2.7 分布的其他特征数

本节概览

本节在数学期望和方差的基础上，引入更多描述随机变量分布特征的数字特征：k阶矩描述分布的各阶幂次特征，变异系数消除量纲影响比较相对波动，分位数与中位数刻画分布的位置信息，偏度度量分布的偏斜方向与程度，峰度度量分布与正态分布相比的尖峭程度和尾部粗细。

逻辑链条：k阶矩（原点矩+中心矩）→ 变异系数（无量纲相对波动）→ 分位数与中位数（位置特征）→ 偏度（偏斜方向）→ 峰度（尖峭程度）→ 常见分布特征数汇总

前置依赖：§2.2（数学期望的定义与性质）、§2.3（方差与标准差）、§2.5（正态分布、指数分布、伽马分布、贝塔分布）

核心主线：期望和方差分别描述分布的”中心位置”和”离散程度”，但无法刻画分布的形状特征。偏度和峰度是描述分布形状的两个重要无量纲指标，它们与正态分布的偏离程度在统计推断中有重要应用。

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一、k阶矩

矩是概率论中最基本的数字特征族，期望和方差都是矩的特例。

原点矩与中心矩

定义 2.7.1 — k阶矩

设 $X$ 为随机变量，$k$ 为正整数。若 $E(X^k)$ 存在，则称

$${\mu }_k=E(X^k)$$

为 $X$ 的k阶原点矩。

若 $E(X-E(X){)}^k$ 存在，则称

$${\nu }_k=E(X-E(X){)}^k$$

为 $X$ 的k阶中心矩。

特殊情形：

• ${\mu }_1=E(X)$：一阶原点矩就是数学期望
• ${\nu }_2=E(X-E(X){)}^2=\text{Var}(X)$：二阶中心矩就是方差
• ${\nu }_1=E(X-E(X))=0$：一阶中心矩恒为零

中心矩与原点矩的关系

利用二项式定理展开中心矩：

$${\nu }_k=E(X-{\mu }_1{)}^k=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}){\mu }_i(-{\mu }_1{)}^{k-i}$$

前四阶中心矩的展开式为：

阶数	展开公式
${\nu }_1$	$0$
${\nu }_2$	${\mu }_2-{\mu }_1^2$
${\nu }_3$	${\mu }_3-3{\mu }_2{\mu }_1+2{\mu }_1^3$
${\nu }_4$	${\mu }_4-4{\mu }_3{\mu }_1+6{\mu }_2{\mu }_1^2-3{\mu }_1^4$

定理 2.7.1 — 矩的存在性

若 $X$ 的 $k$ 阶矩存在（即 $E|X{|}^k<+\infty$），则对任意 $1\le j\le k$，$X$ 的 $j$ 阶矩也存在。

证明思路

证明 (2.7.1)：

[不等式放缩]：对任意 $1\le j<k$，利用 $|X{|}^j=|X{|}^j\cdot 1\le |X{|}^j+|X{|}^k$，更精确地，由 Jensen 不等式或直接利用 $|X{|}^j\le 1+|X{|}^k$（当 $|X|\ge 1$ 时 $|X{|}^j\le |X{|}^k$，当 $|X|<1$ 时 $|X{|}^j<1$），因此

$$E|X{|}^j\le E(1+|X{|}^k)=1+E|X{|}^k<+\infty$$

故 $j$ 阶矩存在。

$\square$

直观理解：高阶矩存在意味着分布的”尾部”衰减足够快，因此低阶矩自然存在。反之不成立——方差存在不保证三阶矩存在。

矩的计算示例

例 2.7.1 — 正态分布的各阶矩

设 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$，求其各阶原点矩。

解：

[建立递推]：由分部积分，

$$E(X^k)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^k\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}dx$$

令 $u=x^{k-1}$，$dv=x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}dx$，则

$$E(X^k)=(k-1){\sigma }^2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{k-2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}dx=(k-1){\sigma }^2\cdot E(X^{k-2})$$

[递推求解]：递推关系为 $E(X^k)=(k-1){\sigma }^{2}E(X^{k-2})$，其中 $E(X^0)=1$，$E(X^1)=0$。

• 当 $k=2i$ 为偶数时：$E(X^k)=(k-1)(k-3)\cdots 3\cdot 1\cdot {\sigma }^k=(2i-1)!!\cdot {\sigma }^k$
• 当 $k=2i+1$ 为奇数时：$E(X^k)=0$（奇函数在对称区间上积分为零）

[具体值]：

$$E(X^0)=1,E(X^2)={\sigma }^2,E(X^4)=3{\sigma }^4,E(X^6)=15{\sigma }^6$$

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二、变异系数

方差衡量绝对波动大小，但不同量纲的随机变量无法直接比较波动程度。

变异系数的定义

定义 2.7.2 — 变异系数

设随机变量 $X$ 的二阶矩存在且 $E(X)\ne 0$，则称

$$C_v(X)=\frac{\sqrt{\text{Var}(X)}}{E(X)}=\frac{\sigma (X)}{E(X)}$$

为 $X$ 的变异系数。

核心特点：

• 变异系数是无量纲的相对指标，消除量纲影响
• 适用于比较不同量纲或不同量级随机变量的波动程度
• 要求 $E(X)\ne 0$（否则分母为零无意义）

例 2.7.2 — 变异系数的应用

用 $X$ 表示某种同龄树的高度（单位：米），$Y$ 表示某年龄段儿童的身高（单位：米）。已知 $E(X)=10$，$\text{Var}(X)=1$；$E(Y)=1$，$\text{Var}(Y)=0.04$。是否可以从 $\text{Var}(X)=1>0.04=\text{Var}(Y)$ 就认为 $Y$ 的波动小？

解：不能仅凭方差大小判断波动程度，因为两者的量级不同。计算变异系数：

$$C_v(X)=\frac{\sqrt{1}}{10}=0.1=10\%$$ $$C_v(Y)=\frac{\sqrt{0.04}}{1}=0.2=20\%$$

虽然树的绝对方差更大，但相对于其均值，儿童身高的相对波动（20%）远大于树的相对波动（10%）。变异系数揭示了这一被方差掩盖的事实。

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三、分位数与中位数

分位数是比期望更稳健的位置特征，对异常值不敏感。

分位数

定义 2.7.3 — 分位数

设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，密度函数为 $p(x)$。对任意 $p\in (0,1)$：

称满足

$$F(x_p)={\int }_{-\infty }^{x_p}p(x)dx=p$$

的 $x_p$ 为此分布的==下侧 $p$ 分位数==。

称满足

$$1-F(x_p^{\prime })={\int }_{x_p^{\prime }}^{+\infty }p(x)dx=p$$

的 $x_p^{\prime }$ 为此分布的==上侧 $p$ 分位数==。

上下侧分位数的关系：

$$x_p^{\prime }=x_{1-p},x_p=x_{1-p}^{\prime }$$

例 2.7.3 — 正态分布的分位数关系

设标准正态分布 $N(0,1)$ 的下侧 $p$ 分位数为 $u_p$，一般正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的下侧 $p$ 分位数为 $x_p$，求二者关系。

解：设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，标准化得 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$。

$$p=F_X(x_p)=P(X\le x_p)=P\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{x_p-\mu }{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{x_p-\mu }{\sigma }\right)$$

因此 $\frac{x_p-\mu }{\sigma }=u_p$，即

$$\boxed{x_p=\mu +\sigma \cdot u_p}$$

直观理解：一般正态分布的分位数 = 均值 + 标准差 × 标准正态分位数。这是一个线性变换关系。

中位数

定义 2.7.4 — 中位数

称 $p=0.5$ 时的分位数 $x_{0.5}$ 为此分布的中位数，即满足

$$F(x_{0.5})={\int }_{-\infty }^{x_{0.5}}p(x)dx=0.5$$

中位数 vs 期望：

• 中位数将概率面积等分为二，不受极端值影响
• 期望受极端值（长尾）影响较大
• 对称分布（如正态分布）的中位数等于期望

例 2.7.4 — 指数分布的中位数

求指数分布 $\text{Exp}(\lambda )$ 的中位数 $x_{0.5}$。

解：$\text{Exp}(\lambda )$ 的分布函数为 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$（$x>0$）。

$$F(x_{0.5})=1-e^{-\lambda x_{0.5}}=0.5$$ $$e^{-\lambda x_{0.5}}=0.5\Rightarrow -\lambda x_{0.5}=\ln 0.5$$ $$\boxed{x_{0.5}=\frac{\ln 2}{\lambda }}$$

对比：$E(X)=1/\lambda$，而 $x_{0.5}=\ln 2/\lambda \approx 0.693/\lambda <1/\lambda$。指数分布右偏，中位数小于期望，说明右侧有长尾拉高了期望。

例 2.7.5 — 分位数与中位数的计算

设连续随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}4x^3,& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

试求此分布的 $0.95$ 分位数 $x_{0.95}$ 和中位数 $x_{0.5}$。

解：分布函数为

$$F(x)={\int }_0^{x}4t^{3}dt=x^4,0<x<1$$

求 $x_{0.95}$：$F(x_{0.95})=x_{0.95}^4=0.95$，解得

$$x_{0.95}=0.95^{1/4}\approx 0.9873$$

求 $x_{0.5}$：$F(x_{0.5})=x_{0.5}^4=0.5$，解得

$$x_{0.5}=0.5^{1/4}\approx 0.8409$$

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四、偏度

偏度描述分布偏斜的方向和程度，是形状特征的第一个重要指标。

偏度的定义

定义 2.7.5 — 偏度

设随机变量 $X$ 的前三阶矩存在，则称

$${\beta }_s=\frac{{\nu }_3}{{\nu }_2^{3/2}}=\frac{E(X-E(X){)}^3}{[\text{Var}(X){]}^{3/2}}$$

为 $X$ 的偏度系数，简称偏度。

偏度的含义：

${\beta }_s$ 的值	分布形态	直观描述
${\beta }_s=0$	对称分布	密度函数关于期望对称
${\beta }_s>0$	正偏（右偏）	右侧有长尾，均值 > 中位数
${\beta }_s<0$	负偏（左偏）	左侧有长尾，均值 < 中位数

定理 2.7.2 — 偏度的性质

（1）若密度函数关于数学期望对称，则 ${\beta }_s=0$。

（2）${\beta }_s$ 是无量纲指标，不受平移和尺度变换影响。

（3）${\beta }_s$ 的绝对值越大，偏斜程度越严重。

证明思路

证明 (2.7.2)：

[(1) 对称性]：设 $p(x)$ 关于 $\mu =E(X)$ 对称，即 $p(\mu +t)=p(\mu -t)$。令 $Y=X-\mu$，则 $Y$ 的密度关于原点对称，$Y$ 为奇函数与偶函数之积，故 $E(Y^3)=0$，即 ${\nu }_3=0$，因此 ${\beta }_s=0$。

[(2) 无量纲性]：令 $Y=aX+b$（$a>0$），则 $E(Y)=a\mu +b$，$\text{Var}(Y)=a^2{\sigma }^2$，${\nu }_3(Y)=a^3{\nu }_3(X)$，故

$${\beta }_s(Y)=\frac{a^3{\nu }_3}{(a^2{\sigma }^2{)}^{3/2}}=\frac{a^3{\nu }_3}{a^3{\sigma }^3}={\beta }_s(X)$$

$\square$

例 2.7.6 — 贝塔分布的偏度

计算三个贝塔分布 $\text{Be}(2,8)$、$\text{Be}(8,2)$ 和 $\text{Be}(5,5)$ 的偏度。

解：贝塔分布 $\text{Be}(a,b)$ 的偏度公式为

$${\beta }_s=\frac{2(b-a)\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\sqrt{ab}}$$

分布	$a$	$b$	${\beta }_s$	形态
$\text{Be}(2,8)$	2	8	$\frac{2(8-2)\sqrt{11}}{12\sqrt{16}}=\frac{12\sqrt{11}}{48}\approx 0.785$	正偏
$\text{Be}(8,2)$	8	2	$\frac{2(2-8)\sqrt{11}}{12\sqrt{16}}\approx -0.785$	负偏
$\text{Be}(5,5)$	5	5	$0$	对称

直观理解：$\text{Be}(2,8)$ 中 $a<b$，概率质量集中在左侧（靠近0），右侧有长尾→正偏。$\text{Be}(8,2)$ 恰好相反→负偏。$\text{Be}(5,5)$ 中 $a=b$，密度关于 $0.5$ 对称→偏度为零。

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五、峰度

峰度描述分布与正态分布相比的尖峭程度和尾部粗细，是形状特征的第二个重要指标。

峰度的定义

定义 2.7.6 — 峰度

设随机变量 $X$ 的前四阶矩存在，则称

$${\beta }_k=\frac{{\nu }_4}{{\nu }_2^2}-3=\frac{E(X-E(X){)}^4}{[\text{Var}(X){]}^2}-3$$

为 $X$ 的峰度系数，简称峰度。

为什么减3？ 正态分布的 ${\nu }_4/{\nu }_2^2=3$，减3后使得正态分布的峰度为零，便于比较。

峰度的含义：

${\beta }_k$ 的值	分布形态	直观描述
${\beta }_k=0$	与正态相当	尖峭程度和尾部粗细与正态分布相近
${\beta }_k>0$	尖峰厚尾	比正态更尖峭，尾部更粗（极端值更多）
${\beta }_k<0$	扁平薄尾	比正态更平坦，尾部更细（极端值更少）

定理 2.7.3 — 峰度的性质

（1）正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的 ${\beta }_k=0$。

（2）${\beta }_k$ 的值与随机变量是否标准化无关（无量纲指标）。

（3）${\beta }_k>0$：分布比正态分布更尖峭、尾部更粗。

（4）${\beta }_k<0$：分布比正态分布更平坦、尾部更细。

证明思路

证明 (2.7.3)：

[(1) 正态峰度为零]：由例 2.7.1 知 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$ 的 ${\mu }_4=E(X^4)=3{\sigma }^4$，${\nu }_2={\sigma }^2$，${\nu }_4={\mu }_4-4{\mu }_3{\mu }_1+6{\mu }_2{\mu }_1^2-3{\mu }_1^4=3{\sigma }^4-0+0-0=3{\sigma }^4$。故

$${\beta }_k=\frac{3{\sigma }^4}{({\sigma }^2{)}^2}-3=3-3=0$$

[(2) 无量纲性]：令 $Y=aX+b$（$a>0$），则 ${\nu }_4(Y)=a^4{\nu }_4(X)$，${\nu }_2(Y)=a^2{\nu }_2(X)$，故

$${\beta }_k(Y)=\frac{a^4{\nu }_4}{(a^2{\nu }_2{)}^2}-3=\frac{a^4{\nu }_4}{a^4{\nu }_2^2}-3={\beta }_k(X)$$

$\square$

例 2.7.7 — 伽马分布的偏度与峰度

计算伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的偏度与峰度。

解：伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的期望 $E(X)=\alpha /\lambda$，方差 $\text{Var}(X)=\alpha /{\lambda }^2$。

[计算各阶矩]：利用伽马函数的性质，$E(X^k)=\frac{\Gamma (\alpha +k)}{{\lambda }^k\Gamma (\alpha )}$：

• ${\mu }_1=\alpha /\lambda$
• ${\mu }_2=\alpha (\alpha +1)/{\lambda }^2$
• ${\mu }_3=\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)/{\lambda }^3$
• ${\mu }_4=\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)/{\lambda }^4$

[计算中心矩]：

• ${\nu }_2={\mu }_2-{\mu }_1^2=\alpha /{\lambda }^2$
• ${\nu }_3={\mu }_3-3{\mu }_2{\mu }_1+2{\mu }_1^3=2\alpha /{\lambda }^3$
• ${\nu }_4={\mu }_4-4{\mu }_3{\mu }_1+6{\mu }_2{\mu }_1^2-3{\mu }_1^4=3\alpha (\alpha +2)/{\lambda }^4$

[偏度]：${\beta }_s=\frac{{\nu }_3}{{\nu }_2^{3/2}}=\frac{2\alpha /{\lambda }^3}{(\alpha /{\lambda }^2{)}^{3/2}}=\frac{2}{\sqrt{\alpha }}$

[峰度]：${\beta }_k=\frac{{\nu }_4}{{\nu }_2^2}-3=\frac{3\alpha (\alpha +2)/{\lambda }^4}{(\alpha /{\lambda }^2{)}^2}-3=\frac{6}{\alpha }$

结论：

• ${\beta }_s=2/\sqrt{\alpha }>0$：伽马分布恒为正偏
• ${\beta }_k=6/\alpha >0$：伽马分布恒为尖峰厚尾
• 当 $\alpha \to +\infty$ 时，${\beta }_s\to 0$，${\beta }_k\to 0$：伽马分布逐渐趋近正态分布

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六、常见分布特征数汇总

常见分布的偏度与峰度

分布	均值	方差	偏度 ${\beta }_s$	峰度 ${\beta }_k$
$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$	$0$	$-1.2$
$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mu$	${\sigma }^2$	$0$	$0$
$\text{Exp}(\lambda )$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$	$2$	$6$
$Ga(\alpha ,\lambda )$	$\frac{\alpha }{\lambda }$	$\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$	$\frac{2}{\sqrt{\alpha }}$	$\frac{6}{\alpha }$
$\text{Be}(a,b)$	$\frac{a}{a+b}$	$\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$	$\frac{2(b-a)\sqrt{a+b+1}}{(a+b+2)\sqrt{ab}}$	见注

注：贝塔分布的峰度公式较复杂，为

$${\beta }_k=\frac{6[(a-b{)}^2(a+b+1)-ab(a+b+2)]}{ab(a+b+2)(a+b+3)}$$

规律总结：

• 对称分布（均匀、正态）的偏度 ${\beta }_s=0$
• 均匀分布的峰度 ${\beta }_k=-1.2<0$：比正态更平坦
• 指数分布的偏度 ${\beta }_s=2$，峰度 ${\beta }_k=6$：强正偏、尖峰厚尾
• 伽马分布随 $\alpha$ 增大，偏度和峰度都趋近于0（趋近正态）

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七、知识结构总览

graph TD
    A[分布的其他特征数] --> B[k阶矩]
    A --> C[变异系数]
    A --> D[分位数与中位数]
    A --> E[偏度]
    A --> F[峰度]

    B --> B1[原点矩]
    B --> B2[中心矩]
    B --> B3[矩的存在性]

    D --> D1[下侧分位数]
    D --> D2[上侧分位数]
    D --> D3[中位数]

    E --> E1[正偏与负偏]
    F --> F1[尖峰厚尾]
    F --> F2[扁平薄尾]

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八、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 矩是数字特征的统一框架：期望（一阶原点矩）、方差（二阶中心矩）、偏度（标准化的三阶中心矩）、峰度（标准化的四阶中心矩减3）都是矩的特例。矩提供了描述分布特征的系统化工具。

2. 无量纲化是跨分布比较的关键：变异系数（标准差/均值）、偏度（三阶中心矩/${\sigma }^3$）、峰度（四阶中心矩/${\sigma }^4-3$）都进行了无量纲化处理，使得不同量纲、不同量级的分布可以公平比较。

3. 以正态分布为参照基准：峰度定义中”减3”正是为了使正态分布的峰度为零。偏度和峰度的实际意义都通过与正态分布的对比来理解。

证明技巧

• 递推法求矩：如正态分布的各阶矩，利用分部积分建立递推关系 $E(X^k)=(k-1){\sigma }^{2}E(X^{k-2})$
• 标准化变换：一般正态分位数通过 $x_p=\mu +\sigma u_p$ 转化为标准正态分位数
• 中心矩展开：利用二项式定理将 ${\nu }_k=E(X-{\mu }_1{)}^k$ 展开为原点矩的多项式

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九、补充理解与易混淆点

方差为零不意味着没有波动

来源：教材p.117 + MIT 18.05讲义 + 浙江大学概率论课件 + 华东师大统计讲义 + StackExchange统计版块

误区1："方差为零意味着随机变量不波动"

❌ 错误解释：方差为零就说明随机变量取值完全不变。 ✅ 正确解释：$\text{Var}(X)=0$ 确实意味着 $X$ 几乎必然等于常数 $E(X)$（即 $P(X=E(X))=1$），但这是概率论中的”几乎必然”，允许零测集上的例外。在实际应用中，方差为零确实可以理解为没有随机波动。

变异系数不能用于均值为零的分布

来源：教材p.118 + Casella & Berger Statistical Inference + 武汉大学概率论课件 + 中科大数理统计讲义 + Wikipedia Coefficient of Variation

误区2："变异系数可以比较任何两个分布的波动"

❌ 错误解释：变异系数是万能的相对波动指标，任何分布都可以用。 ✅ 正确解释：变异系数要求 $E(X)\ne 0$。当均值为零或接近零时（如标准正态分布），变异系数无定义或极不稳定，此时不应使用变异系数。此外，当均值可以为负时，变异系数的解释也需要谨慎。

偏度为零不意味着对称

来源：教材p.122 + 教材习题2.7 + Stanford统计讲义 + 印度统计学院讲义 + CrossValidated论坛

误区3："偏度为零的分布一定是对称的"

❌ 错误解释：${\beta }_s=0$ 等价于分布关于期望对称。 ✅ 正确解释：对称分布的偏度一定为零，但偏度为零不一定对称。偏度只度量三阶矩的信息，存在偏度为零但不对称的分布（例如某些混合分布可以构造出 ${\beta }_s=0$ 但不对称的情形）。偏度为零只是对称的必要条件，不是充分条件。

峰度为正不意味着单峰

来源：教材p.123 + DeCarlo偏度峰度综述 + 剑桥大学统计课件 + 北师大概率论课件 + Wikipedia Kurtosis

误区4："峰度为正说明分布只有一个峰"

❌ 错误解释：${\beta }_k>0$ 意味着分布是单峰的、尖峭的。 ✅ 正确解释：峰度主要反映尾部粗细而非峰的形状。${\beta }_k>0$ 意味着尾部比正态分布更粗（极端值更多），而非”峰更高”。事实上，均匀分布（${\beta }_k=-1.2$）是单峰的但峰度为负。峰度的名称容易误导，其核心含义是”尾部行为”而非”峰的形状”。

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十、习题精选

习题概览

编号	题目来源	知识点	难度
1	教材 2.7-1	原点矩与中心矩的计算	★★☆
2	教材 2.7-3	变异系数的比较	★★☆
3	教材 2.7-5	分位数的求解	★★☆
4	教材 2.7-8	中位数与期望的关系	★★★
5	教材 2.7-10	偏度的计算与判断	★★★
6	教材 2.7-12	峰度的计算	★★★
7	2014暨南大学432	指数分布的变异系数、偏度、峰度	★★★
8	2020暨南大学432	正态分布的k阶原点矩	★★★
9	2019东北师范大学432	拉普拉斯分布的原点矩	★★☆
10	2019上海财经大学432	中位数的最优化性质	★★☆

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习题 1 — 教材 2.7-1：原点矩与中心矩的计算

设随机变量 $X$ 的分布列为

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0.1$	$0.2$	$0.2$	$0.3$	$0.2$

求 $X$ 的前四阶原点矩和前四阶中心矩。

查看解答

原点矩：

• ${\mu }_1=E(X)=(-2)(0.1)+(-1)(0.2)+0(0.2)+1(0.3)+2(0.2)=-0.2-0.2+0+0.3+0.4=0.3$
• ${\mu }_2=E(X^2)=4(0.1)+1(0.2)+0+1(0.3)+4(0.2)=0.4+0.2+0.3+0.8=1.7$
• ${\mu }_3=E(X^3)=(-8)(0.1)+(-1)(0.2)+0+1(0.3)+8(0.2)=-0.8-0.2+0.3+1.6=0.9$
• ${\mu }_4=E(X^4)=16(0.1)+1(0.2)+0+1(0.3)+16(0.2)=1.6+0.2+0.3+3.2=5.3$

中心矩（利用展开公式）：

• ${\nu }_1=0$
• ${\nu }_2={\mu }_2-{\mu }_1^2=1.7-0.09=1.61$
• ${\nu }_3={\mu }_3-3{\mu }_2{\mu }_1+2{\mu }_1^3=0.9-3(1.7)(0.3)+2(0.027)=0.9-1.53+0.054=-0.576$
• ${\nu }_4={\mu }_4-4{\mu }_3{\mu }_1+6{\mu }_2{\mu }_1^2-3{\mu }_1^4=5.3-4(0.9)(0.3)+6(1.7)(0.09)-3(0.0081)=5.3-1.08+0.918-0.0243=5.1137$

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习题 2 — 教材 2.7-3：变异系数的比较

设 $X\sim N(5,4)$，$Y\sim N(10,9)$，比较 $X$ 和 $Y$ 的变异系数。

查看解答

$C_v(X)=\frac{\sqrt{4}}{5}=\frac{2}{5}=0.4$

$C_v(Y)=\frac{\sqrt{9}}{10}=\frac{3}{10}=0.3$

虽然 $Y$ 的绝对波动（标准差3）大于 $X$（标准差2），但 $X$ 的相对波动（40%）大于 $Y$（30%）。==相对于各自的均值，$X$ 的波动更大==。

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习题 3 — 教材 2.7-5：分位数的求解

设 $X\sim U(0,4)$，求 $X$ 的 $0.25$ 分位数、中位数和 $0.75$ 分位数。

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$X\sim U(0,4)$ 的分布函数为 $F(x)=x/4$（$0<x<4$）。

$0.25$ 分位数：$x_{0.25}/4=0.25\Rightarrow x_{0.25}=1$

中位数：$x_{0.5}/4=0.5\Rightarrow x_{0.5}=2$

$0.75$ 分位数：$x_{0.75}/4=0.75\Rightarrow x_{0.75}=3$

均匀分布的分位数将区间等分：$[0,1,2,3,4]$ 正好将概率等分为四份。

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习题 4 — 教材 2.7-8：中位数与期望的关系

设连续随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

求 $X$ 的期望和中位数，并比较二者的大小。

查看解答

期望：$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 2xdx=2{\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}$

中位数：$F(x)={\int }_0^{x}2tdt=x^2$（$0<x<1$）

$$F(x_{0.5})=x_{0.5}^2=0.5\Rightarrow x_{0.5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$$

比较：$E(X)=2/3\approx 0.667<x_{0.5}\approx 0.707$

该分布左偏（密度函数在 $x=1$ 处最大，左侧概率质量更多），因此期望 < 中位数。

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习题 5 — 教材 2.7-10：偏度的计算与判断

设 $X\sim \text{Exp}(\lambda )$，利用偏度公式验证 ${\beta }_s=2$。

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已知 $E(X)=1/\lambda$，$\text{Var}(X)=1/{\lambda }^2$。

计算三阶原点矩：

$${\mu }_3=E(X^3)={\int }_0^{+\infty }{x}^3\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda \cdot \frac{\Gamma (4)}{{\lambda }^4}=\frac{6}{{\lambda }^3}$$

计算三阶中心矩：

$${\nu }_3={\mu }_3-3{\mu }_2{\mu }_1+2{\mu }_1^3=\frac{6}{{\lambda }^3}-3\cdot \frac{2}{{\lambda }^2}\cdot \frac{1}{\lambda }+2\cdot \frac{1}{{\lambda }^3}=\frac{6-6+2}{{\lambda }^3}=\frac{2}{{\lambda }^3}$$

偏度：

$${\beta }_s=\frac{{\nu }_3}{{\nu }_2^{3/2}}=\frac{2/{\lambda }^3}{(1/{\lambda }^2{)}^{3/2}}=\frac{2/{\lambda }^3}{1/{\lambda }^3}=2$$

${\beta }_s=2>0$：指数分布强正偏，与直觉一致（右侧长尾）。

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习题 6 — 教材 2.7-12：峰度的计算

设 $X\sim U(a,b)$，验证 ${\beta }_k=-1.2$。

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已知 $E(X)=(a+b)/2$，$\text{Var}(X)=(b-a{)}^2/12$。

计算四阶中心矩： 令 $c=(b-a)/2$，标准化后 $Y=(X-(a+b)/2)/(2c)\sim U(-1/2,1/2)$。

$$E(Y^4)={\int }_{-1/2}^{1/2}{y}^4\cdot 1dy=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{32}=\frac{1}{80}$$

因此 $E(X-E(X){)}^4=(2c{)}^4\cdot E(Y^4)=16c^4\cdot \frac{1}{80}=\frac{c^4}{5}$

$${\nu }_4=\frac{(b-a{)}^4}{16\times 5}=\frac{(b-a{)}^4}{80}$$

峰度：

$${\beta }_k=\frac{{\nu }_4}{{\nu }_2^2}-3=\frac{(b-a{)}^4/80}{[(b-a{)}^2/12{]}^2}-3=\frac{(b-a{)}^4/80}{(b-a{)}^4/144}-3=\frac{144}{80}-3=1.8-3=-1.2$$

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习题 7 — 2014暨南大学432：指数分布的变异系数、偏度、峰度

设随机变量 $X\sim \text{Exp}(\lambda )$： (1) 求变异系数 $C_v$ (2) 求 ${\mu }_3=E(X^3)$，${\nu }_3=E(X-EX{)}^3$ 和偏度 (3) 求 ${\mu }_4=E(X^4)$，${\nu }_4=E(X-EX{)}^4$ 和峰度

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概率密度函数 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$（$x>0$）。

(1) 变异系数：

$$C_v=\frac{\sqrt{\text{Var}(X)}}{E(X)}=\frac{1/\lambda }{1/\lambda }=1$$

(2) 偏度： ${\mu }_1=1/\lambda$，${\mu }_2=2/{\lambda }^2$，${\mu }_3=6/{\lambda }^3$

$${\nu }_3={\mu }_3-3{\mu }_2{\mu }_1+2{\mu }_1^3=\frac{6}{{\lambda }^3}-\frac{6}{{\lambda }^3}+\frac{2}{{\lambda }^3}=\frac{2}{{\lambda }^3}$$ $${\beta }_s=\frac{{\nu }_3}{{\nu }_2^{3/2}}=\frac{2/{\lambda }^3}{(1/{\lambda }^2{)}^{3/2}}=2$$

(3) 峰度： ${\mu }_4=24/{\lambda }^4$

$${\nu }_4={\mu }_4-4{\mu }_3{\mu }_1+6{\mu }_2{\mu }_1^2-3{\mu }_1^4=\frac{24}{{\lambda }^4}-\frac{24}{{\lambda }^4}+\frac{12}{{\lambda }^4}-\frac{3}{{\lambda }^4}=\frac{9}{{\lambda }^4}$$ $${\beta }_k=\frac{{\nu }_4}{{\nu }_2^2}-3=\frac{9/{\lambda }^4}{1/{\lambda }^4}-3=6$$

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习题 8 — 2020暨南大学432：正态分布的k阶原点矩

设随机变量 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$，试求其 $k$ 阶原点矩。

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$$E(X^k)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^k\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}dx$$

[分部积分建立递推]：

$$E(X^k)=\frac{1}{k-1}{\sigma }^2\cdot E(X^{k-2}),k=2,3,\dots$$

其中 $E(X^0)=1$，$E(X^1)=0$。

[递推求解]：

• 当 $k=2i$ 为偶数时：$E(X^k)=(k-1)(k-3)\cdots 3\cdot 1\cdot {\sigma }^k=(2i-1)!!\cdot {\sigma }^k$
• 当 $k=2i+1$ 为奇数时：$E(X^k)=0$

[验证]：$E(X^2)={\sigma }^2$ ✓，$E(X^4)=3{\sigma }^4$ ✓，$E(X^6)=15{\sigma }^6$ ✓

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习题 9 — 2019东北师范大学432：拉普拉斯分布的原点矩

若 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$（$x\in \mathbb{R}$），试求： (1) $E(X)$ (2) $E(X^2)$

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$X$ 服从拉普拉斯分布（又称双指数分布）。

(1) 期望：

$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx=0$$

（被积函数为奇函数，在对称区间上积分为零。）

(2) 二阶原点矩：

$$E(X^2)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx=2{\int }_0^{+\infty }{x}^2\cdot \frac{1}{2}{e}^{-x}dx={\int }_0^{+\infty }{x}^2{e}^{-x}dx=\Gamma (3)=2$$

因此 $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=2-0=2$。

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习题 10 — 2019上海财经大学432：中位数的最优化性质

下列哪个数可以使平均绝对离差 $\underset{a}{\min }E|X-a|$ 最小？ A. 平均数　B. 中位数　C. 众数　D. 以上都不对

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选 B。

这是中位数的一个基本性质：中位数是使 $E|X-a|$ 达到最小的 $a$ 值。

证明：设 $F$ 为 $X$ 的分布函数，

$$g(a)=E|X-a|={\int }_{-\infty }^a(a-x)dF(x)+{\int }_a^{+\infty }(x-a)dF(x)$$

对 $a$ 求导（在 $F$ 连续点处）：

$$g^{\prime }(a)=F(a)-(1-F(a))=2F(a)-1$$

令 $g^{\prime }(a)=0$，得 $F(a)=1/2$，即 $a=x_{0.5}$（中位数）。$\square$

对比：使 $E(X-a{)}^2$ 最小的 $a$ 是期望（最小二乘），而使 $E|X-a|$ 最小的 $a$ 是中位数（最小一乘）。中位数对极端值更稳健。

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十一、教材原文

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第二章 随机变量及其分布/分布的特征数