 $H_0$。 结论不变，但拒绝的证据更强了（在更宽松的标准下也拒绝）。

(3) p 值：

$$p=2\times [1-\Phi (2.108)]=2\times (1-0.9823)=\mathrm{0.0354.}$$

p 值 $=0.0354$，含义是：如果 $H_0$ 成立（$\mu =50$），那么观测到 $|u|⩾2.108$（即 $|\bar{X}-50|⩾0.8$）的概率约为 3.54%。由于 $p<0.05$，在 $\alpha =0.05$ 的水平下拒绝 $H_0$；但 $p>0.01$，在 $\alpha =0.01$ 的水平下不拒绝 $H_0$。

习题 6（教材7.1-6）

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，${\sigma }^2$ 已知。对检验问题

$$H_0:\mu ={\mu }_0\text{vs}{H}_1:\mu ={\mu }_1({\mu }_1>{\mu }_0),$$

采用拒绝域 $R=\{\bar{x}>c\}$。

(1) 证明当 $n$ 固定时，$\alpha$ 减小则 $\beta$ 增大。 (2) 证明当 $\alpha$ 固定时，$n$ 增大则 $\beta$ 减小。

查看解答

(1) 在 $H_0$ 下，$\bar{X}\sim N({\mu }_0,{\sigma }^2/n)$，

$$\alpha =P_{{\mu }_0}(\bar{X}>c)=1-\Phi \left(\frac{c-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\right).$$

在 $H_1$ 下，$\bar{X}\sim N({\mu }_1,{\sigma }^2/n)$，

$$\beta =P_{{\mu }_1}(\bar{X}⩽c)=\Phi \left(\frac{c-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}\right).$$

由 $\alpha =1-\Phi \left(\frac{c-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\right)$ 知，$\alpha$ 减小 $⟹$ $\Phi \left(\frac{c-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\right)$ 增大 $⟹$ $\frac{c-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$ 增大 $⟹$ $c$ 增大。

而 $c$ 增大 $⟹$ $\frac{c-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}$ 增大（因为 ${\mu }_1>{\mu }_0$）$⟹$ $\Phi \left(\frac{c-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}\right)$ 增大 $⟹$ $\beta$ 增大。

因此 $\alpha$ 减小 $⟹$ $\beta$ 增大。$\square$

(2) 固定 $\alpha$，即固定 $\frac{c-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=u_{1-\alpha }$，从而 $c={\mu }_0+u_{1-\alpha }\cdot \sigma /\sqrt{n}$。

代入 $\beta$ 的表达式：

$$\beta =\Phi \left(\frac{c-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}\right)=\Phi \left(\frac{{\mu }_0+u_{1-\alpha }\cdot \sigma /\sqrt{n}-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}\right)=\Phi \left(\frac{{\mu }_0-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}+u_{1-\alpha }\right).$$

由于 ${\mu }_1>{\mu }_0$，${\mu }_0-{\mu }_1<0$，当 $n$ 增大时，$\frac{{\mu }_0-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}\to -\infty$，因此

$$\beta =\Phi \left(\frac{{\mu }_0-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}+u_{1-\alpha }\right)\to \Phi (-\infty )=0.$$

因此 $n$ 增大时 $\beta$ 减小。$\square$

习题 7（卡方（浙江大学2012））

设 $X_1,X_2,\dots ,X_{16}$ 是来自正态总体 $N(\mu ,4)$ 的样本，在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下检验

$$H_0:\mu ⩽3\text{vs}{H}_1:\mu >3.$$

(1) 写出检验统计量及拒绝域。 (2) 若观测到 $\bar{x}=4.2$，是否拒绝 $H_0$？ (3) 求当 $\mu =4$ 时该检验的功效。

查看解答

(1) 检验统计量：

$$u=\frac{\bar{X}-3}{2/\sqrt{16}}=\frac{\bar{X}-3}{0.5}.$$

在 $H_0$ 的边界点 $\mu =3$ 下，$u\sim N(0,1)$。

右边检验，$\alpha =0.05$，$u_{0.95}=1.645$，拒绝域为

$$R=\{u>1.645\}=\{\bar{x}>3+1.645\times 0.5\}=\{\bar{x}>3.8225\}.$$

(2) $u_{\text{obs}}=\frac{4.2-3}{0.5}=2.4>1.645$，落入拒绝域，拒绝 $H_0$。

(3) 当 $\mu =4$ 时，$\bar{X}\sim N(4,4/16)=N(4,0.25)$，功效为

$$g(4)=P_4(\bar{X}>3.8225)=1-\Phi \left(\frac{3.8225-4}{0.5}\right)=1-\Phi (-0.355)=\Phi (0.355)\approx \mathrm{0.6387.}$$

即当 $\mu =4$ 时，该检验正确拒绝 $H_0$ 的概率约为 63.87%。

习题 8（卡方（复旦大学2015））

某研究者用两种方法检验同一个假设 $H_0:\mu =100$ vs $H_1:\mu \ne 100$，得到两个 p 值：$p_1=0.03$，$p_2=0.08$。

(1) 在 $\alpha =0.05$ 的水平下，两种方法的结论分别是什么？ (2) 如果显著性水平改为 $\alpha =0.10$，结论如何变化？ (3) 哪种方法提供了更强的反对 $H_0$ 的证据？为什么？

查看解答

(1) $\alpha =0.05$：

• 方法 1：$p_1=0.03<0.05$，拒绝 $H_0$。
• 方法 2：$p_2=0.08>0.05$，不拒绝 $H_0$。

(2) $\alpha =0.10$：

• 方法 1：$p_1=0.03<0.10$，拒绝 $H_0$。
• 方法 2：$p_2=0.08<0.10$，拒绝 $H_0$。

(3) 方法 1 提供了更强的反对 $H_0$ 的证据。因为 p 值越小，在 $H_0$ 成立的前提下观察到当前数据（或更极端数据）的概率越低，说明数据与 $H_0$ 的矛盾越尖锐。$p_1=0.03$ 意味着即使在 $\alpha =0.01$ 的严格标准下也不拒绝 $H_0$（因为 $0.03>0.01$），但在 $\alpha =0.05$ 的标准下就拒绝了；而 $p_2=0.08$ 只在 $\alpha ⩾0.08$ 时才能拒绝。

习题 9（卡方（上海交通大学2013））

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自 $N(\mu ,1)$ 的样本，考虑检验问题

$$H_0:\mu =0\text{vs}{H}_1:\mu ={\mu }_1({\mu }_1>0).$$

采用拒绝域 $R=\{\bar{x}>c\}$。

(1) 若要求 $\alpha =0.05$，$n=20$，${\mu }_1=0.5$，求临界值 $c$ 和第二类错误概率 $\beta$。 (2) 若要求 $\alpha =0.05$，${\mu }_1=0.5$，$\beta ⩽0.10$，求所需的最小样本量 $n$。

查看解答

(1) 在 $H_0$ 下，$\bar{X}\sim N(0,1/20)$，$\sqrt{20}\bar{X}\sim N(0,1)$。

由 $\alpha =P_0(\bar{X}>c)=0.05$，得

$$1-\Phi \left(\frac{c}{1/\sqrt{20}}\right)=0.05⟹\Phi (\sqrt{20}c)=0.95⟹\sqrt{20}c=1.645⟹c=\frac{1.645}{\sqrt{20}}\approx \mathrm{0.3678.}$$

在 $H_1$ 下（${\mu }_1=0.5$），$\bar{X}\sim N(0.5,1/20)$，

$$\beta =P_{0.5}(\bar{X}⩽c)=\Phi \left(\frac{c-0.5}{1/\sqrt{20}}\right)=\Phi \left(\frac{0.3678-0.5}{1/\sqrt{20}}\right)=\Phi \left(\sqrt{20}\times (-0.1322)\right)=\Phi (-0.591)\approx \mathrm{0.2773.}$$

(2) 要求 $\alpha =0.05$，$\beta ⩽0.10$。

固定 $\alpha =0.05$ 时，$c=u_{0.95}\cdot \sigma /\sqrt{n}=1.645/\sqrt{n}$。

$\beta =\Phi \left(\frac{c-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}\right)=\Phi \left(\frac{1.645/\sqrt{n}-0.5}{1/\sqrt{n}}\right)=\Phi (1.645-0.5\sqrt{n})$.

要求 $\beta ⩽0.10$，即

$$\Phi (1.645-0.5\sqrt{n})⩽\mathrm{0.10.}$$

由于 $\Phi (-1.282)\approx 0.10$，需要

$$1.645-0.5\sqrt{n}⩽-1.282⟹0.5\sqrt{n}⩾2.927⟹\sqrt{n}⩾5.854⟹n⩾\mathrm{34.27.}$$

因此最小样本量 $n=35$。

习题 10（卡方（浙江大学2016））

某工厂用自动包装机包装面粉，规定每袋面粉的标准重量为 $25\text{kg}$。已知每袋面粉重量服从正态分布 $N(\mu ,0.04)$。某天开工后，随机抽取 9 袋，测得重量（单位：kg）为：

24.8, 25.1, 24.9, 25.0, 24.7, 25.2, 24.9, 25.1, 24.8

(1) 在 $\alpha =0.05$ 下，检验包装机工作是否正常（即 $\mu =25$）。 (2) 计算检验的 p 值。 (3) 若将显著性水平改为 $\alpha =0.01$，结论如何？ (4) 求当 $\mu =24.9$ 时该检验的功效。

查看解答

(1) 建立假设：

$$H_0:\mu =25\text{vs}{H}_1:\mu \ne 25.$$

计算样本均值：

$$\bar{x}=\frac{24.8+25.1+24.9+25.0+24.7+25.2+24.9+25.1+24.8}{9}=\frac{224.5}{9}\approx \mathrm{24.944.}$$

检验统计量：

$$u=\frac{\bar{X}-25}{0.2/\sqrt{9}}=\frac{\bar{X}-25}{0.2/3}=\frac{\bar{X}-25}{0.0667}.$$

观测值：

$$u_{\text{obs}}=\frac{24.944-25}{0.0667}=\frac{-0.056}{0.0667}\approx -\mathrm{0.839.}$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.975}=1.96$。$|u_{\text{obs}}|=0.839<1.96$，不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 下，没有充分证据认为包装机工作不正常。

(2) p 值：

$$p=2\times P_{H_0}(U⩽|u_{\text{obs}}|)=2\times \Phi (-0.839)=2\times (1-\Phi (0.839))=2\times (1-0.7995)=\mathrm{0.4010.}$$

(3) $\alpha =0.01$，$u_{0.995}=2.576$。$|u_{\text{obs}}|=0.839<2.576$，不拒绝 $H_0$。 结论不变。由于 p 值 $=0.4010$ 远大于 0.01，在任何常规显著性水平下都不会拒绝 $H_0$。

(4) 当 $\mu =24.9$ 时，$\bar{X}\sim N(24.9,0.04/9)=N(24.9,0.00444)$。

拒绝域为 $|\bar{X}-25|>1.96\times 0.0667=0.1308$，即 $\bar{X}>25.1308$ 或 $\bar{X}<24.8692$。

功效：

$$g(24.9)=P_{24.9}(|\bar{X}-25|>0.1308)=P_{24.9}(\bar{X}>25.1308)+P_{24.9}(\bar{X}<24.8692).$$

计算第一项：

$$P_{24.9}(\bar{X}>25.1308)=1-\Phi \left(\frac{25.1308-24.9}{\sqrt{0.00444}}\right)=1-\Phi \left(\frac{0.2308}{0.0667}\right)=1-\Phi (3.462)\approx 1-0.9997=\mathrm{0.0003.}$$

计算第二项：

$$P_{24.9}(\bar{X}<24.8692)=\Phi \left(\frac{24.8692-24.9}{0.0667}\right)=\Phi (-0.462)\approx \mathrm{0.3222.}$$

因此功效 $g(24.9)\approx 0.0003+0.3222=0.3225$。

即当真实均值为 24.9 时，该检验只有约 32.25% 的概率能正确拒绝 $H_0$，功效较低。这说明当真实均值与假设值偏差不大时，检验的功效有限。

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十二、教材原文

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第七章 假设检验/假设检验的基本思想