1.1 随机事件及其运算

本节概览

本节是概率论的起点，从随机现象出发，建立样本空间、随机事件、随机变量等基本概念，定义事件间的三种关系（包含、相等、互不相容）和四种运算（并、交、差、对立），最后引入事件域（$\sigma$ 域）为概率的公理化定义做准备。

逻辑链条：随机现象 → 样本空间 → 随机事件 → 随机变量 → 事件关系 → 事件运算 → 事件域

前置依赖：无（本节是全书起点，仅需集合论基本知识）

核心主线：将随机现象的直观描述转化为严格的集合论语言，并通过事件域的公理化结构为后续概率定义奠定基础。

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一、随机现象与样本空间

随机现象

随机现象

在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。随机现象有两个特点：

1. 结果不止一个；
2. 哪一个结果出现，人们事先并不知道。

与之相对，只有一个结果的现象称为确定性现象，如”太阳从东方升起”、“水往低处流”。

例 1.1.1

以下均为随机现象：

1. 抛一枚硬币，可能正面朝上也可能反面朝上
2. 掷一颗骰子，出现的点数
3. 一天内进入某商场的顾客数
4. 某种型号电视机的寿命
5. 测量某物理量（长度、直径等）的误差

对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验。概率论与数理统计主要研究能大量重复的随机现象。

样本空间

样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 $\Omega =\{\omega \}$，其中 $\omega$ 表示样本点（基本结果）。样本点是今后抽样的最基本单元。

例 1.1.2

随机现象	样本空间	类型
抛一枚硬币	${\Omega }_1=\{{\omega }_1,{\omega }_2\}$（${\omega }_1$=正面，${\omega }_2$=反面）	离散、有限
掷一颗骰子	${\Omega }_2=\{1,2,3,4,5,6\}$	离散、有限
每天进入商场的顾客数	${\Omega }_3=\{0,1,2,\cdots \}$	离散、可列
电视机寿命	${\Omega }_4=\{t:t\ge 0\}$	连续
测量误差	${\Omega }_5=\{x:-\infty <x<+\infty \}$，其中 $x=y-\mu$	连续

三点注意

1. 样本空间中的元素可以是数也可以不是数
2. 随机现象的样本空间至少有两个样本点；含一个样本点的为确定性现象
3. 离散样本空间：有限或可列无限个样本点；连续样本空间：不可列无限个样本点

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二、随机事件与随机变量

随机事件

随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母 $A,B,C,\cdots$ 表示。

三个层次的事件：

• 基本事件：由单个样本点组成的子集
• 必然事件：样本空间 $\Omega$ 本身（$\Omega$ 的最大子集）
• 不可能事件：空集 $\varnothing$（$\Omega$ 的最小子集）

例 1.1.3

掷一颗骰子，$\Omega =\{1,2,\cdots ,6\}$：

• $A=$ “出现1点” $=\{1\}$，基本事件
• $B=$ “出现偶数点” $=\{2,4,6\}$
• $C=$ “出现的点数小于7” $=\{1,2,3,4,5,6\}=\Omega$，必然事件
• $D=$ “出现的点数大于6” $=\varnothing$，不可能事件

事件发生的含义：事件 $A$ 发生 ⟺ $A$ 中某个样本点出现。任一事件 $A$ 是相应样本空间的一个子集，可用维恩图表示（矩形表示 $\Omega$，圆表示事件 $A$）。

随机变量

随机变量

用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母 $X,Y,Z$ 表示。随机变量的含义是人们按需要设置出来的。

例 1.1.4

掷一颗骰子，设 $X=$ “出现的点数”，则：

• "$X=3$" 表示事件”出现3点”
• "$X>3$" 表示事件”出现点数超过3”
• "$X\le 6$" 是必然事件 $\Omega$
• "$X=7$" 是不可能事件 $\varnothing$

若设 $Y=$ “6点出现的次数”，则 $Y$ 仅取 $0$ 或 $1$，是与 $X$ 不同的随机变量。在同一个随机现象中，不同的设置可获得不同的随机变量。

例 1.1.5

检查一件产品，结果为合格品或不合格品。设 $X=$ “不合格品数”，则 $X$ 仅取 $0$ 与 $1$：

• "$X=0$" 表示”合格品”
• "$X=1$" 表示”不合格品”

若检查 10 件产品，不合格品数 $Y$ 取 $0,1,2,\cdots ,10$ 共 11 个值。

关键要点

随机变量是人们根据需要设置的，用等号或不等号与实数联结起来就可以表示很多事件。这种表示方法形式简洁、含义明确、使用方便。今后遇到的大量事件都将用随机变量表示。

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三、事件间的关系与运算

事件间的关系

以下讨论总是在同一个样本空间 $\Omega$ 中进行。

包含关系

事件的包含

如果属于 $A$ 的样本点必属于 $B$，则称 $A$ 被包含在 $B$ 中，记为 $A\subset B$（或 $B\supset A$）。用概率论的语言说：==事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生==。

Example

• 掷骰子：$A=$ “出现4点”，$B=$ “出现偶数点”，则 $A\subset B$
• 电视机寿命：$A=\{T>10000\}$，$B=\{T>20000\}$，则 $A\supset B$

对任一事件 $A$，必有 $\varnothing \subset A\subset \Omega$。

相等关系

事件的相等

如果 $A\subset B$ 且 $B\subset A$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A=B$。

例 1.1.6

掷两颗骰子，$A=$ “两颗骰子的点数之和为奇数”，$B=$ “两颗骰子的点数为一奇一偶”。可以证明 $A=B$。

例 1.1.7

口袋中有 $a$ 个黑球、$b$ 个白球，不返回地逐个摸球。$A=$ “最后摸出的几个球全是黑球”，$B=$ “最后摸出的一个球是黑球”。虽然粗看 $A\ne B$，但可以证明 $A=B$（$A\subset B$ 且 $B\subset A$）。

互不相容

互不相容

如果 $A$ 与 $B$ 没有公共的样本点，即 $AB=\varnothing$，则称 $A$ 与 $B$互不相容（或互斥）。

事件间的运算

并

事件的并

由事件 $A$ 与 $B$ 中所有的样本点（相同的只计入一次）组成的新事件称为 $A$ 与 $B$ 的并，记为 $A\cup B$。概率论含义：==事件 $A$ 与 $B$ 中至少有一个发生==。

推广到有限个和可列个事件：

$$\bigcup _{i=1}^n{A}_i,\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i$$

交

事件的交

由事件 $A$ 与 $B$ 中公共的样本点组成的新事件称为 $A$ 与 $B$ 的交，记为 $A\cap B$ 或 $AB$。概率论含义：==事件 $A$ 与 $B$ 同时发生==。

推广到有限个和可列个事件：

$$\bigcap _{i=1}^n{A}_i,\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i$$

特殊情况

若 $A$ 与 $B$ 互不相容，则 $AB=\varnothing$（反之亦然）。

差

事件的差

由在事件 $A$ 中而不在 $B$ 中的样本点组成的新事件称为 $A$ 对 $B$ 的差，记为 $A-B$。概率论含义：==事件 $A$ 发生而 $B$ 不发生==。

对立事件

对立事件

事件 $A$ 的对立事件（余事件）记为 $\bar{A}$，由 $\Omega$ 中不属于 $A$ 的所有样本点组成：

$$\bar{A}=\Omega -A$$

基本性质：

• $\overline{\stackrel{ˉ}{A}}=A$（双重否定）
• $\bar{\Omega }=\varnothing$，$\bar{\varnothing }=\Omega$

充要条件：$A$ 与 $B$ 互为对立事件 ⟺ $AB=\varnothing$ 且 $A\cup B=\Omega$

注意

对立事件一定互不相容，但互不相容的事件不一定是对立事件。

例 1.1.9

设 $A,B,C$ 为三个事件，则：

事件描述	集合表示
$A,B$ 发生，$C$ 不发生	$AB\bar{C}=AB-C$
$A,B,C$ 至少有一个发生	$A\cup B\cup C$
$A,B,C$ 至少有两个发生	$AB\cup AC\cup BC$
$A,B,C$ 恰好有两个发生	$AB\bar{C}\cup A\bar{B}C\cup \bar{A}BC$
$A,B,C$ 同时发生	$ABC$
$A,B,C$ 都不发生	$\bar{A}\bar{B}\bar{C}$
$A,B,C$ 不全发生	$\bar{A}\cup \bar{B}\cup \bar{C}$

事件的运算性质

交换律

$$A\cup B=B\cup A,AB=BA\text{\hspace{1em}(1.1.1)}$$

结合律

$$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\text{\hspace{1em}(1.1.2)}$$ $$(AB)C=A(BC)\text{\hspace{1em}(1.1.3)}$$

分配律

$$(A\cup B)\cap C=AC\cup BC\text{\hspace{1em}(1.1.4)}$$ $$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)\text{\hspace{1em}(1.1.5)}$$

对偶律（德摩根公式）

德摩根公式（De Morgan's Laws）

事件并的对立等于对立的交：

$$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}\text{\hspace{1em}(1.1.6)}$$

事件交的对立等于对立的并：

$$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}\text{\hspace{1em}(1.1.7)}$$

证明思路

证明 (1.1.6)：

[方向一：$\overline{A\cup B}\subset \bar{A}\cap \bar{B}$]

设 $\omega \in \overline{A\cup B}$，即 $\omega \notin A\cup B$。这表明 $\omega$ 既不属于 $A$，也不属于 $B$，即 $\omega \notin A$ 和 $\omega \notin B$ 同时成立。所以 $\omega \in \bar{A}$ 与 $\omega \in \bar{B}$ 同时成立，于是 $\omega \in \bar{A}\cap \bar{B}$。

[方向二：$\overline{A\cup B}\supset \bar{A}\cap \bar{B}$]

设 $\omega \in \bar{A}\cap \bar{B}$，即同时有 $\omega \in \bar{A}$ 和 $\omega \in \bar{B}$，从而同时有 $\omega \notin A$ 和 $\omega \notin B$。这意味着 $\omega$ 不属于 $A$ 与 $B$ 中的任一个，即 $\omega \notin A\cup B$，也就是 $\omega \in \overline{A\cup B}$。

综合两个方向，得 $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$。$\square$

推广到可列个事件：

$$\overline{\bigcup _{i=1}^n{A}_i}=\bigcap _{i=1}^n{\bar{A}}_i,\overline{\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }{\bar{A}}_i\text{\hspace{1em}(1.1.8)}$$ $$\overline{\bigcap _{i=1}^n{A}_i}=\bigcup _{i=1}^n{\bar{A}}_i,\overline{\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{\bar{A}}_i\text{\hspace{1em}(1.1.9)}$$

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四、事件域

为什么需要事件域

在连续样本空间中，可以人为构造出”不可测集”——无法为其分配概率的子集。为了避免这种情况，我们没有必要将连续样本空间的所有子集都看成事件，只需将可”度量”的子集（可测集）看成事件即可。

事件域 $\mathcal{F}$ 就是样本空间中某些子集及其运算结果组成的集合类，它决定了哪些子集可以被当作”事件”来讨论概率。

化简思路

• 交的运算可通过并与对立来实现（德摩根公式）
• 差的运算可通过对立与交来实现（$A-B=A\bar{B}$）

因此，并与对立是最基本的运算，事件域只需对这两种运算封闭。

事件域的严格定义

定义 1.1.1 — 事件域（ $\sigma$ 域/$\sigma$ 代数）

设 $\Omega$ 为一样本空间，$\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 的某些子集所组成的集合类。如果 $\mathcal{F}$ 满足：

1. $\Omega \in \mathcal{F}$；
2. 若 $A\in \mathcal{F}$，则 $\bar{A}\in \mathcal{F}$（对对立运算封闭）；
3. 若 $A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$，则 $\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{F}$（对可列并运算封闭）。

则称 $\mathcal{F}$ 为一个事件域，又称为==$\sigma$ 域或$\sigma$ 代数==。$(\Omega ,\mathcal{F})$ 称为可测空间。

例 1.1.10 — 常见的事件域

(1) $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2\}$：$\mathcal{F}=\{\varnothing ,A,\bar{A},\Omega \}$，共 $2^2=4$ 个事件

(2) $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\}$（$n$ 个样本点）：$\mathcal{F}$ 中共有

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=2^n\text{ 个事件}$$

(3) $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots \}$（可列个样本点）：$\mathcal{F}$ 由可列个的可列个元素组成

(4) $\Omega =(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$：取基本集合类 $\mathcal{S}=\{(-\infty ,x)\mid -\infty <x<+\infty \}$（全体半直线），由此可构造出所有常见的区间类型：

• $[a,b)=(-\infty ,b)-(-\infty ,a)$
• $[a,b]={\bigcap }_{n=1}^{\infty }\left[a,b+\frac{1}{n}\right)$
• $\{b\}=[a,b]-[a,b)$
• $(a,b]=[a,b]-\{a\}$
• $(a,b)=[a,b)-\{a\}$

这样生成的事件域称为博雷尔（Borel）事件域，记为 $\mathcal{B}$。

样本空间的分割

定义 1.1.2 — 样本空间的分割

设 $D_1,D_2,\cdots ,D_n$ 是 $n$ 个事件，如果诸 $D_i$ 互不相容，且 ${\bigcup }_{i=1}^n{D}_i=\Omega$，则称 $D_1,D_2,\cdots ,D_n$ 为样本空间 $\Omega$ 的一个分割。

Example

电视机色度浓度，目标值为 $m$，容许常数为 $a$：

• 一等品：$D_1=\{|x-m|\le a\}$
• 二等品：$D_2=\{a<|x-m|\le 2a\}$
• 三等品：$D_3=\{2a<|x-m|\le 3a\}$
• 不合格品：$D_4=\{|x-m|>3a\}$

$\mathcal{D}=\{D_1,D_2,D_3,D_4\}$ 构成 $\Omega$ 的一个分割，生成的事件域 $\sigma (\mathcal{D})$ 包含 $2^4=16$ 个事件。

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五、知识结构总览

graph TD
    A[随机现象] --> B[样本空间]
    B --> C[样本点]
    B --> D[随机事件]
    D --> E[基本事件]
    D --> F[必然事件]
    D --> G[不可能事件]
    D --> H[随机变量]
    H --> I[事件表示]
    D --> J[事件关系]
    J --> K[包含]
    J --> L[相等]
    J --> M[互不相容]
    D --> N[事件运算]
    N --> O[并]
    N --> P[交]
    N --> Q[差]
    N --> R[对立事件]
    N --> S[运算律]
    S --> T[交换律]
    S --> U[结合律]
    S --> V[分配律]
    S --> W[德摩根公式]
    B --> X[事件域]
    X --> Y[sigma域]
    X --> Z[可测空间]
    X --> AA[博雷尔事件域]
    X --> BB[样本空间分割]

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六、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 集合论语言是概率论的基石：所有概率论概念都可以用集合论语言精确描述，事件就是样本空间的子集
2. 随机变量是事件的桥梁：通过合理设置随机变量，可以用简洁的数学表达式（等号、不等号）表示各种事件
3. 事件域是概率定义的前提：$\sigma$ 域通过对立和可列并的封闭性，确保了概率运算的合法性
4. 从离散到连续的自然过渡：有限样本空间的事件域是所有子集（$2^n$ 个），连续样本空间需要通过 $\sigma$ 域来排除不可测集

证明技巧清单

1. 证明事件相等：转化为证明集合互相包含（$A\subset B$ 且 $B\subset A$），如例 1.1.7
2. 利用德摩根公式化简：将复杂事件的对立转化为简单事件的对立的交/并
3. 维恩图辅助直观：用维恩图帮助理解事件关系和运算，但不可代替严格证明
4. 差化对立与交：$A-B=A\bar{B}$，将差运算转化为更基本的运算
5. 分割思想：将样本空间分割为互不相容的事件，是全概率公式的基础（后续 §1.4）

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七、补充理解与易混淆点

事件与样本点的区别

来源：UCLA MATH 170E Lecture Notes、Cornell Probability Theory Notes

误区1："事件就是试验的结果"

❌ 错误解释：将事件等同于某个具体的试验结果（样本点） ✅ 正确解释：事件是样本空间的子集，可以包含一个或多个样本点。单个样本点构成的事件称为”基本事件”，但事件可以是任意子集。例如掷骰子，“出现偶数点”$=\{2,4,6\}$ 是一个包含三个样本点的事件。

互不相容与对立的混淆

来源：University of Auckland ICOTS论文、CSDN概率论重点解析

误区2："互不相容的事件就是对立事件"

❌ 错误解释：认为只要两个事件不能同时发生，它们就是对立事件 ✅ 正确解释：互不相容只要求 $A\cap B=\varnothing$，但对立（互补）还要求 $A\cup B=\Omega$。对立事件一定互不相容，但互不相容的事件不一定对立。例如掷骰子，“出现1点”和”出现2点”互不相容，但不对立（因为还有3、4、5、6的可能）。

独立性与互不相容的混淆（预告）

来源：豆丁网”随机事件独立性的三个认识误区”、网易数学专栏

误区3："互不相容的事件就是独立事件"

❌ 错误解释：认为”没有关系”就是”互不相容” ✅ 正确解释：这是两个完全不同的概念！互不相容是集合关系（$AB=\varnothing$），独立性是概率关系（$P(AB)=P(A)P(B)$）。事实上，当 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$ 时，互不相容的事件不可能独立（因为 $P(AB)=0\ne P(A)P(B)>0$）。独立性将在 §1.5 详细讨论。

样本空间构造的常见错误

来源：Minnesota STEM Framework、教材例 1.1.2

误区4："样本空间只要列出可能的结果就行，不需要考虑等可能性"

❌ 错误解释：随意列出结果，不考虑结果是否在同一”层次” ✅ 正确解释：构造样本空间时，每个样本点必须是最基本的、不可再分的结果。例如同时抛两枚硬币，样本空间是 $\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反})\}$（4个等可能的基本结果），而不是 $\{0,1,2\}$（正面个数），因为后者不是最基本的结果。此外，两枚硬币是有区别的，$(\text{正},\text{反})$ 和 $(\text{反},\text{正})$ 是不同的基本事件。

事件域的必要性

来源：UH Chapter 1 Probability Theory、教材 §1.1.7

误区5："样本空间的所有子集都可以作为事件"

❌ 错误解释：认为任何子集都可以讨论概率 ✅ 正确解释：对于有限或可列样本空间，确实所有子集都可以作为事件。但对于连续样本空间（如实数轴），存在不可测集——无法为其合理分配概率的子集。事件域（$\sigma$ 域）的作用就是排除这些不可测集，只保留可以讨论概率的子集。这就是为什么我们需要引入 $\sigma$ 域的公理化定义。

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八、习题精选

本节习题

习题号	标题	核心考点	难度	来源
1	写出样本空间	样本空间构造	⭐	教材习题1.1
3	事件的集合表示	事件运算	⭐⭐	教材习题1.1
5	随机变量的事件表示	对立事件与运算	⭐⭐	教材习题1.1
7	事件运算命题判断	运算律与反例	⭐⭐⭐	教材习题1.1
9	对立事件的描述	对立事件概念	⭐	教材习题1.1
10	事件运算公式证明	分配律与差化简	⭐⭐	教材习题1.1
11	事件域的性质证明	$\sigma$ 域公理	⭐⭐⭐	教材习题1.1
五三1	零概率事件辨析	概率为0≠不可能事件	⭐	2013南开大学432
五三2	事件并集的实际含义	事件运算翻译	⭐	2015武汉大学432
五三3	事件域元素个数	$\sigma$ 域构造	⭐⭐	2016中山大学432
五三4	概率为0/1事件辨析	概率性质与证明	⭐⭐	2016北京师范大学432
五三5	样本空间与事件运算综合	综合计算	⭐⭐	2015上海财经大学808

习题1：写出下列随机试验的样本空间

习题1

写出下列随机试验的样本空间： (1) 抛三枚硬币； (2) 抛三颗骰子； (3) 连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； (4) 口袋中有黑、白、红球各一个，先从中任取出一个，放回后再任取出一个； (5) 口袋中有黑、白、红球各一个，先从中任取出一个，不放回后再任取出一个。

查看解答

(1) $\Omega =\{(\text{正},\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{正},\text{反}),(\text{正},\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反},\text{反}),(\text{反},\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反},\text{反})\}$

共 $2^3=8$ 个基本事件。

(2) $\Omega =\{(i,j,k)\mid i,j,k\in \{1,2,3,4,5,6\}\}$

共 $6^3=216$ 个基本事件。

(3) $\Omega =\{(\text{正}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反},\text{反},\text{正}),\cdots \}=\{(\underset{n-1}{\underbrace{\text{反},\cdots ,\text{反}}},\text{正})\mid n=1,2,3,\cdots \}$

可列无限个基本事件。

(4) $\Omega =\{(\text{黑},\text{黑}),(\text{黑},\text{白}),(\text{黑},\text{红}),(\text{白},\text{黑}),(\text{白},\text{白}),(\text{白},\text{红}),(\text{红},\text{黑}),(\text{红},\text{白}),(\text{红},\text{红})\}$

共 $3^2=9$ 个基本事件（有放回）。

(5) $\Omega =\{(\text{黑},\text{白}),(\text{黑},\text{红}),(\text{白},\text{黑}),(\text{白},\text{红}),(\text{红},\text{黑}),(\text{红},\text{白})\}$

共 $3\times 2=6$ 个基本事件（不放回，不含同色）。

$\square$

习题3：用集合表示事件

习题3

设 $A,B,C$ 为三事件，试表示下列事件： (1) $A,B,C$ 都发生或都不发生； (2) $A,B,C$ 中不多于一个发生； (3) $A,B,C$ 中不多于两个发生； (4) $A,B,C$ 中至少有两个发生。

查看解答

(1) ”$A,B,C$ 都发生或都不发生”$=ABC\cup \bar{A}\bar{B}\bar{C}$

(2) ”$A,B,C$ 中不多于一个发生”$=\bar{A}\bar{B}\bar{C}\cup A\bar{B}\bar{C}\cup \bar{A}B\bar{C}\cup \bar{A}\bar{B}C$

(3) ”$A,B,C$ 中不多于两个发生”$=\overline{ABC}$（即”不全发生”的对立——恰好是”三个都发生”的对立）

也可以等价地写为：$\bar{A}\bar{B}\bar{C}\cup A\bar{B}\bar{C}\cup \bar{A}B\bar{C}\cup \bar{A}\bar{B}C\cup AB\bar{C}\cup A\bar{B}C\cup \bar{A}BC$

(4) ”$A,B,C$ 中至少有两个发生”$=AB\cup AC\cup BC$

$\square$

习题5：随机变量的事件表示

习题5

设 $X$ 为随机变量，$\Omega =\{0\le X\le 2\}$，$A=\{0.5<X\le 1\}$，$B=\{0.25\le X<1.5\}$，写出下列各事件： (1) $\bar{A}B$；(2) $\bar{A}\cup B$；(3) $\overline{AB}$；(4) $\overline{A\cup B}$。

查看解答

首先明确各集合的范围：

• $\Omega =[0,2]$
• $A=(0.5,1]$
• $B=[0.25,1.5)$
• $\bar{A}=[0,0.5]\cup (1,2]$
• $\bar{B}=[0,0.25)\cup [1.5,2]$

(1) $\bar{A}B=([0,0.5]\cup (1,2])\cap [0.25,1.5)=[0.25,0.5]\cup (1,1.5)$

(2) $\bar{A}\cup B=([0,0.5]\cup (1,2])\cup [0.25,1.5)=[0,0.5]\cup [0.25,1.5)\cup (1,2]=[0,2]=\Omega$

（因为 $B$ 已经覆盖了 $\bar{A}$ 中 $[0.25,0.5]$ 的部分，而 $\bar{A}$ 中 $(1,2]$ 的部分加上 $B$ 中 $[0.25,1.5)$ 的部分合起来就是 $[0,2]$）

(3) $AB=(0.5,1]\cap [0.25,1.5)=(0.5,1]$，所以 $\overline{AB}=[0,0.5]\cup (1,2]$

(4) $A\cup B=(0.5,1]\cup [0.25,1.5)=[0.25,1.5)$，所以 $\overline{A\cup B}=[0,0.25)\cup [1.5,2]$

$\square$

习题7：事件运算命题判断

习题7

试问下列命题是否成立？ (1) $A-(B-C)=(A-B)-C$ (2) 若 $AB=\varnothing$ 且 $C\subset A$，则 $BC=\varnothing$ (3) $(A\cup B)-B=A$ (4) $(A-B)\cup B=A$

查看解答

(1) 不成立。反例：$\Omega =\{1,2,3,4\}$，$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3\}$，$C=\{3\}$。

• 左边：$B-C=\{2\}$，$A-(B-C)=\{1,3\}$
• 右边：$A-B=\{1\}$，$(A-B)-C=\{1\}$
• $\{1,3\}\ne \{1\}$，所以不成立。

(2) 成立。因为 $C\subset A$，所以 $BC\subset AB=\varnothing$，从而 $BC=\varnothing$。

(3) 不成立。$(A\cup B)-B=(A\cup B)\bar{B}=A\bar{B}\cup B\bar{B}=A\bar{B}\cup \varnothing =A\bar{B}=A-B$。一般地 $A-B\ne A$（除非 $AB=\varnothing$）。

(4) 不成立。$(A-B)\cup B=A\bar{B}\cup B$。反例：$A=\{1\}$，$B=\{2\}$，则 $(A-B)\cup B=\{1\}\cup \{2\}=\{1,2\}\ne A$。实际上 $(A-B)\cup B=A\cup B$。

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习题9：对立事件的描述

习题9

请叙述下列事件的对立事件： (1) $A=$ “掷两枚硬币，皆为正面” (2) $B=$ “射击三次，皆命中目标” (3) $C=$ “加工四个零件，至少有一个合格品”

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(1) $\bar{A}=$ “掷两枚硬币，不全是正面”$=$ “至少有一枚是反面”

(2) $\bar{B}=$ “射击三次，不全命中目标”$=$ “至少有一次未命中”

(3) $\bar{C}=$ “加工四个零件，没有一个合格品”$=$ “四个零件全是不合格品”

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习题10：事件运算公式证明

习题10

证明下列事件的运算公式： (1) $A=AB\cup A\bar{B}$ (2) $A\cup B=A\cup \bar{A}B$

查看解答

证明 (1)：

[方向一：$AB\cup A\bar{B}\subset A$]

任取 $\omega \in AB\cup A\bar{B}$，则 $\omega \in AB$ 或 $\omega \in A\bar{B}$。

• 若 $\omega \in AB$，则 $\omega \in A$（且 $\omega \in B$）
• 若 $\omega \in A\bar{B}$，则 $\omega \in A$（且 $\omega \in \bar{B}$）

无论哪种情况，都有 $\omega \in A$。

[方向二：$A\subset AB\cup A\bar{B}$]

任取 $\omega \in A$，则 $\omega$ 要么属于 $B$，要么属于 $\bar{B}$（因为 $B\cup \bar{B}=\Omega$）。

• 若 $\omega \in B$，则 $\omega \in AB$
• 若 $\omega \in \bar{B}$，则 $\omega \in A\bar{B}$

所以 $\omega \in AB\cup A\bar{B}$。

综合得 $A=AB\cup A\bar{B}$。$\square$

证明 (2)：

[方向一：$A\cup \bar{A}B\subset A\cup B$]

$A\subset A\cup B$，$\bar{A}B\subset B\subset A\cup B$，所以 $A\cup \bar{A}B\subset A\cup B$。

[方向二：$A\cup B\subset A\cup \bar{A}B$]

任取 $\omega \in A\cup B$，则 $\omega \in A$ 或 $\omega \in B$。

• 若 $\omega \in A$，则 $\omega \in A\cup \bar{A}B$
• 若 $\omega \notin A$（即 $\omega \in \bar{A}$），但 $\omega \in B$，则 $\omega \in \bar{A}B\subset A\cup \bar{A}B$

所以 $A\cup B\subset A\cup \bar{A}B$。

综合得 $A\cup B=A\cup \bar{A}B$。$\square$

习题11：事件域的性质证明

习题11

设 $\mathcal{F}$ 为一事件域，若 $A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$，试证： (1) $\varnothing \in \mathcal{F}$

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证明 (1)：

由定义 1.1.1 的条件(1)，$\Omega \in \mathcal{F}$。

由条件(2)，若 $A\in \mathcal{F}$ 则 $\bar{A}\in \mathcal{F}$。取 $A=\Omega$，则 $\bar{\Omega }=\varnothing \in \mathcal{F}$。$\square$

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五三第1题：零概率事件辨析

五三第1题（2013南开大学432）

设 $P(AB)=0$，则下列说法中正确的是（ ）。 A. $A$ 和 $B$ 不相容 B. $A$ 和 $B$ 相容 C. $AB$ 是不可能事件 D. $AB$ 不一定是不可能事件

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选 D。

$P(AB)=0$ 只说明事件 $AB$ 的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。

例如，设 $X$ 为 $(0,1)$ 上的均匀分布，取 $A=\{X=0.5\}$，$B=\Omega$，则 $P(AB)=P(A)=0$，但 $A$ 不是不可能事件（$0.5$ 确实在 $(0,1)$ 中）。

反过来，不可能事件一定概率为零，但概率为零不等于不可能事件。这是连续型随机变量中非常重要的概念区分。

来源：五三解析册第6页

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五三第2题：事件并集的实际含义

五三第2题（2015武汉大学432）

一射手进行了三次射击，$A_i$ 表示第 $i$ 次射击击中目标这一事件，下面正确表述了事件 $A_1{A}_2+A_1{A}_3+A_2{A}_3$ 的是（ ）。 A. 恰有两次击中目标 B. 至少两次击中目标 C. 最多两次击中目标 D. 三次都击中目标

查看解答

选 B。

分析各个选项：

• $A_1{A}_2$：第1次和第2次都击中
• $A_1{A}_3$：第1次和第3次都击中
• $A_2{A}_3$：第2次和第3次都击中

三个事件的并集 $A_1{A}_2\cup A_1{A}_3\cup A_2{A}_3$ 表示”至少有一个上述事件发生”，即”至少有两次击中”。

注意区分”恰有两次”和”至少两次”：恰有两次需要排除三次都击中的情况（即减去 $A_1{A}_2{A}_3$），而”至少两次”包含三次都击中的情况。

来源：五三解析册第7页

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五三第3题：事件域元素个数

五三第3题（2016中山大学432）

假设随机事件 $A,B$ 都既不是不可能事件也不是必然事件，并且 $A\ne B$，$A\ne \bar{B}$。包含随机事件 $A,B$ 的最小的 $\sigma$ 域中元素的个数为（ ）。 A. 4　　B. 8　　C. 16　　D. 32

查看解答

需要分两种情况讨论：

情况一：$A\cap B=\varnothing$（互不相容）

令 $C=\Omega -(A\cup B)$，则 $A,B,C$ 构成样本空间的一个分割（三个互不相容事件，并集为 $\Omega$）。由分割生成的最小 $\sigma$ 域包含 $2^3=8$ 个元素。

情况二：$A\cap B\ne \varnothing$（有交集）

令 $C=A\cap \bar{B}$（在 $A$ 中但不在 $B$ 中的部分），$D=\bar{A}\cap B$（在 $B$ 中但不在 $A$ 中的部分），$E=\Omega -(A\cup B)$（既不在 $A$ 也不在 $B$ 中的部分），$F=A\cap B$（$A$ 与 $B$ 的交集）。则 $C,D,E,F$ 构成样本空间的一个分割（4个互不相容事件），最小 $\sigma$ 域包含 $2^4=16$ 个元素。

由于题目未说明 $A\cap B$ 是否为空，因此 B 和 C 均有可能。

来源：五三解析册第7页

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五三第4题：概率为0/1事件辨析

五三第4题（2016北京师范大学432）

下面论述是否正确？正确的给出证明，错误的举出反例。 (1) 概率为0的事件是不可能事件。 (2) 概率为1的事件是必然事件。 (3) 小概率事件迟早会发生。

查看解答

(1) 错误。

反例：设 $X$ 为 $[0,1]$ 上的均匀分布，则 $P(X=0.5)=0$，但事件 $\{X=0.5\}$ 不是不可能事件（$0.5$ 确实在 $[0,1]$ 中）。

(2) 错误。

反例：设 $X$ 为 $[0,1]$ 上的均匀分布，令 $A=[0,1)\subset \Omega =[0,1]$，则 $P(A)=1$，但 $A\ne \Omega$（$A$ 不包含点 $1$），所以 $A$ 不是必然事件。

(3) 正确。

证明：设在相同条件下不断重复某试验，事件 $A$ 在每次试验中发生的概率为 $P(A)>0$，且各次试验相互独立。令 $A_i$ 为”第 $i$ 次试验中 $A$ 发生”，则：

$$P(\text{A迟早发生})=P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i\right)$$

由德摩根公式：

$$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i\right)=1-P\left(\bigcap _{i=1}^{\infty }{\bar{A}}_i\right)$$

由独立性：

$$P\left(\bigcap _{i=1}^{\infty }{\bar{A}}_i\right)=\prod _{i=1}^{\infty }P({\bar{A}}_i)=\prod _{i=1}^{\infty }(1-P(A))=\underset{n\to \infty }{\lim }(1-P(A){)}^n=0$$

因此 P(\text{A迟早发生}) = 1 - 0 = 1。$\square$

来源：五三解析册第8页

五三第5题：样本空间与事件运算综合

五三第5题（2015上海财经大学808）

一枚均匀硬币独立重复掷三次，$H$ 和 $T$ 分别表示硬币正面朝上和朝下，且 $P(H)=P(T)=0.5$，求： (1) 掷三次的样本空间； (2) 事件 $A=\{\text{至少两次结果为 }H\}$ 发生的概率； (3) 事件 $B=\{\text{最后一次掷硬币的结果为 }T\}$ 发生的概率； (4) $\bar{A}$、$A\cup B$ 发生的概率。

查看解答

(1) 样本空间为

$$\Omega =\{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT\}$$

共 $2^3=8$ 个等可能的基本事件，每个概率为 $1/8$。

(2) $A=\{HHT,HTH,THH,HHH\}$，共4个基本事件

$$P(A)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

(3) $B=\{HHT,HTH,THT,TTH,TTT\}$（最后一个字母为 $T$），共4个基本事件

$$P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

(4) $\bar{A}=\{HTT,THT,TTH,TTT\}$，$P(\bar{A})=\frac{1}{2}$

$A\cup B=\{HHT,HTH,THH,HHH,THT,TTH,TTT\}$（即除了 $HTT$ 之外的所有事件），共7个基本事件

$$P(A\cup B)=\frac{7}{8}$$

来源：五三解析册第10页

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九、教材原文

第一章 随机事件与概率/随机事件及其运算